北京市部分重點(diǎn)中學(xué)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題與答案（共五套）

北京市部分重點(diǎn)中學(xué)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（一）一?選擇題1.已知點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)Z=i（1﹣2i）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.某工廠有男員工56人，女員工42人，用分層抽樣的方法，從全體員工中抽出一個容量為28的樣本進(jìn)行工作效率調(diào)查，其中男員工應(yīng)抽的人數(shù)為（）A.16 B.14 C.28 D.124.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A.，B.，C，D，5.在空間中，下列結(jié)論正確的是（）A.三角形確定一個平面 B.四邊形確定一個平面C.一個點(diǎn)和一條直線確定一個平面 D.兩條直線確定一個平面6.新冠疫情期間，某校貫徹“停課不停學(xué)”號召，安排小組展開多向互動型合作學(xué)習(xí)，如圖的莖葉圖是兩組學(xué)生五次作業(yè)得分情況，則下列說法正確的是（）A.甲組學(xué)生得分的平均數(shù)小于乙組選手的平均數(shù)B.甲組學(xué)生得分中位數(shù)大于乙組選手的中位數(shù)C.甲組學(xué)生得分的中位數(shù)等于乙組選手的平均數(shù)D.甲組學(xué)生得分的方差大于乙組選手的的方差7.已知向量與的夾角為，，，當(dāng)時，實(shí)數(shù)為（）A.1 B.2 C. D.8.上海世博會期間，某日13時至21時累計入園人數(shù)的折線圖如圖所示，那么在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，入園人數(shù)最多的時段是（）A.13時~14時 B.16時~17時C.18時~19時 D.19時~20時9.在中，，，，則（）A. B.或C. D.或10.點(diǎn)，分別是棱長為2的正方體中棱，的中點(diǎn)，動點(diǎn)在正方形(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動.若面，則的長度范圍是（）A. B. C. D.二?填空題11.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)______.12.已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．13.如圖，在中，.若，則的值為______，P是上的一點(diǎn)，若，則m的值為______.14.將底面直徑為8，高為的圓錐體石塊打磨成一個圓柱，則該圓柱側(cè)面積的最大值為______.15.如圖是某地區(qū)2018年12個月的空氣質(zhì)量指數(shù)以及相比去年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖表，根據(jù)圖表，下面敘述正確的是______.①2月相比去年同期變化幅度最小，3月的空氣質(zhì)量指數(shù)最高；②第一季度的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值最大，第三季度的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值最??；③第三季度空氣質(zhì)量指數(shù)相比去年同期變化幅度的方差最??；④空氣質(zhì)量指數(shù)漲幅從高到低居于前三位的月份為6?8?4月.三?解答題16.已知復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位).（1）求復(fù)數(shù)z的模；（2）求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)；（3）若z是關(guān)于x的方程一個虛根，求實(shí)數(shù)m的值.17.已知向量與，，.（1）求；（2）設(shè)，的夾角為，求的值；（3）若向量與互相平行，求k的值.18.如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，F(xiàn)為對角線AC與BD的交點(diǎn)，E為棱PD的中點(diǎn)．（1）證明：平面PBC；（2）證明：．19.在中，，，.（1）求；（2）求的面積.20.為了了解我市參加2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽學(xué)生考試結(jié)果情況，從中選取60名同學(xué)將其成績（百分制，均為正數(shù)）分成六組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形，回答下列問題：（1）求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計本次考試成績的眾數(shù)、均值；（3）根據(jù)評獎規(guī)則，排名靠前10%的同學(xué)可以獲獎，請你估計獲獎的同學(xué)至少需要所少分？21.如圖1，在等腰梯形中，，，，，E?F分別為腰?的中點(diǎn).將四邊形沿折起，使平面平面，如圖2，H，M別線段?的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）請在圖2所給的點(diǎn)中找出兩個點(diǎn)，使得這兩點(diǎn)所在直線與平面垂直，并給出證明：（3）若N為線段中點(diǎn)，在直線上是否存在點(diǎn)Q，使得面？如果存在，求出線段長度，如果不存在，請說明理由.答案解析一?選擇題1.已知點(diǎn)，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示，求出即可.【詳解】點(diǎn)，，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)Z=i（1﹣2i）對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】A【解析】試題分析：根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則，我們可以將復(fù)數(shù)Z化為a=bi（a，b∈R）的形式，分析實(shí)部和虛部的符號，即可得到答案．解：∵復(fù)數(shù)Z=i（1﹣2i）=2+i∵復(fù)數(shù)Z的實(shí)部2＞0，虛部1＞0∴復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限故選A點(diǎn)評：本題考查的知識是復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，其中根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則，將復(fù)數(shù)Z化為a=bi（a，b∈R）的形式，是解答本題的關(guān)鍵．3.某工廠有男員工56人，女員工42人，用分層抽樣的方法，從全體員工中抽出一個容量為28的樣本進(jìn)行工作效率調(diào)查，其中男員工應(yīng)抽的人數(shù)為（）A.16 B.14 C.28 D.12【答案】A【解析】【分析】用樣本容量乘以男員工所占的比例，即為所求.【詳解】男員工所占的比例為，故男員工應(yīng)抽的人數(shù)為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，重點(diǎn)考查理解，計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.4.在下列各組向量中，可以作為基底是（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】本題可根據(jù)向量平行的相關(guān)性質(zhì)依次判斷四個選項(xiàng)中的、是否共線，即可得出結(jié)果.【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)椋?、共線，不能作為基底；選項(xiàng)B：因?yàn)?，所以、共線，不能作為基底；選項(xiàng)C：因?yàn)椋?、共線，不能作為基底；選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以、不共線，可以作為基底，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量中基底的要求，即共線向量不能作為基底，考查向量平行的相關(guān)性質(zhì)，考查計算能力，是簡單題.5.在空間中，下列結(jié)論正確的是（）A.三角形確定一個平面 B.四邊形確定一個平面C.一個點(diǎn)和一條直線確定一個平面 D.兩條直線確定一個平面【答案】A【解析】【分析】根據(jù)確定平面的公理及其推論對選項(xiàng)逐個判斷即可得出結(jié)果.【詳解】三角形有且僅有3個不在同一條直線上的頂點(diǎn)，故其可以確定一個平面，即A正確；當(dāng)四邊形為空間四邊形時不能確定一個平面，故B錯誤；當(dāng)點(diǎn)在直線上時，一個點(diǎn)和一條直線不能確定一個平面，故C錯誤；當(dāng)兩條直線異面時，不能確定一個平面，即D錯誤；故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本定理及其推論，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，屬于基礎(chǔ)題.6.新冠疫情期間，某校貫徹“停課不停學(xué)”號召，安排小組展開多向互動型合作學(xué)習(xí)，如圖的莖葉圖是兩組學(xué)生五次作業(yè)得分情況，則下列說法正確的是（）A.甲組學(xué)生得分的平均數(shù)小于乙組選手的平均數(shù)B.甲組學(xué)生得分的中位數(shù)大于乙組選手的中位數(shù)C.甲組學(xué)生得分的中位數(shù)等于乙組選手的平均數(shù)D.甲組學(xué)生得分的方差大于乙組選手的的方差【答案】D【解析】【分析】通過觀察莖葉圖根據(jù)平均數(shù)的運(yùn)算公式和中位數(shù)的定義，可確定選項(xiàng)A，B，C錯誤，根據(jù)方差的運(yùn)算公式，代入數(shù)值解得甲組學(xué)生得分的方差大于乙組選手的的方差，即選項(xiàng)D正確.【詳解】由莖葉圖可知，甲組學(xué)生得分的平均數(shù)，等于乙組選手的平均數(shù)，選項(xiàng)A錯誤；甲組學(xué)生得分的中位數(shù)83小于乙組選手的中位數(shù)84，選項(xiàng)B錯誤；甲組學(xué)生得分的中位數(shù)83不等于乙組選手的平均數(shù)84，選項(xiàng)C錯誤；甲組學(xué)生得分的方差大于乙組選手的的方差，選項(xiàng)D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查莖葉圖，會從莖葉圖中找出中位數(shù)、眾數(shù)等，會計算平均數(shù).莖葉圖在給出數(shù)據(jù)分布情況的同時，又能給出每一個原始數(shù)據(jù)，保留了原始數(shù)據(jù)的信息，莖葉圖適用于小批量數(shù)據(jù).7.已知向量與的夾角為，，，當(dāng)時，實(shí)數(shù)為（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩向量垂直時數(shù)量積為0，列方程求出的值.