甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)蘭州第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題含解析

甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)蘭州第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)為直線，是兩個(gè)不同的平面，下列說法中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則2．若三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，且三棱錐的體積為，則球的體積為()A． B． C． D．3．《趣味數(shù)學(xué)·屠夫列傳》中有如下問題：“戴氏善屠，日益功倍。初日屠五兩，今三十日屠訖，問共屠幾何？”其意思為：“有一個(gè)姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5兩肉，共屠了30天，問一共屠了多少兩肉？”（）A． B． C． D．4．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為()A．(kπ﹣，kπ]，(k∈Z) B．(kπ﹣，kπ]，(k∈Z)C．(kπ﹣，kπ+]，(k∈Z) D．(kπ+，kπ+]，(k∈Z)5．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A． B． C． D．6．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A．向左平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位C．向左平移個(gè)單位 D．向右平移個(gè)單位7．已知中，，則角（）A．60°或120° B．30°或90° C．30° D．90°8．在△ABC中，a=3，b=5，sinA=13A．15 B．59 C．9．設(shè)向量,若,則實(shí)數(shù)的值為()A．1 B．2 C．3 D．410．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則公差________.12．如圖所示，在正三棱柱中，是的中點(diǎn)，,則異面直線與所成的角為____.13．已知滿足約束條件，則的最大值為__________．14．已知四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，為球的直徑，，四面體的體積最大值為____15．已知方程的兩根分別為、、且，且__________．16．在中，，，，則的面積等于______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，其外接圓為圓．（1）求圓的方程；（2）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（3）對(duì)于線段上的任意一點(diǎn)，若在以為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)，，使得點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求圓的半徑的取值范圍．18．如圖，在四邊形中，已知，，，，設(shè)．（1）求（用表示）；（2）求的最小值.（結(jié)果精確到米）19．在中，角所對(duì)的邊分別為．（1）若，求角的大??；（2）若是邊上的中線，求證：．20．己知，，若．（Ⅰ）求的最大值和對(duì)稱軸；（Ⅱ）討論在上的單調(diào)性．21．在中,為上的點(diǎn),為上的點(diǎn),且.（1）求的長;（2）若,求的余弦值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

畫出長方體，按照選項(xiàng)的內(nèi)容在長方體中找到相應(yīng)的情況，即可得到答案【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，在長方體中，任何一條棱都和它相對(duì)的兩個(gè)平面平行，但這兩個(gè)平面相交，所以A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，若，分別是長方體的上、下底面，在下底面所在平面中任選一條直線，都有，但，所以B不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，在長方體中，令下底面為，左邊側(cè)面為，此時(shí)，在右邊側(cè)面中取一條對(duì)角線，則，但與不垂直，所以D不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)平面，且，因?yàn)?，所以，又，所以，又，所以，所以C正確.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，屬于簡單題2、A【解析】

由的體積計(jì)算得高，已知將三棱錐的外接球，轉(zhuǎn)化為長2，寬2，高的長方體的外接球，求出半徑，可得答案．【詳解】∵，，故三棱錐的底面面積為，由平面，得，又三棱錐的體積為，得，所以三棱錐的外接球，相當(dāng)于長2，寬2，高的長方體的外接球，故球半徑，得，故外接球的體積.故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐外接球的體積，三棱錐體積公式的應(yīng)用，根據(jù)已知計(jì)算出球的半徑是解答的關(guān)鍵，屬于中檔題．3、D【解析】

根據(jù)題意，得到該屠戶每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，由題中熟記，以及等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，該屠戶每天屠的肉成等比數(shù)列，記首項(xiàng)為，公比為，前項(xiàng)和為，所以，，因此.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的應(yīng)用，熟記等比數(shù)列的求和公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.4、C【解析】

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的減區(qū)間，即為的增區(qū)間，且，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的減區(qū)間，即的增區(qū)間，且，則，得，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列片斷和的性質(zhì)得出、、、成等差數(shù)列，并將和都用表示，可得出的值．【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，若數(shù)列為等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列；又，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，則，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列片斷和的性質(zhì)，再利用片斷和的性質(zhì)時(shí)，要注意下標(biāo)之間的倍數(shù)關(guān)系，結(jié)合性質(zhì)進(jìn)行求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．6、D【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換可直接得到圖象變換的過程.【詳解】因?yàn)?，所以向右平移個(gè)單位即可得到的圖象.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象的平移變換，難度較易.注意左右平移時(shí)對(duì)應(yīng)的規(guī)律：左加右減.7、B【解析】

由正弦定理求得，再求．【詳解】由正弦定理，∴，或，時(shí)，，時(shí)，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，在用正弦定理解三角形時(shí)，可能會(huì)出現(xiàn)兩解，一定要注意．8、B【解析】試題分析：由正弦定理得31考點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用9、B【解析】

