數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何

第九章平面解析幾何

第1節(jié)直線的方程

對應(yīng)學(xué)生用書P217

考試要求

1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.

2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式.

3.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式、斜截式、截距式及一般式).

知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)全通關(guān)

一、回或則1唄利用三科半

1.直線的傾斜角

⑴定義:當(dāng)直線/與X軸相交時,我們?nèi)軸作為基準(zhǔn),X軸正向與直線/3i」之間所成的角叫作直線/的偵斜角.當(dāng)直線/與X

軸：時，規(guī)定它的傾斜角為0。.

(2)范圍:直線/傾斜角的取值范圍是.

2.斜率公式

(1)若直線/的傾斜角時90°,則斜率k=.

(2)若點尸1(M,/),旗應(yīng)同在直線/上，且x件總則直線/的斜率行空

二、直線方程的五種形式

名稱方程適用范圍

點斜式六乂不含直線x=xo

斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于X軸的直線

y之一x-xi

兩點式-y2-y「x2-x「不含直線X=X1("及)和直線%及)

截距式仁la伏0)不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點的直線

一般式4何+C=0（4招*0）平面內(nèi)所有直線都適用

di意

1.直線的斜率攵和傾斜角a之間的函數(shù)關(guān)系

如圖,

當(dāng)?shù)銵o,“時，斜率依［0,%）；當(dāng)吱時，斜率A■不存在;當(dāng)住\知1時，斜率依（。,0）.

2.求直線方程時要注意判斷直線斜率是否存在;每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率.

3.截距為一個實數(shù)，既可以為正數(shù),也可以為負數(shù)，還可以為。，這是解題時容易忽略的一點.

自我診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（對的打Y",錯的打“'）

（1）坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率.

（2）直線的傾斜角越大，其斜率就越大.

（3）若直線的斜率為tanG則其傾斜角為a

（4）斜率相等的兩條直線的偵斜角不一定相等.

⑴*（2）x（3）x（4）x

2.（教材改編）若過點M2m），Mm，4）的直線的斜率為1,則m的值為（）.

A.1B.4C.1或3D.1或4

A

由題意得號h,解得

3.（2023?山東三模）已知條件夕直線x+2y-1W）與直線/x*Al）y-1=0平行，條件則p是9的（）.

A.充要條件

B.充分不必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件

當(dāng)直線x+2y-1=0與直線于R平行時，手怨*1,解得石=：當(dāng)E時，直線x+2y-1=0與直線莊戶=Q

重合，所以p是q的既不充分也不必要條件.

4.（2021年上海卷）直線x=-2與直線的夾角為.

好與-

6

由于直線的傾斜角為直線即直線片其傾斜角為故夾角為

x=-2Z36

考點題型命題全研透

考點一直線的傾斜角與斜率

住tq］）的傾斜角的取值范圍是（

(1)直線2ACOSa-y-3=0

C.朋］D.睛］

B

直線2ACOSa-y-3=0的斜率k=2cosa因為英［屋］，所以9cos必尋,因此〃=2cos典［1,圖.設(shè)直線的傾斜角為8,則有

16II

tana［1,75］.又會［0,n),所以失玲母,即直線的傾斜角的取值范圍是曲胃.

(2)已知點41,3),筑-2,-1),若過點耳2,1)的直線/與線段48相交,則直線/的斜率4的取值范圍是().

A喝B.K-2

C.槍3D.-20A^

D

解析

由已知直線/恒過定點只2,1),如圖所示.由圖可得,若直線/與線段48相交，則kp^kPB.

:加4=-2,公鳥.:-2$金.故選D.

(1)傾斜角。與斜率4的關(guān)系

①當(dāng)無［op時,斜率依。心)；

②當(dāng)時，斜率攵不存在；

③當(dāng)*(］開)時,斜率依(-0).

(2)斜率的兩種求法

①定義法:AWana.

②*式法:A—白小士筮)

x2-xl

(3)求傾斜角。的取值范圍或直線斜率的取值范圍時，要充分利用尸tana的單調(diào)性.

感悟?qū)嵺`

1.已知點力(2,3),%3,-2),若直線/過點H1,1)與線段力8始終沒有交點，則直線/的斜率攵的取值范圍是().

A.沁<2B.Q2或

C.腐D.4<2

4

A

因為抬尸;2色月,如圖所示.

4

因為直線/與線段48始終沒有交點，所以kBP<kvkAP,故斜率A■的取值范圍是自,2).故選A.