【詳解】向量與的夾角為，，，由知，，，，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.上海世博會期間，某日13時至21時累計入園人數(shù)的折線圖如圖所示，那么在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，入園人數(shù)最多的時段是（）A.13時~14時 B.16時~17時C.18時~19時 D.19時~20時【答案】B【解析】【分析】要找入園人數(shù)最多的，只要根據(jù)函數(shù)圖象找出圖象中變化最大的即可【詳解】結(jié)合函數(shù)的圖象可知，在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，圖象變化最快的為16到17點(diǎn)之間故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查折線統(tǒng)計圖的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.9.在中，，，，則（）A. B.或C. D.或【答案】C【解析】【分析】利用正弦定理和題設(shè)中，和A的值，進(jìn)而求得的值，則C可求.【詳解】由正弦定理，即，∴.∴(時，三角形內(nèi)角和大于，不合題意舍去)故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.點(diǎn)，分別是棱長為2的正方體中棱，的中點(diǎn)，動點(diǎn)在正方形(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動.若面，則的長度范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取，中點(diǎn)，，得平面∥平面.進(jìn)而得到點(diǎn)的軌跡為線段，又因?yàn)闉榈妊切?，進(jìn)而便可得出答案.【詳解】取，中點(diǎn)，，連接、.則∥.∥.又因?yàn)?所以平面∥平面.又因?yàn)閯狱c(diǎn)在正方形(包括邊界)內(nèi)運(yùn)動，所以點(diǎn)的軌跡為線段.又因?yàn)檎襟w的棱長為2，所以，.所以為等腰三角形.故當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)或者在點(diǎn)處時，此時最大，最大值為.當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，最小，最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)、線、面間的距離問題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力及推理轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題目，解決本題的關(guān)鍵是通過構(gòu)造平行平面尋找點(diǎn)的位置.二?填空題11.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)______.【答案】【分析】把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【詳解】由，得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.12.已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：__________．【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m或如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.【分析】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論加以分析.【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個命題：（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.正確；（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.正確；（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.13.如圖，在中，.若，則的值為______，P是上的一點(diǎn)，若，則m的值為______.【答案】(1).(2).【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用和向量共線的充要條件的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】如圖：在中，.所以：，故.由于點(diǎn)B?P?N三點(diǎn)共線所以，則：，整理得：，故：.所以，解得.故.故答案為：①；②.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用和向量共線的充要條件，屬于基礎(chǔ)題.14.將底面直徑為8，高為的圓錐體石塊打磨成一個圓柱，則該圓柱側(cè)面積的最大值為______.【答案】【分析】欲使圓柱側(cè)面積最大，需使圓柱內(nèi)接于圓錐，設(shè)圓柱高為h，底面半徑為r，用r表示h，從而求出圓柱側(cè)面積的最大值.【詳解】欲使圓柱側(cè)面積最大，需使圓柱內(nèi)接于圓錐；設(shè)圓柱的高為h，底面半徑為r，則，解得；所以；當(dāng)時，取得最大值為故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了求圓柱側(cè)面積的最值，考查空間想象能力，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值，屬于中檔題.15.如圖是某地區(qū)2018年12個月的空氣質(zhì)量指數(shù)以及相比去年同期變化幅度的數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖表，根據(jù)圖表，下面敘述正確的是______.①2月相比去年同期變化幅度最小，3月的空氣質(zhì)量指數(shù)最高；②第一季度的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值最大，第三季度的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值最?。虎鄣谌径瓤諝赓|(zhì)量指數(shù)相比去年同期變化幅度的方差最?。虎芸諝赓|(zhì)量指數(shù)漲幅從高到低居于前三位的月份為6?8?4月.【答案】①②③【解析】【分析】根據(jù)折線的變化率，得到相比去年同期變化幅度?升降趨勢，逐一驗(yàn)證即可.【詳解】根據(jù)折現(xiàn)統(tǒng)計圖可得，2月相比去年同期變化幅度最小，3月的空氣質(zhì)量指數(shù)最高，故①正確；第一季度的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值最大，第三季度的空氣質(zhì)量指數(shù)的平均值最小，故②正確；第三季度空氣質(zhì)量指數(shù)相比去年同期變化幅度的方差最小，故③正確；空氣質(zhì)量指數(shù)漲幅從高到低居于前三位的月份為6?8?9月，故④錯誤，故答案為：①②③.【點(diǎn)睛】本題考查條形統(tǒng)計圖和折線圖的應(yīng)用，重點(diǎn)考查數(shù)據(jù)分析，從表中準(zhǔn)確獲取信息是關(guān)鍵，屬于中檔題型.三?解答題16.已知復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位).（1）求復(fù)數(shù)z的模；（2）求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)；（3）若z是關(guān)于x的方程一個虛根，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）直接根據(jù)模長的定義求解即可；（2）實(shí)部相等，虛部相反即可；（3）推導(dǎo)出，由此能求出實(shí)數(shù)m的值.【詳解】（1）因?yàn)閺?fù)數(shù)；故；（2）；（3）∵z是關(guān)于x的方程一個虛根，故；因?yàn)閙為實(shí)數(shù)，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的模長、共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)方程的根，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．17.已知向量與，，.（1）求；（2）設(shè)，的夾角為，求的值；（3）若向量與互相平行，求k的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）結(jié)合向量減法的坐標(biāo)表示即可求解；（2）結(jié)合向量夾角公式的坐標(biāo)表示即可求解；（3）結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】（1）因，，所以；（2），（3），，由題意可得，，整理可得，，解可得，.【點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)表示的運(yùn)算，重點(diǎn)考查計算能力，熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題型.18.如圖，在四棱錐中，平面，底面為正方形，F(xiàn)為對角線AC與BD的交點(diǎn)，E為棱PD的中點(diǎn)．（1）證明：平面PBC；（2）證明：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）證明即可；（2）通過證明和證明平面，即可證明.【詳解】（1）底面為正方形，F(xiàn)為對角線AC與BD的交點(diǎn)，為中點(diǎn)，E為棱PD的中點(diǎn)，，平面PBC，平面PBC，平面PBC；（2）平面，平面，，底面為正方形，，,平面，平面，.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查利用線面垂直證明線線垂直，屬于基礎(chǔ)題.19.在中，，，.（1）求；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）直接利用正弦定理求出結(jié)果.（2）直接利用余弦定理和三角形的面積公式求出結(jié)果.【詳解】（1）中，，，.所以：，利用正弦定理得：，解得：，由于，所以：，利用三角形內(nèi)角和，所以：；（2）利用余弦定理：，解得：.所以：.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形，重點(diǎn)考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.20.