30.2．填空、選擇壓軸（幾何）

第④正確．5．（2018·山東泰安，12，3分）如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標為(3，4)，點P是⊙M上的任意一點，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點，若點A、點B關(guān)于原點O對稱，則AB的最小值為（）A．3B．4C．6D．8OOyxABPM答案．C，解析：連接OP，則OP為Rt△APB斜邊上的中線，∴AB=2OP．連接OM，則當點P為OM與⊙M的交點時，OP最短，則AB也最短．根據(jù)勾股定理，得OM==5，∴OP=OM－PM=5－2=3，∴AB=2OP=6，即AB的最小值為6．PPABOyxM6（2018眉山市，12，3分）如圖，在ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于點E，F(xiàn)為DC的中點，連結(jié)EF、BF，下列結(jié)論：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四邊形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF,其中正確結(jié)論的個數(shù)共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個答案：C，解析：連接AF并延長與BC的延長線相交于點M，易證△ADF≌△CFM，∴AF＝MF，又∵AD＝BC，DC＝AB＝2AD，∴AB＝BM，∴∠ABC＝2∠ABF，故①正確；延長EF、BC，相交于點G．容易證明△DEF≌△CGF，∴FE＝FG，∵BE⊥AD，AD∥BC，∴∠EBG＝90°，根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半得EF＝BF，②正確；由于BF是△BEG的中線，∴S△BEG＝2S△BEF，而S△BEG＝S四邊形DEBC，所以S四邊形DEBC＝2S△EFB，故③正確；設(shè)∠DEF＝x，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠G＝x，又因為FG＝FB，∴∠G＝∠FBG＝x，∴∠EFB＝2x，∵CD＝2AD，F(xiàn)為CD中點，BC＝AD，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠CBF＝x，∴∠CFE＝∠CFB＋∠BFE＝x＋2x＝3x＝3∠DEF，故④正確；故本題答案為D．7．（2018·棗莊市，12，3）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F．若AC=3，AB=5，則CE的長為 （）A． B． C． D．第12題圖答案：A，解析：如圖，過點F作FG⊥AB于點G．∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°．∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∠FAD+∠AED=90°．∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD．∴∠CFA=∠AED=∠CEF．∴CE=CF．∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG．∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC．∴．∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4．∴，∴FC=，即CE的長為，故選A．第12題答圖8．（2018·揚州市，8，3分）如圖，點A在線段BD上，在BD的同側(cè)做等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD與BE、AE分別交于點P、M．對于下列結(jié)論： ①∽；②；③．其中正確的是（）A．①②③ B．① C．①② D．②③第第8題圖8．