注冊巖土工程師（基礎(chǔ)考試-上午-高等數(shù)學(xué)）模擬試卷12

注冊巖土工程師（基礎(chǔ)考試-上午-高等數(shù)學(xué)）模擬試卷12一、單項選擇題(本題共29題，每題1.0分，共29分。)1、級數(shù)an收斂是an＝0的什么條件？A、充分條件，但非必要條件B、必要條件，但非充分條件C、充分必要條件D、既非充分條件，又非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：級數(shù)收斂的必要條件an＝0。須注意本題的條件和結(jié)論。2、正項級數(shù)an收斂是級數(shù)an2收斂的什么條件？A、充分條件，但非必要條件B、必要條件，但非充分條件C、充分必要條件D、既非充分條件，又非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：利用正項級數(shù)比較判別法——極限形式判定：＝0＜1，故級數(shù)∑an2收斂，反之不一定正確。3、下列級數(shù)中，發(fā)散的級數(shù)是哪一個？A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：利用級數(shù)斂散性判定法可斷定A、B、C式收斂，D式un≠0，所以級數(shù)發(fā)散。4、若級數(shù)an(x—2)n在x＝—2處收斂，則此級數(shù)在x＝5處的斂散性是怎樣的？A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、收斂性不能確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：設(shè)x—2＝z，級數(shù)化為anzn，當(dāng)x＝—2收斂，即z＝—4收斂，利用阿貝爾定理，z在（—4，4）收斂且絕對收斂，當(dāng)x＝5時，z＝3，級數(shù)收斂且絕對收斂。5、冪級數(shù)xn一（—1＜x≤1）的和函數(shù)是：A、xsinxB、C、xln(1—x)D、xln(1+x)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：利用ln(1+x)的展開式，即（—1＜x≤1），從已知級數(shù)中提出字母x和函數(shù)即可得到。6、級數(shù)（—1）nxn在|x|＜1內(nèi)收斂于函數(shù)：A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：級數(shù)(—1)nxn＝1一x+x2—x3+…為等比級數(shù)，公比q＝—x，|q|＝|x|＜1，由S＝代入數(shù)據(jù)計算得本題S＝。7、微分方程y"+2y＝0的通解是：A、y＝Asin2xB、y＝AcosxC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：寫出微分方程對應(yīng)的特征方程r2+2＝0，得r＝，即α＝0，β＝，寫出通解8、微分方程ydx+(x—y)dy＝0的通解是：（C為任意常數(shù)）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：將微分方程化成＝1，方程為一階線性方程。其中P(y)＝，Q(y)＝1代入求通解公式x＝e—∫P(y)dy[∫θ(y)e—∫P(y)dxdy+C]計算如下：變形得或?qū)⒎匠袒癁辇R次方程計算。9、微分方程(3+2y)xdx+(1+x2)dy＝0的通解為：（C為任意常數(shù)）A、1+x2＝CyB、(1+x2)(3+2y)＝CC、(3+2y)2＝D、(1+x2)2(3+2y)＝C標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：方程的類型為可分離變量方程，將方程分離變量得兩邊積分：則ln(1+x2)+ln(3+2y)＝一2C，令—2C＝lnC1，則ln(1+x2)+ln(3+2y)＝lnC1，故(1+x2)(3+2y)＝C1。10、微分方程y"+ay’2＝0滿足條件y|x＝0＝0，y’|x＝0＝—1的特解是：A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：本題為可降階的高階微分方程，按不顯含變量x計算。設(shè)y’＝P，y"＝P’，方程化為P’+aP2＝0，＝—aP2，分離變量，dP＝—adx，積分得＝—ax+C1，代入初始條件x＝0，P＝y(tǒng)’＝—1，得C1＝1，即＝—ax+1，P＝，求出通解，代入初始條件，求出特解。即y＝|a1—1|+C，代入初始條件x＝0，y＝0，得C＝0。