高考沖刺資源培優(yōu)沖刺05導(dǎo)數(shù)壓軸大題（含答案解析）

培優(yōu)沖刺05導(dǎo)數(shù)壓軸大題歸類TOC\o"1-3"\p""\h\z\u目錄題型一：不等式證明：三角形不等式················································································································1題型二：三角函數(shù)型數(shù)列不等式證明··················································································································2題型三：混合型極值點(diǎn)偏移證明·························································································································3題型四：三個零點(diǎn)型偏移證明·····························································································································3題型五：非對稱型偏移證明不等式····················································································································4題型六：比大小型證明不等式································································································································4題型七：三角函數(shù)型比大小證明不等式············································································································5題型八：恒成立型求參············································································································································6題型九：構(gòu)造新函數(shù)求參··········································································································································6題型十：借助三角函數(shù)構(gòu)造證明不等式············································································································7題型十一：帕德逼近型證明與求參·······················································································································8題型十二：泰勒展開型證明與求參·····················································································································9題型十三：新結(jié)構(gòu)19題：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列············································································································11題型十四：新結(jié)構(gòu)19題：高觀下導(dǎo)數(shù)新定義···································································································12題型十五：新結(jié)構(gòu)19題：導(dǎo)數(shù)與集合············································································································13題型十六：新結(jié)構(gòu)19題：函數(shù)性質(zhì)定義型········································································································14題型一：不等式證明：三角形不等式利用導(dǎo)數(shù)證明具有正余弦型的三角函數(shù)型不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）借助正余弦函數(shù)的有界性，可以適當(dāng)?shù)姆趴s，轉(zhuǎn)化為較容易的函數(shù)不等形式來證明1．（2024·湖南·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)時；（?。┤?，求的取值范圍；（ⅱ）證明：．2．（2024·山西朔州·一模）已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為2，求的值；(2)求證：．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)．(1)討論的零點(diǎn)個數(shù)；(2)若，求證：．題型二：三角函數(shù)型數(shù)列不等式證明利用導(dǎo)數(shù)證明不等式有如下方法，方法一，等價轉(zhuǎn)化是證明不等式的常見方法，其中利用函數(shù)的對稱性，構(gòu)造對稱差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移問題的基本處理策略；方法二，比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明的不等式即可，方法三，利用不等式的性質(zhì)對原不等式作等價轉(zhuǎn)換后，利用導(dǎo)數(shù)證明相關(guān)的式子成立.1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性(2)證明：①當(dāng)時，；②.2．（2024·天津·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時，若在的圖象上有一點(diǎn)列，若直線的斜率為，（ⅰ）求證：；（ⅱ）求證：．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知當(dāng)時，，，.(1)證明：；(2)已知，證明：（可近似于3.14）.題型三：混合型極值點(diǎn)偏移證明極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.1．（2023·陜西安康·二模）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）(1)當(dāng)時，恰好存在一條過原點(diǎn)的直線與，都相切，求b的值；(2)若，方程有兩個根，（），求證：．2．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有2個不同的零點(diǎn)（），求證：.3．（2021·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若關(guān)于x的方程存在兩個正實數(shù)根，證明：且．題型四：三個零點(diǎn)型偏移證明極值點(diǎn)偏移問題，解題關(guān)鍵為將雙變量消元為單變量，常構(gòu)造差函數(shù)或以兩變量之差，之商構(gòu)造函數(shù)以達(dá)到消元目的.對于極值點(diǎn)偏移問題，首先找到兩極值點(diǎn)的相應(yīng)關(guān)系,然后構(gòu)造商數(shù)或加數(shù)關(guān)系；通過要證明的不等式，將兩極值點(diǎn)變形后構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解出構(gòu)造函數(shù)的最值，從而證明不等式或等式成立.1．（2022·安徽淮南·二模）已知函數(shù)．(1)若，證明：時，；(2)若函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，證明：．2．（2022·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有三個零點(diǎn)，求a的取值范圍．(2)若，證明：．