2022屆吳淞中學高考仿真模擬數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)2，存在實數(shù)為<%<%，使得/（內(nèi)）=/（X2）=/（/），則的最大值

e+2—x,x?’°」

為（）

1111

A.-B.C.—j=D.—

e27ee

2.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為（爐+產(chǎn)丫=//給出下

列四個結(jié)論：

①曲線C有四條對稱軸；

②曲線C上的點到原點的最大距離為

4

③曲線C第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為工；

8

TT

④四葉草面積小于7.

其中，所有正確結(jié)論的序號是（）

*y

~:

A.①②B.①③C.①③④D.①②④

3.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入機=1995,八=228,則計算機輸出的數(shù)是（）

/輸斗,n/

|求m除以二%蓊薪"一|

Im=n1

I"=rI

/輸出m/

A.58B.57C.56D.55

4.已知平面向量a，b滿足2),b=(-3,t),且。，(。+匕)，則卜卜()

A.3B.V10C.2GD.5

5.已知拋物線/=2內(nèi)(p〉0),F為拋物線的焦點且MN為過焦點的弦，若|。/|=1,|MN|=8,貝!jOAW的面

積為()

A.2-\/2B.3A/2C.4-\/2D.

6.等腰直角三角形ABE的斜邊為正四面體ABCD側(cè)棱，直角邊AE繞斜邊A3旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，有下

列說法：

I.

/\\

J\I

\/w

<.

(1)四面體E-3C。的體積有最大值和最小值；

(2)存在某個位置，使得

(3)設(shè)二面角O-AB—E的平面角為。，則62NZME；

(4)AE的中點M與A5的中點N連線交平面5c。于點P,則點尸的軌跡為橢圓.

其中，正確說法的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

7.已知雙曲線-「1=二；"二二?。)，其右焦點F的坐標為二；，點二是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點，二為

坐標原點，滿足二二=二，線段二二交雙曲線于點二.若二為二二的中點，則雙曲線的離心率為()

B.2C.4D.-

3i

8.若函數(shù)"x)=2sin(x+2e)-cosx(0<0<|)的圖象過點(0,2),則()

A.函數(shù)y=/(x)的值域是[0,2]B.點是丁=/(力的一個對稱中心

C.函數(shù)y=/(x)的最小正周期是2萬D.直線x=?是y=/(x)的一條對稱軸

PP

9.拋物線y2=4x的焦點為尸，點P(x,y)為該拋物線上的動點，若點A(-l,0),則——的最小值為()

-PA

A.1B.@C.昱D.也

2223

10.設(shè)根，”是兩條不同的直線，a,￡是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若mlln,mL(3,則"_L〃；

②若根〃a,瓶〃夕，則M/尸；③若mJ_a,nila,貝！!加_1_〃；④若根〃a,mL/3,則。_L/?；其中真命題的個

數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

11.運行如圖程序，則輸出的S的值為()

A.0B.1C.2018D.2017

12.已知非零向量a1滿足同=咖，若。力夾角的余弦值為且（a-2》）j_（3a+b）,則實數(shù)2的值為（）

423543

A.一一B.-C.一或一一D.一

93292

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)a、夕為互不重合的平面，m,〃是互不重合的直線，給出下列四個命題：

①若根〃%則相〃“；

②若mua,nc.a,m//fl,n//p,貝!|a〃少；

③若a〃6，mc.a,nu0,則機〃〃；

④若<z_Lp,aC\0=m,nua,mYn,貝!）憶_1_4

其中正確命題的序號為.

14.（5分）在長方體中，已知棱長A3=l,體對角線AC=&，兩異面直線與AA所成的角

為45。，則該長方體的表面積是.

22_

15.已知雙曲線二-斗=1（。>0,6>0）的漸近線與準線的一個交點坐標為（1,6）,則雙曲線的焦距為____.

ab

16.如圖，ABC的外接圓半徑為2若，。為邊上一點，且BD=2DC=4,ZBAD=90°,貝（jABC的面積

為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知（x）=|x+3Hx-2|

（1）求函數(shù)1A%）的最大值加

[2336

(2)正數(shù)a,bc滿足a+25+3c=皿，求證：—I----1—N—.

fabc5

18.（12分）某保險公司給年齡在20-70歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機抽

取100名作為樣本進行分析，按年齡段[20,30）,[30,40）,[40,50）,[50,60）,[60,70]分成了五組，其頻率分布直方圖如

下圖所示；參保年齡與每人每年應交納的保費如下表所示.據(jù)統(tǒng)計，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費用

為一百萬元.