C［O用哈”)

D.廉M%)

B

由直線方程可得該直線的斜率為高，又-仿忌Y<0,所以該直線的傾斜角的取值范圍是［午,n).

考點二直線方程的求解

求適合下列條件的直線方程.

⑴過點4-1,3),斜率是直線*3x的斜率的一;

(2)過點41,-1)且與已知直線A:2x*y6=0相交于點B,/AB/=5.

(1)設(shè)所求直線的斜率為人依題意得

又直線經(jīng)過點4(-1,3),因此所求直線的方程為y+3=*x+1),即3xMy+15=0.

(2)過點4(1,-1)與y軸平行的直線為*=!.

聯(lián)立方程原±6=o求得點8的坐標(biāo)為(1,4),此時08/=5,即x=1為所求.

設(shè)過點4(1,-1)且與y軸不平行的直線為y*1=A(x-1),

聯(lián)立方喉m

解得［“=忠'("2否則與已知直線平行)，則點8的坐標(biāo)為(黑,鬻).

由已知(黑T)2,鬻*),與解得“W，所以M=*xT)，即3xMy+1=0.

綜上可知，所求直線的方程為*=1或3x*4y+1=0.

求直線方程一般有以下兩種方法

(1)直接法:首先由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式，然后直接寫出其方程.

(2)待定系數(shù)法:先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù),即得所求直線方程.

感悟?qū)嵺`

已知“8C的三個頂點分別為4(30),鳳2,3),求：

(1)8。邊所在直線的方程；

(2)8。邊上的中線所在直線的方程；

(3)8C邊的垂直平分線上的方程.

⑴因為直線8c經(jīng)過鳳2,1),。-2,3)兩點,所以由兩點式得直線8c的方程為察夠，即x+2y4=0.

3-1-L-L

(2)設(shè)6c邊的中點為。*必,則*號=0,尸亨=2,即。0,2).

因為8C邊上的中線過4-3,0),。0,2)兩點，

所以其所在直線的方程為5g4即2*3片6=0.

?3L

(3)由(1)知，直線8c的斜率均二々，

則直線5C的垂直平分線的斜率k2=2.

由(2)知，點。的坐標(biāo)為(0,2),

故所求直線的方程為y-2=2(x-0),lP2x-y+2=Q.

考點三直線方程的綜合應(yīng)用

命題角度1與直線有關(guān)的最值問題

(改編)過點只4,1)作直線/分別交x軸、y軸的正半軸于點A,B.

(1)當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求直線/的方程；

(2)當(dāng)/O4/+/O切取最小值時，求直線/的方程.

設(shè)直線/刈，因為直線/經(jīng)過點H4,1),所以找4

⑴因為)吊=122所以s會16,所以$月麗4日拄8,當(dāng)且僅當(dāng)士W，即a=8,b=Q時等號成立,所以當(dāng)a=8,b=2時,“。日的面

積最小，此時直線/的方程為弼=1,即戶4y6=0.

(2)因為狀4aX)力;>0,所以/CW/+/O8片2拓=(尹6)6+3=5埼沖25+2后?=9,當(dāng)且僅當(dāng)苴岑，即a=6力=3時等號成立,所以當(dāng)

/CM///08/取最小值時，直線/的方程為］4=1,即x+2y￡=0.

o3

1.求解與直線方程有關(guān)的最值問題，先根據(jù)題意建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式(或函數(shù)的性質(zhì))求解最值.

2.求解直線方程與函數(shù)相結(jié)合的問題,一般利用直線方程中xj的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于*或必的函數(shù)，再借助函數(shù)的性質(zhì)解決

問題.

感悟?qū)嵺`

過點H2,1)作直線/與X軸、y軸的正半軸分別交于48兩點，求：

(1AAO8面積的最小值及此時直線/的方程；

(2)直線/在兩坐標(biāo)軸上截距之和的最小值及此時直線/的方程；

⑶〃%/?/尸功的最小值及此時直線/的方程.

(1)設(shè)直線/的方程為葉1成x-2),

則可得川(等,0),歐0,1-2。

直線/與x軸/軸的正半軸分別交于48兩點,

：(平＞°，解得kO.

ll-2/c＞0,

.SAOB=^IOAHOBI陪乂1-2

當(dāng)且僅當(dāng)年=4片且片＜0,即4后時,“。8的面積取得最小值，最小值為4,

此時直線/的方程為y-1=翔-2),即戶2*=0.