3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2)若有三個零點(diǎn)，且．（i）求的取值范圍；（ii）證明：.題型五：非對稱型偏移證明不等式1．（22-23高三上·河南·）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在，且，使得，求證：.2．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點(diǎn)，，且，求證：．題型六：比大小型證明不等式1．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時，；(2)設(shè)為正實數(shù)且.（i）若，證明：；（ii）若，證明：.2．（2022·河南·三模）已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；(2)比較，，的大小，并說明理由.3．（23-24高三上·甘肅金昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)問；(2)設(shè)，試比較與的大小，并說明理由；題型七：三角函數(shù)型比大小證明不等式1．（22-23高三天津南開·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)，時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn).①求實數(shù)的取值范圍；②求證：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的，使，并比較與的大小，說明理由.2．（23-24高三·福建南平·）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，比較與的大?。?2)若，比較與的大小.3．（22-23高三·北京大興·）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)對任意的，且，判斷與的大小關(guān)系，并證明結(jié)論．題型八：恒成立型求參對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：①通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；②利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．1．（2024·北京順義·二模）設(shè)函數(shù)，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求a的值；(2)求證：方程僅有一個實根；(3)對任意，有，求正數(shù)k的取值范圍.2．（23-24高三·上?！ぃ┮阎瘮?shù).(1)若直線是曲線的切線，求實數(shù)的值；(2)若對任意實數(shù)恒成立，求的取值范圍；(3)若，且，求實數(shù)的最大值.3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若恒成立，求的最大值．題型九：構(gòu)造新函數(shù)求參利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).1．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)(1)討論的零點(diǎn)個數(shù);(2)當(dāng)時，|求a的取值范圍.2．（23-24高三·江西宜春模擬）已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：；(3)求證：．3．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)若存在，且，使得，求證：.題型十：借助三角函數(shù)構(gòu)造證明不等式三角函數(shù)的放縮（1）的放縮：當(dāng)時，；當(dāng)時，.（2）的放縮：當(dāng)時，.1．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，，且，證明：.2．（2024·山西呂梁·一模）已知函數(shù)．(1)求在處的切線方程；(2)若對任意恒成立，求正實數(shù)的取值集合．3．（23-24高三上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若最小值為0，求的范圍；(2)在（1）的條件下，令的圖象上有一點(diǎn)列，若直線的斜率為，證明：.題型十一：帕德逼近型證明與求參帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）1．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）帕德近似（Padeapproximation）是有理函數(shù)逼近的一種方法.已知函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，….又函數(shù)，其中.(1)求實數(shù)，，的值；(2)若函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.2．（2024·山東菏澤·一模）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為．(1)求實數(shù)a，b的值；(2)比較與的大?。?3)若在上存在極值，求的取值范圍．3．（22-23高三·山東濟(jì)南·）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，．已知在處的階帕德近似為．注：(1)求實數(shù)，的值；(2)求證：；(3)求不等式的解集，其中．題型十二：泰勒展開型證明與求參常見泰勒展開；；截取片段：，當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立；進(jìn)而：當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立3、關(guān)于的放縮①切線放縮及其變形：；②當(dāng)時，；當(dāng)時，；③當(dāng)時，；當(dāng)時，；④對數(shù)平均不等式：.1．（2023·湖南永州·三模）已知函數(shù)，.(1)若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù).(2)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：這個公式被編入計算工具，計算足夠多的項時就可以確保顯示值的精確性.現(xiàn)已知，利用上述知識，試求的值.2．（21-22高三·福建福州）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時，，.(1)證明：當(dāng)時，；(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域為時，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.（i）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由；（ii）時，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請說明理由.3．（20-21高二下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）給出以下三個材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作．類似地，二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù)，記作，三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)……一般地，階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做階導(dǎo)數(shù)，記作．②若，定義．③若函數(shù)在包含的某個開區(qū)間上具有階的導(dǎo)數(shù)，那么對于任一有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的階泰勒展開式．例如，在點(diǎn)處的階泰勒展開式為．根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：（1）求出在點(diǎn)處的階泰勒展開式，并直接寫出在點(diǎn)處的階泰勒展開式；（2）比較（1）中與的大小．（3）已知不小于其在點(diǎn)處的階泰勒展開式，證明：．題型十三：新結(jié)構(gòu)19題：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列1．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)，若數(shù)列的各項由以下算法得到：①任?。ㄆ渲校?，并令正整數(shù)；②求函數(shù)圖象在處的切線在軸上的截距；③判斷是否成立，若成立，執(zhí)行第④步；若不成立，跳至第⑤步；④令，返回第②步；⑤結(jié)束算法，確定數(shù)列的項依次為．