上海市寶山中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

上海市寶山中學2025屆高一數(shù)學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．過點且與直線垂直的直線方程為（）A． B．C． D．2．已知橢圓的方程為()，如果直線與橢圓的一個交點在軸上的射影恰好是橢圓的右焦點，則的值為（）A．2 B．2 C．4 D．83．已知向量，且，則的值為()A．6 B．－6 C． D．4．向量，則（）A． B．C．與的夾角為60° D．與的夾角為30°5．四邊形，，，，則的外接圓與的內切圓的公共弦長（）A． B． C． D．6．已知某地區(qū)中小學生人數(shù)和近視情況分別如圖1和如圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學生進行調查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為（）A．， B．， C．， D．，7．在中，，且，若，則（）A．2 B．1 C． D．8．設直線l1：3x+2ay-5=0，l2：3a-1x-ay-2=0，若l1與A．-16 B．0或9．在銳角中，內角，，的對邊分別為，，，若，則等于（）A． B． C． D．10．函數(shù)的最小正周期為，則圖象的一條對稱軸方程是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，若，則_______12．已知球為正四面體的外接球，，過點作球的截面，則截面面積的取值范圍為____________________．13．在平行六面體中，為與的交點，若存在實數(shù)，使向量，則__________．14．不等式的解集是______．15．下列結論中正確的是______.（1）將圖像向左平移個單位，再將所有點的橫坐標擴大為原來的倍，得到的圖像；（2）將圖像上所有點的橫坐標擴大為原來的倍，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（3）將圖像上所有點的橫坐標擴大為原來的倍，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（4）將圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮賹D像向左平移個單位，得到的圖像；（5）將圖像向左平移個單位，再將所有點的橫坐標擴大為原來的倍，得到的圖像；16．在半徑為的球中有一內接正四棱柱（底面是正方形，側棱垂直底面），當該正四棱柱的側面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓C的圓心為(1，1)，直線與圓C相切.（1）求圓C的標準方程；（2）若直線過點(2，3)，且被圓C所截得的弦長為2，求直線的方程.18．已知方程有兩個實根,記,求的值.19．隨著互聯(lián)網(wǎng)的不斷發(fā)展，手機打車軟件APP也不斷推出.在某地有A?B兩款打車APP，為了調查這兩款軟件叫車后等候的時間，用這兩款APP分別隨機叫了50輛車，記錄了候車時間如下表：A款軟件:候車時間(分鐘)車輛數(shù)212812142B款軟件:候車時間(分鐘)車輛數(shù)21028721（1）試畫出A款軟件候車時間的頻率分布直方圖，并估計它的眾數(shù)及中位數(shù)；（2）根據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)，將頻率視為概率（i）能否認為B款軟件打車的候車時間不超過6分鐘的概率達到了75%以上？（ii）僅從兩款軟件的平均候車時間來看，你會選擇哪款打車軟件？20．某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求圖中的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分，眾數(shù)，中位數(shù)；（3）若這100名學生語文成績某些分數(shù)段的人數(shù)（）與數(shù)學成績相應分數(shù)段的人數(shù)（）之比如下表所示，求數(shù)學成績在[50，90）之外的人數(shù)．分數(shù)段[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）1：12：13：44：521．已知向量且，（1）求向量與的夾角；（2）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

先根據(jù)求出與之垂直直線的斜率，再利用點斜式求得直線方程?！驹斀狻坑煽傻弥本€斜率，根據(jù)兩直線垂直的關系，求得，再利用點斜式，可求得直線方程為，化簡得，選A【點睛】當直線斜率存在時，直線垂直的斜率關系為2、A【解析】

首先求解交點的坐標，再根據(jù)橢圓的性質可知點的坐標是，再代入橢圓方程，解的值.【詳解】設焦點，代入直線，可得，由橢圓性質可知，，解得或（舍）,.故選A.【點睛】本題考查了橢圓的基本性質，考查計算能力，屬于基礎題型.3、A【解析】

