《8.3 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積》考點(diǎn)講解復(fù)習(xí)與同步訓(xùn)練

《8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積》考點(diǎn)講解【思維導(dǎo)圖】考法一多面體表面積【例1】（1）已知正六棱柱的高為，底面邊長(zhǎng)為，則它的表面積為（）A． B．C． D．（2）已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為和，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為（）.A． B． C． D．【一隅三反】1．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是，則這個(gè)正四棱柱的表面積為()A． B． C． D．2．棱長(zhǎng)為的正四面體的表面積為（）A． B． C． D．3．正三棱錐底面邊長(zhǎng)為，高為，則此正三棱錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．考法二多面體臺(tái)體積【例2】底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱柱的體積是（）A． B．1 C． D．【一隅三反】1．如圖，已知高為3的棱柱的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．2．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都等于2，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．83．已知棱長(zhǎng)均為4，底面為正方形的四棱錐如圖所示，求它的體積.4．如圖，正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3.（1）求正三棱錐的表面積；（2）求正三棱錐的體積.考法三旋轉(zhuǎn)體的表面積【例3】若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的母線長(zhǎng)為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【一隅三反】1．一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比值是（）A． B． C． D．2把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）A．10 B． C． D．3．一個(gè)圓柱內(nèi)接于一個(gè)底面半徑為2，高為4的圓錐，則內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值是（）A． B． C． D．考法四旋轉(zhuǎn)體的體積【例4】已知圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面周長(zhǎng)為，則它的體積為（）A． B． C． D．【一隅三反】1．將半徑為，圓心角為的扇形作為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．2．古代將圓臺(tái)稱為“圓亭”，《九章算術(shù)》中“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，問積幾何？”即一圓臺(tái)形建筑物，下底周長(zhǎng)丈，上底周長(zhǎng)丈，高丈，則它的體積為（）A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈3．已知圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為（）A．3 B． C．9 D．考法五球【例5】（1）已知一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則球的表面積與這個(gè)正方體的表面積之比為（）A． B． C． D．（2）．已知一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，且這個(gè)正三棱錐的所有棱長(zhǎng)都為，求這個(gè)球的表面積（）A． B． C． D．【一隅三反】1．若一個(gè)球的直徑為2，則此球的表面積為（）A． B． C． D．2．棱長(zhǎng)為的正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．3．已知一個(gè)正方體的體積為8，求此正方體內(nèi)切球的表面積為（）A． B． C． D．4.將一個(gè)棱長(zhǎng)為3cm的正方體鐵塊磨成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（）A． B． C． D．考法六組合體的體積表面積【例6】如圖，一個(gè)無(wú)蓋的器皿是由棱長(zhǎng)為3的正方體木料從頂部挖掉一個(gè)直徑為2的半球而成（半球的底面圓在正方體的上底面，球心為上底面的中心），則該器皿的表面積為（）A．54 B． C． D．【一隅三反】1．某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長(zhǎng)方體.正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為（）A．20 B． C．16 D．2．魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國(guó)建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝.如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長(zhǎng)均為2，則該魯班鎖的表面積為（）A． B． C． D．3．如圖所示，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子高_(dá)______．《8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積》考點(diǎn)講解答案解析考法一多面體表面積【例1】（1）已知正六棱柱的高為，底面邊長(zhǎng)為，則它的表面積為（）A． B．C． D．（2）已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為和，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為（）.A． B． C． D．