A，解析：由題意得，∠BAE＝∠CAD＝135°，∴△BAE∽△CAD，故①正確；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，又∵∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴MP·MD＝MA·ME，故②正確；∵MP·MD＝MA·ME，又∵∠PMA＝∠EMD，∴△PMA∽△EMD，∴∠APM＝∠DEM＝90°，而∠CAE＝90°，而∠ACP＝∠MCA，∴△CAP∽△CMA，∴CP·CM＝AC2＝2CB2，故③正確．故選A．9．（2018?無錫市，10，3）如圖是一個沿3×3正方形格紙的對角線AB剪下的圖形，一質(zhì)點P由A點出發(fā)，沿格點線每次向右或向上運動1個單位長度，則點P由A點運動到B點的不同路徑共有（）A.4條 B.5條 C.6條 D.7條第10題圖B，解析：如圖，有5條路徑，故選B．第10題答圖10.在△ABC中，若O為BC邊的中點，則必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE=4，EF=3，點P在以DE為直徑的半圓上運動，則PF2+PG2的最小值為（）A.eq\r(\s\do1(),10)B.eq\f(19,2)C.34D.10答案：D，解析：取GF的中點M，連接OP，則根據(jù)題意，可得PF2+PG2=2PM2+2GM2=2PM2+8，當O、P、M三點共線時，PM的值最小，此時PM=3-2=1，∴PF2+PG2=2×12+8=10.11．（2018湖北武漢，10，3分）如圖，在⊙O中，點C在優(yōu)弧上，將弧沿BC折疊后剛好經(jīng)過AB的中點D．若⊙O的半徑為，AB＝4，則BC的長是（）A． B． C． D．B解析法一：連AC、DC、OD，過C作CE⊥AB于E，過O作OF⊥CE于F，∵沿BC折疊，∴∠CDB＝∠H，∵∠H＋∠A＝180°，∴∠CDA＋∠CDB＝180°，∴∠A＝∠CDA，∴CA＝CD，∵CE⊥AD，∴AE＝ED＝1，∵OA=，AD＝2，∴OD＝1，∵OD⊥AB，∴OFED為正方形，∴OF＝1，OC=，∴CF＝2，CE＝3，∴CB=.法一圖法二圖法二：作D關(guān)于BC的對稱點E，連AC、CE，∵AB＝4，AE=2AO=，∴BE＝2，由對稱性知，∠ABC＝∠CBE＝45°，∴AC＝CE，延長BA至F，使FA＝BE，連FC，易證△FCA≌△BCE，∴∠FCB＝90°，∴BC===.12．（2018·杭州，10，3分）如圖，在中，點D在AB邊上，，與邊交于點E，連結(jié)BE，記的面積分別為，（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則答案．D，解析：與中位線作對比，若2AD=AB，則易知S2=2S1，若2AD<AB，則S2>2S1，即2S2>4S1>3S1二、填空題1.（2018濱州，19，5分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若AE＝，∠EAF＝45°，則AF的長為___________．AABCDEF答案．，解析：取AD、BC中點M、N，由AD＝4，AB＝2，證得四邊形ABNM是正方形，連接MN，EH，由∠HAE＝45°，四邊形ABNM是正方形，可知此處有典型的正方形內(nèi)“半角模型”，故有EH＝MH＋BE。由AB＝2，AE＝，易知BE＝1，所以EN＝BN－BE＝2－1＝1，設(shè)MH＝x，由M是AD中點，△AMH∽△ADF可知，DF＝2MH＝2x，HN＝2－x，EH＝MH＋BE＝x＋1，在Rt△EHN中有，故，解得x＝，故DF＝，故AF＝AABCDEFMHN2.（2018·綿陽，18，3分）如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，若AC，BC邊上的中線BE，AD垂直相交于點O點，則AB＝．答案：，解析：根據(jù)BE，AD是AC，BC邊上的中線，可知AO＝2OD，BO＝2OE．設(shè)OD＝x，OA＝2x；OE＝y(tǒng)，OB＝2y．根據(jù)AD⊥BE，在Rt△BOD和Rt△AOE中，x2＋(2y)2＝22，y2＋(2x)2＝()2．兩式相加得：x2＋y2＝在Rt△AOB中，AB＝．3.(2018·攀枝花，15，4分)如圖5，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，矩形內(nèi)部有一動點P滿足S△PAB＝S矩形ABCD，則點P到A，B兩點的距離之和PA＋PB的最小值是______．