人教版必修二《第六章 平面向量及其應(yīng)用》復(fù)習(xí)教案

人教版必修二《第六章平面向量及其應(yīng)用》復(fù)習(xí)教案6.1平面向量的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解向量的有關(guān)概念及向量的幾何表示．(重點)2．理解共線向量、相等向量的概念．(難點)3．正確區(qū)分向量平行與直線平行．(易混點)1.從物理背景、幾何背景入手，從矢量概念引入向量的概念，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．類比實數(shù)在數(shù)軸上的表示，給出向量的幾何意義，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng)．3．通過相等向量和平行向量的學(xué)習(xí)，提升邏輯推理的核心素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】1．向量與數(shù)量(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量．(2)數(shù)量：只有大小沒有方向的量稱為數(shù)量．2．向量的幾何表示(1)具有方向的線段叫做有向線段．它包含三個要素：起點、方向、長度．(2)向量可以用有向線段eq\o(AB,\s\up14(→))來表示．向量eq\o(AB,\s\up14(→))的大小稱為向量eq\o(AB,\s\up14(→))的長度(或稱模)，記作|eq\o(AB,\s\up14(→))|.向量也可以用字母a，b，c，…表示，或用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，例如：eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→)).思考：(1)向量可以比較大小嗎？(2)有向線段就是向量嗎？[提示](1)向量不能比較大小，但向量的模可以比較大?。?2)有向線段只是表示向量的一個圖形工具，它不是向量．3．向量的有關(guān)概念零向量長度為0的向量，記作0單位向量長度等于1個單位長度的向量平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，記作a∥b規(guī)定：零向量與任意向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量向量a與b相等，記作a＝b1．正n邊形有n條邊，它們對應(yīng)的向量依次為a1，a2，a3，…，an，則這n個向量()A．都相等 B．都共線C．都不共線 D．模都相等D[因為多邊形為正多邊形，所以邊長相等，所以各邊對應(yīng)向量的模都相等．]2．有下列物理量：①質(zhì)量；②溫度；③角度；④彈力；⑤風(fēng)速．其中可以看成是向量的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個B[①②③不是向量，④⑤是向量．]3．已知|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝1，|eq\o(AC,\s\up14(→))|＝2，若∠ABC＝90°，則|eq\o(BC,\s\up14(→))|＝________.eq\r(,3)[△ABC是以B為直角的直角三角形，所以|eq\o(BC,\s\up14(→))|＝eq\r(,22－12)＝eq\r(,3).]4．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則圖中相等的向量是________(填序號)．(1)eq\o(AD,\s\up14(→))與eq\o(BC,\s\up14(→))；(2)eq\o(OB,\s\up14(→))與eq\o(OD,\s\up14(→))；(3)eq\o(AC,\s\up14(→))與eq\o(BD,\s\up14(→))；(4)eq\o(AO,\s\up14(→))與eq\o(OC,\s\up14(→)).(1)(4)[由平行四邊形的性質(zhì)和相等向量的定義可知：eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(OB,\s\up14(→))≠eq\o(OD,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))≠eq\o(BD,\s\up14(→))，eq\o(AO,\s\up14(→))＝eq\o(OC,\s\up14(→)).]【合作探究】向量的有關(guān)概念【例1】判斷下列命題是否正確，請說明理由：(1)若向量a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；(2)若向量|a|＝|b|，則a與b的長度相等且方向相同或相反；(3)對于任意向量|a|＝|b|，若a與b的方向相同，則a＝b；(4)由于0方向不確定，故0不與任意向量平行；(5)向量a與向量b平行，則向量a與b方向相同或相反．[思路探究]解答本題應(yīng)根據(jù)向量的有關(guān)概念，注意向量的大小、方向兩個要素．[解](1)不正確．因為向量由兩個因素來確定，即大小和方向，所以兩個向量不能比較大?。?2)不正確．由|a|＝|b|只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們的方向關(guān)系．(3)正確．因為|a|＝|b|，且a與b同向，由兩向量相等的條件，可得a＝b.(4)不正確．依據(jù)規(guī)定：0與任意向量平行．(5)不正確．因為向量a與向量b若有一個是零向量，則其方向不定．1．理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)單位向量不一定相等，不要忽略其方向．2．共線向量與平行向量(1)平行向量也稱為共線向量，兩個概念沒有區(qū)別；(2)共線向量所在直線可以平行，與平面幾何中的共線不同；(3)平行向量可以共線，與平面幾何中的直線平行不同．提醒：解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長度．1．給出下列命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若單位向量的起點相同，則終點相同；③起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；④向量eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))是共線向量，則A，B，C，D四點必在同一直線上．其中正確命題的序號是________．③[①錯誤．若b＝0，則①不成立；②錯誤．起點相同的單位向量，終點未必相同；③正確．對于一個向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動的；④錯誤．共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))必須在同一直線上．]向量的表示及應(yīng)用【例2】(1)如圖，B，C是線段AD的三等分點，分別以圖中各點為起點和終點，可以寫出________個向量．(2)在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個小方格邊長為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：①eq\o(OA,\s\up14(→))，使|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝4eq\r(2)，點A在點O北偏東45°；②eq\o(AB,\s\up14(→))，使|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝4，點B在點A正東；③eq\o(BC,\s\up14(→))，使|eq\o(BC,\s\up14(→))|＝6，點C在點B北偏東30°.(1)12[可以寫出12個向量，分別是：eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(AD,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(BD,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))，eq\o(BA,\s\up14(→))，eq\o(CA,\s\up14(→))，eq\o(DA,\s\up14(→))，eq\o(CB,\s\up14(→))，eq\o(DB,\s\up14(→))，eq\o(DC,\s\up14(→)).](2)[解]①由于點A在點O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝4eq\r(2)，小方格邊長為1，所以點A距點O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點A位置可以確定，畫出向量eq\o(OA,\s\up14(→))如圖所示．