故特解為11、微分方程(1+2y)xdx+(1+x2)dy的通解為：（以上各式中，C為任意常數(shù)）A、B、(1+x2)(1+2y)＝CC、(1+2y)2＝D、(1+x2)2(1+2y)＝C標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：方程為一階可分離變量方程，分離變量后求解。(1+2y)xdx+(1+x2)dy＝0ln(1+x2)+ln(1+2y)＝2lnC故(1+x2)(1+2y)＝C1，其中C1＝C2。12、微分方程y"＝(y’)2的通解是：（以上各式中，C1、C2為任意常數(shù)）A、lnx+CB、ln(x+C)C、C2+ln|x+C1|D、C2—ln|x+C1|標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：此題為可降階的高階微分方程，按方程不顯含變量y計算。設(shè)y’＝p，y"＝p’，則方程為p’＝p2，得y＝—ln|x+C1|+C213、下列函數(shù)中不是方程y"—2y’+y＝0的解的函數(shù)是：A、x2exB、exC、xexD、(x+2)ex標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：方法1：方程為二階常系數(shù)線性齊次方程，對應(yīng)特征方程為r2—2r+1＝0，r＝1（二重根）。通解y＝(C1+C2x)ex（其中C1，C2為任意常數(shù)）令C1，C2為一些特殊值，可驗證選項B、C、D均為方程的解。C1，C2無論取何值均得不出選項A，所以A不滿足。方法2：把選項A設(shè)為函數(shù)，即y＝x2ex，對函數(shù)y，求y’、y"后代入方程y"—2y’+y＝0，不滿足微分方程，因此A不滿足。14、微分方程cosydx+（1+e—x）sinydy＝0滿足初始條件y|x＝0＝的特解是：A、cosy＝（4+ex）B、cosy＝1+exC、cosy＝4(1+ex)D、cos2y＝1+ex標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：本題為一階可分離變量方程，分離變量后兩邊積分求解。cosydx+(1+e—x)sinydy＝0代入初始條件x＝0，y＝，得C＝4因此＝49即cosy＝(1+ex)15、微分方程y"＝x+sinx的通解是：（C1、C2為任意常數(shù)）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：本題為可降階的高階微分方程，連續(xù)積分二次，得通解。y"＝x+sinx，y’＝(x+sinx)dx＝x2—cosx+C1，y＝∫(x2—cosx+C1)dx＝x3—sinx+C1x+C216、微分方程y"—4y＝4的通解是：（C1、C2為任意常數(shù)）A、C1e2x—C2e—2x+1B、C1e2x+C2e—2x—1C、e2x—e—2x+1D、C1e2x+C2e—2x—2標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：本題為二階常系數(shù)線性非齊次方程。非齊次通解y—齊次的通解y+非齊次一個特解y*，y"—4y＝0，特征方程r2—4＝0，r＝±2。齊次通解為y＝C1e—2x+C2e2x。將y*＝—1代入非齊次方程，滿足方程，為非齊次特解。故通解y＝C1e2x+C2e—2x—117、微分方程(1+y)dx—（1—x）dy＝0的通解是：（C為任意常數(shù)）A、B、1+y＝C（1一x）2C、（1一x）(1+y)＝CD、標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：此題為一階可分離變量方程，分離變量后，兩邊積分。微分方程(1+y)dx—（1—x）dy＝0，兩邊積分：—ln(1—x)—ln(1+y)＝—lnc，（1—x）(1+y)＝C。18、微分方程y’+＝2滿足初始條件y|x＝1＝0的特解是：A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：此題為一階線性微分方程，直接代入公式計算，設(shè)方程為y’+p(x)y＝Q(x)，則通解y＝e—∫p(x)dx[∫Q(x)e—∫p(x)dxdx+C，本題p(x)＝，Q(x)＝2，代入公式：代入初始條件，當(dāng)x＝1，y＝0，即0＝(1+C)，得C＝—1，故y＝x—19、微分方程y"+2y＝0的通解是：（A，B為任意常數(shù)）A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：本題為二階常系數(shù)線性齊次方程求通解，寫出方程對應(yīng)的特征方程r2+2＝0，20、方程y’＝p(x)y的通解是：A、y＝e—∫p(x)dx+CB、y＝e—∫p(x)dx+CC、y＝Ce—∫p(x)dxD、y＝Ce—∫p(x)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：方程y’＝p(x)y為一階可分離變量方程。