杭州高級(jí)中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

杭州高級(jí)中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知向量，且，則（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，且此函數(shù)的圖象如圖所示，由點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．3．在中，角,,的對(duì)邊分別為,,，若，，則（）A． B． C． D．4．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積等于（）A．1 B．2 C．4 D．65．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．6．若函數(shù)的最小正周期為2，則（）A．1 B．2 C． D．7．若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)A．0 B．1 C． D．8．若變量滿足約束條件則的最大值為()A．4 B．3 C．2 D．19．函數(shù)()的部分圖象如圖所示，若，且，則（）A．1 B． C． D．10．從甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選出人參加志愿活動(dòng)，則甲被選中的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一組樣本數(shù)據(jù)8，10，18，12的方差為_(kāi)__________.12．在三棱錐中，已知，，則三棱錐內(nèi)切球的表面積為_(kāi)_____.13．夏季某座高山上的溫度從山腳起每升高100米降低0.8度，若山腳的溫度是36度，山頂?shù)臏囟仁?0度，則這座山的高度是________米14．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則公差________.15．設(shè)偶函數(shù)的部分圖像如圖所示，為等腰直角三角形，，則的值為_(kāi)_______．16．若存在實(shí)數(shù)使得關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量,,.（1）若，求的值；（2）若與的夾角為，求的值.18．已知函數(shù)的最小正周期為，且其圖象的一個(gè)對(duì)稱軸為，將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的倍，再將圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象.（1）求的解析式，并寫(xiě)出其單調(diào)遞增區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的零點(diǎn)；（3）對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.19．某同學(xué)利用暑假時(shí)間到一家商場(chǎng)勤工儉學(xué)，該商場(chǎng)向他提供了三種付酬方案：第一種，每天支付元，沒(méi)有獎(jiǎng)金；第二種，每天的底薪元，另有獎(jiǎng)金.第一天獎(jiǎng)金元，以后每天支付的薪酬中獎(jiǎng)金比前一天的獎(jiǎng)金多元；第三種，每天無(wú)底薪，只有獎(jiǎng)金.第一天獎(jiǎng)金元，以后每天支付的獎(jiǎng)金是前一天的獎(jiǎng)金的倍.（1）工作天，記三種付費(fèi)方式薪酬總金額依次為、、，寫(xiě)出、、關(guān)于的表達(dá)式；（2）該學(xué)生在暑假期間共工作天，他會(huì)選擇哪種付酬方式？20．在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值；（3）設(shè)為截面內(nèi)-點(diǎn)（不包括邊界），求到面，面，面的距離平方和的最小值.21．在△ABC中，AC=6，cosB=，C=.(1)求AB的長(zhǎng)；(2)求△ABC的面積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

直接利用向量平行的充要條件列方程求解即可.【詳解】由可得到.故選A【點(diǎn)睛】利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點(diǎn)，主要命題方式有兩個(gè)：（1）兩向量平行，利用解答；（2）兩向量垂直，利用解答.2、B【解析】

先由函數(shù)圖象與軸的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)確定該函數(shù)的最小正周期，并利用周期公式求出的值，再將點(diǎn)代入函數(shù)解析式，并結(jié)合函數(shù)在該點(diǎn)附近的單調(diào)性求出的值，即可得出答案。【詳解】解：由圖象可得函數(shù)的周期∴，得，將代入可得，∴（注意此點(diǎn)位于函數(shù)減區(qū)間上）∴由可得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求三角函數(shù)的解析式，其步驟如下：①求、：，；②求：利用一些關(guān)鍵點(diǎn)求出最小正周期，再由公式求出；③求：代入關(guān)鍵點(diǎn)求出初相，如果代對(duì)稱中心點(diǎn)要注意附近的單調(diào)性。3、A【解析】

由正弦定理求得sinA，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosA，求出sinB=sin(120°+A)的值，可得

的值．【詳解】△ABC中，由正弦定理可得

，∴

，∴sinA=

，cosA=.

sinB=sin(120°+A)=

?+?=

，再由正弦定理可得

=

=

，

故答案為

A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，兩角和與差的正弦公式的應(yīng)用，求出sinB是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．4、B【解析】

先由三視圖還原幾何體，再由題中數(shù)據(jù)，結(jié)合棱錐的體積公式，即可得出結(jié)果.【詳解】由三視圖可得，該幾何體為底面是直角梯形，側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，如圖所示：由題意可得其體積為：故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查由幾何體的三視圖求幾何體的體積，熟記棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及體積公式即可，屬于?？碱}型.5、D【解析】

由共線向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，解出即可.【詳解】向量，，且，，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用共線向量的坐標(biāo)表示求參數(shù)的值，解題時(shí)要熟悉共線向量坐標(biāo)之間的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)最小正周期的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

根據(jù)兩直線的平行關(guān)系，列出方程，即可求解實(shí)數(shù)的值，得到答案．【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，顯然兩條直線不平行，所以；由兩條直線平行可得：，解得，當(dāng)時(shí)，直線方程分別為：，，顯然平行，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線方程分別為，，很顯然兩條直線重合，不合題意，舍去，所以，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記兩直線平行的條件，準(zhǔn)去計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

先根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】作出約束條件，所對(duì)應(yīng)的可行域（如圖陰影部分）變形目標(biāo)函數(shù)可得，平移直線可知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的截距最小，代值計(jì)算可得取最大值故選B.【點(diǎn)晴】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.9、D【解析】