②由于點B在點A正東方向處，且|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝4，所以在坐標(biāo)紙上點B距點A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點B位置可以確定，畫出向量eq\o(AB,\s\up14(→))如圖所示．③由于點C在點B北偏東30°處，且|eq\o(BC,\s\up14(→))|＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點C距點B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為3eq\r(3)≈5.2，于是點C位置可以確定，畫出向量eq\o(BC,\s\up14(→))如圖所示．1．向量的兩種表示方法(1)幾何表示法：先確定向量的起點，再確定向量的方向，最后根據(jù)向量的長度確定向量的終點．(2)字母表示法：為了便于運算可用字母a，b，c表示，為了聯(lián)系平面幾何中的圖形性質(zhì)，可用表示向量的有向線段的起點與終點表示向量，如eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))，eq\o(EF,\s\up14(→))等．2．兩種向量表示方法的作用(1)用幾何表示法表示向量，便于用幾何方法研究向量運算，為用向量處理幾何問題打下了基礎(chǔ)．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的運算．2．某人從A點出發(fā)向東走了5米到達B點，然后改變方向沿東北方向走了10eq\r(2)米到達C點，到達C點后又改變方向向西走了10米到達D點．(1)作出向量eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))；(2)求eq\o(AD,\s\up14(→))的模．[解](1)作出向量eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))，如圖所示：(2)由題意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10eq\r(2)米，CD＝10米，所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝eq\r(52＋102)＝5eq\r(5)(米)，所以|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝5eq\r(5)米.相等向量和共線向量[探究問題]1．兩個相等的非零向量的起點與終點是否都分別重合？[提示]不一定．因為向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，與起點和終點位置無關(guān)．2．若eq\o(AB,\s\up14(→))∥eq\o(CD,\s\up14(→))，則從直線AB與直線CD的關(guān)系和eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))的方向關(guān)系兩個方面考慮有哪些情況？[提示]分四種情況(1)直線AB和直線CD重合，eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))同向；(2)直線AB和直線CD重合，eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))反向；(3)直線AB∥直線CD，eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))同向；(4)直線AB∥直線CD，eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(CD,\s\up14(→))反向．【例3】如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，eq\o(OC,\s\up14(→))＝c.(1)與a的長度相等、方向相反的向量有哪些？(2)與a共線的向量有哪些？(3)請一一列出與a，b，c相等的向量．[思路探究]根據(jù)相等向量與共線向量的概念尋找所求向量．[解](1)與a的長度相等、方向相反的向量有eq\o(OD,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(AO,\s\up14(→))，eq\o(FE,\s\up14(→)).(2)與a共線的向量有eq\o(EF,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(OD,\s\up14(→))，eq\o(FE,\s\up14(→))，eq\o(CB,\s\up14(→))，eq\o(DO,\s\up14(→))，eq\o(AO,\s\up14(→))，eq\o(DA,\s\up14(→))，eq\o(AD,\s\up14(→)).(3)與a相等的向量有eq\o(EF,\s\up14(→))，eq\o(DO,\s\up14(→))，eq\o(CB,\s\up14(→))；與b相等的向量有eq\o(DC,\s\up14(→))，eq\o(EO,\s\up14(→))，eq\o(FA,\s\up14(→))；與c相等的向量有eq\o(FO,\s\up14(→))，eq\o(ED,\s\up14(→))，eq\o(AB,\s\up14(→)).1．本例條件不變，寫出與向量eq\o(BC,\s\up14(→))相等的向量．[解]相等向量是指長度相等、方向相同的向量，所以題圖中與eq\o(BC,\s\up14(→))相等的向量有eq\o(AO,\s\up14(→))，eq\o(OD,\s\up14(→))，eq\o(FE,\s\up14(→)).2．本例條件不變，寫出與向量eq\o(BC,\s\up14(→))長度相等的共線向量．[解]與eq\o(BC,\s\up14(→))長度相等的共線向量有：eq\o(CB,\s\up14(→))，eq\o(OD,\s\up14(→))，eq\o(DO,\s\up14(→))，eq\o(AO,\s\up14(→))，eq\o(OA,\s\up14(→))，eq\o(FE,\s\up14(→))，eq\o(EF,\s\up14(→)).3．在本例中，若|a|＝1，則正六邊形的邊長如何？[解]由正六邊形中，每邊與中心連接成的三角形均為正三角形，所以△FOA為等邊三角形，所以邊長AF＝|a|＝1.相等向量與共線向量的探求方法(1)尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些同向共線．(2)尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構(gòu)造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量．提醒：與向量平行相關(guān)的問題中，不要忽視零向量．1．向量是近代數(shù)學(xué)重要的和基本的數(shù)學(xué)概念之一，有深刻的幾何和物理背景，它是溝通代數(shù)、幾何的一種工具，注意向量與數(shù)量的區(qū)別與聯(lián)系．2．從定義上看，向量有大小和方向兩個要素，而有向線段有起點、方向和長度三個要素，因此它們是兩個不同的量．在空間中，有向線段是固定的，而向量是可以自由移動的．向量可以用有向線段表示，但并不能說向量就是有向線段．3．共線向量與平行向量是一組等價的概念．兩個共線向量不一定要在一條直線上．當(dāng)然，同一直線上的向量也是平行向量．4．注意兩個特殊向量——零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行，單位向量有無窮多個，起點相同的所有單位向量的終點在平面內(nèi)形成一個單位圓.【課堂達標(biāo)訓(xùn)練】1．判斷正誤(1)長度為0的向量都是零向量．()(2)零向量的方向都是相同的．()(3)單位向量的長度都相等．()(4)單位向量都是同方向.()(5)任意向量與零向量都共線．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×(5)√2．汽車以120km/h的速度向西走了2h，摩托車以45km/h的速度向東北方向走了2h，則下列命題中正確的是()A．汽車的速度大于摩托車的速度B．汽車的位移大于摩托車的位移C．汽車走的路程大于摩托車走的路程D．以上都不對C[速度、位移是向量，既有大小，又有方向，不能比較大小，路程可以比較大?。甝3．在下列命題中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個非零向量的兩個向量是共線向量．