⑵)(等,0),印),1-2A)(4<0),

：截距之和為等*24令2號3.2J(-2k>(-}=3+2企,

當(dāng)且僅當(dāng)-2依卡即公號時，等號成立.故截距之和的最小值為3+2企,

此時直線/的方程為外1二手(*-2),即x大②W2-2O.

(3):爪竿,0

「JPAHPB卜

當(dāng)且僅當(dāng)￡工*,即k=A時，等號成立.

故「M//Q的的最小值為4,此時直線/的方程為y-1=G-2),即x+y^=Q.

命題角度2與直線有關(guān)的求參問題

已知直線上kx”+2代0(依R).

⑴證明:直線/過定點.

(2)若直線/不經(jīng)過第四象限，求攵的取值范圍.

(3)若直線/交x軸的負半軸于點4交y軸的正半軸于點的面積為品。為坐標(biāo)原點)，求S的最小值及此時直線/的方程.

(1)(法一)直線/的方程可化為依什2)犬1引=0,

無論4取何值，直線/總經(jīng)過定點(-2,1).

(法二)方程kx-y+\+2Z)可化為y-1詢戶2),顯然直線/恒過定點(-2,1).

(2)由方程知，當(dāng)代0時，直線/在x軸上的截距為華，在y軸上的截距為1+24要使直線/不經(jīng)過第四象限，則必須有

M2

芳解得心0；

114-2/c>1,

當(dāng)4=0時，直線/的方程為尸1,符合題意.

故片的取值范圍是［0,+8).

（3）由題意可知性0,再由直線/的方程，得力午,0人80,1+26

依題意得「一^<°,解得k>Q.

1+2/c>0,

■.S^/OA//OB/^

當(dāng)且僅當(dāng)4攵三,即東^時，等號成立,

.：&m=4,此時直線/的方程為x-2片4=0.

感悟總結(jié)

1.含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，能夠看出“動中有定”.若直線的方程為片次長句坨,

則直線過定點（ab）.

2.求解與直線方程有關(guān)的面積問題，應(yīng)根據(jù)直線方程求解相應(yīng)坐標(biāo)或者相關(guān)長度，進而求得多邊形的面積.

感悟?qū)嵺`

（改編）已知直線4:訴-2*2日4〃：2戶印片2邛4當(dāng)0〈a<2時，直線與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時，實數(shù)a的

值為.

答案-

由題意知直線4,金均恒過點只2,2）,直線/i在y軸上的截距為2田,直線〃在x軸上的截距為字2又0Q<2,所以四邊形

的面積5』或吊2迫）*或*（*+2）=浜力乂=（嗎）"嚀所以當(dāng)反時,四邊形的面積最小.

逐點排查素養(yǎng)快提升

對應(yīng)《高效訓(xùn)練》P88

回基礎(chǔ)過關(guān)

1.若過?4MB（2,3癖點的直線的斜率為1,則內(nèi)）.

C

:過4（4,以仇2,4）兩點的直線的斜率為1,.:直線的斜率*=!若，解得尸-1.故選C.

2.過點人6,-28）且傾斜角為135°的直線方程為（）.

A.3x-y4\/3=0B.x-y-73=O

C.x+yVWD.x+y+V3=O

D

:道線的傾斜角為135°,.:斜率*=tan135°=-1,又直線過點月［遮,-26）,

..直線的點斜式方程為y*2>/3=-1*（x-V3）,gP故選D.

3.（2023?汕頭期末）已知直線x+ky23kR恒過定點Q,點、Q在直線/上，則/的方程可以是（）.

A.x*y-4=0B.2x-y-1=0

C.3x*y-8=0DM2y-70

B

x+ky?3k=Q可化為4y則直線恒過定點Q2,3）,驗證選項得直線/的方程可以為2x-y-1=0.故選B.

4.（2023?如皋期末）已知直線ax+by+c=Q滿足a??<0〈G那么這條直線一定不經(jīng)過（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

C

由ax+by+c=Q,^:a<b<S<c,

.4<0,5乂）,.??直線片?嚀經(jīng)過第一、二、四象限，即不經(jīng)過第三象限.故選C.

5.（2023?廣東韶關(guān)月考）過點M-1,-2）,且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（）.