兩向量平行，內積等于外積?！驹斀狻?，所以選A.【點睛】本題考查兩向量平行的坐標運算，屬于基礎題。4、B【解析】試題分析：由，可得，所以，故選B．考點：向量的運算．5、C【解析】

以為坐標原點，以為軸，軸建立平面直角坐標系，求出的外接圓與的內切圓的方程，兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，求出弦心距，進而可得公共弦長.【詳解】解：以為坐標原點，以為軸，軸建立平面直角坐標系，過作交于點，則，故，則為等邊三角形，故，的外接圓方程為，①的內切圓方程為，②①-②得兩圓的公共弦所在直線方程為:,的外接圓圓心到公共弦的距離為，公共弦長為，故答案為：C.【點睛】本題考查兩圓公共弦長的求解，關鍵是要求出兩圓的公共弦所在直線方程，將兩圓方程作差即可得到，是中檔題.6、B【解析】

試題分析：由題意知，樣本容量為，其中高中生人數(shù)為，高中生的近視人數(shù)為，故選B.【考點定位】本題考查分層抽樣與統(tǒng)計圖，屬于中等題.7、A【解析】

取的中點，連接，根據(jù)，即可得解.【詳解】取的中點，連接，在中，，且，所以，.故選：A【點睛】此題考查求向量的數(shù)量積，涉及平面向量的線性運算，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義求解，可以簡化計算.8、B【解析】

通過兩條直線平行的關系，可建立關于a的方程，解方程求得結果。【詳解】l1//解得：a=0或-本題正確選項：B【點睛】本題考察直線位置關系問題。關鍵是通過兩直線平行，得到：A19、D【解析】

由正弦定理將邊化角可求得，根據(jù)三角形為銳角三角形可求得.【詳解】由正弦定理得：，即故選：【點睛】本題考查正弦定理邊化角的應用問題，屬于基礎題.10、D【解析】

先根據(jù)函數(shù)的周期求出的值，求出函數(shù)的對稱軸方程，然后利用賦值法可得出函數(shù)圖象的一條對稱軸方程.【詳解】由于函數(shù)的最小正周期為，則，，令，解得.當時，函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為.故選：D.【點睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的周期求參數(shù)，同時也考查了正弦型函數(shù)圖象對稱軸方程的計算，解題時要結合正弦函數(shù)的基本性質來進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題意利用兩個向量垂直的性質，兩個向量的數(shù)量積公式，求得的值．【詳解】因為向量，若，∴，則.故答案為：1．【點睛】本題主要考查兩個向量垂直的坐標運算，屬于基礎題．12、【解析】

在平面中，過圓內一點的弦長何時最長，何時最短，類比在空間中，過球內一點的球的大圓面積最大，與此大圓垂直的截面小圓面積最小.利用正四面體的性質及球的性質求正四面體外接球的半徑、小圓半徑，確定答案.【詳解】因為正四面體棱長為AB=3，所以正四面體外接球半徑R=.由球的性質，當過E及球心O時的截面為球的大圓，面積最大，最大面積為；當過E的截面與EO垂直時面積最小，取△BCD的中心，因為為正四面體，所以平面BCD,O在上，，所以,在三角形中，由,，,，由余弦定理在直角三角形中所以過E且與EO垂直的截面圓的半徑r為，截面面積為.所以所求截面面積的范圍是.【點睛】本題考查空間想象能力，邏輯推理能力，空間組合體的關系，正四面體、球的性質，考查計算能力，屬于難題.13、【解析】

在平行六面體中把向量用用表示，再利用待定系數(shù)法，求得.再求解。【詳解】如圖所示：因為，又因為，所以，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查了空間向量的基本定理，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.14、【解析】