正確的命題是________．④⑥[由向量的相關(guān)概念可知④⑥正確．]4．如圖所示，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于O點，∠DAB＝60°，分別以A，B，C，D，O中的不同兩點為始點與終點的向量中，(1)寫出與eq\o(DA,\s\up14(→))平行的向量；(2)寫出與eq\o(DA,\s\up14(→))模相等的向量．[解]由題圖可知，(1)與eq\o(DA,\s\up14(→))平行的向量有：eq\o(AD,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(CB,\s\up14(→))；(2)與eq\o(DA,\s\up14(→))模相等的向量有：eq\o(AD,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(CB,\s\up14(→))，eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(BA,\s\up14(→))，eq\o(DC,\s\up14(→))，eq\o(CD,\s\up14(→))，eq\o(BD,\s\up14(→))，eq\o(DB,\s\up14(→)).6.2平面向量的運算6.2.1向量的加法運算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的幾何意義及運算律．(難點)2.掌握向量加法運算法則，能熟練地進行向量加法運算．(重點)3.能區(qū)分?jǐn)?shù)的加法與向量的加法的聯(lián)系與區(qū)別．(易混點)1.教材從幾何角度給出向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，結(jié)合了對應(yīng)的物理模型，提升直觀想象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).2.對比數(shù)的加法，給出了向量的加法運算律，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).【自主預(yù)習(xí)】1．向量加法的定義定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法．對于零向量與任意向量a，規(guī)定0＋a＝a＋0＝a.2．向量求和的法則三角形法則已知非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點A，作eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(BC,\s\up14(→))＝b，則向量eq\o(AC,\s\up14(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝Aeq\o(B,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→)).平行四邊形法則已知兩個不共線向量a，b，作eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，以eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(AD,\s\up14(→))為鄰邊作?ABCD，則對角線上的向量eq\o(AC,\s\up14(→))＝a＋b.思考：兩個向量相加就是兩個向量的模相加嗎？[提示]不是，向量的相加滿足三角形法則，而模相加是數(shù)量的加法．3．向量加法的運算律(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1．下列各式不一定成立的是()A．a(chǎn)＋b＝b＋a B．0＋a＝aC.eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→)) D．|a＋b|＝|a|＋|b|D[A，B，C項滿足運算律，而D項向量和的模不一定與向量模的和相等，滿足三角形法則．]2.eq\o(CB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))等于()A.eq\o(DB,\s\up14(→)) B.eq\o(CA,\s\up14(→))C.eq\o(CD,\s\up14(→)) D.eq\o(DC,\s\up14(→))C[eq\o(CB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))＝eq\o(CB,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(CD,\s\up14(→)).]3．如圖，在平行四邊形ABCD中，eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝________.eq\o(DB,\s\up14(→))[由平行四邊形法則可知eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(DB,\s\up14(→)).]4．小船以10eq\r(,3)km/h的速度按垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為10km/h，則小船實際航行速度的大小為________km/h.20[根據(jù)平行四邊形法則，因為水流方向與船速方向垂直，所以小船實際速度大小為eq\r(,10\r(,3)2＋102)＝20(km/h)．]【合作探究】向量加法的三角形法則和平行四邊形法則[探究問題]1．求作兩個向量和的法則有哪些？這些法則的物理模型是什么？[提示](1)平行四邊形法則，對應(yīng)的物理模型是力的合成等．(2)三角形法則，對應(yīng)的物理模型是位移的合成等．2．設(shè)A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面內(nèi)的點，則一般情況下，eq\o(A1A2,\s\up14(→))＋eq\o(A2A3,\s\up14(→))＋eq\o(A3A4,\s\up14(→))＋…＋An－1An的運算結(jié)果是什么？[提示]將三角形法則進行推廣可知eq\o(A1A2,\s\up14(→))＋eq\o(A2A3,\s\up14(→))＋eq\o(A3A4,\s\up14(→))＋…＋An－1An＝eq\o(A1An,\s\up14(→)).【例1】(1)如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，F(xiàn)為線段DE延長線上一點，DE∥BC，AB∥CF，連接CD，那么(在橫線上只填一個向量)：①eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(DF,\s\up14(→))＝________；②eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(FC,\s\up14(→))＝________；③eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(FC,\s\up14(→))＝________.(2)①如圖甲所示，求作向量和a＋b；②如圖乙所示，求作向量和a＋b＋c.甲乙[思路探究](1)先由平行四邊形的性質(zhì)得到有關(guān)的相等向量，并進行代換，然后用三角形法則化簡．(2)用三角形法則或平行四邊形法則畫圖．(1)①eq\o(AC,\s\up14(→))②eq\o(AB,\s\up14(→))③eq\o(AC,\s\up14(→))[如題圖，由已知得四邊形DFCB為平行四邊形，由向量加法的運算法則可知：①eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(DF,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→)).②eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(FC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DB,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→)).③eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(FC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DF,\s\up14(→))＋eq\o(FC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→)).](2)[解]①首先作向量eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，然后作向量eq\o(AB,\s\up14(→))＝b，則向量eq\o(OB,\s\up14(→))＝a＋b.