菊率

年齡

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

（單位：歲）

保費

X2x3x4x5x

（單位：元）

（1）用樣本的頻率分布估計總體分布，為使公司不虧本，求x精確到整數(shù)時的最小值/；

（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在[60,70]之間的老人每50人中有1人患該項疾?。ㄒ源祟l率作為概率）.該病的治療費為12000元,

如果參保，保險公司補貼治療費10000元.某老人年齡66歲，若購買該項保險（x取（1）中的%）.針對此疾病所支付的費

用為x元；若沒有購買該項保險，針對此疾病所支付的費用為y元.試比較x和y的期望值大小，并判斷該老人購買

此項保險是否劃算？

19.(12分)在銳角AABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊，AABC的面積S=2,且滿足

tzcosB=Z?(l+cosA),則(c+a-b)(c+b-a)的取值范圍是()

A.(8^/2-8,8)B.(0,8)C.述二^,88D.8^~8,8

I3JI3,

20.(12分)將棱長為2的正方體ABC。-A4GB截去三棱錐A-AC。后得到如圖所示幾何體，。為AG的中點.

(1)求證：05〃平面ACR；

(2)求二面角C—A，—G的正弦值?

ax2+1

21.(12分)已知函數(shù)/(%)=其中。>03>0.

2bx

(1)①求函數(shù)/(九)的單調(diào)區(qū)間;

4a

②若占，尤2滿足㈤〉7=(，=1,2),且%+%>0,々>0.求證：+>

~b

(2)函數(shù)g(x)=g以?—Mx.若e[o，2]對任意，石0馬，都有I/(玉)一/5)1>1g(%)一8(X2)1，求

的最大值.

22.(10分)選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)/(x)=|2x+a|_|x_2|(xeR,aGR).

(1)當a=—1時，求不等式〃句>0的解集；

(2)若“尤)2-1在xeH上恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

仆)_/@=也”，構(gòu)造函數(shù)8(力=則

畫出分段函數(shù)圖像，可得為》2=1，由于,利用導數(shù)研究單調(diào)性，分

x2x2X

析最值，即得解.

【詳解】

由于0<%<1<%2<e2<%3<e2+2,

-In%；=lnx2=>xxx2-1,

由于/6)="九2)J叱

x2%2%

令g(x)=則,

xG(1,e

X

，/、1-Inx

g⑺二1廠ng(x)在(1,e)7,(e,e1

Ji

故g(x)s=g(e)=J

故選：A

【點睛】

本題考查了導數(shù)在函數(shù)性質(zhì)探究中的應用,考查了學生數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化劃歸，綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬于較難

題.

2.C

【解析】

①利用］，y之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為x,y的

關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值；④根據(jù)尤,y滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關(guān)系，從而判斷出面

積是否小于」IT.

4

【詳解】

①：當X變?yōu)?X時，（/+丁）3=爐,2不變，所以四葉草圖象關(guān)于y軸對稱；

當y變?yōu)?y時，（犬+丁丫=爐,2不變，所以四葉草圖象關(guān)于X軸對稱；

當y變?yōu)閄時，（x2+y2）3=x2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于y=x軸對稱；

當y變?yōu)?X時，（％2+y2）3=x2y2不變，所以四葉草圖象關(guān)于y=-X軸對稱；

綜上可知：有四條對稱軸，故正確；

/22、2

②：因為卜2+y2/=%2,2,所以（九2+,2）3=%2,2＜'十，,

I2J

所以好+?。?；,所以J'+y2wg,取等號時12=y2=J

所以最大距離為二,故錯誤；

2

③：設(shè)任意一點P（x,y）,所以圍成的矩形面積為孫，

因為（必+,2）3=必＞2,所以/）?=（%2+）?）32（2移）3,所以孫Wg,

51

取等號時x=y=注，所以圍成矩形面積的最大值為-，故正確；

,48

④：由②可知/+?。?，所以四葉草包含在圓Y+y2=_L的內(nèi)部，

44

|nTT

因為圓的面積為：s=f=二，所以四葉草的面積小于一，故正確.

