高考數(shù)學(xué)平面向量知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)必修4平面向量

知識(shí)點(diǎn)歸納：

L概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用萬，瓦1……來表示，或用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫字母

表示，如：AB幾何表示法AB,a；坐標(biāo)表示法萬=羽'+9=（x,y）.向量的大小即向量的模（長(zhǎng)

度），記作|A3I即向量的大小，記作IjI.

向量不能比擬大小，但向量的模可以比擬大小.

②零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為0,其方向是任意的，。與任意向量平行,零向量3=0OI?I=

0.由于0的方向是任意的，且規(guī)定。平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行〔共線）的問題中務(wù)必看清楚

是否有“非零向量”這個(gè)條件.〔注意與0的區(qū)別）

③單位向量：模為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.

向量心為單位向量O|a0I=1.

④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上.方向相

同或相反的向量，稱為平行向量.記作口〃3.由于向量可以進(jìn)行任意的平移（即自由向量），平行向量總

可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量.

數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚

共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平

行”是不一樣的.

⑤相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量,相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為彳=3.大小相等，方向

fx=%,

相同（%，%）=（%2，%）

[%=%

2.向量加法

求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法.

設(shè)==那么5+b=AB+8C=AC

[1）O+a=a+Q=a；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；

向量加法有“三角形法那么”與"平行四邊形法那么〃：

（1）用平行四邊形法那么時(shí)，兩個(gè)向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)

角線，而差向量是另一條對(duì)角線，方向是從減向量指向被減向量、

（2）三角形法那么的特點(diǎn)是“首尾相接〃，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向

線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).

當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法那么；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法那么.向

量加法的三角形法那么可推廣至多個(gè)向量相加：

AB+BC+CD++PQ+QR=AR,但這時(shí)必須“首尾相連”.

3.向量的減法

①相反向量：與彳長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做5的相反向量，

記作-蜃零向量的相反向量仍是零向量.

關(guān)于相反向量有：⑴-（-?）=a；（ii）a+（-a）=（-a）+a=6;

（iii）假設(shè)。B是互為相反向量，?^a=-b,b=-a,a+b=O

②向量減法：向量方加上B的相反向量叫做己與B的差，

記作：日-3=1+（-3）,求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法，

③作圖法：5-3可以表示為從B的終點(diǎn)指向）的終點(diǎn)的向量B有共同起點(diǎn)）.

4.實(shí)數(shù)與向量的積：

①實(shí)數(shù)人與向量5的積是一個(gè)向量，記作人方，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：

（I）]羽=風(fēng)?同;

（II）當(dāng)幾>0時(shí)，AG的方向與1的方向相同；當(dāng)2<0時(shí)，入己的方向與1的方向相反；當(dāng)2=0

時(shí)，Aa=0,方向是任意的,

②數(shù)乘向量滿足交換律、結(jié)合律與分配律得

5.兩個(gè)向量共線定理：

向量3與非零向量G共線O有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)力,使得3=法.

6*平面向量的根本定理：

如果不,當(dāng)是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量心有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)

4，彳2使：a=21e1+22e2,其中不共線的向量不，尉叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底，

7一特別注意：

[1）向量的加法與減法是互逆運(yùn)算’

[2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件.

[3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線[即重合），而向量平行那么包括共線〔重合）

的情況.

[4）向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線條的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān).

學(xué)習(xí)本章主要樹立數(shù)形轉(zhuǎn)化和結(jié)合的觀點(diǎn)，以數(shù)代形，以形觀數(shù)，用代數(shù)的運(yùn)算處理幾何問題，特

別是處理向量的相關(guān)位置關(guān)系，正確運(yùn)用共線向量和平面向量的根本定理，計(jì)算向量的模、兩點(diǎn)的距離、

向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等.由于向量是一新的工具，它往往會(huì)與三角函數(shù)、數(shù)列、不等式、解

幾等結(jié)合起來進(jìn)行綜合考查，是知識(shí)的交匯點(diǎn).

例1給出以下命題：

①假設(shè)Ia1=1",那么a=b；

②假設(shè)4B,C,〃是不共線的四點(diǎn)，那么=DC是四邊形/頗為平行四邊形的充要條件；

③假設(shè)a=匕，b=c,那么a=工，

@a=b的充要條件是Ia|=|b\S.d//b；

⑤假設(shè)?！╞,b//c,那么。〃c,

其中正確的序號(hào)是.

解：①不正確.兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同.

②正確.=...|43|=|。。|且4^〃。。，

又A,B,C,，是不共線的四點(diǎn)，.?.四邊形5為平行四邊形；反之，假設(shè)四邊形A6切為平行四

邊形，那么，AB〃OC且|A3|=|OC|,

因此，AB=DC.

③正確.a,b的長(zhǎng)度相等且方向相同；

又b=c,：.b,c的長(zhǎng)度相等且方向相同，

**.a,c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故。=4.

④不正確.當(dāng)a//b且方向相反時(shí)，即使|。|二加|,也不能得到a=b,故Ia|=|b|且a/"不是。=b

的充要條件，而是必要不充分條件.

⑤不正確.考慮6=0這種特殊情況.

綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③.

點(diǎn)評(píng)：本例主要復(fù)習(xí)向量的根本概念.向量的根本概念較多，因而容易遺忘.為此，復(fù)習(xí)一方面要構(gòu)建

良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進(jìn)行類比和聯(lián)想.

