押湖南省卷 9題、15題、18題、24題（相交線與平行線、三角形、四邊形、圓）（解析版）

押湖南省通用卷9題、15題、18題、24題（相交線與平行線、三角形、四邊形、圓）押題方向一：相交線與平行線1．（2023?岳陽中考）已知AB∥CD，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)F，G在直線CD上，EG⊥EF于點(diǎn)E，∠AEF＝40°，則∠EGF的度數(shù)是（）A．40° B．45° C．50° D．60°解：∵EG⊥EF，∴∠FEG＝90°，∵∠AEF+∠FEG+∠BEG＝180°，∠AEF＝40°，∴∠BEG＝180°﹣∠AEF﹣∠FEG＝50°，∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠BEG＝50°．答案：C．2．（2023?永州中考）如圖，AB∥CD，BC∥ED，∠B＝80°，則∠D＝100度．解：∵AB∥CD，∠B＝80，∴∠BCD＝∠B＝80°，∵BC∥ED，∴∠D+∠BCD＝180°，∴∠D＝180°﹣∠BCD＝180°﹣80°＝100°．答案：100．3．如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點(diǎn)A，C，點(diǎn)B在直線b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，則∠2的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．50° D．70°解：如圖所示，∵直線a∥b，∴∠1＝∠DAC，∵∠1＝130°，∴∠DAC＝130°，又∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∴∠2＝∠DAC﹣∠BAC＝130°﹣90°＝40°．答案：B．4．如圖，點(diǎn)O在直線AB上，OC⊥OD．若∠AOC＝120°，則∠BOD的度數(shù)為30°．解：∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠AOC＝120°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，又∵OC⊥OD，∴∠COD＝90°，∴∠BOD＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，答案：30°．押題方向二：三角形5．（2023?衡陽中考）下列長度的各組線段能組成一個(gè)三角形的是（）A．1cm，2cm，3cm B．3cm，8cm，5cm C．4cm，5cm，10cm D．4cm，5cm，6cm解：A、∵1+2＝3，∴長度為1cm，2cm，3cm的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；B、∵3+5＝8，∴長度為3cm，8cm，5cm的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；C、∵4+5＜10，∴長度為4cm，5cm，10cm的三條線段不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；D、∵4+5＞6，∴長度為4cm，5cm，6cm的三條線段能組成三角形，本選項(xiàng)符合題意；答案：D．6．（2023?株洲中考）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm解：由圖可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∴CD=12AB＝3答案：B．7．（2023?常德中考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，延長DA至E，連接EB．EC．（1）求證：△BAE≌△CAE；（2）在如圖1中，若AE＝AD，其它條件不變得到圖2，在圖2中過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，設(shè)H是EC的中點(diǎn)，過點(diǎn)H作HG∥AB交FD于G，交DE于M．求證：①AF?MH＝AM?AE；②GF＝GD．證明：（1）∵AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD是BC的垂直平分線，又∵E在AD上，∴EB＝EC，在△BAE和△CAE中，AB=ACEB=EC∴△BAE≌△CAE（SSS）；（2）①連接AH，∵A，H分別是ED和EC的中點(diǎn)，∴AH為△EDC的中位線，∴AH∥DC，∴∠EAH＝∠EDC＝90°，又∵DF⊥AB，∴∠AFD＝90°，又∵HG∥AB，∴∠FAD＝∠AMH，∴△AFD∽△MAH，∴AFAM∴AF?MH＝AM?AD，∵AE＝AD，∴AF?MH＝AM?AE；②∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABD＝∠ADF＝∠AHM，∴∠AHM＝∠ACB，∴△AMH∽△DAC，∵A、H分別為ED和EC中點(diǎn)，∴AH為△EDC的中位線，∴AMAD∴AM=12AD，即M為∵AF∥GH，∴G為FD中點(diǎn)，∴GF＝GD．8．下列長度的三條線段，能組成三角形的是（）A．3，4，7 B．6，7，12 C．6，7，14 D．