根據(jù)以上信息回答下列問題：(1)求證：；(2)是否存在實數(shù)使得為等差數(shù)列，若存在，求出數(shù)列的項數(shù)；若不存在，請說明理由．參考數(shù)據(jù)：．2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；(2)是否存在，且依次成等比數(shù)列，使得，，依次成等差數(shù)列？請證明；(3)當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，是否存在的關(guān)系？若存在，請證明；若不存在，請寫出正確的關(guān)系．3．（2024·四川成都·三模）已知函數(shù)，若數(shù)列的各項由以下算法得到：①任?。ㄆ渲校⒘钫麛?shù)；②求函數(shù)圖象在處的切線在軸上的截距；③判斷是否成立，若成立，執(zhí)行第④步；若不成立，跳至第⑤步；④令，返回第②步；⑤結(jié)束算法，確定數(shù)列的項依次為．根據(jù)以上信息回答下列問題：(1)求證：；(2)是否存在實數(shù)使得為等差數(shù)列，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．參考數(shù)據(jù)：．題型十四：新結(jié)構(gòu)19題：高觀下導(dǎo)數(shù)新定義對新定義的題型要注意一下幾點(diǎn)：（1）讀懂定義所給的主要信息篩選出重要的關(guān)鍵點(diǎn)（2）利用好定義所給的表達(dá)式以及相關(guān)的條件（3）含有參數(shù)是要注意分類討論的思想.1．（2024·湖南·模擬預(yù)測）超越數(shù)得名于歐拉，它的存在是法國數(shù)學(xué)家劉維爾（Joseph

Liouville）最早證明的．一個超越數(shù)不是任何一個如下形式的整系數(shù)多項式方程的根：（，，…，，）．?dāng)?shù)學(xué)家證明了自然對數(shù)的底數(shù)e與圓周率是超越數(shù)．回答下列問題：已知函數(shù)（）只有一個正零點(diǎn)．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)（?。?gòu)造整系數(shù)方程，證明：若，則為有理數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)．（ⅱ）數(shù)列中是否存在不同的三項構(gòu)成等比數(shù)列？若存在，求出這三項的值；否則說明理由．2．（2024·上?！ざ＃┕潭楁湹膬啥?，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時，就是雙曲余弦函數(shù)，懸鏈線的原理運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．類比三角函數(shù)的三種性質(zhì)：①平方關(guān)系：；②兩角和公式：，③導(dǎo)數(shù)：定義雙曲正弦函數(shù)．(1)直接寫出，具有的類似①、②、③的三種性質(zhì)（不需要證明）；(2)當(dāng)時，雙曲正弦函數(shù)的圖像總在直線的上方，求直線斜率的取值范圍；(3)無窮數(shù)列滿足，，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.3．（2024·天津·一模）意大利畫家達(dá)芬奇提出：固定項鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，那么項鏈所形成的曲線是什么?這就是著名的“懸鏈線問題”，通過適當(dāng)建立坐標(biāo)系，懸鏈線可為雙曲余弦函數(shù)的圖象，定義雙曲正弦函數(shù)，類比三角函數(shù)的性質(zhì)可得雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)有如下性質(zhì)①平方關(guān)系：，②倍元關(guān)系：.(1)求曲線在處的切線斜率；(2)若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍：(3)（i）證明：當(dāng)時，；（ii）證明：.題型十五：新結(jié)構(gòu)19題：導(dǎo)數(shù)與集合導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．1．（2024·福建·模擬預(yù)測）對于函數(shù)，若實數(shù)滿足，則稱為的不動點(diǎn).已知，且的不動點(diǎn)的集合為.以和分別表示集合中的最小元素和最大元素.(1)若，求的元素個數(shù)及；(2)當(dāng)恰有一個元素時，的取值集合記為.（i）求；（ii）若，數(shù)列滿足，，集合，.求證：，.2．（2023·浙江溫州·二模）定義：對于函數(shù)，若，則稱為的“不動點(diǎn)”，若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”.函數(shù)的“不動點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”集合分別記為和，即.(1)證明下面兩個性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：若函數(shù)單調(diào)遞增，則；(2)已知函數(shù)，若集合中恰有1個元素，求的取值范圍.3．（2023·吉林長春·模擬預(yù)測）定義：對于函數(shù)，若，則稱為的“不動點(diǎn)”，若，則稱為的“穩(wěn)定點(diǎn)”．函數(shù)的“不動點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”集合分別記為A和B，即，有如下性質(zhì)：性質(zhì)1：；性質(zhì)2：若函數(shù)單調(diào)遞增，則，已知函數(shù)，(1)討論集合中元素個數(shù)：(2)若集合中恰有1個元素，求a的取值范圍.題型十六：新結(jié)構(gòu)19題：函數(shù)性質(zhì)定義型1．（2024·上海虹口·二模）若函數(shù)滿足：對任意，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì).(1)設(shè)，，分別判斷與是否具有性質(zhì)？并說明理由；(2)設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；(3)已知函數(shù)具有性質(zhì)，且圖像是一條連續(xù)曲線，若在上是嚴(yán)格增函數(shù)，求證：是奇函數(shù).2．（2023·上海閔行·二模）已知關(guān)于的函數(shù)，與在區(qū)間上恒有，則稱滿足性質(zhì).(1)若，，，，判斷是否滿足性質(zhì)，并說明理由；(2)若，，且，求的值并說明理由；(3)若，，，，試證：是滿足性質(zhì)的必要條件.3．（23-24高三上·上海普陀·期末）已知為實數(shù)，．對于給定的一組有序?qū)崝?shù)，若對任意，，都有，則稱為的“正向數(shù)組”．(1)若，判斷是否為的“正向數(shù)組”，并說明理由；(2)證明：若為的“正向數(shù)組”，則對任意，都有；(3)已知對任意，都是的“正向數(shù)組”，求的取值范圍．

培優(yōu)沖刺05導(dǎo)數(shù)壓軸大題歸類TOC\o"1-3"\p""\h\z\u目錄題型一：不等式證明：三角形不等式················································································································1題型二：三角函數(shù)型數(shù)列不等式證明··················································································································5題型三：混合型極值點(diǎn)偏移證明·························································································································8題型四：三個零點(diǎn)型偏移證明···························································································································13題型五：非對稱型偏移證明不等式··················································································································17題型六：比大小型證明不等式·····························································································································20題型七：三角函數(shù)型比大小證明不等式·········································································································