首先求出的坐標(biāo)，再根據(jù)平面向量共線定理解答.【詳解】解：,因?yàn)?所以,解得.故選：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

利用等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由于，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和，難度不大.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，∵，，∴，解得＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．12、【解析】

要求兩條異面直線所成的角，需要通過見中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，找出邊的中點(diǎn)，連接出中位線，得到平行，從而得到兩條異面直線所成的角，得到角以后，再在三角形中求出角．【詳解】取的中點(diǎn)E,連AE,,易證，∴為異面直線與所成角，設(shè)等邊三角形邊長為，易算得∴在∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角，本題是一個(gè)典型的異面直線所成的角的問題，解答時(shí)也是應(yīng)用典型的見中點(diǎn)找中點(diǎn)的方法，注意求角的三個(gè)環(huán)節(jié)，一畫，二證，三求．13、57【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，觀察直線在軸的截距取最大值時(shí)的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)可得出目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過可行域的頂點(diǎn)時(shí)，該直線在軸上的截距取最大值，此時(shí)，取最大值，即，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題，一般利用平移直線結(jié)合在坐標(biāo)軸上的截距取最值時(shí)，找最優(yōu)解求解，考查數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，屬于中等題．14、2【解析】

為球的直徑，可知與均為直角三角形，求出點(diǎn)到直線的距離為，可知點(diǎn)在球上的運(yùn)動(dòng)軌跡為小圓.【詳解】如圖所示，四面體內(nèi)接于球，為球的直徑，，，，過作于，，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的小圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)面面時(shí)，四面體的體積達(dá)到最大，.【點(diǎn)睛】立體幾何中求最值問題，核心通過直觀想象，找到幾何體是如何變化的？本題求解的突破口在于找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力.15、【解析】

由韋達(dá)定理和兩角和的正切公式可得，進(jìn)一步縮小角的范圍可得，進(jìn)而可求．【詳解】方程兩根、，，，，又，，，，，，，結(jié)合，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，涉及韋達(dá)定理，屬中檔題．16、【解析】

先用余弦定理求得，從而得到，再利用正弦定理三角形面積公式求解.【詳解】因?yàn)樵谥?，，，由余弦定理得，所以由正弦定理得故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或（3）【解析】

試題分析：(1)借助題設(shè)條件直接求解；(2)借助題設(shè)待定直線的斜率,再運(yùn)用直線的點(diǎn)斜式方程求解；(3)借助題設(shè)建立關(guān)于的不等式,運(yùn)用分析推證的方法進(jìn)行求解.試題解析：（1）的面積為2；（2）線段的垂直平分線方程為，線段的垂直平分線方程為，所以外接圓圓心，半徑，圓的方程為，設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為2，所以.當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，顯然符合題意，即為所求；當(dāng)直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，綜上，直線的方程為或.（3）直線的方程為，設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，又，都在半徑為的圓上，所以因?yàn)殛P(guān)于，的方程組有解，即以為圓心，為半徑的圓與以為圓心，為半徑的圓有公共點(diǎn)，所以，又，所以對(duì)成立.而在上的值域?yàn)?，所以?又線段與圓無公共點(diǎn)，所以對(duì)成立，即.故圓的半徑的取值范圍為.考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用．18、（1）；（2）米【解析】

（1）在中，由正弦定理，求得，再在中，利用正弦定理，即可求得的表達(dá)式；（2）在中，由正弦定理，求得，進(jìn)而可得到，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）由題意，在中，，由正弦定理，可得，即，在中，，由正弦定理，可得，即，（2）在中，由正弦定理，可得，即所以因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)，取得最小值最小值約為米.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解決三角形的邊角關(guān)系，熟練掌握定理、合理運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．通常當(dāng)涉及兩邊及其中一邊的對(duì)角或兩角及其中一角對(duì)邊時(shí)，運(yùn)用正弦定理求解；當(dāng)涉及三邊或兩邊及其夾角時(shí)，運(yùn)用余弦定理求解.19、（1）；（2）見解析【解析】

（1）已知三邊的關(guān)系且有平方，考慮化簡式子構(gòu)成余弦定理即可。（2）觀察結(jié)論形似余弦定理，通過，則互補(bǔ)，則余弦值互為相反數(shù)聯(lián)系?！驹斀狻浚?）∵，∴∴由余弦定理，得，∴∵，∴，∵，∴（2）設(shè)，，則在中，由余弦定理，得在中，同理，得∵，∴，∵，∴，∴【點(diǎn)睛】解三角形要注意觀察題干條件所給的形式，出現(xiàn)邊長平方一般會(huì)考慮用到余弦定理。正弦定理和余弦定理是我們解三角形的兩大常用工具，需要熟練運(yùn)用。20、(1);，(2)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)減.【解析】

(1)先由題意得到，再化簡整理，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）所以最大值為，由，，所以對(duì)稱軸，（2）當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增