【答案】（1）A（2）B【解析】（1）由題知側(cè)面積為，兩底面積之和為，所以表面積.故選：A.（2）由題意可知，該棱臺(tái)的側(cè)面為上下底邊長(zhǎng)為和，腰長(zhǎng)為的等腰梯形等腰梯形的高為：等腰梯形的面積為：棱臺(tái)的側(cè)面積為：本題正確選項(xiàng)：【一隅三反】1．已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是，則這個(gè)正四棱柱的表面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意側(cè)棱長(zhǎng)為．所以表面積為：．故選：A.2．棱長(zhǎng)為的正四面體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖由正四面體的概念可知，其四個(gè)面均是全等的等邊三角形，由其棱長(zhǎng)為1，所以，所以可知：正四面體的表面積為，故選：A3．正三棱錐底面邊長(zhǎng)為，高為，則此正三棱錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榈酌嬲切沃懈邽?，其重心到頂點(diǎn)距離為，且棱錐高，所以利用直角三角形勾股定理可得側(cè)棱長(zhǎng)為，斜高為，所以側(cè)面積為.選A.考法二多面體臺(tái)體積【例2】底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱柱的體積是（）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱柱的體積是故選：A【一隅三反】1．如圖，已知高為3的棱柱的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】三棱錐的體積為：故選：C2．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都等于2，則該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．8【答案】C【解析】∵正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都等于2，∴該四棱錐的體積.故選：C.3．已知棱長(zhǎng)均為4，底面為正方形的四棱錐如圖所示，求它的體積.【答案】【解析】如圖所示：連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接SO，因?yàn)樗睦忮F的棱長(zhǎng)均為4，所以平面ABCD，即SO為四棱錐的高，所以,所以，所以.4．如圖，正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3.（1）求正三棱錐的表面積；（2）求正三棱錐的體積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)D，連接，在中，可得.∴.∵正三棱錐的三個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形，∴正三棱錐的側(cè)面積是.∵正三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∴.則正三棱錐的表面積為；（2）連接，設(shè)O為正三角形的中心，則底面.且.在中，.∴正三棱錐的體積為.考法三旋轉(zhuǎn)體的表面積【例3】若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的母線長(zhǎng)為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖圓錐的軸截面是頂角為，即，，,所以，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：C.【一隅三反】1．一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，，圓柱的側(cè)面積為，圓柱的兩個(gè)底面積為，圓柱的表面積為，圓柱的表面積與側(cè)面積的比為：，故選：．2．把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（）A．10 B． C． D．【答案】B【解析】半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，所以底面圓的半徑為r=10，所以圓錐的高為.故選：B3．一個(gè)圓柱內(nèi)接于一個(gè)底面半徑為2，高為4的圓錐，則內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓錐的底面半徑為2，高為4，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則它的上底面截圓錐得小圓錐的高為，因此，內(nèi)接圓柱的高；圓柱的側(cè)面積為，令，當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，，即圓柱的底面半徑為1時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為.故選：D.考法四旋轉(zhuǎn)體的體積【例4】已知圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面周長(zhǎng)為，則它的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，因?yàn)榈酌嬷荛L(zhǎng)為，所以，解得，又因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為5，所以h=4，所以圓錐的體積是故選：B【一隅三反】1．將半徑為，圓心角為的扇形作為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由扇形弧長(zhǎng)公式可求得弧長(zhǎng)，圓錐底面周長(zhǎng)為，圓錐底面半徑，圓錐的高，圓錐的體積.故選：.2．古代將圓臺(tái)稱為“圓亭”，《九章算術(shù)》中“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，問積幾何？”即一圓臺(tái)形建筑物，下底周長(zhǎng)丈，上底周長(zhǎng)丈，高丈，則它的體積為（）A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈【答案】B【解析】由題意得，下底半徑（丈），上底半徑（丈），高（丈），所以它的體積為所以(立方丈).故選：B.3．已知圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為（）A．3 B． C．