如圖所示．②法一(三角形法則)：如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，再作向量eq\o(AB,\s\up14(→))＝b，則得向量eq\o(OB,\s\up14(→))＝a＋b，然后作向量eq\o(BC,\s\up14(→))＝c，則向量eq\o(OC,\s\up14(→))＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即為所求．法二(平行四邊形法則)：如圖所示，首先在平面內(nèi)任取一點O，作向量eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，eq\o(OC,\s\up14(→))＝c，以O(shè)A，OB為鄰邊作?OADB，連接OD，則eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OB,\s\up14(→))＝a＋b.再以O(shè)D，OC為鄰邊作?ODEC，連接OE，則eq\o(OE,\s\up14(→))＝eq\o(OD,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＝a＋b＋c即為所求．1．在本例(1)條件下，求eq\o(CB,\s\up14(→))＋eq\o(CF,\s\up14(→)).[解]因為BC∥DF，BD∥CF，所以四邊形BCFD是平行四邊形，所以eq\o(CB,\s\up14(→))＋eq\o(CF,\s\up14(→))＝eq\o(CD,\s\up14(→)).2．在本例(1)圖形中求作向量eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(DF,\s\up14(→))＋eq\o(CF,\s\up14(→)).[解]過A作AG∥DF交CF的延長線于點G，則eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(DF,\s\up14(→))＝eq\o(DG,\s\up14(→))，作eq\o(GH,\s\up14(→))＝eq\o(CF,\s\up14(→))，連接eq\o(DH,\s\up14(→))，則eq\o(DH,\s\up14(→))＝eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(DF,\s\up14(→))＋eq\o(CF,\s\up14(→))，如圖所示．1．向量求和的注意點(1)三角形法則對于兩個向量共線時也適用．(2)兩個向量的和向量仍是一個向量．(3)平行四邊形法則對于兩個向量共線時不適用．2．利用三角形法則時，要注意兩向量“首尾順次相連”，其和向量為“起點指向終點”的向量；利用平行四邊形法則要注意兩向量“共起點”，其和向量為共起點的“對角線”向量．提醒：(1)當(dāng)兩個向量不共線時，向量加法的三角形法則和平行四邊形法則是統(tǒng)一的；(2)三角形法則作出的圖形是平行四邊形法則作出的圖形的一半．向量加法運算律的應(yīng)用【例2】(1)化簡：①eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))；②eq\o(DB,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))；③eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(DF,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(FA,\s\up14(→)).(2)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，化簡下列各式：①eq\o(DG,\s\up14(→))＋eq\o(EA,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→))；②eq\o(EG,\s\up14(→))＋eq\o(CG,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(EB,\s\up14(→)).[思路探究]根據(jù)向量加法的交換律使各向量首尾連接，再運用向量的結(jié)合律調(diào)整向量順序后相加．[解](1)①eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))；②eq\o(DB,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(DB,\s\up14(→))＝0；③eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(DF,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(FA,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(DF,\s\up14(→))＋eq\o(FA,\s\up14(→))＝0.(2)①eq\o(DG,\s\up14(→))＋eq\o(EA,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→))＝eq\o(GC,\s\up14(→))＋eq\o(BE,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→))＝eq\o(GC,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→))＋eq\o(BE,\s\up14(→))＝eq\o(GB,\s\up14(→))＋eq\o(BE,\s\up14(→))＝eq\o(GE,\s\up14(→))；②eq\o(EG,\s\up14(→))＋eq\o(CG,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(EB,\s\up14(→))＝eq\o(EG,\s\up14(→))＋eq\o(GD,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\o(ED,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(AE,\s\up14(→))＝eq\o(EA,\s\up14(→))＋eq\o(AE,\s\up14(→))＝0.向量加法運算律的意義和應(yīng)用原則(1)意義：向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù)，實現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運算的目的．實際上，由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進行．(2)應(yīng)用原則：利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律，使各向量“首尾相連”，通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序．1．向量(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(PB,\s\up14(→)))＋(eq\o(BO,\s\up14(→))＋eq\o(BM,\s\up14(→)))＋eq\o(OP,\s\up14(→))化簡后等于()A.eq\o(BC,\s\up14(→)) B.eq\o(AB,\s\up14(→))C.eq\o(AC,\s\up14(→)) D.eq\o(AM,\s\up14(→))D[原式＝(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BM,\s\up14(→)))＋(eq\o(PB,\s\up14(→))＋eq\o(BO,\s\up14(→))＋eq\o(OP,\s\up14(→)))＝eq\o(AM,\s\up14(→))＋0＝eq\o(AM,\s\up14(→)).]向量加法的實際應(yīng)用[思路探究][解]如圖所示，設(shè)eq\o(CE,\s\up14(→))，eq\o(CF,\s\up14(→))分別表示A，B所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up14(→))表示，則eq\o(CE,\s\up14(→))＋eq\o(CF,\s\up14(→))＝eq\o(CG,\s\up14(→)).易得∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°.