23題型八：恒成立型求參·········································································································································27題型九：構(gòu)造新函數(shù)求參·······································································································································31題型十：借助三角函數(shù)構(gòu)造證明不等式··········································································································36題型十一：帕德逼近型證明與求參·····················································································································40題型十二：泰勒展開型證明與求參···················································································································46題型十三：新結(jié)構(gòu)19題：導(dǎo)數(shù)與數(shù)列············································································································51題型十四：新結(jié)構(gòu)19題：高觀下導(dǎo)數(shù)新定義···································································································55題型十五：新結(jié)構(gòu)19題：導(dǎo)數(shù)與集合············································································································60題型十六：新結(jié)構(gòu)19題：函數(shù)性質(zhì)定義型········································································································69題型一：不等式證明：三角形不等式利用導(dǎo)數(shù)證明具有正余弦型的三角函數(shù)型不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).（4）借助正余弦函數(shù)的有界性，可以適當(dāng)?shù)姆趴s，轉(zhuǎn)化為較容易的函數(shù)不等形式來證明1．（2024·湖南·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)時；（ⅰ）若，求的取值范圍；（ⅱ）證明：．【答案】(1)(2)（?。áⅲ┳C明見解析【分析】（1）令時，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，進(jìn)行計算求出切線方程即可.（2）（?。┰O(shè)由得，再證明此時滿足.（ⅱ）根據(jù)（?。┙Y(jié)論判斷出在上單調(diào)遞增，即【詳解】（1）當(dāng)時，所以切線方程為：即（2）（?。┘?，設(shè)又是的一個必要條件，即下證時，滿足又，設(shè)在上單調(diào)遞減，所以，又即在單調(diào)遞增.時，；下面證明時不滿足，，令，則，，∴在為增函數(shù)，令滿足，則，又∴,使得，當(dāng)時，，∴此時在為減函數(shù)，當(dāng)時，，∴時，不滿足恒成立.綜上.（ⅱ）設(shè)由（?。┲?，在上單調(diào)遞增，即【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)，解題關(guān)鍵是進(jìn)行必要性探路，然后證明充分性，得到所要求的參數(shù)范圍即可．2．（2024·山西朔州·一模）已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．(1)若函數(shù)在處的切線的斜率為2，求的值；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)后可求參數(shù)的值；（2）可證及，故可證.【詳解】（1），故.（2）當(dāng)時，，而，故在上恒成立.當(dāng)時，設(shè)，則，故在上遞增，故，故，設(shè)，則，故在上遞增，故，故.，綜上，.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)．(1)討論的零點(diǎn)個數(shù)；(2)若，求證：．【答案】(1)的零點(diǎn)個數(shù)為1(2)證明見解析【分析】（1）首先討論時，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，再討論時，函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，即可求解；（2）首先將不等式變形為，再根據(jù)不等式構(gòu)造3個函數(shù)，，，，再分別證明，以及.【詳解】（1）當(dāng)時，，，，沒有零點(diǎn)．當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，，由零點(diǎn)存在定理及函數(shù)的單調(diào)性得在上存在唯一零點(diǎn)．綜上所述，的零點(diǎn)個數(shù)為1．（2）由題知，，即．設(shè)，，，則只需證當(dāng)時，，易知，，設(shè)，則單調(diào)遞增，又，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，只需證．又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，在上單調(diào)遞增．又，，當(dāng)時，，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是由不等式的形式構(gòu)造3個函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為分別證明不等式成立.題型二：三角函數(shù)型數(shù)列不等式證明利用導(dǎo)數(shù)證明不等式有如下方法，方法一，等價轉(zhuǎn)化是證明不等式的常見方法，其中利用函數(shù)的對稱性，構(gòu)造對稱差函數(shù)是解決極值點(diǎn)偏移問題的基本處理策略；方法二，比值代換是一種將雙變量問題化為單變量問題的有效途徑，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性證明的不等式即可，方法三，利用不等式的性質(zhì)對原不等式作等價轉(zhuǎn)換后，利用導(dǎo)數(shù)證明相關(guān)的式子成立.1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性(2)證明：①當(dāng)時，；②.【答案】(1)答案見解析；(2)①證明見解析；②證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論，即討論a的取值范圍，確定導(dǎo)數(shù)正負(fù)，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）①利用（1）的結(jié)論，即可證明結(jié)論；②由（1）可得，利用變量代換推出，結(jié)合，可得，從而采用累加法，即可證明不等式.【詳解】（1）由于，定義域為，則，①當(dāng)時，，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；③當(dāng)時，時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；④當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；⑤當(dāng)時，時，，時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：①由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故；②由（1）可得，當(dāng)時，，即，則，僅當(dāng)時等號成立，所以，所以，即得，令，則，所以，即，令，則，且不恒為零，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，難點(diǎn)在于不等式的證明，證明時要結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)推出，繼而結(jié)合，推出，從而累加，證明結(jié)論.2．