3，4，8解：A、∵3+4＝7，∴不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；B、∵6+7＞12，∴能組成三角形，本選項(xiàng)符合題意；C、∵6+7＜14，∴不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；D、∵3+4＜8，∴不能組成三角形，本選項(xiàng)不符合題意；答案：B．9．如圖，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中點(diǎn)，連接MC，MD，CD，若CD＝6，則△MCD的面積12．解：過M作ME⊥CD于E，∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝10，M是AB的中點(diǎn)，∴CM=12AB＝5，MD=∴CM＝DM，∵M(jìn)E⊥CD，CD＝6，∴CE＝DE＝3，由勾股定理得：EM=C∴△MCD的面積為：12答案：12．10．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)D在BC的延長線上，連接CE，求證：△ABD≌△ACE．（2）類比探究：如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D點(diǎn)在邊BC的延長線上，連接CE．請(qǐng)判斷：①∠ACE的度數(shù)為45°．②線段BC，CD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是BC+CD＝CE．（3）問題解決：在（2）中，如果AB＝AC=2，CD＝1，求線段DE（1）問題發(fā)現(xiàn)：證明：∵△ABC和△ADE是等邊三角形∴AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）類比探究：①∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，在△ACE與△ABD中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°，答案：45°；②∵△ACE≌△ABD，∴BD＝CE，∴BC+CD＝CE，答案：BC+CD＝CE；（3）問題解決：解：在（2）中，同（1）的方法可證：△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，在Rt△BAC中，AB=AC=2∴BC=A又∵CD＝1，由（2）得CE＝BC+CD＝3，在Rt△BAC中，DE=C則線段DE的長是10．押題方向三：四邊形11．（2023?永州中考）下列多邊形中，內(nèi)角和等于360°的是（）A．B．C．D．解：A．三角形的內(nèi)角和為180°，則A不符合題意；B．四邊形的內(nèi)角和為360°，則B符合題意；C．五邊形的內(nèi)角和為（5﹣2）×180°＝540°，則C不符合題意；D．六邊形的內(nèi)角和為（6﹣2）×180°＝720°，則D不符合題意；答案：B．12．（2023?株洲中考）如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，AD＝3，∠DAB的平分線AE交線段CD于點(diǎn)E，則EC＝2．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形；∴AD∥BC，DC＝AB．∴∠DEA＝∠EAB，∵∠DAB的平分線AE交DC于點(diǎn)E，∴∠EAB＝∠DAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴AD＝DE，∵AD＝3，AB＝5，∴EC＝DC﹣DE＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，答案：2．13．（2023?株洲中考）如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)H在線段CE上，連接BH，點(diǎn)G、F分別為BH、CH的中點(diǎn)．（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求線段BG的長度．（1）證明：∵點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G、F分別為BH、CH的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線，GF是△HBC的中位線，∴DE∥BC，DE=12BC，GF∥BC，GF=∴DE∥GF，DE＝GF，∴四邊形DEFG為平行四邊形；（2）解：∵四邊形DEFG為平行四邊形，∴DG＝EF＝2，∵DG⊥BH，∴∠DGB＝90°，∴BG=B即線段BG的長度為5．14．（2023?湘潭中考）如圖，菱形ABCD中，連接AC，BD，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為（）A．20° B．60° C．70° D．80°解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴∠DCA＝∠1＝20°，∴∠2＝90°﹣∠DCA＝70°，答案：C．15．（2023?張家界中考）如圖，已知點(diǎn)A，D，C，B在同一條直線上，且AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．