由三角函數(shù)的圖象求得，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】由圖象可知，，即，所以，即，又因?yàn)?，則，解得，又由，所以，所以，又因?yàn)?，所以圖中的最高點(diǎn)坐標(biāo)為.結(jié)合圖象和已知條件可知，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的部分圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】分析：用列舉法得出甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選出人參加志愿活動(dòng)的事件數(shù)，從而可求甲被選中的概率.詳解：從甲、乙、丙、丁四人中隨機(jī)選出人參加志愿活動(dòng)，包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙??；丙丁6種情況，甲被選中的概率為.故選C.點(diǎn)睛：本題考查用列舉法求基本事件的概率，解題的關(guān)鍵是確定基本事件，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、14【解析】

直接利用平均數(shù)和方差的公式，即可得到本題答案.【詳解】平均數(shù)，方差.故答案為：14【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)公式與方差公式的應(yīng)用.12、【解析】

先計(jì)算出三棱錐的體積，利用等體積法求出三棱錐的內(nèi)切球的半徑，再求出內(nèi)切球的表面積?！驹斀狻咳D中點(diǎn)為E，并連接AE、BE在中，由等腰三角形的性質(zhì)可得,同理則在中點(diǎn)A到邊BE的距離即為點(diǎn)A到平面BCD的距離h,在中，【點(diǎn)睛】本題綜合考查了三棱錐的體積、三棱錐內(nèi)切圓的求法、球的表面積，屬于中檔題.13、2000【解析】

由題意得，溫度下降了，再求出這個(gè)溫度是由幾段100米得出來(lái)的，最后乘以100即可.【詳解】由題意得，這座山的高度為：米故答案為：2000【點(diǎn)睛】本題結(jié)合實(shí)際問(wèn)題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是溫度差里有幾個(gè)0.8，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，∵，，∴，解得＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】的部分圖象如圖所示，為等腰直角三角形，，，函數(shù)是偶函數(shù)，，函數(shù)的解析式為，故答案為.【方法點(diǎn)睛】本題主要通過(guò)已知三角函數(shù)的圖象求解析式考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.利用最值求出,利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點(diǎn)求出，正確求使解題的關(guān)鍵.求解析時(shí)求參數(shù)是確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵，往往利用特殊點(diǎn)求的值，由特殊點(diǎn)求時(shí)，一定要分清特殊點(diǎn)是“五點(diǎn)法”的第幾個(gè)點(diǎn).16、【解析】

先求得的取值范圍，將題目所給不等式轉(zhuǎn)化為含的絕對(duì)值不等式，對(duì)分成三種情況，結(jié)合絕對(duì)值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范圍.【詳解】由于，故可化簡(jiǎn)得恒成立.當(dāng)時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，可得，，可得且，可得，即，解得.當(dāng)時(shí)，可得，可得且，可得，即，解得.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的值域，考查含有絕對(duì)值不等式恒成立問(wèn)題，考查存在性問(wèn)題的求解策略，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）1（2）【解析】

（1）.若,則，結(jié)合三角函數(shù)的關(guān)系式即可求的值；

（2）.若與的夾角為，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可求的值．【詳解】（1）由，則即，所以所以（2），又與的夾角為，則即即由，則所以，即【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的定義和坐標(biāo)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18、（1），單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）、、；（3）.【解析】

（1）由函數(shù)的最小正周期求出的值，由圖象的對(duì)稱軸方程得出的值，從而可求出函數(shù)的解析式；（2）先利用圖象變換的規(guī)律得出函數(shù)的解析式，然后在區(qū)間上解方程可得出函數(shù)的零點(diǎn)；（3）對(duì)分三種情況、、分類討論，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，得出和，可得出關(guān)于的表達(dá)式，再利用函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)的最大值.【詳解】（1）由題意可知，，.令，即，即函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為.由于函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為，，，，，則，因此，.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的倍，得到函數(shù).再將所得函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù).令，即，化簡(jiǎn)得，得或.由于，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或.因此，函數(shù)在上的零點(diǎn)為、、；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，由于，，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，由于，，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，，，此時(shí)，.所以，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.綜上所述：.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)性質(zhì)求解析式、考查三角函數(shù)圖象變換、三角函數(shù)的零點(diǎn)以及三角函數(shù)的最值，考查三角函數(shù)在動(dòng)區(qū)間上的最值，要充分考查函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求解，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題.19、（1），，；（2）第三種，理由見(jiàn)解析.【解析】

（1）三種支付方式每天支付的金額依次為數(shù)列、、，可知數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式可計(jì)算出、、關(guān)于的表達(dá)式；（2）利用（1）中的結(jié)論，計(jì)算出、、的值，比較大小后可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)三種支付方式每天支付的金額依次為數(shù)列、、，它們的前項(xiàng)和分別為、、，第一種付酬方式每天所付金額組成數(shù)列為常數(shù)列，且，所以；第二種付酬方式每天所付金額組成數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以；第三種付酬方式每天所付金額組成數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，，，則.因此，該學(xué)生在暑假期間共工作天，選第三種付酬方式較好.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的應(yīng)用，涉及等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）（3）【解析】

（1）利用在正方體的幾何性質(zhì)，得到，通過(guò)線面垂直和面面垂直的判定定理證明.（2）根據(jù)和平面平面，知是在平面上的射影，即為直線與平面所成的角，然后在中求解.（3）如圖所示從向面，面，面引垂線，構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)到面，面，面的距離分別為x，y，z，，即長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)的平方，當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)，最小，然后用等體積法求解.【詳解】（1）如圖所示：在正方體中且，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）因?yàn)?，由?）知平面平面，所以是在平面上的射影，所以即為直線與平面所成的角，在中，所以.（3）如圖所示從向面，面，面引垂線，構(gòu)成一個(gè)長(zhǎng)方體，設(shè)到面，面，面的距離分別為x，y，z，，即長(zhǎng)方體體對(duì)角線長(zhǎng)的平方，當(dāng)且僅當(dāng)平面時(shí)，最小，又因?yàn)?，即，?【點(diǎn)睛