9 D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則母線長(zhǎng)為，則圓柱的側(cè)面積為，故表面積為，得①，又底面圓周長(zhǎng)等于側(cè)面展開半圓的弧長(zhǎng)，故，即，得②，聯(lián)立①②得：，.故該圓錐的體積為.故選：B.考法五球【例5】（1）已知一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則球的表面積與這個(gè)正方體的表面積之比為（）A． B． C． D．（2）．已知一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，且這個(gè)正三棱錐的所有棱長(zhǎng)都為，求這個(gè)球的表面積（）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）C【解析】（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，則，球的表面積為，正方體的表面積為，.故選：B（2）設(shè)該正三棱錐為，將三棱錐補(bǔ)成正方體，如下圖所示：則正方體的棱長(zhǎng)為，該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以，正三棱錐的外接球直徑為，可得，該球的表面積為.故選：C.【一隅三反】1．若一個(gè)球的直徑為2，則此球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榍虻闹睆綖?，即球的半徑為1，所以球的表面積為，故選：D.2．棱長(zhǎng)為的正方體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)檎襟w的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)，所以，解得，所以球的表面積為：.故選：C3．已知一個(gè)正方體的體積為8，求此正方體內(nèi)切球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方體的體積為8，故邊長(zhǎng)為2，內(nèi)切球的半徑為1，則表面積，故選：C.4.將一個(gè)棱長(zhǎng)為3cm的正方體鐵塊磨成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方體的棱長(zhǎng)為3cm，所以球體最大體積的半徑，所以球的體積：.故選：B考法六組合體的體積表面積【例6】如圖，一個(gè)無(wú)蓋的器皿是由棱長(zhǎng)為3的正方體木料從頂部挖掉一個(gè)直徑為2的半球而成（半球的底面圓在正方體的上底面，球心為上底面的中心），則該器皿的表面積為（）A．54 B． C． D．【答案】C【解析】器皿的表面積是棱長(zhǎng)為3的正方體的表面積減去半徑為1的圓的面積，再加上半徑為1的半球的表面積，即器皿的表面積．故選：C．【一隅三反】1．某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長(zhǎng)方體.正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為（）A．20 B． C．16 D．【答案】A【解析】由題意，正四棱錐的斜高為，該組合體的表面積為.故選：A2．魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國(guó)建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝.如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長(zhǎng)均為2，則該魯班鎖的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來(lái)的幾何體，且被截去的正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該幾何體的表面積為.故選：A.3．如圖所示，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子高_(dá)______．【答案】8【解析】由題意得半球的半徑和圓錐底面圓的半徑，如果冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則半球的體積等于圓錐的體積所以故答案為：8《8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（精練）》同步練習(xí)【題組一多面體表面積】1．長(zhǎng)方體的高為2，底面積等于12，過不相鄰兩側(cè)棱的截面（對(duì)角面）的面積為10，則此長(zhǎng)方體的側(cè)面積為()A．12 B．24 C．28 D．322．一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為，則該正四棱錐的全面積為A．8 B．12 C．16 D．203．若正三棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別是和，棱臺(tái)的高為，則此正三棱臺(tái)的側(cè)面積為（）A． B． C． D．4．正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為，高與斜高的夾角為，則該四棱錐的側(cè)面積（）A． B． C． D．5．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是，側(cè)棱長(zhǎng)是，則該正四棱錐的表面積為（）A． B． C． D．6．已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，以該正四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則該正四棱錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．7．已知是某一棱長(zhǎng)為2的正方體展開圖中的兩條線段，則原正方體中幾何體的表面積為（）A． B．C． D．8．長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為3，4，a，表面積為108，則a等于（）A．2 B．3 C．5 D．69．一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為的球面上，如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，那么該棱柱的表面積為（）A． B．C． D．【題組二多面體臺(tái)體積】1．正方體的全面積為18cm2，則它的體積是_________2．如圖，在長(zhǎng)方體中，棱錐的體積與長(zhǎng)方體的體積之比為（）A．