例2設(shè)力、B、aD、。是平面上的任意五點(diǎn)，試化簡(jiǎn)：

?AB+BC+CD,@DB+AC+BD@-OA-OC+OB-CO

解：①原式:(AB+BC)+CD=AC+CD=AD

②原式++0+

③原式=(03-OA)+(-OC-CO)=AB-(OC+CO)=AB+0=AB

例3設(shè)非零向量a、b不共線，c=ka+b,d=a+kb(4eR),假設(shè)d〃d,試求上

解：?."〃1

由向量共線的充要條件得：C6d(AeR)

即kd+b=A(d+kb)；.(A-A)a+(1-AA)b=0

又,：a、匕不共線

k—A=0

.?.由平面向量的根本定理<n左=±1

1-U=O

1，平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與X軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底曲

平面向量的根本定理知，該平面內(nèi)的任一向量iz可表示成&=xi+切，由于。與數(shù)對(duì)(x,y)是---對(duì)應(yīng)

的，因此把(x,y)叫做向量。的坐標(biāo)，記作a=(x,y),其中x叫作。在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的

坐標(biāo)，

(1)相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量.

(2)向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有關(guān)，

2,平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

(1)假設(shè)a=(王，%)為=(￡,%)，那么a±Z>=(玉±%)

(2)假設(shè)4(/，⑦[夙/，％)，那么AB=(%2-4%一乂)

⑶假設(shè)。=(x,y),那么；I,=(4x,4y)

(4)假設(shè)a=(石，yj]=(九2，%)，那么a〃6o/%=0

(5)假設(shè)a=a，yJ,Z?=(尤2，%),那么=石-x2+y1-y2

假設(shè)。_1_人，那么%?%+%,為=0

3.向量的運(yùn)算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量(內(nèi)積)及其各運(yùn)算的坐標(biāo)表示和性質(zhì)

運(yùn)幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)

算

類

型

向1.平行四邊形法那么

a+}二(4+孫弘+%)a+b=b+a

量2.三角形法那么

的

(a+b)+c=a+(b+c)

加

法

AB+BC=AC

向三角形法那么

a-b=(x-x,y-y)Q—b=a+(—b)

量]2l2

的

減AB=-BA

法

OB-OA=AB

向然是一個(gè)向量，

Aa=(Ar,Ay)4())=(2//)5

量滿足：

的2>0時(shí)，質(zhì)與行同向；

(2+ju)a=Aa+/ja

乘4〈0時(shí)，液與力異向；

法

4二。時(shí)，法二A(a+b)=2a+2b

a//boa=2b

向

3?b是一個(gè)數(shù)a?b=砧+弘％5?b=b?a

量

的

a=6或6二。時(shí)，(海)?B=5?(%=加?B)

數(shù)

量

G?5二0

積

萬w0且5w0時(shí)，a2=|?|2.I?l=^9+y2

^?b=\a^b\cos<a,b>|d?B區(qū)|J||『|

例1向量。=(1,2),6=(%,1),"=4+2人，v=2a-b,S.u//v,求實(shí)數(shù)x的值.

解：因?yàn)閍=(1,2),Z?==a+2Z?,v=2a-b

所以M=(1,2)+2(%,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)—(x,1)=(2—x,3)

又因?yàn)镸〃丫

所以3(2x+l)—4(2—無)=0,即10x=5

解得x=L

2

例2點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),試用向量方法求直線AC和OB〔O為坐標(biāo)原點(diǎn))交點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：設(shè)尸(x,y),那么OP=(x,y),AP=(x—4,y)

因?yàn)镻是AC與06的交點(diǎn)

所以P在直線AC上，也在直線08上

即得OP〃O8,AP〃AC

由點(diǎn)4(4,0),8(4,4),C(2,6)得,AC=(-2,6),OB=(4,4)

6(%-4)+2丁=。

得方程組

4x-4y=0

解之得［x=3

b=3

故直線AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3)

三.平面向量的數(shù)量積

1兩個(gè)向量的數(shù)量積：

兩個(gè)非零向量。與匕，它們的夾角為。，那么a-b=\a\?\b\cos。

叫做。與6的數(shù)量積〔或內(nèi)積),規(guī)定0?a=0

2,向量的投影：|cos0=—eR,稱為向量b在。方向上的投影.投影的絕對(duì)值稱為射影'

\a\

3,數(shù)量積的幾何意義：a-b等于后的長(zhǎng)度與b在。方向上的投影的乘積，

4向量的模與平方的關(guān)系：a-a=q2=|a|2

5.乘法公式成立：

(a+))(a_))=a?-A?=同~-W；

6,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律：

①交換律成立：a-b=b-a

②對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立：(2a)-b=^a-b)=a?(例)(2eR)

③分配律成立：^d+b^-c=a-c+b-c=c-^a+b^

特別注意：⑴結(jié)合律不成立：a-(b-c^^^a-b^-c；

[2)消去律不成立。=a-c不能得到匕=<??

[3)a-b=0不能得到匕=6或〃=。

7兩個(gè)向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：

兩個(gè)向量a=(%,%),〃=(%,%)，那么。,b=xxx2+yxy2,

&向量的夾角：兩個(gè)非零向量&與b,作。4=a,。8=6,那么NA0B=6〔0°<夕<180°)叫做向量匕

與b的夾角.

cos^cos<a,b>=_

H-HmF?歷K

當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量〃與"同方向時(shí)，0=0°,當(dāng)且僅當(dāng)。與6反方向時(shí)0=180°,同時(shí)。與其它任何

非零向量之間不談夾角這一問題.

9,垂直：如果〃與b的夾角為90°那么稱〃與b垂直，記作a，》：

1(X兩個(gè)非零向量垂直的充要條件：

aLb<^a?b=0<^>xxx2+^y2=0.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)

例1判斷以下各命題正確與否：

⑴0-d=0；⑵0?〃=0；

⑶假設(shè)dw0,葭8=a?《，那么Z?=c；

⑷假設(shè)