答案．4，解析：如圖#，設(shè)點P到AB的距離是h，則AB·h＝·AB·AD，即×4·h＝×4×3，∴h＝2，可見點P是直線EF(EF∥AB，且EF與AB間的距離是2)上的動點．作點B關(guān)于EF的對稱點B′，連結(jié)AB′交EF于點P，則此時PA＋PB的值最小，最小值＝AB′＝＝4．PCPCBAD圖5PCBAD圖#FEB′4．（2018·金華市，16，4分）如圖1是小明制作的一副弓箭,點A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點，弓弦BC=60cm.沿AD方向拉弓的過程中，假設(shè)弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長.如圖2，當弓箭從自然狀態(tài)的點D拉到點D1時，有AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.（1）圖2中，弓臂兩端B1，C1的距離為▲cm.（2）如圖3，將弓箭繼續(xù)拉到點D2，使弓臂B2AC2為半圓，則D1D2的長為▲cm.第16題圖第16題圖D1圖1圖2圖3B1ACDBC1ACBDBCAD1D2DB1B2C1C2答案（1），（2），解析：（1）由題意可得B1D1=D1C1=30cm，∠B1D1C1=120°，連接B1C1交AD1于點M，解直角三角形求得B1C1=2B1M=；（2）根據(jù)弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長，弧BAC=弧B1AC1=弧B2AC2，已知B2AC2為半圓，設(shè)半徑為r，則，可得r=20，連接B2C2交AD1于點N，ND2==，由AD1=30，AN=20，則D1D2=AN+ND2-AD1=.5.(2018·自貢，18，4分)如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，蔣它沿AB翻折得到△ABD，則四邊形ADBC的形狀是形；點P、E、F分別為線段AB、AD、DB上的任意點，則PE＋PF的最小值是．答案．菱形，.解析：（1）根據(jù)四邊相等的四邊形是菱形即可判定；（2）作E關(guān)于AB的對稱點E’，先將直線AB同側(cè)的兩點轉(zhuǎn)化為異側(cè)的點，再根據(jù)垂線段最短找出PE＋PF的最小值的位置，剩下計算的工作．解：（1）∵AD＝BD＝AC＝BC，∴四邊形ADBC是菱形.（2）作E關(guān)于AB的對稱點E’，根據(jù)菱形的對稱性可知點E’在AC上，連接E’F交AB于點P，∴PE＋PF＝PE’＋PF＝E’F，當E’F是AC，BD之間的距離時，E’F為最小.過點B作BH⊥AC于點H，設(shè)AH＝x，則CH＝(2－x)，由，有，解得x＝，∴BH＝∴PE＋PF的最小值為.6.(2018安徽，14，5分)矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點P在矩形ABCD的內(nèi)部，點E在邊BC上，滿足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，則PE的長為__________．答案．3或．解析：分兩種情況討論：①如圖1，邊AD的垂直平分線與BD、BC分別交于點P、E，則△APD等腰三角形，且PE∥CD，∴△PBE∽△DBC．易知PE是△DBC的中位線，∴PE＝CD＝3；②如圖2，以點D為圓心、以AD為半徑畫弧交BD于點P，過點P作PE⊥BC于點E，則△APD是等腰三角形．由勾股定理求得AD＝＝10，，則BP＝BD－DP＝10－8＝2．由PE∥CD可知△PBE∽△DBC，則＝，即＝，解得：PE＝．綜上所述，PE的長為3或．7.（2018·達州市，16，3分）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝5，點D是BC邊上一點且CD＝1，點P是線段DB上一動，連接AP，以AP為斜邊在AP的下方作等腰Rt△AOP.當點P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點O的運動路徑長為___________．第16題圖答案：2，解析：如圖，以AC為斜邊在AC的右下方作等腰Rt△AEC,以AD為斜邊在AD的右下方作等腰Rt△AMD，以AB為斜邊在AB的下方作等腰Rt△ANB，連接NM并延長，則點E、點C在NM的延長線上.