2∶3 B．1∶3 C．1∶4 D．3∶43．由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等的四棱錐），四個(gè)側(cè)面由673塊玻璃拼組而成，塔高21米，底寬34米，則該金字塔的體積為（）A． B．C． D．4．《九章算術(shù)》問題十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．問積幾何（今譯：已知正四棱臺(tái)體建筑物（方亭）如圖，下底邊長(zhǎng)丈，上底邊長(zhǎng)丈．高丈．問它的體積是多少立方丈？（）A． B． C． D．5．出華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，側(cè)樓長(zhǎng)都相等的四棱錐），四個(gè)側(cè)面由塊玻璃拼組而成，塔高米，底寬米，則該金字塔的體積為（）A． B． C． D．6．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，截去三棱錐，求（1）截去的三棱錐的表面積；（2）剩余的幾何體的體積.【題組三旋轉(zhuǎn)體的表面積】1．經(jīng)過圓錐的軸的截面是面積為2的等腰直角三角形，則圓錐的側(cè)面積是（）A． B． C． D．2．某圓臺(tái)的上、下底半徑和高的比為，母線長(zhǎng)為10，則該圓臺(tái)的表面積為（）A． B． C． D．3．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上下底面半徑的比是1：4，且該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9，則截去的圓錐的母線長(zhǎng)為（）A． B．3 C．12 D．364．圓臺(tái)的一個(gè)底面圓周長(zhǎng)是另一個(gè)底面圓周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，則圓臺(tái)較小底面圓的半徑為()A．3 B．5 C．6 D．75．圓柱底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則圓柱側(cè)面積為（）A． B． C． D．6．已知圓柱的底面半徑為1，若圓柱的側(cè)面展開圖的面積為，則圓柱的高為________．7．已知圓錐的底面半徑為2，高為4，在圓錐內(nèi)部有一個(gè)圓柱，則圓柱的側(cè)面積的最大值為______.8．將底面直徑為8，高為的圓錐體石塊打磨成一個(gè)圓柱，則該圓柱側(cè)面積的最大值為______.9．若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積與底面積之比為___________.【題組四旋轉(zhuǎn)體的體積】1．若圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．2．現(xiàn)用一半徑為，面積為的扇形鐵皮制作一個(gè)無(wú)蓋的圓錐形容器（假定銜接部分及鐵皮厚度忽略不計(jì)，且無(wú)損耗），則該容器的容積為__________.3．圓錐的母線與底面所成的角為60，側(cè)面積為8π，則其體積為________.4．把一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體木塊，切出一個(gè)最大體積的圓柱，則該圓柱的體積為（）A． B． C． D．5．《五曹算經(jīng)》是我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家甄駕為各級(jí)政府的行政人員編撰的一部實(shí)用算術(shù)書，其第四卷第九題如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，問粟幾何”?其意思為場(chǎng)院內(nèi)有圓錐形稻谷堆，底面周長(zhǎng)3丈，高4尺，那么這堆稻谷有多少斛？已知1丈等于10尺，1斛稻谷的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算堆放的稻谷約有多少斛（保留兩位小數(shù)）（）A．61.73 B．61.71 C．61.70 D．61.696．某養(yǎng)路處有一圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于儲(chǔ)藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12米，高4米，為存放更多的食鹽，養(yǎng)路處擬重建倉(cāng)庫(kù)，將其高度增加4米，底面直徑不變，則新建倉(cāng)庫(kù)比原倉(cāng)庫(kù)能多儲(chǔ)藏食鹽的體積為（）A．米 B．米 C．米 D．米【題組五球】1．在正方體中，三棱錐的表面積為，則正方體外接球的體積為（）A． B． C． D．2．在長(zhǎng)方體中，，若此長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在體積為的球面上，則此長(zhǎng)方體的表面積為（）A．16 B．18 C．20 D．223．正三棱柱有一個(gè)半徑為的內(nèi)切球，則此棱柱的體積是（）.A． B． C． D．4．如圖所示，球內(nèi)切于正方體．如果該正方體的棱長(zhǎng)為a，那么球的體積為（）A． B． C． D．5．一個(gè)球的體積為，則這個(gè)球的表面積為（）A． B． C． D．6．已知正方體外接球的體積是，那么該正方體的內(nèi)切球的表面積為______．【題組六組合體的體積表面積】1．如圖是某機(jī)械零件的幾何結(jié)構(gòu)，該幾何體是由兩個(gè)相同的直四棱柱組合而成的，且前后、左右、上下均對(duì)稱，每個(gè)四棱柱的底面都是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，且兩個(gè)四棱柱的側(cè)棱互相垂直．則這個(gè)幾何體有________個(gè)面，其體積為________．2．如圖，直三棱柱，高為6，底邊三角形的邊長(zhǎng)分別為3、4、5，以上下底面的內(nèi)切圓為底面，挖去一個(gè)圓柱，求剩余部分幾何體的體積.3．在底面半徑為2，高為的圓錐中內(nèi)接一個(gè)圓柱，且圓柱的底面積與圓錐的底面積之比為1：4，求圓柱的表面積.《8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（精練）》同步練習(xí)答案解析【題組一多面體表面積】1．長(zhǎng)方體的高為2，底面積等于12，過不相鄰兩側(cè)棱的截面（對(duì)角面）的面積為10，則此長(zhǎng)方體的側(cè)面積為()A．12 B．24 C．28 D．32【答案】C【解析】設(shè)長(zhǎng)方體底面矩形的長(zhǎng)與寬分別為，則.