由題可得，分式化乘積得，進而求得解集．【詳解】由移項通分可得，即，解得，故解集為【點睛】本題考查分式不等式的解法，屬于基礎題．15、（1）（3）【解析】

根據(jù)三角函數(shù)圖像伸縮變換與平移變換的原則，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】（1）將圖像向左平移個單位，得到的圖像，再將所有點的橫坐標擴大為原來的倍，得到的圖像；（1）正確；（2）將圖像上所有點的橫坐標擴大為原來的倍，得到的圖像，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（2）錯；（3）將圖像上所有點的橫坐標擴大為原來的倍，得到的圖像，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（3）正確；（4）將圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到的圖像，再將圖像向左平移個單位，得到的圖像；（4）錯；（5）將圖像向左平移個單位，得到的圖像，再將所有點的橫坐標擴大為原來的倍，得到的圖像；（5）錯；故答案為（1）（3）【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換，熟記圖像變換原則即可，屬于?？碱}型.16、【解析】

根據(jù)正四棱柱外接球半徑的求解方法可得到正四棱柱底面邊長和高的關系，利用基本不等式得到，得到側面積最大值為；根據(jù)球的表面積公式求得球的表面積，作差得到結果.【詳解】設球內接正四棱柱的底面邊長為，高為則球的半徑:正四棱柱的側面積：球的表面積：當正四棱柱的側面積最大時，球的表面積與該正四棱柱的側面積之差為：本題正確結果：【點睛】本題考查多面體的外接球的相關問題的求解，關鍵是能夠根據(jù)外接球半徑構造出關于正棱柱底面邊長和高的關系式，利用基本不等式求得最值；其中還涉及到球的表面積公式的應用.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或．【解析】

（1）利用點到直線的距離可得：圓心到直線的距離．根據(jù)直線與圓相切，可得．即可得出圓的標準方程．（2）①當直線的斜率存在時，設直線的方程：，即：，可得圓心到直線的距離，又，可得：．即可得出直線的方程．②當?shù)男甭什淮嬖跁r，，代入圓的方程可得：，解得可得弦長，即可驗證是否滿足條件．【詳解】（1）圓心到直線的距離．直線與圓相切，．圓的標準方程為：．（2）①當直線的斜率存在時，設直線的方程：，即：，，又，．解得：．直線的方程為：．②當?shù)男甭什淮嬖跁r，，代入圓的方程可得：，解得，可得弦長，滿足條件．綜上所述的方程為：或．【點睛】本題考查直線與圓的相切的性質、點到直線的距離公式、弦長公式、分類討論方法，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．18、【解析】

求出的值和的范圍即可【詳解】因為，所以又有兩個實根所以所以因為所以，所以所以所以故答案為：【點睛】1.要清楚反三角函數(shù)的定義域和值域，如的定義域為，值域為2.由三角函數(shù)的值求角時一定要判斷出角的范圍.19、（1）直方圖見解析，眾數(shù)為9，中位數(shù)為6.5（2）（i）能（ii）B款【解析】

（1）畫出頻率分布直方圖，計算眾數(shù)和中位數(shù)得到答案.（2）計算概率為，得到答案；分別計算兩個軟件的平均候車時間比較得到答案.【詳解】（1）頻率分布直方圖如圖：它的眾數(shù)為9，它的中位數(shù)為：.（2）（i）B款軟件打車的候車時間不超過6分鐘的概率為.所以可以認為B款軟件打車的候車時間不超過6分鐘的概率達到了75%以上.（ii）A款軟件打車的平均候車時間為：（分鐘）.B款軟件打車的平均候車時間為：（分鐘）.所以選擇B款軟件打車軟件.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖，平均值，中位數(shù)，眾數(shù)，意在考查學生的應用能力.20、（1）0.005；（2）平均分為73，眾數(shù)為65，中位數(shù)為；（3）10【解析】

（1）根據(jù)頻率之和為1，直接列式計算即可；（2）平均數(shù)等于每組的中間值乘以該組頻率，再求和；眾數(shù)指頻率最大的一組的中間值；中位數(shù)兩端的小長方形面積之和均為0.5；（3）根據(jù)題意分別求出，，，的人數(shù)，即可得出結果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得：,（2）平均分為眾數(shù)為65分.中位數(shù)為（3）數(shù)學成績在的人數(shù)為，在的