（1）求證：AE∥BF；（2）若DF＝FC時(shí)，求證：四邊形DECF是菱形．證明：（1）∵AD＝BC，∴AD+CD＝BC+CD，∴AC＝BD，∵AE＝BF，CE＝DF，∴△AEC≌△BFD（SSS），∴∠A＝∠B，∴AE∥BF；（2）∵△AEC≌△BFD（SSS），∴∠ECA＝∠FDB，∴EC∥DF，∵EC＝DF，∴四邊形DECF是平行四邊形，∵DF＝FC，∴四邊形DECF是菱形．16．（2023?湘西州中考）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，AB＝8，AD＝DE＝10，則BF的長為25．解：∵四邊形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝DE＝10，∴∠ABC＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，BC＝AD＝10，∴CE=D∴BE＝BC﹣CE＝10﹣6＝4，∴AE=AB2∵點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，∴BF=12AE=12×答案：25．17．（2023?常德中考）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為AO，DO上的一點(diǎn)，且EF∥AD，連接AF，DE．若∠FAC＝15°，則∠AED的度數(shù)為（）A．80° B．90° C．105° D．115°解：∵四邊形ABCD為正方形，∴OA＝OD，∠OBC＝∠OCB＝∠OAD＝∠ODA＝45°，∵EF∥BC，∴∠OEF＝∠OCB＝45°，∠OFE＝∠OBC＝45°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°，∴∠AEF＝∠DFE＝135°，OE＝OF，∵OA＝OD，∴AE＝DF，在△AEF和△DFE中，AE＝DF，∠AEF＝∠DFE＝135°，EF＝FE，∴△AEF≌△DFE（SAS），∴∠CAF＝∠FDE＝15°，∴∠ADE＝∠ODA﹣∠FDE＝45°﹣15°＝30°，∴∠AED＝180°﹣∠OAD﹣∠ADE＝180°﹣45°﹣30°＝105°．答案：C．18．（2023?郴州中考）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)E，使CE＝AD，連接DE交射線AC于點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，猜測線段CF與BD的數(shù)量關(guān)系并說明理由；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長線上時(shí)，①線段CF與BD的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請(qǐng)說明理由；②如圖3，連接AE．設(shè)AB＝4，若∠AEB＝∠DEB，求四邊形BDFC的面積．解：（1）CF=1如圖，過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC于點(diǎn)G，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG為等邊三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，AB﹣AD＝AC﹣AG，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝GF=12CG=（2）①成立，理由如下：如圖2，過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC的延長線于點(diǎn)G，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠ABC＝60°，∠AGD＝∠ACB＝60°，∠GDF＝∠CEF，∴△ADG是等邊三角形，∴AD＝AG＝DG，∵AD＝CE，AD﹣AB＝AG﹣AC，∴DG＝CE，BD＝CG，又∠DFG＝∠CFE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴CF＝FG=12CG=②如圖，過點(diǎn)D作DG∥BC，交AC的延長線于點(diǎn)G，過點(diǎn)A作AN⊥DG，交BC于點(diǎn)H，交DE于點(diǎn)N，則：AN⊥BC，由①知：△ADG為等邊三角形，△DGF≌△ECF（AAS），∴CF=FG=1∵△ABC為等邊三角形，AB=AC=BC=4，BH=CH=12BC=2∵∠AEB＝∠DEB，EH＝EH，∠AHE＝∠MHE＝90°，∴△AEH≌△MEH（ASA），∴MH=AH=23，AM=2AH=4∵△DGF≌△ECF，∴∠CEF＝∠MDN，DG＝CE，∴∠AEH＝∠MDN，∴tan∠AEH＝tan∠MDN，∴AHEH設(shè)MN＝y(tǒng)，DG＝CE＝x，則：EH＝CE+CH＝2+x，DN=1∴23x+2∵DG∥BC，∴△ABC∽△ADG，∴BCDG即：4x聯(lián)立①②可得：x=42經(jīng)檢驗(yàn)x=42∴DG=CE=42+4，DN=22∴AN=26∴S△ACE=12CE?AH=12×（42+4）×2∴S△ACE∴S△CEF=22（46+43）＝4∴四邊形BDFC的面積＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△DFG＝S△ADG﹣S△ABC﹣S△CEF=119．（2023?衡陽中考）