∵∠C＝90°，∠ANB＝90°，∴A、C、B、N四點共圓.∴∠ANC＝∠ABC．∴△ANE∽△ABC．∴＝．在等腰Rt△AEC中，AC＝2，∴AE＝．∵＝，∴NE＝．當點P與點C重合時，點O的位于點E的位置．當點P從點D出發(fā)運動至點B停止時，點O的從點M出發(fā)運動至點N．∵＝，∴＝，∴MN＝2．8.．(2018·瀘州，16，3分)如圖5，等腰△ABC的底邊BC＝20，面積為120，點F在邊BC上，且BF＝3FC，EG是腰AC的垂直平分線，若點D在EG上運動，則△CDF周長的最小值為．答案：18，解析：∵BC＝20，BF＝3FC，∴BF＝×20＝15，F(xiàn)C＝×20＝5．∵△CDF周長＝CD＋DF＋FC＝CD＋DF＋5，∴當CD＋DF最小時，△CDF的周長有最小值．連接AD．∵EG是AC的垂直平分線，∴AD＝CD，∴CD＋DF＝AD＋DF．根據(jù)“兩點之間，線段最短”可知當點A，D，F(xiàn)在同一條直線上時，AD＋DF的最小值為AF．過點A作AH⊥BC于H，∵BC＝20，△ABC的面積為120，∴AH＝．∵AB＝AC，∴BH＝CH＝BC＝10，∴HF＝15－10＝5．在Rt△AHF中，根據(jù)勾股定理，得AF＝＝13，即CD＋DF的最小值為13，∴△CDF周長的最小值為13＋5＝18．9．（2018·臺州市，16，5分）如圖，在正方形ABCD中，AB=3，點E，F(xiàn)分別在CD，AD上，CE=DF，BE，CF相交于點G，若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2︰3，則△BCG的周長為.答案，解析：∵S陰影︰S正方形=2︰3，∴S空︰S正方形=1︰3，∴S空=×3×3=3，又∵DF=CE，∴△BCE≌△DFC，∴S△BCG=S四邊形FGED=，設(shè)BG=x，CG=y，∵△BCE≌△DFC，∴∠FCE=∠EBC，∵∠BGC=90°，∴S△BCG==，即xy=3，又∵x2+y2=9，∴x2+2xy+y2=9+2×3=15，∴x+y=，∴△BCG的周長=x+y+3=.10．（2018?無錫市，18，2）如圖，已知∠XOY=60°，點A在邊OX上，OA=2，過點A作AC⊥OY于點C，以AC為一邊在∠XOY內(nèi)作等邊三角形ABC，點P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的一點，過點P作PD//OY交OX于點D，作PE//OX交OY于點E，設(shè)OD=a，OE=b,則a+2b的取值范圍是.答案：，解析：如圖①過P作PH⊥OY交于點H，∵PE//OX，∠XOY=60°，∴∠PEH=∠XOY=60°，∠EPH=30°，∴EH=，∴a+2b=，∵點P是△ABC圍成的區(qū)域（包括各邊）內(nèi)的任意一點，∴當P在AC邊上時，H與C重合（見圖②），此時，；當P在點B時（見圖③），，，∴11．（2018·連云港，16，3分）如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC＝EQ\R(,6)，則AB的長為________．答案：2，解析：設(shè)AB＝2a，BC＝2b，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，∴∠DAG＋∠AGD＝90°；又∵AG⊥GF，∴∠AGD＋∠CGF＝90°，∴∠DAG＝∠CGF，∴△DAG∽△CGF，∴EQ\F(DA,DG)＝EQ\F(CG,CF)，∴EQ\F(2b,a)＝EQ\F(a,b)，∴a＝EQ\R(,2)b，∴a2＝2b2,而AC2＝(2a)2＋(2b)2＝(EQ\R(,6))2＝6，∴4a2＋2a2＝6，a＝±1(舍去負值)，∴AB＝2．12．(2018·株洲市，18，3分)如圖，在平行四邊形ABCD中，連接BD，且BD=CD，過點A作AM⊥BD于點M，過點D作DN⊥AB于點N，且DN=3，在DB的延長線上取一點P，滿足∠ABD=∠MAP+∠PAB，則AP=______________．答案：6，解析：S△ABD=AB·DN=BD·AM，∵BD=CD，∴AB·DN=CD·AM，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，∴DN=AM，∵DN=3，∴AM=3．