為了了解我市參加2018年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的學(xué)生考試結(jié)果情況，從中選取60名同學(xué)將其成績（百分制，均為正數(shù)）分成六組后，得到部分頻率分布直方圖（如圖），觀察圖形，回答下列問題：（1）求分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率，并補(bǔ)全這個頻率分布直方圖；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計本次考試成績的眾數(shù)、均值；（3）根據(jù)評獎規(guī)則，排名靠前10%的同學(xué)可以獲獎，請你估計獲獎的同學(xué)至少需要所少分？【答案】（1）詳見解析（2）眾數(shù)為：75和85，均值為：（3）88分【分析】⑴由頻率分布直方圖即可計算出分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率⑵由頻率分布直方圖得到本次考試成績的眾數(shù)，然后計算平均值⑶結(jié)合題意計算出排名靠前10%的分?jǐn)?shù)【詳解】（1）設(shè)分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為，根據(jù)頻率分布直方圖，則有，可得，分?jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為0.25.所以頻率分布直方圖為：（2）由圖知，眾數(shù)為：75和85均值為：.（3）因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)在內(nèi)的頻率為0.25，內(nèi)的頻率為0.05，而所以得分前10%的分界點(diǎn)應(yīng)在80至90之間.設(shè)所求的分界點(diǎn)為，則，解得.所以得分前10%的分界點(diǎn)為88，即獲獎的同學(xué)至少需要88分.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的實(shí)際運(yùn)用，在解題過程中一定要會分析頻率分布直方圖，并能正確計算出結(jié)果，較為基礎(chǔ)．21.如圖1，在等腰梯形中，，，，，E?F分別為腰?的中點(diǎn).將四邊形沿折起，使平面平面，如圖2，H，M別線段?的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）請在圖2所給的點(diǎn)中找出兩個點(diǎn)，使得這兩點(diǎn)所在直線與平面垂直，并給出證明：（3）若N為線段中點(diǎn)，在直線上是否存在點(diǎn)Q，使得面？如果存在，求出線段的長度，如果不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2），E這兩個點(diǎn)，使得這兩點(diǎn)所在直線與平面垂直，證明見解析；（3）存在，.【解析】【分析】（1）由已知可證，利用面面垂直的性質(zhì)即可證明平面．（2）連結(jié)，，通過證明四邊形是菱形，可證，又，可得，這兩點(diǎn)所在直線與平面垂直．（3）假設(shè)在直線上存在點(diǎn)，使得面．在線段上取點(diǎn)，使得，連結(jié)線段，交于點(diǎn)，利用面面平行的性質(zhì)可得平面，即可求解．【詳解】解：（1）證明：四邊形是等腰梯形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，平面．（2）解：在圖2中，，這兩個點(diǎn)，使得這兩點(diǎn)所在直線與平面垂直．證明：連結(jié)，，平面，，，且，四邊形是菱形，，，平面,平面平面，這兩點(diǎn)所在直線與平面垂直．（3）解：為線段中點(diǎn)，假設(shè)在直線上存在點(diǎn)，使得面．在線段上取點(diǎn)，使得，再平面圖形中連結(jié)線段，交于點(diǎn)（圖（1）），則，由題意可得平面平面，平面，因?yàn)榫褪撬蟮狞c(diǎn)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了面面垂直的性質(zhì)，面面平行的性質(zhì)，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．北京市部分重點(diǎn)中學(xué)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（二）一、選擇題（共8小題）.1.已知向量，，若，那么m的值為（）A. B. C.2 D.2.的值等于（）A. B. C. D.3.已知圓柱的底面半徑和高都是，那么圓柱的側(cè)面積是（）A. B. C. D.4.給出下列四個命題：①垂直于同一平面兩個平面互相垂直；②平行于同一平面的兩個平面互相平行；③垂直于同一直線的兩個平面互相垂直；④平行于同一直線的兩個平面互相平行，其中正確命題的序號是（）A.① B.② C.③ D.④5.化簡向量等于（）A. B. C. D.6.關(guān)于函數(shù)，下列命題正確的是（）A.存在，使是偶函數(shù)B.對任意的，都是非奇非偶函數(shù)C.存在，使既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D.對任意，都不是奇函數(shù)7.已知非零向量、滿足，且，那么等于（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，，使得對任意的實(shí)數(shù)x，都有，那么的最小值為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）9.等于________.10.已知，且，那么等于________；等于________11.在中，，且,則邊AB的長為．12.在中，角A、B、C對邊分別為a、b、c，已知，，，那么b等于________.13.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果，，，那么的最大內(nèi)角的余弦值為________.14.已知，，，，如果P點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，那么的值等于________.三、解答題（本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知向量，.（1）若，共線，求x的值；（2）若，求x的值；（3）當(dāng)時，求與夾角的余弦值.16.如圖，在三棱錐中，，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，且平面ABC.（1）求證：平面PDE；（2）求證：平面PDE.17.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值；（3）若函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.18.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，.（1）求邊c的值；（2）若，求的面積.19.已知，（1）求值；（2）求的值；（3）若且，求的值.20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，，，.（1）求證：直線平面PNC；（2）在AB上是否存在一點(diǎn)E，使平面PDE，若存在，確定E的位置，并證明，若不存在，說明理由；（3）求三棱錐的體積.答案解析一、選擇題（共8小題）.1.已知向量，，若，那么m的值為（）A. B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】由兩個向量垂直得數(shù)量積等于零，列方程可求出m的值【詳解】向量，，若，則，即，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查由向量垂直求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題2.的值等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用和角的正弦公式化簡求值得解.【詳解】由題得.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查和角的正弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.3.已知圓柱的底面半徑和高都是，那么圓柱的側(cè)面積是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題可根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閳A柱的底面半徑和高都是，所以圓柱的側(cè)面積，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓柱的側(cè)面積的計算，若圓柱的底面半徑為，高為，則側(cè)面積，考查計算能力，是簡單題.4.給出下列四個命題：①垂直于同一平面的兩個平面互相垂直；②平行于同一平面的兩個平面互相平行；③垂直于同一直線的兩個平面互相垂直；④平行于同一直線的兩個平面互相平行，其中正確命題的序號是（）A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】【分析】通過舉例的方式逐一驗(yàn)證各選項(xiàng)的對錯.【詳解】①垂直于同一平面的兩個平面可能垂直，也可能平行，比如正方體的下底面和左右側(cè)面互相垂直，但是左右側(cè)面互相平行，故錯誤；②平行于同一平面的兩個平面互相平行，比如用平行于正方體上下底面的平面截正方體，所得截面和上下底面互相平行，故正確；③垂直于同一直線的兩個平面互相平行，比如正方體的一條側(cè)棱垂直于上下底面，且上下底面互相平行，故錯誤；④平行于同一直線的兩個平面可能相交，比如正方體的下底面的一條棱平行于側(cè)面和上底面，而側(cè)面和上底面相交，故錯誤.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查空間直線、平面的位置關(guān)系的判斷，常用的方法是采用作圖或舉例子的方式去判斷對應(yīng)命題的真假，主要是考查學(xué)生的空間想象能力，難度一般.5.化簡向量等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的加減法法則求解即可【詳解】.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查向量的加減法法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題6.關(guān)于函數(shù)，下列命題正確的是（）A.存在，使是偶函數(shù)B.對任意的，都是非奇非偶函數(shù)C.存在，使既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)D.對任意的，都不是奇函數(shù)【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的圖象性質(zhì)結(jié)合誘導(dǎo)公式，對每一選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】對于A，當(dāng)，時，函數(shù)是偶函數(shù)，所以A正確；對于B，當(dāng)，時，函數(shù)是奇函數(shù)，所以B錯誤；對于C，由選項(xiàng)A,B的分析，不存在，使函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，所以C錯誤；對于D，，時，函數(shù)是奇函數(shù)，所以D錯誤.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的奇偶性的分析，屬于基礎(chǔ)題.7.