分離度量，dy＝p(x)dx兩邊積分，lny＝∫p(x)dx+Cy＝e—∫p(x)dx+C＝eCe—∫p(x)dx＝C1e—∫p(x)dx。21、已知一階微分方程，問該方程的通解是下列函數(shù)中的哪個？A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：方程是一階齊次方程，設(shè)，化為可分離變量方程：ln(lnu—1）＝lnx+lnC，lnu—1＝Cx，lnu—Cx+1，即＝Cx+1。22、微分方程y"—6y’+9y＝0，在初始條件y’|x＝0＝2，y|x＝0＝0下的特解為：A、xe2x+CB、xe3x+CC、2xD、2xe3x標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：先求出二階常系數(shù)齊次方程的通解，代入初始條件，求出通解中的C1，C2值，得特解，即y"—6y’+9y＝0，r2—6r+9＝0，r1＝r2＝3，y＝(C1+C2x)e3x。當(dāng)x＝0，y＝0，代入得C1＝0，即y＝C2xe3x。由y’＝C2(e3x+3xe3x)＝C2e3x(1+3x)，當(dāng)x＝0，y’＝2，代入得C2＝2，則y＝2xe3x。23、函數(shù)y＝C1（其中C1、C2是任意常數(shù)）是微分方程—2y＝0的哪一種解？A、通解B、特解C、不是解D、是解，但不是通解也不是特解標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點解析：y＝C1＝C3e2x經(jīng)驗證是方程的解，但不是通解，也不是特解。24、微分方程ydx+（y2x—ey）dy＝0是下述哪種方程？A、可分離變量方程B、一階線性的微分方程C、全微分方程D、齊次方程標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：方程可化為z’+P(y)x＝Q(y)的形式y(tǒng)dx+(y2x一ey)dy＝0，為一階線性非齊次方程，即一階線性方程。25、下列一階微分方程中，哪一個是一階線性方程？A、(xey—2y)dy+eydx＝0B、xy’+y＝ex+yC、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：把一階方程化為x’+P(y)x＝Q（y）的形式（xey—2y）dy+eydx＝0，整理得xey—2y+ey+x＝2ye—y，方程為一階線性方程。26、若y2(x)是線性非齊次方程y’+P(x)y＝Q(x)的解，y1(x)是對應(yīng)的齊次方程y’+P(x)y＝0的解，則下列函數(shù)中哪一個是y’+P(x)y＝Q(x)的解？A、y＝Cy1(x)+y2(x)B、y＝y(tǒng)1(x)+C2y2(x)C、y＝C[y1(x)+y2(x)]D、y＝C1y(x)—y1(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點解析：由一階線性非齊次方程通解的結(jié)構(gòu)確定，即由對應(yīng)齊次方程的通解加上非齊次的一特解組成。27、若y1(x)是線性非齊次方程y’+P(x)y＝Q(x)的一個特解，則該方程的通解是下列中哪一個方程？A、y＝y(tǒng)1(x)+e—∫P(x)dxB、y＝y(tǒng)1(x)+Ce—∫P(x)dxC、y＝y(tǒng)1(x)+e—∫P(x)dx+CD、y＝y(tǒng)1(x)+Ce—∫P(x)dx標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點解析：非齊次方程的通解是由齊次方程的通解加非齊次方程的特解構(gòu)成，令Q(x)＝0，求對應(yīng)齊次方程y’+p(x)y＝0的通解。＝—P(x)dx，lny＝—∫P(x)dx+C，y＝e—∫p(x)dx+C1＝Ce—∫p(x)dx，齊次方程的通解y＝Ce—∫p(x)dx，非齊次方程的通解y＝y(tǒng)t(x)+Ce—∫P(x)dx。28、滿足方程F(x)+2∫0xf(x)dx＝x2的解f(x)是：A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：對方程兩邊求導(dǎo)，得一階線性方程f’(x)+2f(x)＝2x，求通解。29、設(shè)f(x)、f’(x)為已知的連續(xù)函數(shù)，則微分方程y’+f’(x)y＝f(x)f’(x)的通解是：A、y＝f(x)+Ce—f(x)B、y＝f(x)ef(x)—ef(x)+CC、y＝f(x)—1+Ce—f(x)D、y＝f(x)—1+Cef(x)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點解析：對關(guān)于y、y’的一階線性方程求通解。其中P