（2024·天津·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時，若在的圖象上有一點(diǎn)列，若直線的斜率為，（?。┣笞C：；（ⅱ）求證：．【答案】(1)(2)（?。┳C明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義計算即可得；（2）（?。┝?，即證在時恒成立，借助導(dǎo)數(shù)，多次求導(dǎo)后即可得；（ⅱ）計算可得，由（?。┛傻茫纯傻?，借助放縮法可得，結(jié)合等比數(shù)列求和公式及放縮即可得證.【詳解】（1）當(dāng)時，，，所以，曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，所以切線方程為，即；（2）（?。┮C，即證時，，令，即證在時恒成立，因為，令，則，令，則在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即在內(nèi)單調(diào)遞增，所以,即在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即得證；（ⅱ）時，，由（ⅰ）知，，即，則，所以，，即得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題最后一問關(guān)鍵點(diǎn)在于由（?。┲械玫剑瑥亩玫?，從而借助放縮法，得到.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知當(dāng)時，，，.(1)證明：；(2)已知，證明：（可近似于3.14）.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【分析】（1）令，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，得到，要證，只需證，構(gòu)造，，二次求導(dǎo)得到單調(diào)性，得到，證明出，證明出不等式；（2）變形得到，兩邊同時除以得到：，證明出不等式.【詳解】（1）令，∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴，∴，要證，只需證，∵，∴只需證，令，，∴，∴，令，，∴，又∵當(dāng)時，，∴當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減，∴，∴當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞減∴，∴，∴，∴綜上所述，當(dāng)時，，證畢.（2）∵當(dāng)時，，∴，∴，∴，①將①式兩邊同時乘以得到：，②∵，但當(dāng)時，，∴，將②式兩邊同時除以得到：，∴，∴，∴當(dāng)時，，證畢.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛:證明不等式或比較兩函數(shù)大小，需構(gòu)造函數(shù)，并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值得到結(jié)論.題型三：混合型極值點(diǎn)偏移證明極值點(diǎn)偏移問題的一般題設(shè)形式：1.若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)且，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；2.若函數(shù)中存在且滿足，求證：（為函數(shù)的極值點(diǎn)）；3.若函數(shù)存在兩個零點(diǎn)且，令，求證：；4.若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：.1．（2023·陜西安康·二模）已知函數(shù)，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）(1)當(dāng)時，恰好存在一條過原點(diǎn)的直線與，都相切，求b的值；(2)若，方程有兩個根，（），求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題可求得過原點(diǎn)的與相切的直線方程：，后利用切點(diǎn)即在圖像上，也在切線上，可求得相應(yīng)切點(diǎn)橫坐標(biāo)，后由切線斜率為1可求得b；（2）由題可得有兩個根，令，則可得方程有兩個根，則.通過令，，可將證明，轉(zhuǎn)化為證明，后構(gòu)造函數(shù)，，通過其單調(diào)性可證明結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時，，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，則切線斜率為，切線方程為.因即在圖像上，也在切線上，則，故切線斜率為1，則切線方程為.又，，設(shè)直線與的切點(diǎn)為，則切線斜率為，切線方程為.因即在圖像上，也在切線上，則，又切線斜率為1，則；（2）當(dāng)時，，則由題可得有兩個根，令，則可得方程有兩個根，則.令，，則，.注意到，則構(gòu)造函數(shù)，.因，則在上單調(diào)遞增，得.故命題得證.2．（2023·山西·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)若，求實數(shù)的取值范圍；(2)若有2個不同的零點(diǎn)（），求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求解函數(shù)定義域，參變分離得到，構(gòu)造，利用導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，極值和最值情況，得到；（2）轉(zhuǎn)化為有2個不同的實數(shù)根，構(gòu)造，得到其單調(diào)性，得到，且，求出，換元后即證，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到在上單調(diào)遞增，，得到證明.【詳解】（1）因為函數(shù)的定義域為，所以成立，等價于成立.令，則，令，則，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，又因為，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值也是最大值.因此，即實數(shù)的取值范圍為.（2）有2個不同的零點(diǎn)等價于有2個不同的實數(shù)根.令，則，當(dāng)時，解得.所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在處取極大值為.又因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，.且時，.所以，且.因為是方程的2個不同實數(shù)根，即.將兩式相除得，令，則，，變形得，.又因為，，因此要證，只需證.因為，所以只需證，即證.因為，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，，即當(dāng)時，成立，命題得證.【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題中，若等式中含有參數(shù)，則消去參數(shù)，由于兩個變量的地位相同，將特征不等式變形，如常常利用進(jìn)行變形，可構(gòu)造關(guān)于的函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)再進(jìn)行求解.3．（2021·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若關(guān)于x的方程存在兩個正實數(shù)根，證明：且．【答案】（1）減區(qū)間為：，增區(qū)間為：；（2）證明見解析．【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；（2）方法一：由條件，分離參數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)區(qū)間及最值情況，利用數(shù)形結(jié)合將問題轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)問題，從而證得參數(shù)a的取值范圍；令，將證明的結(jié)論等價轉(zhuǎn)化為，從而，令，通過導(dǎo)數(shù)研究其最大值情況，從而證明結(jié)論；方法二：令，通過導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，若,有兩個零點(diǎn)，只需最小值小于0，從而求得參數(shù)a取值范圍；令，則，變形整理，要證，則只需證，即只要證，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象可知，只需要證兩點(diǎn)連線的斜率要比兩點(diǎn)連線的斜率小即可．【詳解】（1）解：的定義域為，又由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，的減區(qū)間為：，增區(qū)間為：，（2）證明：方法一：由存在兩個正實數(shù)根，整理得方程存在兩個正實數(shù)根．由，知，令，則，當(dāng)時，減函數(shù)；當(dāng)時，增函數(shù)．