又由題意知，解得或.故長(zhǎng)方體的側(cè)面積為.故選：C.2．一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為，則該正四棱錐的全面積為A．8 B．12 C．16 D．20【答案】B【解析】由題得側(cè)面三角形的斜高為，所以該四棱錐的全面積為.故選B3．若正三棱臺(tái)上、下底面邊長(zhǎng)分別是和，棱臺(tái)的高為，則此正三棱臺(tái)的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，分別為上、下底面的中心，分別是，的中點(diǎn)，過作于點(diǎn)E.在直角梯形中，，，.在中，，則..故選：C4．正四棱錐底面正方形的邊長(zhǎng)為，高與斜高的夾角為，則該四棱錐的側(cè)面積（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖:正四棱錐的高PO，斜高PE，底面邊心距OE組成直角△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴斜高h(yuǎn)′=PE=，∴S正棱錐側(cè)=故選：A5．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是，側(cè)棱長(zhǎng)是，則該正四棱錐的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，在正四棱錐中，取中點(diǎn)，連接，則為直角三角形，所以，所以表面積.故選：B.6．已知一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，以該正四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則該正四棱錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】正四棱錐如圖，設(shè)四棱錐的高，由底面邊長(zhǎng)為4，可知，斜高，故，解得，故側(cè)面積為，故選：D.7．已知是某一棱長(zhǎng)為2的正方體展開圖中的兩條線段，則原正方體中幾何體的表面積為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由所給正方體的展開圖得到直觀圖，如圖：則此三棱錐的表面積為：故選：A8．長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為3，4，a，表面積為108，則a等于（）A．2 B．3 C．5 D．6【答案】D【解析】長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為3，4，a，則長(zhǎng)方體的表面積為，解得a=6，故選：D9．一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為的球面上，如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，那么該棱柱的表面積為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)半徑為2cm的球面上，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為2cm，球的直徑為正四棱柱的體對(duì)角線正四棱柱的體對(duì)角線為4，正四棱柱的底面對(duì)角線長(zhǎng)為，正四棱柱的高為，該棱柱的表面積為2×22+4×2×=8＋16()，故選：C【題組二多面體臺(tái)體積】1．正方體的全面積為18cm2，則它的體積是_________【答案】【解析】設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為cm，由題意可得，，解得，所以該正方體的體積為.故答案為：2．如圖，在長(zhǎng)方體中，棱錐的體積與長(zhǎng)方體的體積之比為（）A．2∶3 B．1∶3 C．1∶4 D．3∶4【答案】B【解析】設(shè)長(zhǎng)方體過同一頂點(diǎn)的棱長(zhǎng)分別為則長(zhǎng)方體的體積為，四棱錐的體軹為，所以棱錐的體積與長(zhǎng)方體的體積的比值為.故選：B.3．由華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，側(cè)棱長(zhǎng)都相等的四棱錐），四個(gè)側(cè)面由673塊玻璃拼組而成，塔高21米，底寬34米，則該金字塔的體積為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖正四棱錐中，，，所以正四棱錐的體積為，故選：A4．《九章算術(shù)》問題十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．問積幾何（今譯：已知正四棱臺(tái)體建筑物（方亭）如圖，下底邊長(zhǎng)丈，上底邊長(zhǎng)丈．高丈．問它的體積是多少立方丈？（）A． B． C． D．【答案】B【解析】.故選:5．出華裔建筑師貝聿銘設(shè)計(jì)的巴黎盧浮宮金字塔的形狀可視為一個(gè)正四棱錐（底面是正方形，側(cè)樓長(zhǎng)都相等的四棱錐），四個(gè)側(cè)面由塊玻璃拼組而成，塔高米，底寬米，則該金字塔的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖正四棱錐中，底面，，，底面正方形的面積為，則正四棱錐的體積為，故選：A6．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，截去三棱錐，求（1）截去的三棱錐的表面積；（2）剩余的幾何體的體積.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正方體的特點(diǎn)可知三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，、、都是直角邊為的等腰直角三角形，所以截去的三棱錐的表面積（2）正方體的體積為，三棱錐的體積為，所以剩余的幾何體的體積為.【題組三旋轉(zhuǎn)體的表面積】1．經(jīng)過圓錐的軸的截面是面積為2的等腰直角三角形，則圓錐的側(cè)面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長(zhǎng)為，則，由題可知，∴，側(cè)面積為，故選：C.2．某圓臺(tái)的上、下底半徑和高的比為，母線長(zhǎng)為10，則該圓臺(tái)的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】該圓臺(tái)的軸截面如圖所示.設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為r，則下底面半徑，高則它的母線長(zhǎng)∴，.