∴|eq\o(CE,\s\up14(→))|＝|eq\o(CG,\s\up14(→))|·cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)，|eq\o(CF,\s\up14(→))|＝|eq\o(CG,\s\up14(→))|·cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5.∴A處所受的力的大小為5eq\r(3)N，B處所受的力的大小為5N.利用向量的加法解決實際應(yīng)用題的三個步驟2．在某地抗震救災(zāi)中，一架飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800km到達B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800km送往C地醫(yī)院，求這架飛機飛行的路程及兩次位移的和．[解]設(shè)eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))分別表示飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800km，從B地按南偏東55°的方向飛行800km，則飛機飛行的路程指的是|eq\o(AB,\s\up14(→))|＋|eq\o(BC,\s\up14(→))|；兩次飛行的位移的和是eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→)).依題意，有|eq\o(AB,\s\up14(→))|＋|eq\o(BC,\s\up14(→))|＝800＋800＝1600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|eq\o(AC,\s\up14(→))|＝eq\r(,\O(|\o(AB,\s\up14(→))|2＋|\o(BC,\s\up14(→))|2))＝eq\r(,8002＋8002)＝800eq\r(,2)(km)．其中∠BAC＝45°，所以方向為北偏東35°＋45°＝80°.從而飛機飛行的路程是1600km，兩次飛行的位移和的大小為800eq\r(,2)km，方向為北偏東80°.1．三角形法則和平行四邊形法則都是求向量和的基本方法，兩個法則是統(tǒng)一的，當(dāng)兩個向量首尾相連時，常選用三角形法則；當(dāng)兩個向量共起點時，常選用平行四邊形法則．2．向量的加法滿足交換律，因此在進行多個向量的加法運算時，可以按照任意的次序和任意的組合去進行．3．使用向量加法的三角形法則時要特別注意“首尾相接”．和向量的特征是從第一個向量的起點指向第二個向量的終點．向量相加的結(jié)果是向量，如果結(jié)果是零向量，一定要寫成0，而不能寫成0.【課堂達標(biāo)訓(xùn)練】1．判斷正誤(1)任意兩個向量的和仍然是一個向量．()(2)兩個向量相加實際上就是兩個向量的模相加．()(3)任意兩個向量的和向量不可能與這兩個向量共線．()(4)|a|＋|b|＞|a＋b|.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×2．對于任意一個四邊形ABCD，下列式子不能化簡為eq\o(BC,\s\up14(→))的是()A.eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→)) B.eq\o(BD,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))C.eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→)) D.eq\o(DC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))C[在A中，eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(BD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))；在B中，eq\o(BD,\s\up14(→))＋eq\o(DA,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))；在C中，eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))；在D中，eq\o(DC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(BD,\s\up14(→))＋eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→)).]3．若a表示“向東走8km”，b表示“向北走8km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．8eq\r(2)km東北方向[如圖所示，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(AB,\s\up14(→))＝b，則a＋b＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→)).所以|a＋b|＝|eq\o(OB,\s\up14(→))|＝eq\r(82＋82)＝8eq\r(2)(km)，因為∠AOB＝45°，所以a＋b的方向是東北方向．]4．如圖所示，設(shè)O為正六邊形ABCDEF的中心，求下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))；(2)eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→)).[解](1)由題圖可知，四邊形OABC為平行四邊形．由向量加法的平行四邊形法則，得eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→)).(2)由題圖可知，eq\o(BC,\s\up14(→))＝eq\o(FE,\s\up14(→))＝eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\o(AO,\s\up14(→))，∴eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(FE,\s\up14(→))＝eq\o(AO,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→)).6.2.2向量的減法運算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解相反向量的含義，能用相反向量說出向量減法的意義．(難點)2.掌握向量減法的運算及其幾何意義，能熟練地進行向量的加減運算．(重點)3.能將向量的減法運算轉(zhuǎn)化為向量的加法運算．(易混點)1.類比數(shù)的運算，自然引入向量的減法運算是加法運算的逆運算，順利給出向量減法的三角形法則，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).2.通過對向量的加法的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運算和邏輯推理能力.【自主預(yù)習(xí)】1．相反向量(1)定義：與向量a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量．(2)性質(zhì)：①－(－a)＝a.②對于相反向量有：a＋(－a)＝0.③若a，b互為相反向量，則a＝－b，a＋b＝0.2．向量的減法(1)定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個向量相當(dāng)于加上這個向量的相反向量．(2)作法：在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，則向量eq\o(BA,\s\up14(→))＝a－b，如圖所示．思考：在什么條件下，|a－b|＝|a|＋|b|?[提示]當(dāng)a，b至少有一者為0或a，b非零且反向時成立．1．非零向量m與n是相反向量，下列不正確的是()A．m＝n B．m＝－nC．|m|＝|n| D．方向相反A[由條件可知，當(dāng)m≠0且n≠0時B，C，D項都成立，故選A.]2．