所以．因為．所以的值域為，問題等價于直線和有兩個不同的交點(diǎn)．，且，所以，從而．令，則，解得，，而，下面證明時，，令，則，令，則，在為減函數(shù)，，在為減函數(shù)，，在為減函數(shù)，，即．方法二：由存在兩個正實數(shù)根，整理得方程存在兩個正實數(shù)根．由，知，令，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減．所以．因為有兩個零點(diǎn)，即，得．因為實數(shù)是的兩個根，所以，從而．令，則，變形整理，要證，則只需證，即只要證，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖象可知，只需要證兩點(diǎn)連線的斜率要比兩點(diǎn)連線的斜率小即可．因為，所以只要證，整理得．令，則，所以在上單調(diào)遞減，即，所以成立，故成立．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最值情況以及交點(diǎn)，零點(diǎn)情況；帶參數(shù)時，可以分離參數(shù)或者帶參分類討論這兩種方法來求得參數(shù)取值范圍；對于雙變量問題的證明，一般需要找到兩個變量間的關(guān)系，利用另一個變量來表示這兩個變量，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，借助導(dǎo)數(shù)證得結(jié)論.題型四：三個零點(diǎn)型偏移證明極值點(diǎn)偏移問題，解題關(guān)鍵為將雙變量消元為單變量，常構(gòu)造差函數(shù)或以兩變量之差，之商構(gòu)造函數(shù)以達(dá)到消元目的.對于極值點(diǎn)偏移問題，首先找到兩極值點(diǎn)的相應(yīng)關(guān)系,然后構(gòu)造商數(shù)或加數(shù)關(guān)系；通過要證明的不等式，將兩極值點(diǎn)變形后構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解出構(gòu)造函數(shù)的最值，從而證明不等式或等式成立.1．（2022·安徽淮南·二模）已知函數(shù)．(1)若，證明：時，；(2)若函數(shù)恰有三個零點(diǎn)，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）當(dāng)時，，求導(dǎo)，得到導(dǎo)函數(shù)大于0恒成立，故得到；（2）首先確定為函數(shù)的一個零點(diǎn)，接下來研究，構(gòu)造差函數(shù)，求導(dǎo)后單調(diào)性，得到證明.【詳解】（1）時，函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，所以．（2），顯然為函數(shù)的一個零點(diǎn)，設(shè)為；設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．由已知，必有兩個零點(diǎn)，且，下證：．設(shè)函數(shù)，則，，由于，則，由（1）有，故，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即有，由于，且在上單調(diào)遞增，所以，所以．【點(diǎn)睛】對于極值點(diǎn)偏移問題，通常要構(gòu)造差函數(shù)，結(jié)合差函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)行證明.2．（2022·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有三個零點(diǎn)，求a的取值范圍．(2)若，證明：．【答案】(1)(2)證明見詳解【分析】（1）令換元得函數(shù)，然后通過導(dǎo)數(shù)求極值，根據(jù)與函數(shù)圖象有三個交點(diǎn)可得；（2）構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究在區(qū)間上的單調(diào)性，然后由單調(diào)性結(jié)合已知可證.【詳解】（1）令，則，記令，得當(dāng)時，，時，，時，所以當(dāng)時，取得極大值，時，取得極大值，因為函數(shù)有三個零點(diǎn)與有三個交點(diǎn)，所以，即a的取值范圍為.（2）記記則記則易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以所以在區(qū)間上單調(diào)遞增因為，記所以由（1）可知，所以，即又，所以因為，所以由（1）知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即所以【點(diǎn)睛】本題第二問屬于極值點(diǎn)偏移問題，關(guān)鍵點(diǎn)在于構(gòu)造一元差函數(shù)，通常構(gòu)造成或，本題由于采取了換元法轉(zhuǎn)化問題，因此構(gòu)造函數(shù)為.3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，判斷在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；(2)若有三個零點(diǎn)，且．（i）求的取值范圍；（ii）證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）多次求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性及正負(fù)即可判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）（i）原條件可轉(zhuǎn)化有三個不等實根，從而構(gòu)造函數(shù)，研究該函數(shù)即可得；（ii）借助的單調(diào)性，得到，從而將證明，轉(zhuǎn)化為證明，再設(shè)，從而將三個變量的問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，即可構(gòu)造函數(shù)，證明其在上大于即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，，令，，令，可得，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）（i）有三個零點(diǎn)，即有三個根，由不是該方程的根，故有三個根，且，令，，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，當(dāng)時，，時，，當(dāng)時，，時，，故時，有三個根；（ii）由在上單調(diào)遞增，，故，由（i）可得，且，即只需證，設(shè)，則，則有，即有，故，，則，即，即只需證，令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，則，即得證.題型五：非對稱型偏移證明不等式1．（22-23高三上·河南·）已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在，且，使得，求證：.【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)證明見解析【分析】（1）利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可；（2）由（1）得，設(shè)，，利用導(dǎo)函數(shù)可得，從而可得；設(shè)，，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可得，從而可得，兩式聯(lián)立即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，，令，得或，在上，，在上，，在上，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，設(shè)，，

則，因為，所以，在上單調(diào)遞增.又，所以當(dāng)時，，即.因為，所以，所以，因為在上單調(diào)遞增，且，，所以，即.①設(shè)，，則.因為，所以，在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，即，因為，所以，所以.因為在上單調(diào)遞增，且，，所以，即.②由①得，由②得，所以.【點(diǎn)睛】函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，某些數(shù)學(xué)問題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡的作用.因此對函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識，并掌握好使用的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.2．（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).(1)若，求函數(shù)的最值；(2)若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.【答案】(1)無最小值，最大值為(2)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后得，分別求出和的解集，從而可求解.