A.x+y+3=0

B.2x-y=0或x+y+3=Q

C,,y=x-A

D.x+y+3=0或y=xA

B

當(dāng)所求直線不過原點時,設(shè)所求直線的方程為x9刊因為直線過點Ml?）,所以石二-3,即戶尸30;當(dāng)所求直線過原點時,

設(shè)直線方程為y刁口因為直線過點M-L-2）,所以公2,即綜上可得，所求直線的方程為2x-*0或.故選B.

6.下列四個命題為真命題的是（）.

A.直線3x+y+2=0在y軸上的截距為2

B.直線y=Q的傾斜角和斜率均存在

C.若兩直線的斜率片的滿足女廣口則兩直線互相平行

D.若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等

B

對于直線3x"+20令x=0得片-2,所以直線3戶12W）在y軸上的截距為2故A錯誤；

直線片0的傾斜角為0,斜率存在且為。，故B正確;若兩直線的斜率所,〃2滿足★『依則兩直線互相平行或重合，所以C錯誤；

若兩直線的傾斜角為90。,則它們的斜率不存在，所以D錯誤.

故選B.

7.

（2023?山東日照月考）如圖在矩形48CO中,/8C/f/5/4B/,直線4c的斜率為奈則直線8c的斜率為（）.

A.V3B.y

A

?.在ABC中,/ABCqjBCmiABI，

.:tan"第糊喙即/ACB4.

\DLI3o

設(shè)直線4c的傾斜角為。則tan。岑，即吟

直線8C的傾斜角為〃耳故fec=tan故選A.

8.下列說法正確的是（）.

A."aW”是恒線^x+yA=0與直線%-ay-2=0互相垂直”的充要條件

B.直線mina*y+2=0的傾斜角9的取值范圍是］o/u［華,”）

C.過（必,乂）,（&總）兩點的所有直線的方程為念言

D.經(jīng)過點（1,1）且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x+y-2=0

B

對于A,當(dāng)a=0時，兩直線方程分別為六d和六2,此時也滿足兩直線垂直，故A錯誤；

對于B,直線的斜率〃=sina,則-?、桑?ivtan的，則法［0*1［第J,故B正確；

對于C,當(dāng)必支或力取時，直線方程為x=xi或片％,此時直線方程不成立，故C錯誤；

對于D,若直線過原點，則直線方程為片％此時也滿足條件，故D錯誤.

9.已知直線/過點h2,4）,且在y軸上的截距是在x軸上的截距的兩倍，則直線/的方程為（）.

A.2x-yO

B.2x^y-8=O

C.2x-y=Q或x+2六10R

D.2x-y=0或2x+y￡=0

D

若直線/經(jīng)過原點，滿足條件，可得直線/的方程為尸2尤即2x-yO;

若直線/不經(jīng)過原點，可設(shè)直線/的方程為:喧=1（K0）,把點耳2,4）代入可得:《力解得日4：直線/的方程為泮工即2x+y.

8R.綜上可得直線/的方程為2x-%0或2x少8=0.故選D.

10.（2023?柳州三模）已知點力（1,0）,區(qū)3,0）,若直線依-y+1W）上存在點只滿足?麗則4的取值范圍是（）.

A

因為點尸在直線依-修1=0上,所以設(shè)卬/戶1）,則正式1水,-依-1）,麗=（3-尤-依-1）,

所以瓦??麗=(1/(3/*依川產(chǎn)式A2*1)/*2“)x*4=0,

因為方程有解，所以"2七4）24MA2*）*420,解得孕K0.

時能力提升

11.已知直線/過第一象限的點(m,〃)和(1,5),若直線/的傾斜角為135°,則的最小值為().

A.4B.9C.1D.1

D

由題意得上^^tan1350=-1,所以m+n=Q[m>Q,n>Q),

所以24,(14)(6*")日(5死網(wǎng))公(5+2

，當(dāng)且僅當(dāng)777=2,77=4時取等號，所以上2的最小值為之故選D.

mn6mn6mn6yjmn2mnZ

12.在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形O48CQ0Q),42,0),。0,1),將矩形折疊，使點。落在線段8。上，設(shè)折痕所在直線的斜率為匕則k

的取值范圍是.

[-2,0]

如圖，要想使折疊后點。落在線段8c上，可取8。上任意一點2作線段。。的垂直平分線/以/為折痕可使點。與點。重合.

因為上?優(yōu)攵。8弓,所以k=~^-i-2,且4<0.又當(dāng)折疊后點。與點C重合時,4=0,所以-2WK0,所以々的取值范圍是［-20.