已知非零向量、滿足，且，那么等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題首先可根據(jù)得出，然后根據(jù)得出，即可求出的值.【詳解】因?yàn)榉橇阆蛄俊M足，且.所以，，，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的運(yùn)算，考查向量的模的相關(guān)性質(zhì)，考查計算能力，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，是簡單題.8.已知函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，，使得對任意實(shí)數(shù)x，都有，那么的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意分析可知為的最小值，為的最大值，故最小時為半個周期.【詳解】的周期，由題意可知為的最小值，為的最大值，的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，屬于簡單題，分析清楚題目意思是關(guān)鍵.二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）9.等于________.【答案】【解析】【分析】直接逆用余弦的二倍角公式求解即可【詳解】，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查余弦的二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題10.已知，且，那么等于________；等于________.【答案】(1).(2).【分析】給等式兩邊平方，再利用正弦的二倍角公式可求出，而，從而可求出的值【詳解】，且，，.把所給的等式平方可得，.再根據(jù).求得，或（舍去），故答案為：；.【點(diǎn)睛】此題考查同角三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，考查二倍角公式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題11.在中，，且,則邊AB的長為．【答案】1【解析】試題分析：因?yàn)?，所以考點(diǎn)：向量數(shù)量積12.在中，角A、B、C對邊分別為a、b、c，已知，，，那么b等于________.【答案】【分析】由三角形面積公式求出邊，再由余弦定理計算可得；【詳解】解：，，，，由余弦定理可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.13.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果，，，那么的最大內(nèi)角的余弦值為________.【答案】【分析】由邊的大小關(guān)系可知是最大角，然后利用余弦定理求解.【詳解】角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果，，，則是最大角，則，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的邊角關(guān)系，考查余弦定理的應(yīng)用，屬于簡單題.14.已知，，，，如果P點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，那么的值等于________.【答案】13【分析】由條件可得，，可得，由，可得出答案.【詳解】，，，，，，，，，又，.故答案為：13.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.三、解答題（本大題共6小題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）15.已知向量，.（1）若，共線，求x的值；（2）若，求x的值；（3）當(dāng)時，求與夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）利用向量共線的坐標(biāo)表示即可求解；（2）分別求出和的坐標(biāo)，利用向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解；（3）利用向量夾角的公式即可求解.【詳解】（1），共線，，解得；（2），且，，解得；（3）當(dāng)時，，，，，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量共線、向量垂直。以及向量夾角的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.16.如圖，在三棱錐中，，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，且平面ABC.（1）求證：平面PDE；（2）求證：平面PDE.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】(1)利用線面平行的判定定理證明；(2)由線面垂直得出，由分別為的中點(diǎn)以及得出，然后由線面垂直的判定定理證明即可得出結(jié)論.【詳解】(1)由分別為中點(diǎn)，可得，由面PDE，面PDE，可得平面PDE；(2)由平面ABC，平面ABC，可得，由(1)知，且由題意可得，所以由，且平面PDE，可得平面PDE.【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的證明，考查了線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理的應(yīng)用，屬于一般難度的題.17.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間上的最大值和最小值；（3）若函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）；（2）最大值為2，最小值為；（3）.【解析】【分析】（1）先利用二倍角公式和輔助角公式對函數(shù)化簡，再利用周期公式可求出周期；（2）由得，再結(jié)合正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可求出函數(shù)的最值；（3）由函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，，從而可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍.【詳解】（1）由，得的最小正周期為.（2）因?yàn)?，所以，所?從而所以，當(dāng)，即時，的最大值為2；當(dāng)，即時，的最小值為.（3）由，得，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，，所以若函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn)，則.【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題18.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，.（1）求邊c的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）4；（2）.【解析】【分析】（1）運(yùn)用正弦定理，角化為邊，即可得到所求值；（2）運(yùn)用余弦定理求得，可得，再由面積公式即可得到所求值．【詳解】（1），由正弦定理可得，；（2），代入，，解出，，．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理、面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．19.已知，.（1）求的值；（2）求的值；（3）若且，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)角的范圍，利用平方關(guān)系求出，再利用商的關(guān)系求的值；（2）直接利用兩角和的正切公式求的值；（3）求出，由，利用兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，故，所?（2）.（3）因?yàn)椋?，所?又因?yàn)?，所?.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類，(1)“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解．(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角．20.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，，，.（1）求證：直線平面PNC；（2）在AB上是否存在一點(diǎn)E，使平面PDE，若存在，確定E的位置，并證明，若不存在，說明理由；（3）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）E是AB中點(diǎn)，證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）PC上取一點(diǎn)F，使，連接MF，NF，證明，，推出，即可得證；（2）E是AB中點(diǎn)，證明，，利用線面垂直的判定定理即可證明平面PDE；（3）證明為點(diǎn)到平面的距離，求出底面積，利用等體積法即可求解.【詳解】（1）在PC上取一點(diǎn)F，使，連接MF，NF，因?yàn)?，，所以，，，，可得?所以MFNA為平行四邊形，即，又平面，所以直線平面（2）E是AB中點(diǎn)，證明如下：因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，底面ABCD是菱形，，所以，因?yàn)?，所以，即，又平面ABCD，所以，又，所以直線平面PDE（3）直線，且由（2）可知，DE為點(diǎn)A到平面PDC的距離，，，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面平行以及垂直的判斷，考查了等體積法求三棱錐的體積，屬于中檔題.北京市部分重點(diǎn)中學(xué)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（三）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.2.在下列各組向量中，互相垂直的是（）A.， B.，C.， D.，，3.在中，，，則（）A0 B. C. D.4.甲、乙、丙三人各自擁有一把鑰匙，這三把鑰匙混在了一起，他們每人從中無放回地任取一把，則甲、乙二人中恰有一人取到自己鑰匙的概率是（）A. B. C. D.5.將一個容量為1000樣本分成若干組，已知某組的頻率為0.4，則該組的頻數(shù)是（）A.4 B.40 C.250 D.4006.若樣本數(shù)據(jù)，，，標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A.8 B.16 C.32 D.647.用6根火柴最多可以組成（）A2個等邊三角形 B.3等邊三角形C.4個等邊三角形 D.5個等邊三角形8.已知直線平面，直線平面，則“直線”是“，且”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.