（2）由有兩個極值點(diǎn)，從而要證，令，構(gòu)建函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解的最值，從而可求解證明.【詳解】（1）由題意得，則.令，解得；令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，無最小值，最大值為.（2），則，又有兩個不同的極值點(diǎn)，欲證，即證，原式等價于證明①.由，得，則②.由①②可知原問題等價于求證，即證.令，則，上式等價于求證.令，則，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，原不等式成立，即.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點(diǎn)，，且，求證：．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分類討論的取值情況，從而可求解.（2）結(jié)合（1）中結(jié)論可知，從而求出，，然后設(shè)并構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求解，然后再構(gòu)造函數(shù)證明，從而求解.【詳解】（1）因為函數(shù)的定義域是，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．綜上所述，當(dāng)時，的減區(qū)間為，無增區(qū)間；當(dāng)時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為．（2）因為是函的兩個零點(diǎn)，由（1）知，因為，設(shè)，則，當(dāng)，，當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．又因為，且，所以，．首先證明：．由題意，得，設(shè)，則兩式相除，得．要證，只要證，即證．只要證，即證．設(shè)，．因為，所以在上單調(diào)遞增．所以，即證得①．其次證明：．設(shè)，．因為，所以在上單調(diào)遞減．所以，即．所以②．由①②可證得．【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進(jìn)行：（1）考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．（3）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．（4）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題．題型六：比大小型證明不等式1．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時，；(2)設(shè)為正實數(shù)且.（i）若，證明：；（ii）若，證明：.【答案】(1)證明見解析(2)（i）證明見解析（ii）證明見解析【分析】（1）構(gòu)造并利用導(dǎo)數(shù)研究其在單調(diào)性，即可證結(jié)論；（2）（i）問題化為，證明，設(shè)且，利用得到，構(gòu)造研究其值域范圍，即可證結(jié)論；（ii）設(shè)，令研究其單調(diào)性可得，再構(gòu)造研究單調(diào)性得，最后構(gòu)造研究單調(diào)性比較函數(shù)值大小即可證結(jié)論.【詳解】（1）令且，則，所以在上遞減，故，即，所以時.（2）（i）設(shè)，證明：，不妨設(shè)，且，則，.設(shè)，則，.設(shè)，則.于是，在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)趨向于時，趨向于，故.由得：，則在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)趨向于時，趨向于e，故.因此，.（ii）證明：，其中，由對稱性知：不妨設(shè)，令，此時，令且，則，即遞減，所以，即，故，則單調(diào)遞增，則，于是，令，此時，單調(diào)遞增，則令，此時，令，則，所以遞增，即遞增，則，于是，單調(diào)遞增，則.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，（i）注意令且，結(jié)合得到為關(guān)鍵；（ii）依次構(gòu)造函數(shù)證明、，最后構(gòu)造證結(jié)論.2．（2022·河南·三模）已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；(2)比較，，的大小，并說明理由.【答案】(1)一個零點(diǎn)(2)，理由見解析【分析】（1）對二次求導(dǎo)，求出的單調(diào)性及極值，判斷出的零點(diǎn)個數(shù)；（2）對要比較大小的式子進(jìn)行整理變形，結(jié)合第一問函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.【詳解】（1），，設(shè)，則因此在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，在上單調(diào)遞減，所以在處有極大值，又，故有且僅有一個零點(diǎn).（2）因為，，由（1）可知，當(dāng)時，恒成立，又，所以，又對于任意的時，所以，即，因為，所以，所以.【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)比較函數(shù)值的大小，通常會構(gòu)造函數(shù)，或者對函數(shù)值進(jìn)行變形，本題中，是關(guān)鍵，再結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較.3．（23-24高三上·甘肅金昌·階段練習(xí)）已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)問；(2)設(shè)，試比較與的大小，并說明理由；【答案】(1)答案見解析；(2)，理由見解析.【分析】（1）由題設(shè)可得，討論參數(shù)a研究的單調(diào)區(qū)間即可；（2）確定大小關(guān)系，由作差法、分析法得，令，構(gòu)造且，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性并證恒成立即可比大小.【詳解】（1）由題意得，則，所以.當(dāng)時，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，由，得；由，得，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間為，無遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間是；單調(diào)增區(qū)間是.（2），理由如下：

要證，只需證，即證且.令，從而即證且.設(shè)且，則.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以，即且成立，故，得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，明確大小關(guān)系，應(yīng)用作差法得到，再構(gòu)造函數(shù)研究不等式恒成立即可.題型七：三角函數(shù)型比大小證明不等式1．（22-23高三天津南開·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)，時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若在區(qū)間內(nèi)存在極值點(diǎn).①求實數(shù)的取值范圍；②求證：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的，使，并比較與的大小，說明理由.【答案】(1)增區(qū)間為，無減區(qū)間(2)①；②證明見解析，【分析】（1）當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）①由，令，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用極值點(diǎn)的定義以及數(shù)形結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍；②將問題轉(zhuǎn)化為證明出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合①中的結(jié)論，可以證明；表示出，構(gòu)造函數(shù)，其中，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可得出，從而可得出，再利用函數(shù)的單調(diào)性，比較后可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：當(dāng)時，若，，則，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間.