13.已知0%<4,直線h:kx2y2k粕工和直線^:2x^2y4A-M=0與坐標(biāo)軸圍成一個四邊形,則使這個四邊形面積最小的片的值

為.

由直線方程易知直線均恒過點(2,4)廁兩直線均經(jīng)過第一象限，因為0?<4,所以直線A的斜率m(0,2),直線人的斜率?

攵乃底射率.故當(dāng)片三時，面積最小.

OIDO

14.直線mx-3y+n=Q必過x軸上的一個定點，寫出實數(shù)見〃可能滿足的一個關(guān)系:.

〃=2用(答案不唯一)

由題意可知，當(dāng)直線經(jīng)過x軸上的定點時，有mx切=0,即/7=-mx設(shè)過定點(-2,0),代入得"=2/n(答案不唯一).

回思維拓展

15.已知點2(4,5),點8在*軸上，點。在直線2x-y+2=Q上，則"尻?的周長的最小值為，此時點。的坐標(biāo)為.

4/10(1,4)

按題意畫圖，如圖，設(shè)點2關(guān)于直線2x?y+2=0的對稱點。的坐標(biāo)為(3向，

則40的中點為￡(等,苧)，

償=」，

則滿足2+八

12.啜竽+2=0,

即解得《二黑。"。,7).

又點A關(guān)于x軸對稱的點為H4,七)，

則當(dāng)。民C尸四點共線時，

△ABC的周長最小,最小為/DP/=y/42+(-5-7)2NJIU,

直線。尸的方程為若干，即3戶外70,

聯(lián)立圖M望解—

16.設(shè)直線/的方程為(尹1)x+y+2-3M)(aeR).

(1)若/在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求/的方程；

(2)若/不經(jīng)過第二象限,求實數(shù)a的取值范圍.

⑴若2-HK,解得a=2,則直線/的方程化為3戶外。

若尹1=0,解得戶-1,則直線/的方程化為片3=0,舍去.

若K?1且K2,則直線/的方程化為備心=1,令啜和2可得尹1=1,解得a=0,可得直線/的方程為x+y+2=0.

“J(t-cG+l

a+1

綜上所述，直線/的方程為x^2=0或3x9W).

(2)*Ya*)x%-2,

:/不經(jīng)過第二象限,-0,解得g1

.:實數(shù)a的取值范圍是(-嗎叩.

第2節(jié)直線的位置關(guān)系

對應(yīng)學(xué)生用書P221

考試要求

1.能根據(jù)斜率的關(guān)系判定兩條直線平行或垂直.

2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標(biāo).

3.掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.

知識結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)全通關(guān)

一、兩條直線平行或垂直的判定

1.兩條直線平行

(1)對于兩條不重合的直線A右若其斜率分別為此色,則有(應(yīng)。；

(2)當(dāng)直線兒〃不重合且斜率都不存在時,刊也.

2.兩條直線垂直

⑴如果兩條直線Zi%的斜率存在，設(shè)為Ae則有，；

(2)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時,

dit

在判定兩條直線平行或垂直的情況時不要忽略了一條直線或兩條直線斜率不存在的情形.

由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法

二、兩條直線相交

A++81y+G=0,

的解一一對應(yīng).

A2X+B2y+Q=0

2.相交。方程組有，交點坐標(biāo)就是方程組的解.

3.平行o方程組7熊.

4.重合。方程組有.

三、三種距離公式

1.兩點間的距離公式

平面上任意兩點91(必J1),生(及，二)間的距離公式為/尸1閂片J(%2%)2+相均產(chǎn)

2.點到直線的距離公式

點凡(加心)到直線f.Ax+By+CK的距席"」華城吐g

"+82

注＜

利用點到直線的距離公式時，需要先將直線方程化為一般式.

3.兩條平行直線間的距離公式

兩條平行直線Ax+By+GR與Ax+By+C2=Q間的距寓L畢總.

J儲+水

自我診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（對的打Y",錯的打“'）

⑴當(dāng)直線/1和人的斜率都存在時，一定有心永=＞川也（

（2）如果兩條直線/1與〃垂直，那么它們的斜率之積一定等于1（

（3）若兩直線的方程組成的方程組有唯一解則兩直線相交.（

（4）直線外一點與直線上一點的距離的最小值就是點到直線的距理.（

（1）*⑵*（3），（4"

2.（教材改編）兩條平行直線h:2x+3y-S=Q,k:2x+3y-10=0之間的距離為.

13

因為川山所以由兩條平行直線間的距離公式得。上卡—浮.