關(guān)于兩個互相垂直的平面，給出下面四個命題：①一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一平面內(nèi)的任意一條直線；②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一平面內(nèi)的無數(shù)條直線；③一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一平面；④在一個平面內(nèi)過任意一點(diǎn)作兩平面交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面．其中正確命題個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.310.如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別是棱，上的動點(diǎn)．給出下面四個命題：①若直線與直線共面，則直線與直線相交；②若直線與直線相交，則交點(diǎn)一定在直線上；③若直線與直線相交，則直線與平面所成角的正切值最大為；④直線與直線所成角的最大值是．其中，所有正確命題的序號是（）A.①④ B.②④ C.①②④ D.②③④二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11.在空間中，若直線與無公共點(diǎn)，則直線的位置關(guān)系是________；12.棱長相等的三棱錐的任意兩個面組成的二面角的余弦值是__．13.已知23名男生的平均身高是170.6cm，27名女生的平均身高是160.6cm，則這50名學(xué)生的平均身高為__cm．14.樣本容量為10的一組樣本數(shù)據(jù)依次為：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，該組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是__，第75百分位數(shù)是__．15.為了考察某校各班參加書法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為__．三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知，．（1）若與同向，求；（2）若與的夾角為，求．17.在銳角中，角，，所對的邊分別是，，，已知，．（Ⅰ）能否成立？請說明理由；（Ⅱ）若，求．18.某社區(qū)組織了垃圾分類知識競賽活動，從所有參賽選手中隨機(jī)抽取20人，將他們的得分按照，，，，，，，，，分組，繪成頻率分布直方圖（如圖）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）分別求出抽取的20人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)；（Ⅲ）估計所有參賽選手得分的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．19.某校高一、高二兩個年級共336名學(xué)生同時參與了跳繩、踢毽兩項(xiàng)健身活動，為了了解學(xué)生的運(yùn)動狀況，采用樣本按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從高一、高二兩個年級的學(xué)生中分別抽取7名和5名學(xué)生進(jìn)行測試，如表是高二年級的5名學(xué)生的測試數(shù)據(jù)（單位：個分鐘）學(xué)生編號12345跳繩個數(shù)179181170177183踢毽個數(shù)8276797380（Ⅰ）求高一、高二兩個年級各有多少人？（Ⅱ）從高二年級的學(xué)生中任選一人，試估計該學(xué)生每分鐘跳繩個數(shù)超過175且踢毽個數(shù)超過75的概率；（Ⅲ）高二年級學(xué)生的兩項(xiàng)運(yùn)動的成績哪項(xiàng)更穩(wěn)定？20.如圖，在五面體中，四邊形是邊長為的正方形，平面⊥平面，.(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求證：平面⊥平面；(Ⅲ)在線段上是否存在點(diǎn)，使得⊥平面？說明理由.21.在邊長為2正方形中，點(diǎn)，分別是，上的動點(diǎn)，將，分別沿，折起，使，兩點(diǎn)重合于點(diǎn)．（Ⅰ）若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖），①求證：；②求三棱錐的體積；（Ⅱ）設(shè)，，當(dāng)，滿足什么關(guān)系時，，兩點(diǎn)才能重合于點(diǎn)？答案解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用共軛復(fù)數(shù)的定義直接得到.【詳解】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查共軛復(fù)數(shù)定義，屬基礎(chǔ)題.2.在下列各組向量中，互相垂直的是（）A.， B.，C.， D.，，【答案】A【解析】【分析】求出兩向量的數(shù)量積，根據(jù)兩垂直向量的數(shù)量積關(guān)系進(jìn)行判斷．【詳解】若兩個向量、垂直，則，對于選項(xiàng)A，，滿足條件；對于選項(xiàng)B，，不滿足條件；對于選項(xiàng)C，，不滿足條件；對于選項(xiàng)D，，不滿足條件；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要垂直向量的數(shù)量積關(guān)系、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．3.在中，，，則（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由余弦定理且得，再由，得，得，得，可求的值．【詳解】由余弦定理得：，又，，，，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4.甲、乙、丙三人各自擁有一把鑰匙，這三把鑰匙混在了一起，他們每人從中無放回地任取一把，則甲、乙二人中恰有一人取到自己鑰匙的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】基本事件總數(shù)，甲、乙二人中恰有一人取到自己鑰匙包含的基本事件個數(shù)，由此能求出甲、乙二人中恰有一人取到自己鑰匙的概率．【詳解】甲、乙、丙三人各自擁有一把鑰匙，這三把鑰匙混在了一起，他們每人從中無放回地任取一把，基本事件總數(shù)，甲、乙二人中恰有一人取到自己鑰匙包含的基本事件個數(shù)，則甲、乙二人中恰有一人取到自己鑰匙的概率．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考査古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．5.將一個容量為1000樣本分成若干組，已知某組的頻率為0.4，則該組的頻數(shù)是（）A.4 B.40 C.250 D.400【答案】D【分析】直接利用頻率的定義求解即可．【詳解】一個容量為1000的樣本分成若干組，某組的頻率為0.4，該組的頻數(shù)為：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)的求法，解題時要認(rèn)真審題，屬于基礎(chǔ)題．6.若樣本數(shù)據(jù)，，，標(biāo)準(zhǔn)差為8，則數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為（）A.8 B.16 C.32 D.64【答案】B【詳解】【分析】由已知結(jié)合方差的性質(zhì)即可直接求解．【解答】解：由方差的性質(zhì)可知，，因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)，，，標(biāo)準(zhǔn)差為8，即方差為64，則數(shù)據(jù)，，，的方差為，，即標(biāo)準(zhǔn)差為16故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了方差性質(zhì)，的的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．7.用6根火柴最多可以組成（）A.2個等邊三角形 B.3等邊三角形C.4個等邊三角形 D.5個等邊三角形【答案】C【分析】用6根火柴，要使搭的個數(shù)最多，就要搭成立體圖形，即三棱錐．【詳解】要使搭的個數(shù)最多，就要搭成三棱錐，這時最多可以搭4個一樣的三角形．圖形如下：故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐，本題要打破思維定勢，不要只從平面去考慮，要考慮到立體圖形的拼組，屬于基礎(chǔ)題．8.已知直線平面，直線平面，則“直線”是“，且”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定以及充分必要條件判斷即可．【詳解】直線平面，直線平面，則“直線”能推出“，且”，是充分條件，反之“，且”，直線m與平面不一定垂直，不是必要條件，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的性質(zhì)及判定以及充分必要條件，屬于基礎(chǔ)題．9.關(guān)于兩個互相垂直的平面，給出下面四個命題：①一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一平面內(nèi)的任意一條直線；②一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一平面內(nèi)的無數(shù)條直線；③一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一平面；④在一個平面內(nèi)過任意一點(diǎn)作兩平面交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面．其中正確命題的個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的定義，線面垂直的定義，面面垂直的性質(zhì)定理判斷每個命題的真假即可．【詳解】如果兩個平面垂直，兩平面內(nèi)的直線并不都相互垂直，從而判斷命題①不正確；如果兩個平面垂直，另一個平面內(nèi)，必有無數(shù)條直線和這個平面垂直，從而判斷命題②正確；如果兩個平面垂直，當(dāng)其中一個平面內(nèi)的一條直線平行于兩個平面的交線時，這條直線與另一個平面平行，所以并不是平面內(nèi)的所有直線都和另一個平面垂直，從而判斷命題③不正確；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可判斷命題④正確，正確命題個數(shù)為2．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直、線面垂直和線線垂直的定義，面面垂直的性質(zhì)定理，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．10.如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別是棱，上的動點(diǎn)．給出下面四個命題：①若直線與直線共面，則直線與直線相交；②若直線與直線相交，則交點(diǎn)一定在直線上；③若直線與直線相交，則直線與平面所成角的正切值最大為；④直線與直線所成角的最大值是．其中，所有正確命題的序號是（）A.①④B.②④C.①②④D.②③④【答案】D【解析】分析】利用平面的性質(zhì)，以及直線與平面所成角，判斷選項(xiàng)的正誤即可．