444

故選：C.

【點睛】

本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲

線的對稱性，可通過替換方程中羽y去分析證明.

3.B

【解析】

先明確該程序框圖的功能是計算兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再利用輾轉(zhuǎn)相除法計算即可.

【詳解】

本程序框圖的功能是計算根，〃中的最大公約數(shù)，所以1995=228x8+171,

228=171x1+57,171=3x57+0,故當輸入加=1995,〃=228,則計算機輸出的數(shù)

是57.

故選：B.

【點睛】

本題考查程序框圖的功能，做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么，本題是一道基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

先求出a+6，再利用7(2+5)=。求出再求瓦

【詳解】

解：?+Z?=(l,-2)+(-3,Z)=(-2,r-2)

由a_l_(a+6),所以a-(a+b)=0

lx(-2)+(-2)x(?-2)=0,

t=l,Z?=(-3,l),|&|=A/10

故選:B

【點睛】

考查向量的數(shù)量積及向量模的運算，是基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

根據(jù)|OF\=1可知丁=4x,再利用拋物線的焦半徑公式以及三角形面積公式求解即可.

【詳解】

由題意可知拋物線方程為丁=4x，設(shè)點M(玉,%)點N(%,%)，則由拋物線定義

知,MN|=|MF|+1NF|=玉+%2+2,|MN|=8則石+/=6.

由/=4x得3=4%，y；—4%2貝!]y；+￡=24.

又為過焦點的弦，所以％%=T,則昆一%|=+貨-2%%=4&，所以SQMN=J。巴?艮一%|=2&.

故選：A

【點睛】

本題考查拋物線的方程應用，同時也考查了焦半徑公式等.屬于中檔題.

6.C

【解析】

解：對于（1）,當平面A5E,且E在A5的右上方時，E到平面3CZ＞的距離最大，當平面ABE,且E在

AB的左下方時，E到平面BCD的距離最小，

二四面體E-5C。的體積有最大值和最小值，故（1）正確；

對于（2）,連接OE,若存在某個位置，使得AEL3。，又AEL5E,則AE,平面可得AELOE,進一步可得

AE=DE,此時E-A3O為正三棱錐，故（2）正確；

對于（3）,取A8中點0,連接O。，E0,則NOOE為二面角O-A5-E的平面角，為9,

直角邊AE繞斜邊45旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)的過程中，0e[O,n）,

NZMEW[*,n）,所以叫NZME不成立.（3）不正確；

對于（4）AE的中點M與的中點N連線交平面于點尸，P到的距離為：dP-BC,

IpBI

因為上江＜1,所以點尸的軌跡為橢圓.（4）正確.

AP-BC

故選：C.

點睛：該題考查的是有關(guān)多面體和旋轉(zhuǎn)體對應的特征，以幾何體為載體，考查相關(guān)的空間關(guān)系，在解題的過程中，需

要認真分析，得到結(jié)果，注意對知識點的靈活運用.

7.C

【解析】

計算得到二（二，二二二：二.三!，代入雙曲線化簡得到答案.

【詳解】

雙曲線的一條漸近線方程為一二三二，二是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點，一二1-三,

故一，，故一，代入雙曲線化簡得到：，二，故二二三.

故選：二

【點睛】

本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.

8.A

【解析】

根據(jù)函數(shù)/(%)的圖像過點(0,2),求出氏可得/(x)=cos2x+l,再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出結(jié)論.

【詳解】

由函數(shù)〃x)=2sin(x+2(9)-cosx(0<^<|)的圖象過點(0,2),

可得

2sin20=29BPsin2^=1,

故f(x)=2sin(%+28)?cos%=2cos2x-cos2%+l,

對于A,由一I<cos2無<1,則。故A正確；

對于B,當X=?時，/^=1,故B錯誤；

27r

對于C,T=g=",故c錯誤；

對于D,當x=(時，/^=1,故D錯誤；

故選：A

【點睛】

本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記性質(zhì)與公式，屬于基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

\PF\

通過拋物線的定義，轉(zhuǎn)化PF=PN,要使匕［有最小值，只需NAPN最大即可，作出切線方程即可求出比值的最

\PA\

小值.