在菱形ABCD中，下列等式中不成立的是()A.eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))B.eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(AB,\s\up14(→))C.eq\o(BD,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))D.eq\o(BD,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→))＝eq\o(BC,\s\up14(→))C[如圖，根據(jù)向量減法的三角形法則知A、B、D均正確，C中，eq\o(BD,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))－(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→)))＝－2eq\o(AB,\s\up14(→))≠eq\o(BC,\s\up14(→))，故選C.]3．化簡eq\o(OP,\s\up14(→))－eq\o(QP,\s\up14(→))＋eq\o(PS,\s\up14(→))＋eq\o(SP,\s\up14(→))的結(jié)果等于()A.eq\o(QP,\s\up14(→)) B.eq\o(OQ,\s\up14(→))C.eq\o(SP,\s\up14(→)) D.eq\o(SQ,\s\up14(→))B[原式＝(eq\o(OP,\s\up14(→))＋eq\o(PQ,\s\up14(→)))＋(eq\o(PS,\s\up14(→))＋eq\o(SP,\s\up14(→)))＝eq\o(OQ,\s\up14(→))＋0=eq\o(OQ,\s\up14(→)).]4．如圖，在?ABCD中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(AC,\s\up14(→))，eq\o(BD,\s\up14(→))，則eq\o(AC,\s\up14(→))＝________，eq\o(BD,\s\up14(→))＝________.a＋bb－a[由向量加法的平行四邊形法則，及向量減法的運算法則可知eq\o(AC,\s\up14(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up14(→))＝b－a.]【合作探究】向量減法的幾何意義【例1】(1)如圖所示，四邊形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，eq\o(BC,\s\up14(→))＝c，則eq\o(DC,\s\up14(→))＝()A．a(chǎn)－b＋cB．b－(a＋c)C．a(chǎn)＋b＋cD．b－a＋c(2)如圖所示，已知向量a，b，c不共線，求作向量a＋b－c.[思路探究](1)利用向量減法和加法的幾何意義，將eq\o(DC,\s\up14(→))向eq\o(AB,\s\up14(→))，eq\o(BC,\s\up14(→))，eq\o(AD,\s\up14(→))轉(zhuǎn)化；(2)利用幾何意義法與定義法求出a＋b－c的值．(1)A[eq\o(DC,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))＝(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→)))－eq\o(AD,\s\up14(→))＝a＋c－b.](2)[解]法一：(幾何意義法)如圖①所示，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(AB,\s\up14(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up14(→))＝a＋b，再作eq\o(OC,\s\up14(→))＝c，則eq\o(CB,\s\up14(→))＝a＋b－c.法二：(定義法)如圖②所示，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(AB,\s\up14(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up14(→))＝a＋b，再作eq\o(BC,\s\up14(→))＝－c，連接OC，則eq\o(OC,\s\up14(→))＝a＋b－c.圖①圖②求作兩個向量的差向量的兩種思路(1)可以轉(zhuǎn)化為向量的加法來進行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量．1．如圖，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.[解]法一：先作a－b，再作a－b－c即可．如圖①所示，以A為起點分別作向量eq\o(AB,\s\up14(→))和eq\o(AC,\s\up14(→))，使eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AC,\s\up14(→))＝b.連接CB，得向量eq\o(CB,\s\up14(→))＝a－b，再以C為起點作向量eq\o(CD,\s\up14(→))，使eq\o(CD,\s\up14(→))＝c，連接DB，得向量eq\o(DB,\s\up14(→)).則向量eq\o(DB,\s\up14(→))即為所求作的向量a－b－c.圖①圖②法二：先作－b，－c，再作a＋(－b)＋(－c)，如圖②.(1)作eq\o(AB,\s\up14(→))＝－b和eq\o(BC,\s\up14(→))＝－c；(2)作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，則eq\o(OC,\s\up14(→))＝a－b－c.向量減法的運算及簡單應(yīng)用【例2】(1)如圖所示，①用a，b表示eq\o(DB,\s\up14(→))；②用b，c表示eq\o(EC,\s\up14(→)).(2)化簡下列各向量的表達式：①eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))；②(eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→)))－(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(BD,\s\up14(→)))；③(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(BO,\s\up14(→))＋eq\o(OA,\s\up14(→)))－(eq\o(DC,\s\up14(→))－eq\o(DO,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→)))．[思路探究]按照向量加法和減法的運算法則進行化簡，進行減法運算時，必須保證兩個向量的起點相同．[解](1)由題意知eq\o(BC,\s\up14(→))＝a，eq\o(CD,\s\up14(→))＝b，eq\o(DE,\s\up14(→))＝c.①eq\o(DB,\s\up14(→))＝eq\o(CB,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→))＝－eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→))＝－a－b.②eq\o(EC,\s\up14(→))＝－eq\o(CE,\s\up14(→))＝－(eq\o(CD,\s\up14(→))＋eq\o(DE,\s\up14(→)))＝－b－c.(2)①eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→)).②(eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→)))－(eq\o(AC,\s\up14(→))－eq\o(BD,\s\up14(→)))＝(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→)))－(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→)))＝eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))＝0.③(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(BO,\s\up14(→))＋eq\o(OA,\s\up14(→)))－(eq\o(DC,\s\up14(→))－eq\o(DO,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→)))＝(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(BA,\s\up14(→)))－(eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→)))＝eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(BC,\s\up14(→))＝0.