【詳解】在正方體中，點(diǎn)，分別是棱，上的動點(diǎn)．①如果點(diǎn)在，在時，直線與直線平行，可得直線與直線共面，但直線與直線不相交，①不正確；②因?yàn)榭臻g3個平面兩兩相交有3條交線，要么互相平行，要么相交與一點(diǎn)，因?yàn)橹本€與直線相交，所以則交點(diǎn)一定在直線上，所以②正確；③若直線與直線相交，則直線與平面所成角的正切值最大值，應(yīng)該是，與重合，此時直線與平面所成角的正切值最大為，所以③正確；④直線與直線所成角的最大值就是，與重合時取得，夾角是，所以④正確；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假的判斷，空間幾何體的直線與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力，判斷能力．二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．11.在空間中，若直線與無公共點(diǎn)，則直線的位置關(guān)系是________；【答案】平行或異面【解析】【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系直接判斷【詳解】與無公共點(diǎn)，與可能平行，可能異面．【點(diǎn)睛】本題考查兩直線的位置關(guān)系的判斷，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維的培養(yǎng)，屬基礎(chǔ)題．12.棱長相等的三棱錐的任意兩個面組成的二面角的余弦值是__．【答案】【解析】【分析】取中點(diǎn)，連結(jié)、，可得是二面角的平面角，再由余弦定理求解．【詳解】如圖，三棱錐的棱長都相等，取中點(diǎn)，連結(jié)、，三棱錐各棱長均相等，即、均為等邊三角形，，，是二面角的平面角，設(shè)棱長，則，．即棱長相等的三棱錐的任意兩個面組成的二面角的余弦值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二面角的平面角的求法，熟練掌握正四面體的性質(zhì)、二面角的定義、余弦定理的應(yīng)用是解答此題的關(guān)鍵，屬于中檔題．13.已知23名男生的平均身高是170.6cm，27名女生的平均身高是160.6cm，則這50名學(xué)生的平均身高為__cm．【答案】【解析】【分析】由已知數(shù)據(jù)利用平均數(shù)的定義直接求解即可．【詳解】由題意可知(cm).故答案為：165.2【點(diǎn)睛】本題主要考查了一組數(shù)據(jù)的平均分的求解，屬于基礎(chǔ)題．14.樣本容量為10的一組樣本數(shù)據(jù)依次為：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，該組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是__，第75百分位數(shù)是__．【答案】(1).5(2).7【解析】【分析】先把樣本數(shù)據(jù)從小到大排列，由，得到該組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是第5個數(shù)與第6個數(shù)的平均數(shù)；由，得到第75百分位數(shù)第8個數(shù)．【詳解】樣本容量為10的一組樣本數(shù)據(jù)依次為：3，9，0，4，1，6，6，8，2，7，從小到大排列為：0，1，2，3，4，6，6，7，8，9，，該組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是，，第75百分位數(shù)是7．故答案為：5；7．【點(diǎn)睛】本題考查第50百分位數(shù)和第75百分位數(shù)的求法，考査百分位數(shù)的定義等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15.為了考察某校各班參加書法小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)由小到大依次為__．【答案】4，6，7，8，10【解析】【分析】由已知結(jié)合平均數(shù)及方差公式，分析數(shù)據(jù)特點(diǎn)即可求解．【詳解】設(shè)5個數(shù)據(jù)分別為，，，，，由題意可得，，，由于5個數(shù)的平方和為20，則必為，由可得或4，由可得或6，故樣本數(shù)據(jù)為4，6，7，8，10．故答案為：4，6，7，8，10【點(diǎn)睛】本題主要考查了平均數(shù)及方差公式在實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知，．（1）若與同向，求；（2）若與的夾角為，求．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）先設(shè)，再根據(jù)向量共線定理即可求解即可；（2）由已知結(jié)合向量數(shù)量積的定義及數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求解．【詳解】解：（1）設(shè)，由題意可得，存在實(shí)數(shù)，使得，即，，，，所以，，由可得，即或（舍，所以，（2）設(shè)，所以，又因?yàn)椋始?，因?yàn)?，所以，故，?dāng)，時，，當(dāng)，時，．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量共線定理及向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于中檔試題．17.在銳角中，角，，所對的邊分別是，，，已知，．（Ⅰ）能否成立？請說明理由；（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）不成立，理由見解析；（Ⅱ）8．【解析】【分析】（Ⅰ）利用反證法，結(jié)合三角形的性質(zhì)即可判斷；（Ⅱ）根據(jù)余弦定理即可求出．【詳解】（Ⅰ）不成立，理由如下：，，，，，這與為銳角三角形矛盾；（Ⅱ）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，，整理可得，解得或，?dāng)時，，為鈍角，與題意不符合，．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識，考查化歸與轉(zhuǎn)化等思想方法，屬于?？碱}．18.某社區(qū)組織了垃圾分類知識競賽活動，從所有參賽選手中隨機(jī)抽取20人，將他們的得分按照，，，，，，，，，分組，繪成頻率分布直方圖（如圖）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）分別求出抽取的20人中得分落在組和內(nèi)的人數(shù)；（Ⅲ）估計所有參賽選手得分的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分別為2人和3人；（Ⅲ）平均數(shù)為56，中位數(shù)為，眾數(shù)為50．【解析】【分析】（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出．（Ⅱ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)能求出得分落在內(nèi)的人數(shù)和得分落在內(nèi)的人數(shù)．（Ⅲ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得能估計所有參賽選手得分的平均數(shù)、中位數(shù)和所有參賽選手得分的眾數(shù)．【詳解】（Ⅰ）由頻率分布直方圖的性質(zhì)得：，解得；（Ⅱ）由頻率分布直方圖能求出：得分落在內(nèi)的人數(shù)為：，得分落在內(nèi)的人數(shù)為：；（Ⅲ）估計所有參賽選手得分的平均數(shù)為：，設(shè)所有的參賽選手得分的中位數(shù)為，則，解得，則所有參賽選手得分的眾數(shù)估計值為：．【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的求法，考查運(yùn)算求解能力，考查識圖能力，屬于?？碱}．19.某校高一、高二兩個年級共336名學(xué)生同時參與了跳繩、踢毽兩項(xiàng)健身活動，為了了解學(xué)生的運(yùn)動狀況，采用樣本按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從高一、高二兩個年級的學(xué)生中分別抽取7名和5名學(xué)生進(jìn)行測試，如表是高二年級的5名學(xué)生的測試數(shù)據(jù)（單位：個分鐘）學(xué)生編號12345跳繩個數(shù)179181170177183踢毽個數(shù)8276797380（Ⅰ）求高一、高二兩個年級各有多少人？（Ⅱ）從高二年級的學(xué)生中任選一人，試估計該學(xué)生每分鐘跳繩個數(shù)超過175且踢毽個數(shù)超過75的概率；（Ⅲ）高二年級學(xué)生的兩項(xiàng)運(yùn)動的成績哪項(xiàng)更穩(wěn)定？【答案】（Ⅰ）高一、高二各有196、140人；（Ⅱ）；（Ⅲ）高二年級學(xué)生的踢毽的成績更穩(wěn)定．【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用抽樣關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果．（Ⅱ）計算每分鐘跳繩個數(shù)超過175且踢毽個數(shù)超過75的人數(shù)，然后利用古典概型的應(yīng)用求出結(jié)果．（Ⅲ）平均值和方差的公式直接計算，然后進(jìn)行比較，可得結(jié)果．【詳解】（Ⅰ）高一年級的學(xué)生人數(shù)為．高二年級的學(xué)生人數(shù)為．（Ⅱ）設(shè)“該學(xué)生每分鐘跳繩個數(shù)超過175且踢毽個數(shù)超過75”為事件，由表中的數(shù)據(jù)可知：高二年級選出的5名學(xué)生中每分鐘跳繩個數(shù)超過175且踢毽個數(shù)超過75的共有3人，所以從5人中任選一人，事件發(fā)生概率為，由此估計從高二年級的學(xué)生中任選一人，事件發(fā)生的概率為．（Ⅲ）由表中的數(shù)據(jù)可以估計：高二年級的學(xué)生每分鐘跳繩的個數(shù)的平均數(shù)為．高二年級的學(xué)生每分鐘跳繩的個數(shù)的方差為．高二年級的學(xué)生每分鐘踢毽的個數(shù)的平均數(shù)為．高二年級的學(xué)生每分鐘踢毽的個數(shù)的方差為，由于，所以高二年級學(xué)生的踢毽的成績更穩(wěn)定．【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：概率的應(yīng)用，平均數(shù)和方差公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．20.如圖，在五面體中，四邊形是邊長為的正方形，平面⊥平面，.(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)求證：平面⊥平面；(Ⅲ)在線段上是否存在點(diǎn)，使得⊥平面？說明理由.【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）存在點(diǎn)N符合題意【解析】【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出AB∥CD．由此能證明CD∥平面ABFE．