【詳解】

解：由題意可知，拋物線y2=4x的準線方程為尤=-1,A(-1,O),

過P作PN垂直直線x=—1于N,

\PF\

由拋物線的定義可知依=PN,連結(jié)24,當出是拋物線的切線時，彳T有最小值，則NAPN最大，即最

\PA\

大,就是直線%的斜率最大，

k(x+l)

設(shè)在出的方程為：y=k(x+l),所以。y=,

〔y=4x

解得：Mf+Q嚴一4)%+產(chǎn)=0,

所以A=（2左2—4）2—4/=。，解得左=±i,

所以N7VPA=45°,

【點睛】

本題考查拋物線的基本性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于基礎(chǔ)題.

10.C

【解析】

利用線線、線面、面面相應的判定與性質(zhì)來解決.

【詳解】

如果兩條平行線中一條垂直于這個平面，那么另一條也垂直于這個平面知①正確；當直線加

平行于平面戊與平面￡的交線時也有機〃。，〃〃/，，故②錯誤；若加，a,則心垂直平面

a內(nèi)以及與平面a平行的所有直線，故③正確；若加〃a,則存在直線/ua且機/〃，因

為2/3,所以/，，，從而。，萬，故④正確.

故選：c.

【點睛】

本題考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系，里面涉及到了相應的判定定理以及性質(zhì)定理，是一道基礎(chǔ)題.

11.D

【解析】

依次運行程序框圖給出的程序可得

TT

第一次：S=2017+sin-=2018,z=3,不滿足條件；

2

37r

第二次：S=2018+sin—=2018-l=2017,z=5,不滿足條件；

2

5%

第三次：S=2017+sin—=2018,z=7,不滿足條件；

2

77r

第四次：S=2018+sin—=2018-1=2017,z=9,不滿足條件；

2

97r

第五次：S=2017+sin—=2018,z=ll,不滿足條件；

2

1\jT

第六次：5=2018+sin—=2018-1=2017,z=13,滿足條件，退出循環(huán).輸出1.選D.

2

12.D

【解析】

根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零，結(jié)合同=&司以及夾角的余弦值，即可求得參數(shù)值.

【詳解】

依題意，得（a—2b）-（3a+））=0,即3同？—5a力—2=o.

將同=明代入可得，1842—194—12=0，

解得X=3（%=—4舍去）.

29

故選：D.

【點睛】

本題考查向量數(shù)量積的應用，涉及由向量垂直求參數(shù)值，屬基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.@

【解析】

根據(jù)直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系依次判斷每個選項得到答案.

【詳解】

對于①，當機〃”時，由直線與平面平行的定義和判定定理，不能得出機〃a,①錯誤；

對于②，當wiua,〃ua,且機〃“，時，由兩平面平行的判定定理，不能得出a〃“，②錯誤；

對于③，當a〃/?,且機ua,"U/?時，由兩平面平行的性質(zhì)定理，不能得出機〃?、坼e誤；

對于④，當a_L",且aA"=/n,nc.a,?i_L〃時，由兩平面垂直的性質(zhì)定理，能夠得出"_!_“，④正確；

綜上知，正確命題的序號是④.

故答案為：④.

【點睛】

本題考查了直線和平面，平面和平面的位置關(guān)系，意在考查學生的空間想象能力和推斷能力.

14.10

【解析】

作出長方體ABCD-A4G。如圖所示，由于則NG。。就是異面直線G。與AA所成的角，且

NCPA=45°,在等腰直角三角形CQD中，由CQ=AB=1,得=1,又AC=JF+E+W=后，貝!|"口=2,

從而長方體ABCD-A4CQ的表面積為2x(lxl+lx2+2xl)=10.

15.1

【解析】

由雙曲線士-工=1(。>0/>0)的漸近線x=—=l,百=2以及a?+廿=°?求得c的值即可得答案.

abca

【詳解】

22

由于雙曲線=l(a>0/>0)的漸近線與準線的一個交點坐標為(1,A/3),

ab

2

所以％=幺=1,即c=/①，

C

把(1，道)代入y=?x,得6=2,即6=氐②

aa

又③

聯(lián)立①②③，得c=2.