[問題探究]（1）如圖1，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O．在線段AO上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接PD、PB．①求證：PD＝PB；②將線段DP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在BA的延長線上的點(diǎn)Q處．當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上的位置發(fā)生變化時(shí)，∠DPQ的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；③探究AQ與OP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．[遷移探究]（2）如圖2，將正方形ABCD換成菱形ABCD，且∠ABC＝60°，其他條件不變．試探究AQ與CP的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝CB，∠DCA＝∠BCA＝45°．∵CP＝CP，∴△DCP≌△BCP，∴PD＝PB；②解：∠DPQ的大小不發(fā)生變化，∠DPQ＝90°；理由：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分別為點(diǎn)M、N，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∠DAB＝90°，∴四邊形AMPN是矩形，PM＝PN，∴∠MPN＝90°．.∵PD＝PQ，PM＝PN，∴Rt△DPN≌Rt△QPM（HL），∴∠DPN＝∠QPM，∴∠QPN+∠QPM＝90°．∴∠QPN+∠DPN＝90°，即∠DPQ＝90°；③解：AQ=2OP理由：作PE⊥AO交AB于點(diǎn)E，作EF⊥OB于點(diǎn)F，如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∠AOB＝90°，∴∠AEP＝45°，四邊形OPEF是矩形，∴∠PAE＝∠PEA＝45°，EF＝OP，∴PA＝PE，∵PD＝PB，PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PM⊥AE于點(diǎn)M，則QM＝BM，AM＝EM，∴AQ＝BE，∵∠EFB＝90°，∠EBF＝45°，∴BE=EFsin45°∴AQ=2OP（2）解：AQ＝CP；理由：四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，∴AB＝BC，AC⊥BD，DO＝BO，∴△ABC是等邊三角形，AC垂直平分BD，∴∠BAC＝60°，PD＝PB，∵PD＝PQ，∴PQ＝PB，作PE∥BC交AB于點(diǎn)E，EG∥AC交BC于點(diǎn)G，如圖，則四邊形PEGC是平行四邊形，∠GEB＝∠BAC＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，∴EG＝PC，△APE，△BEG都是等邊三角形，∴BE＝EG＝PC，作PM⊥AB于點(diǎn)M，則QM＝MB，AM＝EM，∴QA＝BE，∴AQ＝CP．20．若一個(gè)正多邊形的一個(gè)外角是45°，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）A．10 B．9 C．8 D．6解：∵多邊形外角和＝360°，∴這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是360°÷45°＝8．答案：C．21．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．若∠BAD＝130°，則∠EAF＝50°．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠C＝∠BAD＝130°，∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，∴∠EAF＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°；答案：50°．22．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90o，D是AB上一點(diǎn)，CD＝BC，過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CE∥AB交DF的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：四邊形DBCE是平行四邊形．（2）若BD＝6，sinA=13，求（1）證明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝90°，∵∠C＝90o，∴∠DFA＝∠C，∴BC∥DF，∵CE∥AB，∴四邊形BDCE是平行四邊形；（2）解：∵CE∥AB，∴∠A＝∠ACE，∵四邊形BDCE是平行四邊形，∴CE＝BD＝6，∵sinA=1∴sin∠ACE=EF∴EF＝2，設(shè)CD＝DE＝BC＝x，則DF＝x﹣2，∵CD2﹣DF2＝CE2﹣EF2，∴x2﹣（x﹣2）2＝32，解得x＝9，∴DE＝9．