舊了13

3.（2023?四川綿陽模擬）設(shè)a為實數(shù)，若直線x^ay+2a=O與直線ax+y+a+1=0平行，則a的值為（）.

A.-1B.1C.±1D.2

A

由題意得a=±1,當(dāng)時，兩直線重合，舍去;當(dāng)時，滿足兩直線平行.故a=-1.

4.（2020年全國〃倦）點（0,-1）到直線片火戶1）距覆的最大值為（）.

A.1B.V2C.V3D.2

B

記點4。，-1），直線片《X*）恒過點歐-1,0）,當(dāng)08垂直于直線片《戶1）時，點40，/）到直線片4戶1）的距離最大,且最大

值為故選B.

突游考點題型命題全研透

考點一直線的平行與垂直

⑴（2023?遼寧模擬）設(shè)林R,直線/y：（m^2）x^y-2m-8=Q,/2：x+2my+m^4則“6=1”是“川|夕的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

A

若根，貝喀，瑟瑞'#3+8）解得）或…若E―

因此,“6=1”是“川|夕的充分不必要條件.

（2）（2023?江西南昌二模）已知直線2叼-1R與直線戶垂直，則m=（）.

A.-2B.-|C.2D.1

C

當(dāng)m=Q時，kw"2Rnx=-2,由2叼”1W）知尸2戶1,斜率為2,所以直線2叼"1W）與x=-2不垂直，不符合題意;當(dāng)亦0

時,戶預(yù)"2=0=＞尸白彳,因為直線2x-y+1=0與直線x+my粒K垂直，所以悔*2=-1,解得m=Q..

1.當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率,不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情

況,同時還要注意X/的系數(shù)不能同時為零這一隱含條件.

2.在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.

感悟?qū)嵺`

1.已知直線/1：*3六=0￡*七%24),若A“，則a={).

A.1B.-jC.3D.-3

A

當(dāng)a=Q時&*=2,此時h與6不垂直，不符合題意;當(dāng)H0時,公尸右卷/|：片|尤：/12金(?=1,解得a=^.

2.(2023?濟南二模))=3”是“直線ax+y^=Q與3x*，-2)yM=0平行'的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

A

充分性:當(dāng)a=3時，直線ax+y-3=O與3**薩2)片4旬即3x+p3=0與3戶片4=0,所以兩直線平行，故充分性滿足.

必要性:直線awy-3=0與3x*a-2)yM=0平行，則有次升2)?3=0,解得a=3或a=?1.當(dāng)a=3時，直線awy-3=0與3x*a-2)片4H

即3戶%3=0與3My*4=0,所以兩直線平行，不重合；

當(dāng)a=-\時，直線ax+y-3=Q與3*犬才2)匕4=0即wySW)與3x-3y*4=0,所以兩直線平行,不重合.所以，=3或a=-1.故必要性不

滿足.

故“a=3”是“直線ax+y-3=Q與3x?a-2)yM=0平行”的充分不必要條件.

考點二直線的交點與距離問題

⑴已知直線/過點H-1,2),且到點42,3)和點筑45)的距離相等，則直線/的方程為

戶3/5=0或x=-1

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)直線/的方程為外2詢戶1),即kx-y+k包0

由題意知」|2k-3+k+2|」-4〃-5+k+2|

Jk^+1Ji^+i

即乃4-1/=/S4-34次=看

■:直線/的方程為六2=+(戶1),即戶3葉5=0.

當(dāng)直線/的斜率不存在時，直線/的方程為x=-1,也符合題意.

故直線/的方程為x#3y-50或x=-1.

(2)已知兩條直線axmiy-1=0和的交點為耳2,3),則過(金，比)兩點的直線方程為—

2k3六1=0

??點H2,3)在已知的兩條直線上，

￡［沙=點a(ai,di),Q(a,a)是直線2x*3尸1上的兩個點，

故過Q,Q兩點的直線方程為2x+3外1=0.

點到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件

(1)求點到直線的距離時，應(yīng)先化直線方程為一般式.

(2)求兩平行線之間的距離時，應(yīng)先將方程化為一般式且xj的系數(shù)對應(yīng)相等.

感悟?qū)嵺`

1.（2023?安慶模擬）若直線加O（mX））與直線52*珀六3K的距離為近U,則m={）.