所以2c=4.

故答案是：1.

【點睛】

本題考查雙曲線的性質(zhì)，注意題目“雙曲線的漸近線與準線的一個交點坐標為(1,0)”這一條件的運用，另外注意題目

中要求的焦距即2c,容易只計算到c,就得到結(jié)論.

16.3A/3

【解析】

先由正弦定理得到/BAC=120,再在三角形ABO、AOC中分別由正弦定理進一步得到3=C,最后利用面積公式計

算即可.

【詳解】

依題意可得BC=6,由正弦定理得———=2R,即sinN84c=-9尸=且，由圖可

sinZBAC4G2

知NBAC是鈍角，所以NR4C=120,ZDAC=3Q，在三角形A5O中，AD=BDsinB,

=4sinB,在三角形AOC中，由正弦定理得=-即AD=4sinC,

sinCsinZDAC

所以，sinB=sinC,故3=C=30，AB=2?,AD=2,故ABC的面積為

-ABBC-sinB=3>j3.

2

故答案為：3g.

【點睛】

本題考查正弦定理解三角形，考查學生的基本計算能力，要靈活運用正弦定理公式及三角形面積公式，本題屬于中檔

題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(1)m-5(2)見解析

【解析】

(1)利用絕對值三角不等式求得了(%)的最大值.

(2)由(1)得a+2〃+3c=5.方法一，利用柯西不等式證得不等式成立；方法二，利用“1的代換”的方法，結(jié)合基

本不等式證得不等式成立.

【詳解】

⑴由絕對值不等式性質(zhì)得f(x)引x+31-1x-2區(qū)I(X+3)--2)1=5

\%+3)(%-2)>0

當且僅當＜即2時等號成立，所以加=5

|x+3|>|x—2|

⑵由⑴得a+2〃+3c=5.

法1：由柯西不等式得

當且僅當a=b=c=-時等號成立，

6

即5（!+\+3］之36,所以工+2+。之型.

bc）abc5

、上.…——a2b3cl

法2：由Q+2Z7+3C=5得g+二=1,

55a5a5b55b5c5c5

當且僅當a=b=c=-時"=”成立.

6

【點睛】

本小題主要考查絕對值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式，屬于中檔題.

18.(1)30；(2)E(Y)>E(X),比較劃算.

【解析】

（1）由頻率和為1求出a=0.032,根據(jù)口的值求出保費的平均值3.35x,然后解一元一次不等式3.35x2100即可

求出結(jié)果，最后取近似值即可;

（2）分別計算參保與不參保時的期望E（X）,E（y）,比較大小即可.

【詳解】

解：(1)由(0.007+0.016+a+0.025+0.020)x10=1,

解得a=0.032.

保險公司每年收取的保費為：

10000(0.07x+0.16x2x+0.32x3.x+0.25x4x+0.20x5%)=10000x3.35%

二要使公司不虧本，貝!110000x3.35x21000000,即3.35x2100

解得x2出■土29.85,

3.35

:.%=30.

(2)①若該老人購買了此項保險，則X的取值為150,2150.

4Q1

P(X=150)=-,P(X=2150)=-

491

AE(X)=150x—+2150x—=147+43=190(元).

5050

②若該老人沒有購買此項保險，則F的取值為0.12000.

491

尸(丫=。)=而，尸(丁=12。。。)=而

491

...E(y)=0X—+12000X—=240(%).

5050

E(Y)>E(X)

???年齡為66的該老人購買此項保險比較劃算.

【點睛】

本題考查學生利用相關(guān)統(tǒng)計圖表知識處理實際問題的能力，掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì)，知道數(shù)學期望是平均數(shù)

的另一種數(shù)學語言，為容易題.