∴，.故選：3．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上下底面半徑的比是1：4，且該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9，則截去的圓錐的母線長(zhǎng)為（）A． B．3 C．12 D．36【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為r、R，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為L(zhǎng)，截得小圓錐的母線長(zhǎng)為l，∵圓臺(tái)的上、下底面互相平行∴，可得L=4l∵圓臺(tái)的母線長(zhǎng)9，可得L﹣l=9∴=9，解得L=12，∴截去的圓錐的母線長(zhǎng)為12-9=3故選B4．圓臺(tái)的一個(gè)底面圓周長(zhǎng)是另一個(gè)底面圓周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，則圓臺(tái)較小底面圓的半徑為()A．3 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】設(shè)圓臺(tái)較小底面圓的半徑為，由已知有另一底面圓的半徑為，而圓臺(tái)的側(cè)面積公式為，選D.5．圓柱底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則圓柱側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】圓柱底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，圓柱側(cè)面積為,故選：A6．已知圓柱的底面半徑為1，若圓柱的側(cè)面展開圖的面積為，則圓柱的高為_____．【答案】4【解析】設(shè)圓柱的高為，有，得．故答案為：4.7．已知圓錐的底面半徑為2，高為4，在圓錐內(nèi)部有一個(gè)圓柱，則圓柱的側(cè)面積的最大值為______.【答案】【解析】如圖是圓錐與圓柱的軸截面，設(shè)內(nèi)接圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，則由，可得，所以圓柱的側(cè)面積，所以時(shí)，該圓柱的側(cè)面職取最大值.故答案為：．8．將底面直徑為8，高為的圓錐體石塊打磨成一個(gè)圓柱，則該圓柱側(cè)面積的最大值為______.【答案】【解析】欲使圓柱側(cè)面積最大，需使圓柱內(nèi)接于圓錐；設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，則，解得；所以；當(dāng)時(shí)，取得最大值為故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了求圓柱側(cè)面積的最值，考查空間想象能力，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值，屬于中檔題.9．若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的側(cè)面積與底面積之比為___________.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，由題意得：,即，所以其側(cè)面積是，底面積是，所以該圓錐的側(cè)面積與底面積之比為故答案為：【題組四旋轉(zhuǎn)體的體積】1．若圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，則側(cè)面積為，故.故圓錐的高，圓錐體積為.故選：C.2．現(xiàn)用一半徑為，面積為的扇形鐵皮制作一個(gè)無(wú)蓋的圓錐形容器（假定銜接部分及鐵皮厚度忽略不計(jì)，且無(wú)損耗），則該容器的容積為__________.【答案】【解析】設(shè)鐵皮扇形的半徑和弧長(zhǎng)分別為R、l，圓錐形容器的高和底面半徑分別為h、r，則由題意得R=10，由，得，由得.由可得.該容器的容積為.故答案為.3．圓錐的母線與底面所成的角為60，側(cè)面積為8π，則其體積為________.【答案】【解析】如圖所示，圓錐的母線與其底面所成角的大小為，，由題意設(shè)圓錐的底面半徑為，則母線長(zhǎng)為，高為圓錐的側(cè)面積為，，解得，，圓錐的體積為．故答案為：．4．把一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體木塊，切出一個(gè)最大體積的圓柱，則該圓柱的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方體棱長(zhǎng)為，所以正方體底面正方形的內(nèi)切圓半徑為，面積為，以此內(nèi)切圓為底、高為的圓柱是可切出的最大圓柱.且該圓柱的體積為.故選：C5．《五曹算經(jīng)》是我國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家甄駕為各級(jí)政府的行政人員編撰的一部實(shí)用算術(shù)書，其第四卷第九題如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，問粟幾何”?其意思為場(chǎng)院內(nèi)有圓錐形稻谷堆，底面周長(zhǎng)3丈，高4尺，那么這堆稻谷有多少斛？已知1丈等于10尺，1斛稻谷的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算堆放的稻谷約有多少斛（保留兩位小數(shù)）（）A．61.73 B．61.71 C．61.70 D．61.69【答案】A【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，體積為，則，所以，故（立方尺），因此（斛）.故選：A.6．某養(yǎng)路處有一圓錐形倉(cāng)庫(kù)用于儲(chǔ)藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉(cāng)庫(kù)的底面直徑為12米，高4米，為存放更多的食鹽，養(yǎng)路處擬重建倉(cāng)庫(kù)，將其高度增加4米，底面直徑不變，則新建倉(cāng)庫(kù)比原倉(cāng)庫(kù)能多儲(chǔ)藏食鹽的體積為（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】B【解析】原倉(cāng)庫(kù)圓錐的底面半徑為6米，高為4米，則容積為立方米；倉(cāng)庫(kù)的高增加4米，底面直徑不變,則倉(cāng)庫(kù)的容積為立方米.所以新建倉(cāng)庫(kù)比原倉(cāng)庫(kù)能多