A.7B.yC.14D.17

告三B

直線/i：x+3y+/n=0（6>0）,即2x電“2/nO,因為它與直線會2x珀網(wǎng)=0的距離為同,所以粵型力1。解得加考.故選B.

v4+3oL

2.（改編）已知點朋是直線XA/3y=2上的一個動點，且HV5,-1）,則/尸M的最小值為（）.

A.iB.1C.2D.3

B

/々切的最小值即為點到直線門四尸2的距離，又片曾=1,故的最小值為1.故選B.

考點三對稱問題

命題角度1點關(guān)于點對稱

過點?。?1）作直線4使它被直線/i：2x+y-8=0和￡：M3y*10=0截得的線段被點戶平分，則直線/的方程為.

x*4y-4=0

設(shè)直線/i與直線/的交點為4a8-2勃則由題意知，點4關(guān)于點尸的對稱點風(fēng)力,246）在直線h.上，把點8的坐標(biāo)代入直

線人的方程，得在3（2升6）+10=0,解得aN,即點44,0）在直線/上,所以由兩點式得直線/的方程為戶4y4=0.

中心對稱：0點加關(guān)于點Qab）的對稱點戶J；口滿足{；：二②直線關(guān)于點的對稱問題可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來

解決.

感悟?qū)嵺`

（2023?平頂山統(tǒng)考）已知點41,-2）,鳳憶2）,若線段49的垂直平分線的方程是x+2六2-0,則實數(shù)m的值為（）.

A.-2B.-7C.3D.1

C

因為2（1,-2）和鳳以2）的中點（等,0）在直線戶2萬2=0上,所以等+2初2=0,所以m3

命題角度2點關(guān)于線對稱

已知入射光線經(jīng)過點M34）,被直線fxw+3-O反射，反射光線經(jīng)過點M2,6）,則反射光線所在直線的方程為.

6x-y-6=0

設(shè)點M-3,4）關(guān)于直線t.x-y+3=G的對稱點為例（日力）,則反射光線所在直線過點M：

（b-41=]

所以需二二n解即:加和0

I——+3=0-

又反射光線經(jīng)過點M2,6）,所以所求直線的方程為空與即6x-y-6=0.

O-UZ-1

已知入射光線過點M34）,被直線反射,反射光線所在直線的方程為求入射光線所在直線方程.

設(shè)直線6x-y^=Q與直線燈"3R的交點為4a。則心工二/解得，辭人故入射光線所在的直線方程為y-

2￡

4手4(m3),化簡得x￡r+27=0.

感悟總傳

點旦科切關(guān)于直線為"00（250）的對稱點為E[m,n）,

‘旦(瑪=-1,

則有m-a\B)*

.a+m.nb+n,八

4與一+B—+C=A0.

感悟?qū)嵺`

（改編）唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說:“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題一*'將軍飲

馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營,怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)

軍營所在區(qū)域為若將軍從點42,0）處出發(fā)，河岸線所在直線方程為并假定將軍只要到達軍營所在區(qū)域即回到軍營，

貝仁將軍飲馬”的最短總路程為（）.

A.VTo-1B.2V2-1C.2V2D.V10

A

設(shè)點42,0）關(guān)于直線戶片3的對稱點為A[a,b）,

則44的中點為（3

故序V叱二

從點A到河岸，再到軍營的最短總路程，即點力到軍營最短的距離,

故“將軍飲馬”的最短總路程為每中-1=V而，故選A.

命題角度3線關(guān)于點對稱

若直線R恒過定點〃則直線2x+3j/￡R關(guān)于點例對稱的直線方程為（）.

A.2x*3y-12=0B.2x-3y-12R

C.2x-3y*12=0D.2x+3y+12=Q

D

由W）,可得*戶3）*外1）=0,令｛；；：彳°,可得二二'所以定點M31）,且點例不在直線2戶3必=0上，設(shè)直

線2k3葉6=0關(guān)于點〃對稱的直線方程為2戶3y3）S~6）廁卜甯」-常L解得c』2或c=￡（舍去），所以所求的直線方程為

2戶3片12=0.故選D.

感悟總傳

線關(guān)于點對稱的兩種求解方法

(1)在已知直線上取兩點，利用中點坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點坐標(biāo),再由兩點式求出直線方程.

(2)求出一個對稱點,再利用兩對稱直線平行油點斜式得到所求的直線方程.

感悟?qū)嵺`

直線x-2y-3=0關(guān)于定點M-2,1)對稱的直線方程是.

x-2y+11=0

設(shè)所求直線上任意一點為(“必,則關(guān)于M-2,1)的對稱點(4-X2-M在已知直線上，.:所求直線方程為(4-M-2(2-M-3=0,即x-

2*1=0.