23．如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，∠CAD＝25°，則∠DHO的度數(shù)是（）A．25° B．30° C．35° D．40°解：∵四邊形ABCD是菱形，∴BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，∴∠ABD＝90°﹣∠BAO＝65°，∵DH⊥AB，BO＝DO，∴∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°，HO=12BD＝∴∠DHO＝∠BDH＝25°，答案：A．24．如圖，已知△ABC，D是AC的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥BA交ED的延長線于點(diǎn)F，連接CE，AF．（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）若AE＝4，BE＝6，∠BAC＝30°，求△ABC的面積．（1）證明：∵D是AC的中點(diǎn)，DE⊥AC，∴AE＝CE，AD＝CD，∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，在△AED與△CFD中，∠EAC=∠FCA∠CFD=∠AED∴△AED≌△CFD（AAS），∴AE＝CF，∵EF為線段AC的垂直平分線，∴FC＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四邊形AECF為菱形；（2）解：過C作CH⊥AB于H，∵四邊形AECF為菱形，∴AE＝CE＝4，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠CEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，∴CH=32CE＝2∴△ABC的面積=125．如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6．在邊AD上取一點(diǎn)E，使BE＝BC，過點(diǎn)C作CF⊥BE，垂足為點(diǎn)F，則BF的長為25解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC，∵CF⊥BE，∴∠CFB＝90°，∴∠CFB＝∠A，在△ABE和△FCB中，∠A=∠CFB∠AEB=∠FBC∴△ABE≌△FCB（AAS），∴FC＝AB＝4，∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6，在Rt△FCB中，由勾股定理得BF=B答案：2526．如圖，在正方形ABCD中，以AB為邊在正方形ABCD內(nèi)作等邊△ABE，連接DE，CE，則∠CED的大小是（）A．160° B．155° C．150° D．145°解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°．∵△ABE為正三角形，∴∠BAE＝60°，∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣60°＝30°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝（180°﹣30°）÷2＝75°．∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°．同理可得∠ECD＝15°．∴∠CED＝180°﹣2×15°＝150°．答案：C．27．有公共頂點(diǎn)A的正方形ABCD與正方形AEGF按如圖1所示放置，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB和AD上，連接DE，BF，點(diǎn)M是BF的中點(diǎn)，連接AM交ED于點(diǎn)N．【觀察猜想】（1）線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝2AM，位置關(guān)系是DE⊥AM；【探究證明】（2）將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o，線段DE與AM之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？并說明理由．（3）若正方形ABCD的邊長為m，將其沿EF翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好落在BC邊上，DG+DH有最小值嗎？有的話求出最小值，沒有的話請(qǐng)說明理由．