∵∠ABD=∠MAP+∠PAB，∠ABD=∠MAP+∠P，∴∠MAP=∠P，∵AM⊥BD，∴∠P=45°，在Rt△APM中，sinP=，∴AP===6．13.（2018·廣州市，16，3）如圖9，CE是□ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點O.CE與DA的延長線交于點E.連接AC，BE，DO，DO與AC交于點F.則下列結(jié)論：圖9圖9①四邊形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF∶BE=2∶3；④S四邊形AFOE∶S△COD＝2∶3；其中正確的結(jié)論有.（填寫所有正確結(jié)論的符號）答案：①②④，解析：由已知“CE是AB的垂直平分線”可得AC＝CB，所以∠CAB＝∠CBA，由□ABCD可得AB∥CD，AD∥BC，所以∠CAB＝∠ACD，∠BAE＝∠CBA，∴∠CAB＝∠ACD=∠BAE，②正確．由∠CAB＝∠BAE，AO＝AO，∠AOC＝∠AOE可得△AOC≌AOE，從而AE＝AC＝BC，又AE∥CB，所以四邊形ACBE是平行四邊形，又AC＝BC，□ACBE是菱形，①正確．由AO∥CD，可得，∴，③錯誤．設(shè)S△AFO＝S，由，可得S△CFO＝2S，再根據(jù)△AFO∽△CFD可得S△DFC＝4S，所以S△COD＝6S，S△COA＝3S＝S△AOE，所以S四邊形AFOE＝4S，所以S四邊形AFOE∶S△COD＝4S∶6S＝2∶3，④正確．14．（2018湖北武漢，16，3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是邊AB的中點，E是邊BC上一點．若DE平分△ABC的周長，則DE的長是___________.解析法一：延長BC至點F，使CF＝AC，∵DE平分△ABC的周長，AD＝BC，∴AC＋CE＝BE，∴BE＝CF＋CE＝EF，∴DE∥AF，DE＝AF，又∵∠ACF＝120°，AC＝CF，∴AF=AC=，∴.法一圖法二圖法二：作BC的中點F，連接DF，過點F作FG⊥DE于G，設(shè)CE＝x，則BE＝1＋x，∴BE＝1＋x，∴BC＝1＋2x，∴CF=+x，∴EF=CF-CE=，而DF=AC=，且∠C＝60°，∴∠DFE＝120°，∴∠FEG＝30°，∴GF=EF=，∴EG=，∴DE=2EG=.15．（2018·鹽城，16，3分）如圖，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分別為邊BC、AB上的兩個動點，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，則AQ=.AAQCPB答案：，，解析：使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形有兩種情況：①AQ=PQ且∠BQP=90°（如圖①）；②AQ=PQ且∠BPQ=90°（如圖②）.再由△BPQ與△ACB相似即可計算出PQ的長度即AQ的長度.AAQCBPPAQCB圖① 圖②16．（2018·泰州市，16，3分）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，sinA=，AC=12，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A′B′C，P為線段A′B′上的動點，以點P為圓心、PA′長為半徑作⊙P，當⊙P與△ABC的邊相切時，⊙P的半徑為.答案：或，解析：設(shè)⊙P半徑為r.在Rt△ABC中，∵sinA==，∴BC:AC:AB=5:12:13.∵AC=12，∴BC=5，AB=13.由旋轉(zhuǎn)知∠A′=∠A，A′C=AC=12，A′B′=AB=13.①當⊙P與邊AC相切于點E時，連接PE，則PE⊥AC.∵PE∥AC，∴∠B′PE=∠A′=∠A，∴sin∠B′PE==，∴B′E:PE:PB′=5:12:13，∵PA=PE=r，∴PB′=r，∴r+r=13，解得r=；②延長PB′交AB于點F.∵∠A+∠B=90°，∠A′=∠A，∴∠A′+∠B=90°，∴∠A′FB=90°，∴A′F⊥AB，∴當⊙P與邊AB相切于點F時，PF為⊙P半徑，即PF=PA=r，∵sinA′==，∴BF:A′F:A′B=5:12:13，∵A′B=5+12=17，∴A′F=A′B=，∴r==.綜上，⊙P的半徑為或.（第16題答圖1）