(2)②法一：(加法法則)原式＝eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→))＝(eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→)))－(eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(CD,\s\up14(→)))＝eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))＝0；法二：減法法則(利用相反向量)原式＝eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→))＝(eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→)))＋(eq\o(DC,\s\up14(→))－eq\o(DB,\s\up14(→)))＝eq\o(CB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＝0；法三：減法法則(創(chuàng)造同一起點)原式＝eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(CD,\s\up14(→))－eq\o(AC,\s\up14(→))＋eq\o(BD,\s\up14(→))＝(eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→)))－(eq\o(OD,\s\up14(→))－eq\o(OC,\s\up14(→)))－(eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→)))＋(eq\o(OD,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→)))＝eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))－eq\o(OD,\s\up14(→))＋eq\o(OC,\s\up14(→))－eq\o(OC,\s\up14(→))＋eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(OD,\s\up14(→))－eq\o(OB,\s\up14(→))＝0.1．向量減法運算的常用方法2．向量加減法化簡的兩種形式(1)首尾相連且為和．(2)起點相同且為差．解題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時注意逆向應(yīng)用．3．與圖形相關(guān)的向量運算化簡首先要利用向量加減的運算法則、運算律，其次要分析圖形的性質(zhì)，通過圖形中向量的相等、平行等關(guān)系輔助化簡運算．2．化簡下列向量表達式：(1)eq\o(OM,\s\up14(→))－eq\o(ON,\s\up14(→))＋eq\o(MP,\s\up14(→))－eq\o(NA,\s\up14(→))；(2)(eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(BM,\s\up14(→)))＋(eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(MC,\s\up14(→)))．[解](1)eq\o(OM,\s\up14(→))－eq\o(ON,\s\up14(→))＋eq\o(MP,\s\up14(→))－eq\o(NA,\s\up14(→))＝eq\o(NM,\s\up14(→))＋eq\o(MP,\s\up14(→))－eq\o(NA,\s\up14(→))＝eq\o(NP,\s\up14(→))－eq\o(NA,\s\up14(→))＝eq\o(AP,\s\up14(→)).(2)(eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(BM,\s\up14(→)))＋(eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(MC,\s\up14(→)))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋eq\o(MB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CM,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋(eq\o(MB,\s\up14(→))＋eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CM,\s\up14(→)))＝eq\o(AD,\s\up14(→))＋0＝eq\o(AD,\s\up14(→)).向量減法幾何意義的應(yīng)用[探究問題]1．以向量加法的平行四邊形法則為基礎(chǔ)，能否構(gòu)造一個圖形將a＋b和a－b放在這個圖形中？[提示]如圖所示，平行四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，則a＋b＝eq\o(AC,\s\up14(→))，a－b＝eq\o(DB,\s\up14(→)).2．已知向量a，b，那么|a|－|b|與|a±b|及|a|＋|b|三者具有什么樣的大小關(guān)系？[提示]它們之間的關(guān)系為||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(1)當(dāng)a，b有一個為零向量時，不等式顯然成立．(2)當(dāng)a，b不共線時，作eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(AB,\s\up14(→))＝b，則a＋b＝eq\o(OB,\s\up14(→))，如圖①所示，根據(jù)三角形的性質(zhì)，有||a|－|b||<|a＋b|<|a|＋|b|.同理可證||a|－|b||<|a－b|<|a|＋|b|.(3)當(dāng)a，b非零且共線時，①當(dāng)向量a與b同向時，作法同上，如圖②所示，此時|a＋b|＝|a|＋|b|.②當(dāng)向量a，b反向時，不妨設(shè)|a|>|b|，作法同上，如圖③所示，此時|a＋b|＝|a|－|b|.綜上所述，得不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.【例3】(1)在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，若|eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(BA,\s\up14(→))|，則四邊形ABCD是()A．菱形 B．矩形C．正方形 D．不確定(2)已知|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝9，求|eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))|的取值范圍．[思路探究](1)先由eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))判斷四邊形ABCD是平行四邊形，再由向量減法的幾何意義將|eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(BA,\s\up14(→))|變形，進一步判斷此四邊形的形狀．(2)由||eq\o(AB,\s\up14(→))|－|eq\o(AD,\s\up14(→))||≤|eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))|≤|eq\o(AB,\s\up14(→))|＋|eq\o(AD,\s\up14(→))|求范圍．(1)B[∵eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(DC,\s\up14(→))，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又∵|eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))|＝|eq\o(BC,\s\up14(→))－eq\o(BA,\s\up14(→))|，∴|eq\o(BD,\s\up14(→))|＝|eq\o(AC,\s\up14(→))|.∴四邊形ABCD為矩形．](2)[解]∵||eq\o(AB,\s\up14(→))|－|eq\o(AD,\s\up14(→))||≤|eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))|≤|eq\o(AB,\s\up14(→))|＋|eq\o(AD,\s\up14(→))|，且|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝9，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝6，∴3≤|eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))|≤15.