命題角度4線關(guān)于線對稱

已知弘8C的一個頂點44-1),它的兩個角的角平分線所在直線的方程分別為A:x-y-1=0和則8c邊所在直線的

方程為.

2x-y+3=0

由題意得點力不在這兩個角的

角平分線上，因此A及是另兩個角的角平分線所在的直線.點/關(guān)于直線人的對稱點4,點工關(guān)于直線々的對稱點4均在邊8c

所在直線/上.

^xl=-l

卬

設(shè)則有4'

、竽2-竽2-1=。,

解得產(chǎn)二，所以4(0,3).

同理設(shè)4(起閡,易求得4(2-1).

所以8c邊所在直線的方程為2x,+3W).

求直線A關(guān)于直線/對稱的直線次有兩種處理方法

(1)在直線h上取兩點(一般取特殊點),利用求點關(guān)于直線的對稱點的方法求出這兩點關(guān)于直線/的對稱點,再利用兩點式寫出直

線6的方程.

(2)設(shè)點夕尤歷是直線人上任意一點，其關(guān)于直線/的對稱點為尸I(M》)(R在直線/i上)，根據(jù)點關(guān)于直線對稱建立方程組，用xty

表示出幾九再代入直線k的方程，即得直線人的方程.

感悟?qū)嵺`

光線沿直線/i：x-2y*5=0射入遇直線/3x-2y+7R后反射，則反射光線所在的直線方程為.

29x-2y+33=0

（法一）如圖,由卷匐:工0,得仁2

反射點例的坐標(biāo)為（-1,2）.

取直線x-2y+5=O上一點H-5,0）,

設(shè)點尸關(guān)于直線/的對稱點為尸（須,妁），

由尸產(chǎn)］/可知，丘="|胃餐

而戶戶的中點。的坐標(biāo)為

又點。在直線/上,「3?竽247=0.

（4=二fy_1Z

由y5-3，得。

x

（2（o-5）-yo+7=o,（y。=-在

根據(jù)直線的兩點式方程，可得所求反射光線所在直線的方程為29x-2y+33W）.

（法二）設(shè)直線x-2y+5=0上任意一點H須M關(guān)于直線/的對稱點為尸則煞與

又戶戶的中點。（牛，學(xué)）在直線/上，

3啜空+7K

四=二-5x+12y-42

由4Mx3，13-1

12x+5y+28

(3x爭?(y+y°)+7-13-

代人方程x-2y^5=O中,化簡得29x-2y+33=0,

?:所求反射光線所在的直線方程為29x-2y+33R.

訓(xùn)練素養(yǎng)快提升

對應(yīng)《高效訓(xùn)練》P90

RT基礎(chǔ)過關(guān)

1.（2023?湖北武漢模擬）已知直線人:"汽3以"丹力4內(nèi)在紗攵4其中美R,則"日=-3”是“心夕的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

A

直線的充要條件是3犬3+2）30,所以a=0或a=-3.故選A.

2.（2023?福建龍巖高三期末）若點HxM在直線2x-y巧H上，。為坐標(biāo)原點，則/。咖最小值為（）.

A.V5B.V10

C.2V5D.2同

A

/O々的最小值為原點。到直線的距寓公M7%旦dWG,即/OQ的最小值為花.故選A.

3.已知直線匕ax+by+cR與直線/關(guān)于直線x+yR對稱，則/的方程為（）.

f\.bx+ay-c=QB.ay-bx-c力

C.ay+bx+c=QD.ay-bx+c=Q

A

在/的方程中以-x代替乂以少代替X,即得/的方程.直線ax地片關(guān)于直線內(nèi)產(chǎn)力對稱的直線/的方程是用沙地（-

MY=0,即.故選A.

4.（2023?揭陽模擬）已知偵斜角為6的直線/與直線3*4y-1H垂直，則cos6的值為（）.

A.-|B.-iC.|D.1

A

由垂直知兩直線的斜率之積為】而直線3MW-1W）的斜率為也所以直線/的斜率為持即tan嗡彳導(dǎo)6為鈍角，再根

據(jù)sin28￥cos26=1,求得cos6二|.故選A.

5.若直線x-4y-7=0與雙曲線*>0）的一條漸近線平行，則e的值為（）.

A.2C.4D.16

164

A

雙曲線Ca￥-y