高考數學平面向量知識點總結

高中數學必修4平面向量

知識點歸納：

L概念：

①向量：既有大小又有方向的量向量一般用萬，瓦1……來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母

表示，如：AB幾何表示法AB,a；坐標表示法萬=羽'+9=（x,y）.向量的大小即向量的模（長

度），記作|A3I即向量的大小，記作IjI.

向量不能比擬大小，但向量的?？梢员葦M大小.

②零向量：長度為0的向量，記為0,其方向是任意的，。與任意向量平行,零向量3=0OI?I=

0.由于0的方向是任意的，且規(guī)定。平行于任何向量，故在有關向量平行〔共線）的問題中務必看清楚

是否有“非零向量”這個條件.〔注意與0的區(qū)別）

③單位向量：模為1個單位長度的向量.

向量心為單位向量O|a0I=1.

④平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上.方向相

同或相反的向量，稱為平行向量.記作口〃3.由于向量可以進行任意的平移（即自由向量），平行向量總

可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量.

數學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現在必須區(qū)分清楚

共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平

行”是不一樣的.

⑤相等向量：長度相等且方向相同的向量,相等向量經過平移后總可以重合，記為彳=3.大小相等，方向

fx=%,

相同（%，%）=（%2，%）

[%=%

2.向量加法

求兩個向量和的運算叫做向量的加法.

設==那么5+b=AB+8C=AC

[1）O+a=a+Q=a；（2）向量加法滿足交換律與結合律；

向量加法有“三角形法那么”與"平行四邊形法那么〃：

（1）用平行四邊形法那么時，兩個向量是要共始點的，和向量是始點與向量的始點重合的那條對

角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量、

（2）三角形法那么的特點是“首尾相接〃，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向

線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點.

當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法那么；當兩向量是首尾連接時，用三角形法那么.向

量加法的三角形法那么可推廣至多個向量相加：

AB+BC+CD++PQ+QR=AR,但這時必須“首尾相連”.

3.向量的減法

①相反向量：與彳長度相等、方向相反的向量，叫做5的相反向量，

記作-蜃零向量的相反向量仍是零向量.

關于相反向量有：⑴-（-?）=a；（ii）a+（-a）=（-a）+a=6;

（iii）假設。B是互為相反向量，?^a=-b,b=-a,a+b=O

②向量減法：向量方加上B的相反向量叫做己與B的差，

記作：日-3=1+（-3）,求兩個向量差的運算，叫做向量的減法，

③作圖法：5-3可以表示為從B的終點指向）的終點的向量B有共同起點）.

4.實數與向量的積：

①實數人與向量5的積是一個向量，記作人方，它的長度與方向規(guī)定如下：

（I）]羽=風?同;

（II）當幾>0時，AG的方向與1的方向相同；當2<0時，入己的方向與1的方向相反；當2=0

時，Aa=0,方向是任意的,

②數乘向量滿足交換律、結合律與分配律得

5.兩個向量共線定理：

向量3與非零向量G共線O有且只有一個實數力,使得3=法.

6*平面向量的根本定理：

如果不,當是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量心有且只有一對實數

4，彳2使：a=21e1+22e2,其中不共線的向量不，尉叫做表示這一平面內所有向量的一組基底，

7一特別注意：

[1）向量的加法與減法是互逆運算’

[2）相等向量與平行向量有區(qū)別，向量平行是向量相等的必要條件.

[3）向量平行與直線平行有區(qū)別，直線平行不包括共線[即重合），而向量平行那么包括共線〔重合）

的情況.

[4）向量的坐標與表示該向量的有向線條的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關.

學習本章主要樹立數形轉化和結合的觀點，以數代形，以形觀數，用代數的運算處理幾何問題，特

別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的根本定理，計算向量的模、兩點的距離、

向量的夾角，判斷兩向量是否垂直等.由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數、數列、不等式、解

幾等結合起來進行綜合考查，是知識的交匯點.

例1給出以下命題：

①假設Ia1=1",那么a=b；

②假設4B,C,〃是不共線的四點，那么=DC是四邊形/頗為平行四邊形的充要條件；

③假設a=匕，b=c,那么a=工，

@a=b的充要條件是Ia|=|b\S.d//b；

⑤假設?！╞,b//c,那么?！╟,

其中正確的序號是.

解：①不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.

②正確.=...|43|=|。。|且4^〃。。，

又A,B,C,，是不共線的四點，.?.四邊形5為平行四邊形；反之，假設四邊形A6切為平行四

邊形，那么，AB〃OC且|A3|=|OC|,

因此，AB=DC.

③正確.a,b的長度相等且方向相同；

又b=c,：.b,c的長度相等且方向相同，

**.a,c的長度相等且方向相同，故。=4.

④不正確.當a//b且方向相反時，即使|。|二加|,也不能得到a=b,故Ia|=|b|且a/"不是。=b

的充要條件，而是必要不充分條件.

⑤不正確.考慮6=0這種特殊情況.

綜上所述，正確命題的序號是②③.

點評：本例主要復習向量的根本概念.向量的根本概念較多，因而容易遺忘.為此，復習一方面要構建

良好的知識結構，另一方面要善于與物理中、生活中的模型進行類比和聯想.