解：（1）∵四邊形ABCD和四邊形AEGF都是正方形，∴AD＝AB，AE＝AF，∠DAE＝∠BAF＝90°，∴△DAE≌△BAF（SAS），∴DE＝BF，∠ADE＝∠ABF，∵M(jìn)是BF的中點(diǎn)，∴AM=12∴BF＝2AM，∴DE＝2AM；∵BM=12∴AM＝BM，∴∠MAB＝∠ABF，∴∠MAB＝∠ADE，∴∠MAB+∠AEN＝∠ADE+∠AEN＝90°，∴∠ANE＝90°，∴DE⊥AM，答案：DE＝2AM，DE⊥AM；（2）成立，理由如下：如圖2，延長AM到點(diǎn)H，使HM＝AM，連接BH，則AH＝2AM，∵∠BMH＝∠FMA，BM＝FM，∴△HMB≌△AMF（SAS），∴∠MBH＝∠MFA，BH＝AF＝AE，∴BH∥AF，∵AF＝GF，∠AFG＝90°，∴∠FAG＝∠FGA＝45°，∴∠ABH＝180°﹣∠FAG＝135°，同理∠EAG＝∠EGA＝45°，∴∠DAE＝45°+90°＝135°，∴∠ABH＝∠DAE，∵AB＝AD，∴△ABH≌△DAE（SAS），∴DE＝AH＝2AM，∠BAH＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAN＝∠BAH+∠DAN＝∠BAD＝90°，∴∠AND＝90°，∴DE⊥AM；（3）如圖3，延長DC到點(diǎn)K，使CK＝CD，連接AK交BC于點(diǎn)L，連接KG、GA，∵∠BCD＝90°，∴BC⊥DK，∵BC垂直平分DK，∴KG＝DG，由翻折得AD＝HG，∠ADG＝∠HGD，∵DG＝GD，∴△ADG≌△HGD（SAS），∴GA＝DH，∴DG+DH＝KG+GA，∵KG+GA≥AK，∴DG+DH≥AK，∴當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)L重合時(shí)，KG+GA＝AK，此時(shí)KG+GA的值最小，∴DG+DH＝AK的值也最小，∵∠ADK＝90°，AD＝m，DK＝2CD＝2m，∴AK=AD∴DG+DH的最小值為5m．28．綜合與實(shí)踐問題情境：在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，OE⊥AC交BC于點(diǎn)E，連接AE，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，直接寫出∠OBF和∠ACB的數(shù)量關(guān)系：∠OBF＝∠ACB；探究拓展：（2）勤奮小組的同學(xué)們在射線FB上任取一點(diǎn)P，將射線OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得射線OQ，使∠POQ＝∠AEC，與射線BC交于點(diǎn)Q．在如圖2中，猜想并證明線段OP與線段OQ之間的數(shù)量關(guān)系．探究拓廣：（3）在（2）的條件下，若∠ACB＝30°，AB=3，當(dāng)∠COQ＝15°時(shí)，直接寫出FP解：（1）∠OBF＝∠ACB，證明：如圖1中，連接OF．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OC，∵OE⊥AC，∴EA＝EC，∵OB＝OC，∴∠ACB＝∠OBC，∵∠ABC＝90°，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，∴BF=12EA=∵OA＝OC，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，∴OF∥BC，OF=12∴OF＝BF，∠BOF＝∠OBC，∴∠OBF＝∠BOF，∴∠OBF＝∠OBC＝∠ACB，答案：∠OBF＝∠ACB；（2）OP＝OQ，證明：如圖2中，∵OC＝OB，EA＝EC，∴∠ACB＝∠OBC＝∠CAE，∴∠COB＝∠AEC，∵∠POQ＝∠AEC，∴∠COB＝∠POQ，∴∠BOP＝∠COQ，∵∠OBF＝∠ACB，∴∠PBO＝∠QCO，∵OB＝OC，∴△BOP≌△COQ（ASA），∴OP＝OQ．（3）如圖2中，當(dāng)點(diǎn)Q在BC的延長線上時(shí)，∵∠ACB＝30°＝∠COQ+∠Q，∠COQ＝15°，∴∠COQ＝∠Q＝15°，∴OC＝CQ=12AC＝AB∵△BOP≌△COQ，∴BP＝CQ=3在Rt△ABE中，AB=3，∠AEB＝2∠ACB∴AE＝2，∵F是AE的中點(diǎn)，∴BF=12∴FP＝BF+BP＝1+3如圖3中，當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上時(shí)，作OH⊥BC于H．∵∠COQ＝15°，∠ACB＝30°，∴∠OQH＝15°+30°＝45°，∴OH＝HQ=12AB∴CH=3∴BP＝CQ=3?∵BF＝1，∴FP＝BF﹣BP＝1?3?綜上所述，F(xiàn)P的長度為1+3或3押題方向四：圓29．（2023?常德中考）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖，AB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是弦AB的中點(diǎn)，D在AB上，CD⊥AB．“會(huì)圓術(shù)”給出AB長l的近似值s計(jì)算公式：s=AB+CD2OA，當(dāng)OA＝2，∠AOB＝90°時(shí)，|l﹣解：如圖，連接OC，∵AO＝2，∠AOB＝90°，∴OB＝2，AB＝22，∵C是弦AB的中點(diǎn)，D在AB上，CD⊥AB，∴CO⊥AB，即D、C、O共線，∴CO=2，CD＝2?∵s=AB+C∴s＝22+∵l＝2π×2×90∴|l﹣s|≈0.1答案：0.1．30．（2023?株洲中考）如圖所示，點(diǎn)A、B、C是O上不同的三點(diǎn)，點(diǎn)O在△ABC的內(nèi)部，連接BO、CO，并延長線段BO交線段AC于點(diǎn)D．若∠A＝60°，∠OCD＝40°，則∠ODC＝80度．解：在⊙O中，∠BOC＝2∠A＝2×60°＝120°，∴∠ODC＝∠BOC﹣∠OCD＝120°﹣40°＝80°．