（Ⅱ）推導(dǎo)出AE⊥DE，AB⊥AD，從而AB⊥平面ADE，進(jìn)而AB⊥DE，由此能證明DE⊥平面ABFE，從而平面ABFE⊥平面CDEF．（Ⅲ）取CD的中點(diǎn)N，連接FN，推導(dǎo)出四邊形EDNF是平行四邊形，從而FN∥DE，由DE⊥平面ABFE，能證明FN⊥平面ABFE．【詳解】證明：(Ⅰ)在五面體中，因?yàn)樗倪呅问钦叫危?因?yàn)槠矫?平面，所以平面.(Ⅱ)因?yàn)?，所以，所以，即.因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所?因?yàn)槠矫妗推矫?，平面平面，所以⊥平?因?yàn)?所以⊥.因?yàn)樗浴推矫嬉驗(yàn)椋云矫妗推矫?(Ⅲ)在線段上存在點(diǎn)，使得⊥平面.證明如下：取的中點(diǎn)，連接.由（Ⅰ）知,,,所以.因?yàn)樗?所以四邊形是平行四邊形.所以.由(Ⅱ)知，⊥平面，所以.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、面面垂直的證明，考查滿足線面垂直的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，是中檔題．21.在邊長為2的正方形中，點(diǎn)，分別是，上的動點(diǎn)，將，分別沿，折起，使，兩點(diǎn)重合于點(diǎn)．（Ⅰ）若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)（如圖），①求證：；②求三棱錐的體積；（Ⅱ）設(shè)，，當(dāng)，滿足什么關(guān)系時，，兩點(diǎn)才能重合于點(diǎn)？【答案】（Ⅰ）①證明見解析；②；（Ⅱ）當(dāng)，滿足，或時，，兩點(diǎn)才能重合于點(diǎn)．【解析】【分析】（Ⅰ）①運(yùn)用線面垂直的判定和性質(zhì)，先證平面，即可得證；②判斷為直角三角形，求得面積，再判斷為棱錐的高，運(yùn)用棱錐的體積公式，計算可得所求值；（Ⅱ）分別討論：（1）當(dāng)，不是端點(diǎn)，即，時，，兩點(diǎn)重合于，，，有且只有共線和不共線兩種情況．分別討論，可得，的關(guān)系式；（2）當(dāng)，中有一個與重合時，另一個也與重合，可得．【詳解】解：（Ⅰ）①證明：由題意可得，，又平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以；②由已知可得，，，所以，所以△的面積為，由平面，又，所以三棱錐的體積；（Ⅱ）（1）當(dāng)，不是端點(diǎn)，即，時，，兩點(diǎn)重合于，，，有且只有共線和不共線兩種情況．若點(diǎn)，，共線，則；若，，不共線，則，且，由，可得，從而，這在取值范圍內(nèi)恒成立．所以只需考慮，可得，即，兩邊平方可得，即，即，即．（2）當(dāng)，中有一個與重合時，另一個也與重合，此時，而根據(jù)題意，不能與重合，也不能與重合．綜上可得，當(dāng)，滿足，或時，，兩點(diǎn)才能重合于點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查空間線線、線面的位置關(guān)系和棱錐的體積的求法，考查運(yùn)算能力和推理能力、分類討論思想，屬于中檔題．北京市部分重點(diǎn)中學(xué)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（四）一?選擇題1.下列各角中，與角終邊相同的是（）A. B. C. D.2.圓柱的母線長為，底面半徑為，則圓柱的側(cè)面積為（）A.B.C.D.3.（）A.B.C.D.4.設(shè)，且，則（）A.或 B.或C.或 D.或5.設(shè)，均為單位向量，且，則（）A.3 B. C.6 D.96.下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A. B.C. D.7.已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量，的夾角為（）A.45° B.60° C.90° D.135°8.設(shè)，，且，則下列不等關(guān)系中一定成立的是（）A B. C. D.9.將函數(shù)的圖象向右平移()個單位，得到函數(shù)的圖象.在同一坐標(biāo)系中，這兩個函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.10.棱錐被平行于底面的平面所截，得到一個小棱錐和一個棱臺.小棱錐的體積記為y，棱臺的體積記為x，則y與x的函數(shù)圖象為（）A. B.C. D.二?填空題11.已知圓的半徑為2，則的圓心角所對的弧長為______.12.在平面直角坐標(biāo)系中，角和角均以為始邊，它們終邊關(guān)于x軸對稱.若，則______.13.向量，滿足，.若，則實(shí)數(shù)______.14.已知正方體的八個頂點(diǎn)在同一個球面上，若正方體的棱長是2，則球的直徑是______；球的表面積是______.15.已知函數(shù)給出下列三個結(jié)論：①是偶函數(shù)；②有且僅有3個零點(diǎn)；③的值域是.其中，正確結(jié)論的序號是______.16.設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小值為______.三?解答題17.已知，且.（1）求的值；（2）求的值.18.如圖，正三棱錐底面邊長為2，側(cè)棱長為3.（1）求正三棱錐的表面積；（2）求正三棱錐的體積.19.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，.（1）求的值；（2）若，求的面積.20.已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）求在區(qū)間上的最大值；（3）求的單調(diào)遞減區(qū)間.21.如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn).（1）在圖中作出平面和底面交線，并說明理由；（2）平面將正方體分成兩部分，求這兩部分的體積之比.22.如圖，在扇形中，，半徑，P為弧上一點(diǎn).（1）若，求值；（2）求的最小值.答案解析一?選擇題1.下列各角中，與角終邊相同的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】寫出與終邊相同角的集合，取k值得答案.【詳解】與角終邊相同的角的集合為，取，可得.∴與角終邊相同的是.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題.2.圓柱的母線長為，底面半徑為，則圓柱的側(cè)面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式計算即可.【詳解】圓柱的母線長為，底面半徑為，則圓柱的側(cè)面積為.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓柱的側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題.3.（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】直接利用誘導(dǎo)公式得答案.【詳解】依題意.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)，且，則（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】由已知角及范圍，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可求解.【詳解】因?yàn)?，且，則或.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)，均為單位向量，且，則（）A.3 B. C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】利用向量的模的運(yùn)算法則，結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】，均為單位向量，且，則.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量模的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6.下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為增函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，逐一判斷各個選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論.【詳解】解：在區(qū)間上，，沒有單調(diào)性，故排除A.在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，故排除B.在區(qū)間上，單調(diào)遞增，且其最小正周期為，故C正確；根據(jù)函數(shù)以為最小正周期，的周期為，可排除D.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，掌握三角函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7.已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量，的夾角為（）A.45° B.60° C.90° D.135°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)表示，求得的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式，即可求解．【詳解】由題意，可得，，設(shè)向量，的夾角為，則，又因?yàn)?，所以．故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)表示，以及向量夾角公式的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的坐標(biāo)表示，利用向量的夾角公式，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8.設(shè)，，且，則下列不等關(guān)系中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)以及余弦函數(shù)在上的單調(diào)性求解即可.【詳解】因，，且，而在上有增有減；故與大小關(guān)系不確定，在上單調(diào)遞減；若，則成立；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正余弦函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于基礎(chǔ)題.9.將函數(shù)的圖象向右平移()個單位，得到函數(shù)的圖象.在同一坐標(biāo)系中，這兩個函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由圖可知，，根據(jù)函數(shù)圖象的平移變化法則可知，于是推出，即或，，再結(jié)合，解之即可得的值.【詳解】由圖可知，，因?yàn)榈膱D象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，所以，所以，所以或，，解得或，，因，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換，屬于中檔題.10.