例2設力、B、aD、。是平面上的任意五點，試化簡：

?AB+BC+CD,@DB+AC+BD@-OA-OC+OB-CO

解：①原式:(AB+BC)+CD=AC+CD=AD

②原式++0+

③原式=(03-OA)+(-OC-CO)=AB-(OC+CO)=AB+0=AB

例3設非零向量a、b不共線，c=ka+b,d=a+kb(4eR),假設d〃d,試求上

解：?."〃1

由向量共線的充要條件得：C6d(AeR)

即kd+b=A(d+kb)；.(A-A)a+(1-AA)b=0

又,：a、匕不共線

k—A=0

.?.由平面向量的根本定理<n左=±1

1-U=O

1，平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與X軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底曲

平面向量的根本定理知，該平面內的任一向量iz可表示成&=xi+切，由于。與數對(x,y)是---對應

的，因此把(x,y)叫做向量。的坐標，記作a=(x,y),其中x叫作。在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的

坐標，

(1)相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量.

(2)向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關，

2,平面向量的坐標運算：

(1)假設a=(王，%)為=(￡,%)，那么a±Z>=(玉±%)

(2)假設4(/，⑦[夙/，％)，那么AB=(%2-4%一乂)

⑶假設。=(x,y),那么；I,=(4x,4y)

(4)假設a=(石，yj]=(九2，%)，那么a〃6o/%=0

(5)假設a=a，yJ,Z?=(尤2，%),那么=石-x2+y1-y2

假設。_1_人，那么%?%+%,為=0

3.向量的運算向量的加減法，數與向量的乘積，向量的數量(內積)及其各運算的坐標表示和性質

運幾何方法坐標方法運算性質

算

類

型

向1.平行四邊形法那么

a+}二(4+孫弘+%)a+b=b+a

量2.三角形法那么

的

(a+b)+c=a+(b+c)

加

法

AB+BC=AC

向三角形法那么

a-b=(x-x,y-y)Q—b=a+(—b)

量]2l2

的

減AB=-BA

法

OB-OA=AB

向然是一個向量，

Aa=(Ar,Ay)4())=(2//)5

量滿足：

的2>0時，質與行同向；

(2+ju)a=Aa+/ja

乘4〈0時，液與力異向；

法

4二。時，法二A(a+b)=2a+2b

a//boa=2b

向

3?b是一個數a?b=砧+弘％5?b=b?a

量

的

a=6或6二。時，(海)?B=5?(%=加?B)

數

量

G?5二0

積

萬w0且5w0時，a2=|?|2.I?l=^9+y2

^?b=\a^b\cos<a,b>|d?B區(qū)|J||『|

例1向量。=(1,2),6=(%,1),"=4+2人，v=2a-b,S.u//v,求實數x的值.

解：因為a=(1,2),Z?==a+2Z?,v=2a-b

所以M=(1,2)+2(%,1)=(2x+1,4),v=2(1,2)—(x,1)=(2—x,3)

又因為M〃丫

所以3(2x+l)—4(2—無)=0,即10x=5

解得x=L

2

例2點A(4,0),B(4,4),C(2,6),試用向量方法求直線AC和OB〔O為坐標原點)交點P的坐標.

解：設尸(x,y),那么OP=(x,y),AP=(x—4,y)

因為P是AC與06的交點

所以P在直線AC上，也在直線08上

即得OP〃O8,AP〃AC

由點4(4,0),8(4,4),C(2,6)得,AC=(-2,6),OB=(4,4)

6(%-4)+2丁=。

得方程組

4x-4y=0

解之得［x=3

b=3

故直線AC與OB的交點P的坐標為(3,3)

三.平面向量的數量積

1兩個向量的數量積：

兩個非零向量。與匕，它們的夾角為。，那么a-b=\a\?\b\cos。

叫做。與6的數量積〔或內積),規(guī)定0?a=0

2,向量的投影：|cos0=—eR,稱為向量b在。方向上的投影.投影的絕對值稱為射影'

\a\

3,數量積的幾何意義：a-b等于后的長度與b在。方向上的投影的乘積，

4向量的模與平方的關系：a-a=q2=|a|2

5.乘法公式成立：

(a+))(a_))=a?-A?=同~-W；

6,平面向量數量積的運算律：

①交換律成立：a-b=b-a

②對實數的結合律成立：(2a)-b=^a-b)=a?(例)(2eR)

③分配律成立：^d+b^-c=a-c+b-c=c-^a+b^

特別注意：⑴結合律不成立：a-(b-c^^^a-b^-c；

[2)消去律不成立。=a-c不能得到匕=<??

[3)a-b=0不能得到匕=6或〃=。

7兩個向量的數量積的坐標運算：

兩個向量a=(%,%),〃=(%,%)，那么。,b=xxx2+yxy2,

&向量的夾角：兩個非零向量&與b,作。4=a,。8=6,那么NA0B=6〔0°<夕<180°)叫做向量匕

與b的夾角.

cos^cos<a,b>=_

H-HmF?歷K

當且僅當兩個非零向量〃與"同方向時，0=0°,當且僅當。與6反方向時0=180°,同時。與其它任何

非零向量之間不談夾角這一問題.

9,垂直：如果〃與b的夾角為90°那么稱〃與b垂直，記作a，》：

1(X兩個非零向量垂直的充要條件：

aLb<^a?b=0<^>xxx2+^y2=0.平面向量數量積的性質

例1判斷以下各命題正確與否：

⑴0-d=0；⑵0?〃=0；

⑶假設dw0,葭8=a?《，那么Z?=c；

⑷假設