答案：80．31．（2023?張家界中考）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點(diǎn)，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若AD＝10，cosB=35，求（1）證明：連接OC，∵AD是⊙O的直徑，∴∠ACD＝90°，∴∠ADC+∠CAD＝90°，又∵OC＝OD，∴∠ADC＝∠OCD，又∵∠DCF＝∠CAD．∴∠DCF+∠OCD＝90°，即OC⊥FC，∴FC是⊙O的切線；（2）解：∵∠B＝∠ADC，cosB=3∴cos∠ADC=3在Rt△ACD中，∵cos∠ADC=35=∴CD＝AD?cos∠ADC＝10×3∴AC=A∴CDAC∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，∴△FCD∽△FAC，∴CDAC設(shè)FD＝3x，則FC＝4x，AF＝3x+10，又∵FC2＝FD?FA，即（4x）2＝3x（3x+10），解得x=30∴FD＝3x=9032．（2023?湘潭中考）如圖，圓錐底面圓的半徑為4，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖中AA′的長為（）A．4π B．6π C．8π D．16π解：這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖中AA′的長為2π×4＝8π．答案：C．33．（2023?永州中考）如圖，以AB為直徑的⊙O是△ABC的外接圓，延長BC到點(diǎn)D．使得∠BAC＝∠BDA，點(diǎn)E在DA的延長線上，點(diǎn)M在線段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．（1）求證：ED是⊙O的切線；（2）若AC=6，BD＝5，AC＞CD，求BC（3）若DE?AM＝AC?AD，求證：BM⊥CE．（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠BAC＝∠BDA，∴∠BDA+∠ABC＝90°，∴∠BAD＝90°，∴ED是⊙O的切線；（2）解：∵∠BAC＝∠BDA，∠ACB＝∠DCA＝90°，∴△ACB∽△DCA，∴BCAC∴BC6解得BC＝2或BC＝3，當(dāng)BC＝2時(shí)，CD＝BD﹣BC＝3，當(dāng)BC＝3時(shí)，CD＝BD﹣BC＝2，∵AC＞CD，即6＞CD∴BC＝3；（3）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝∠DCA＝90°，∵∠BAC＝∠BDA，∴△ABC∽△DAC，∴ACDC∴AC?AD＝CD?AB，∵DE?AM＝AC?AD，∴DE．AM＝CD?AB，∴AMDC∵∠BAM+∠CAD＝∠CDE+∠CAD＝90°，∴∠BAM＝∠CDE，∴△AMB∽△DCE，∴∠E＝∠ABM，∵∠EGA＝∠BGN，∴∠EGA+∠E＝∠ABM+∠BGN＝90°，∴∠BNG＝90°，∴BM⊥CE．34．把半徑為5cm的球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，若CD＝8cm，則EF的長為（）A．8cm B．7cm C．5cm D．4cm解：如圖，設(shè)球心為O，過O作MN⊥AD交AD于M，交BC于N，連接OF，由題意可知ABCD是矩形，ON＝OF＝5cm，∵CD＝8cm，∴MN＝8cm，∴OM＝MN﹣ON＝8﹣5＝3（cm），∵M(jìn)N⊥AD，∴∠OMF＝90°，EF＝2FM，∴MF=O∴EF＝2FM＝8cm，答案：A．35．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作CD⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接AC，BD，過點(diǎn)C作CF⊥BD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)G，若CD＝8，OG＝1，則⊙O的半徑為（A．4 B．133 C．265解：如圖，連接CO，∵AB⊥CD，∴∠BED＝90°，∴∠B+∠D＝90°，∵CF⊥BD，∴∠BFG＝90°，∴∠B+∠BGF＝90°，∴∠BGF＝∠D，∵∠BGF＝∠AGC，∴∠AGC＝∠D，∵BC=∴∠A＝∠D，∴∠A＝∠AGC，∴AC＝GC，又∵AB⊥CD，∴AE＝GE，∵CD⊥AB，CD＝8，∴CE=1設(shè)OE的長為x，則AE＝GE＝x+1，∴AO＝AE+OE＝2x+1，∴CO＝AO＝2x+1，在Rt△OCE中，OE2+CE2＝CO2，42+x2＝（2x+1）2，16+x2＝4x2+4x+1，3x2+4x﹣15＝0，（3x﹣5）（x+3）＝0，3x﹣5＝0或x+3＝0，解得：x1∴CO=2x+1=13∴⊙O的半徑為133答案：B．36．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，∠ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB，交CB的延長線于點(diǎn)E．（1）求證：ED是⊙O的切線；（2）若AC＝92，BC＝32，求CD的長．（1）證明：連接OD，如圖，∵CD是∠ACB的平分線，∴∠ACD＝∠BCD，∴∠AOD＝∠BOD，∵AB為⊙O的直徑