棱錐被平行于底面的平面所截，得到一個小棱錐和一個棱臺.小棱錐的體積記為y，棱臺的體積記為x，則y與x的函數(shù)圖象為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)棱錐的體積為V，則，即y是關(guān)于x的一次函數(shù)，且單調(diào)遞減，故而得解.【詳解】設(shè)棱錐的體積為V，則V為定值，所以，即y是關(guān)于x的一次函數(shù)，且單調(diào)遞減，故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題.二?填空題11.已知圓的半徑為2，則的圓心角所對的弧長為______.【答案】【解析】【分析】由已知結(jié)合弧長公式即可直接求解.【詳解】由弧長公式可得.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查弧長公式，屬于基礎(chǔ)題.12.在平面直角坐標(biāo)系中，角和角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對稱.若，則______.【答案】【解析】【分析】由題意可得，由此能求出結(jié)果.【詳解】∵在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于x軸對稱，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對稱性，屬于基礎(chǔ)題.13.向量，滿足，.若，則實(shí)數(shù)______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，可列出關(guān)于λ的方程，解之即可.【詳解】解：∵，∴，即，解得.故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直求參數(shù)，考查了向量數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題.14.已知正方體的八個頂點(diǎn)在同一個球面上，若正方體的棱長是2，則球的直徑是______；球的表面積是______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】首先求出外接球的半徑，進(jìn)一步求出球的表面積.【詳解】解：正方體的八個頂點(diǎn)在同一個球面上，若正方體的棱長是2，設(shè)外接球的半徑為r，則，解得，故球直徑為.球的表面積為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查了多面體的外接球問題以及球的表面積公式，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)給出下列三個結(jié)論：①是偶函數(shù)；②有且僅有3個零點(diǎn)；③的值域是.其中，正確結(jié)論的序號是______.【答案】②③【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性判斷①；求出函數(shù)的零點(diǎn)判斷②；函數(shù)的值域判斷③.【詳解】函數(shù)，①由于，所以是非奇非偶函數(shù)，所以①不正確；②，可得，，，所以函數(shù)有且僅有3個零點(diǎn)；所以②正確；③函數(shù)，的值域是，正確；正確結(jié)論的序號是：②③.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性、零點(diǎn)、值域.16.設(shè)函數(shù)，若對任意的實(shí)數(shù)x都成立，則的最小值為______.【答案】2【解析】【分析】由題意可得的最小值為，可得，，解方程可得的最小值.【詳解】解：若對任意的實(shí)數(shù)x都成立，可得的最小值為，可得，，即有，，由，可得的最小值為2，此時.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了基本知識的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題.三?解答題17.已知，且.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求得，再由商的關(guān)系求得；（2）直接利用二倍角的正弦公式、降次公式求解.【詳解】（1）∵，且，∴，則；（2）∵，，∴.【點(diǎn)睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式.18.如圖，正三棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為3.（1）求正三棱錐的表面積；（2）求正三棱錐的體積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)D，連接，利用勾股定理求得，可得三角形的面積，進(jìn)一步可得正三棱錐的側(cè)面積，再求出底面積，則正三棱錐的表面積可求；（2）連接，設(shè)O為正三角形的中心，則底面.求解，再由棱錐體積公式求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)D，連接，在中，可得.∴.∵正三棱錐的三個側(cè)面是全等的等腰三角形，∴正三棱錐的側(cè)面積是.∵正三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，∴.則正三棱錐的表面積為；（2）連接，設(shè)O為正三角形的中心，則底面.且.在中，.∴正三棱錐的體積為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查錐體的表面積和體積的求法，屬于中檔題.19.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，.（1）求的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先根據(jù)求得的值，再由得到，根據(jù)兩角和與差的公式可求得即可；（2）由可求得的值，進(jìn)而根據(jù)正弦定理可求得a，c的關(guān)系，再由可求出a，c的值，最后利用三角形的面積公式即得結(jié)果.【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，所?由已知得.所以.（2）由（1）知，所以且.由正弦定理得.又因?yàn)椋裕?所以.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的正弦定理和面積公式，考查了同角三角關(guān)系和兩角和與差的正弦公式，屬于中檔題.20.已知函數(shù).（1）求的定義域；（2）求在區(qū)間上的最大值；（3）求的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】（1）；（2）1；（3）.【解析】【分析】（1）由分母不為零得到，即求解.（2）利用二倍角公式和輔助角法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解.（3）由（2）知，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，令求解.【詳解】（1）因，即，解得，所以的定義域是（2）因?yàn)?，，又，所以，，所以區(qū)間上的最大值是1；（3）令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間.是【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，二倍角公式，輔助角法以及三角函數(shù)的性質(zhì)，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題.21.如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn).（1）在圖中作出平面和底面的交線，并說明理由；（2）平面將正方體分成兩部分，求這兩部分的體積之比.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）在正方形中，直線與直線相交，設(shè)，連接，可證平面且平面，得到平面平面；（2）設(shè)，連接，證明，則平面將正方體分成兩部分，其中一部分是三棱臺.設(shè)正方體的棱長為2.求出棱臺的體積，由正方體體積減去棱臺體積可得另一部分幾何體的體積作比得答案.【詳解】（1）在正方形中，直線與直線相交，設(shè)，連接，∵，平面，則平面，∵，平面，∴平面.∴平面平面.（2）設(shè)，連接，由E為的中點(diǎn)，得G為的中點(diǎn)，∴，則平面將正方體分成兩部分，其中一部分是三棱臺.設(shè)正方體的棱長為2..∴另一部分幾何體的體積為.∴兩部分的體積比為【點(diǎn)睛】本小題主要考查面與面位置關(guān)系，考查幾何體體積的求法.22.如圖，在扇形中，，半徑，P為弧上一點(diǎn).（1）若，求的值；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先通過倒角運(yùn)算得出，，再在中，由余弦定理可求得，然后根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義，代入數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算即可得解；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，用含有的式子表示出，再利用三角恒等變換公式和正弦函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時，如圖所示，∵，∴，，∴，在中，由余弦定理，得，∴，又，∴（2）以O(shè)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，∵，，∴，設(shè)，其中，則.∵，∴，，∴當(dāng)，即時，取得最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)表示，考查平面向量的數(shù)量積，考查余弦定理，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題．北京市部分重點(diǎn)中學(xué)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（五）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的，把答案填在答題卡上.1.已知的值等于（）A. B.C. D.2.若，，則（）A. B.C. D.3.與角終邊相同的角為（）A. B.C. D.4.已知向量，，滿足，則（）A.1 B. C.4 D.5.若角終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.6.已知向量，，且，則坐標(biāo)可以為（）A. B.C. D.7.棱長為3的正方體的8個頂點(diǎn)均在同一個球面上，則此球的體積為（）A. B.C. D.8.非零向量滿足且與夾角為，則“”是“”的（）A.必要而不充分條件 B.充分而不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.若函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為（）．A. B. C. D.10.已知一個正方體和一個圓柱等高，并且側(cè)面積相等，則這個正方體和圓柱體積之比為（）A. B.C. D.二