當(dāng)eq\o(AD,\s\up14(→))與eq\o(AB,\s\up14(→))同向時，|eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))|＝3；當(dāng)eq\o(AD,\s\up14(→))與eq\o(AB,\s\up14(→))反向時，|eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))|＝15.∴|eq\o(AB,\s\up14(→))－eq\o(AD,\s\up14(→))|的取值范圍為[3,15]．1．將本例(2)的條件改為“|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝8，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝5”，求|eq\o(BD,\s\up14(→))|的取值范圍．[解]因為eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝8，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝5，||eq\o(AD,\s\up14(→))|－|eq\o(AB,\s\up14(→))||≤|eq\o(AD,\s\up14(→))－eq\o(AB,\s\up14(→))|≤|eq\o(AD,\s\up14(→))|＋|eq\o(AB,\s\up14(→))|，所以3≤|eq\o(BD,\s\up14(→))|≤13，當(dāng)eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(AD,\s\up14(→))同向時，|eq\o(BD,\s\up14(→))|＝3；當(dāng)eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(AD,\s\up14(→))反向時，|eq\o(BD,\s\up14(→))|＝13.所以|eq\o(BD,\s\up14(→))|的取值范圍是[3,13]．2．在本例(2)條件不變的條件下，求：|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))|的取值范圍．[解]由||eq\o(AB,\s\up14(→))|－|eq\o(AD,\s\up14(→))||≤|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))|≤|eq\o(AB,\s\up14(→))|＋|eq\o(AD,\s\up14(→))|，∵|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝9，∴3≤|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))|≤15.當(dāng)eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(AD,\s\up14(→))同向時，|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))|＝15；當(dāng)eq\o(AB,\s\up14(→))與eq\o(AD,\s\up14(→))反向時，|eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))|＝3.3．本例(2)中條件“|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝9”改為“|eq\o(BD,\s\up14(→))|＝9”，求|eq\o(AD,\s\up14(→))|的取值范圍．[解]eq\o(AD,\s\up14(→))＝eq\o(BD,\s\up14(→))－eq\o(BA,\s\up14(→))，又|eq\o(BA,\s\up14(→))|＝|eq\o(AB,\s\up14(→))|，由||eq\o(BD,\s\up14(→))|－|eq\o(BA,\s\up14(→))||≤|eq\o(BD,\s\up14(→))－eq\o(BA,\s\up14(→))|≤|eq\o(BD,\s\up14(→))|＋|eq\o(BA,\s\up14(→))|，∴3≤|eq\o(AD,\s\up14(→))|≤15.1．用向量法解決平面幾何問題的步驟(1)將平面幾何問題中的量抽象成向量．(2)化歸為向量問題，進行向量運算．(3)將向量問題還原為平面幾何問題．2．用向量法證明四邊形為平行四邊形的方法和解題關(guān)鍵(1)利用向量證明線段平行且相等，從而證明四邊形為平行四邊形，只需證明對應(yīng)有向線段所表示的向量相等即可．(2)根據(jù)圖形靈活應(yīng)用向量的運算法則，找到向量之間的關(guān)系是解決此類問題的關(guān)鍵．1．向量減法的實質(zhì)是向量加法的逆運算．利用相反向量的定義，－eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))就可以把減法轉(zhuǎn)化為加法．即減去一個向量等于加上這個向量的相反向量．如a－b＝a＋(－b)．2．在用三角形法則作向量減法時，要注意“差向量連接兩向量的終點，箭頭指向被減向量”．解題時要結(jié)合圖形，準(zhǔn)確判斷，防止混淆．3．以平行四邊形ABCD的兩鄰邊AB，AD分別表示向量eq\o(AB,\s\up14(→))＝a，eq\o(AD,\s\up14(→))＝b，則兩條對角線表示的向量為eq\o(AC,\s\up14(→))＝a＋b，eq\o(BD,\s\up14(→))＝b－a，eq\o(DB,\s\up14(→))＝a－b，這一結(jié)論在以后應(yīng)用非常廣泛，應(yīng)該加強理解并掌握.【課堂達標(biāo)訓(xùn)練】1．判斷正誤(1)0－a＝－a；()(2)－(－a)＝a；()(3)a＋(－a)＝0；()(4)a＋0＝a；()(5)a－b＝a＋(－b)；()(6)a＋(－a)＝0.()[答案](1)√(2)√(3)√(4)√(5)√(6)×2．化簡eq\o(BA,\s\up14(→))－eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(DB,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→))＝________.0[eq\o(BA,\s\up14(→))－eq\o(CA,\s\up14(→))＋eq\o(DB,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→))＝(eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AC,\s\up14(→)))＋(eq\o(DB,\s\up14(→))－eq\o(DC,\s\up14(→)))＝eq\o(BC,\s\up14(→))＋eq\o(CB,\s\up14(→))＝0.]3．若a，b為相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，則|a＋b|＝________，|a－b|＝________.02[因為a，b為相反向量，∴a＋b＝0，即|a＋b|＝0，又a＝－b，∴|a－b|＝|2a|＝2.]4．若a≠0，b≠0且|a|＝|b|＝|a－b|，求a與a＋b所在直線的夾角．[解]如圖，設(shè)eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(OB,\s\up14(→))＝b，則a－b＝eq\o(BA,\s\up14(→))，因為|a|＝|b|＝|a－b|，所以|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝|eq\o(OB,\s\up14(→))|＝|eq\o(BA,\s\up14(→))|，所以△OAB是等邊三角形，所以∠BOA＝60°.因為eq\o(OC,\s\up14(→))＝a＋b，且在菱形OACB中對角線OC平分∠BOA.所以a與a＋b所在直線的夾角為30°.6.2.3向量的數(shù)乘運算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運算的幾何意義．(重點)2.理解并掌握向量數(shù)乘的運算律，會進行向量的數(shù)乘運算．(重點)3.理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)和判斷方法，并能熟練地運用這些知識處理有關(guān)向量共線問題．(難點)4.理解實數(shù)相乘與向量數(shù)乘的區(qū)別．(易混點)1.通過向量的加法得到向