19.A

【解析】

由正弦定理化簡得sin(A—B)=sinB,解得A=23后，進而得到C=?-33嗚弓)，利用正切的倍角公式求得

cr-4

l>tan->-l+V2,根據(jù)三角形的面積公式，求得進而化簡

2sinC

Q「

(c+a-b)(c+b-a)=------(1-cosC)=8tan—,即可求解.

sinC2

【詳解】

由題意，在銳角AABC中，滿足〃cosB=b(l+cosA),

由正弦定理可得sinAcos5=sin5+sinBcosA，即sinAcosB-sinBcosA=sinB,

7T

可得sin(A-5)=sinB,所以A—5=5,即A=23<一,

2

所以3e(0.工)，所以A+3=33e(三,女)，則C=〃—33G(三,工)，

■42442

cc

2tan—?

所以tanC=-----m7>1,可得1>tan—>—1+,

l-tan2c2

2

14

又由A4BC的面積S=—absinC=2,所以。人=-----,

2sinC

貝！I(c+〃一b)(c+b-a)=c2-a2-b2+2ab——2abcosC+2ab=2ab(l-cosC)

2

8l-(l-2sin-)c

=^—(l-cosC)=8x---------^-=8tan—e(8V2-8,8).

sinC.CC2

n2sin——cos——

22

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應用，以及三角形的面積公式和正切的倍角公式的綜合應用，著重考查了推理

與運算能力，屬于中檔試題.

20.(1)見解析；(2)昱.

3

【解析】

(1)取AC的中點連接物1、,連接用2,證明出四邊形M3。。為平行四邊形，可得出然

后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；

(2)以點A為坐標原點，4A、A用、AA所在直線分別為X、y、Z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可

求得二面角C-AD,-￡的余弦值，進而可求得其正弦值.

【詳解】

(1)取AC中點以，連接MO、BM、AM,

441〃。。1且441=。。1，二.四邊形A&GC為平行四邊形，.?.AC〃AC]且AC=4G，

。、〃分別為4G、4。中點，，3〃4。且4加=4。，

則四邊形A&OM為平行四邊形，???〃/幽且OM=AA],

AAl//BBi且A4,=3耳，:.OMHBBX且OM=BBl,

所以，四邊形83]OM為平行四邊形，.?.5/〃。。且3“=。。，

二四邊形MBOBX為平行四邊形，03〃，/，

MDiU平面ACR,05</平面4。2，..03〃平面4。2；

(2)以點A為坐標原點，AD、4耳、AA所在直線分別為X、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系4-孫Z,

則。(2,2,2)、4(0,0,2)、6(220)、^(2,0,0),

AD]=（2,0,-2）,AC=（2,2,0）,=（0,2,0）,

設(shè)平面ACR的法向量為7〃=(XQI，ZJ,

m-AC=0,2芯+2y=0./、

由,，得《⑵―‘取為=1'則X-【1，.?”=（11），

m-AD1=0

設(shè)平面A^C,的法向量為72=(九2,y2,Z2)，

幾,D1￡1=02y2=0

由<，得<12-'取"1'則％=°'Z2=l，"=（MU），

n?AD1-0

m-n2V6

cos<m-n>-?-pp-rsin<m,n>—-71-cos2<m,n>--,

HT7I石x0—33

因此，二面角c-A。1-G的正弦值為

3

【點睛】

本題考查線面平行的證明，同時也考查了利用空間向量法求解二面角，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.

21.(1)①單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間-下，一/=②詳見解析；(2)

、7cl7a,16

【解析】

⑴①求導可得f'(x)=竺二,XH0,再分別求解了'(X)＞0與/'(X)＜0的解集，結(jié)合定義域分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即

2bx

②根據(jù)⑴中的結(jié)論，求出/(玉)+2/(七)的表達式，再分七＜0與西＞0兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析

)+2/(%)的范圍即可.

⑵求導分析g(x)=g以2_皿x的單調(diào)性,再結(jié)合/(x)單調(diào)性，設(shè)藥＜%，去絕對值化簡可得

(1)

/(%)—g&)—"(9)-g(/萬乂，再構(gòu)造函數(shù)M(x)=/(x)-g(x),xe0,下，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與恒成立問

2b

題可知1--7=20,再換元表達6-a求解最大值即可.

7a

【詳解】

1、(1'__1_1]

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間

、而，而,，

西＞0或玉＜0,

，故㈤＞七,

若x/0,因為㈤＞一尸司

7a、