（2）解：①因為，，令，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，對任意的，，則函數(shù)在上為增函數(shù)，不合乎題意；當(dāng)時，由圖可知，直線與函數(shù)的圖象有且只有一個交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，此時函數(shù)在只有一個極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是；②要證明存在唯一的，使得，令，只需證明存在唯一的，使得，因為，由①可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，且，又因為，所以，函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)，在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，即存在唯一的使得，即，由①可知，，所以，，令，其中，則，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時，，故當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，所以，，因為在上為增函數(shù)，且，，所以，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題要比較與的大小關(guān)系，關(guān)鍵就是構(gòu)造出合適的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為比較、的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解.2．（23-24高三·福建南平·）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，比較與的大??；(2)若，比較與的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）令設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可得出答案；（2）先證明，則有，，再根據(jù)，可得，再利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)在上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，所以，從而，即；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時，，，則即恒成立，所以，，又，所以，因為，所以，令，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，即，設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，所以，所以，所以，從而.3．（22-23高三·北京大興·）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；(3)對任意的，且，判斷與的大小關(guān)系，并證明結(jié)論．【答案】(1)；(2)單調(diào)遞增；(3)，證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.（2）求出函數(shù)的解析式并求出導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)正負(fù)作答.（3）根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用（2）的結(jié)論判斷單調(diào)性即可比較大小作答.【詳解】（1）由，求導(dǎo)得，顯然，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）由（1）及知，，求導(dǎo)得，當(dāng)時,，則，因此在區(qū)間上單調(diào)遞增.（3）令，求導(dǎo)得，由（2）知，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此在區(qū)間上單調(diào)遞減，由，得，且，于是，即，所以.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)y=f(x)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：.題型八：恒成立型求參對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：①通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；②利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．③根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．1．（2024·北京順義·二模）設(shè)函數(shù)，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求a的值；(2)求證：方程僅有一個實根；(3)對任意，有，求正數(shù)k的取值范圍.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）根據(jù)切點(diǎn)在曲線和切線上可得；（2）分，，，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，通過單調(diào)性討論即可得證；（3）令，分，兩種情況，利用導(dǎo)數(shù)討論最值即可得解.【詳解】（1）解：因為，所以，又點(diǎn)在切線上，所以，所以，即.（2）證明：欲證方程僅有一個實根，只需證明僅有一個零點(diǎn)，令，則，令，則，討論：（1）當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，，即此時無零點(diǎn)；（2）當(dāng)時，，即此時有一個零點(diǎn)；（3）當(dāng)時，所以，當(dāng)時，，即此時無零點(diǎn)綜上可得，僅有一個零點(diǎn)，得證.（3）當(dāng)時，，即恒成立，令，則，由（Ⅱ）可知，時，所以，討論：（1）當(dāng)時，因為，所以，即，所以，即當(dāng)時，，所以在時單調(diào)遞增，所以恒成立，即滿足條件，（2）當(dāng)時，由可知，又，所以存在，使得，所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，即不能保證恒成立，綜上可知，正數(shù)k的取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍常用方法：（1）參變分離，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；（2）根據(jù)參數(shù)分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值即可求解.2．（23-24高三·上?！ぃ┮阎瘮?shù).(1)若直線是曲線的切線，求實數(shù)的值；(2)若對任意實數(shù)恒成立，求的取值范圍；(3)若，且，求實數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用函數(shù)與直線相切結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出；（2）構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可得到的取值范圍；（3）化簡得，令，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)最值即可求解.【詳解】（1）因為，直線是曲線的切線，令，所以，所以，解得或（舍去），所以，代入直線得，即切點(diǎn)為，即，所以；（2）令，則，令，則，所以可得恒為遞增函數(shù)，又，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，若對任意實數(shù)恒成立，則，解得；（3）因為，所以，因為，所以，所以，僅當(dāng)時，等號成立，令，則，因為，所以當(dāng)時，恒成立，令，，則在上單調(diào)遞增，所以.所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以的最大值為.【點(diǎn)睛】涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.3．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)若恒成立，求的最大值．【答案】(1)極小值為，極大值為；(2)3.【分析】（1）判斷函數(shù)為奇函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出在區(qū)間上的極值，利用奇偶性即可求得定義域上的極值.（2）利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)時，恒成立，當(dāng)時，等價變形不等式并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)并按導(dǎo)數(shù)為負(fù)為正確定的取值范圍，進(jìn)而確定不等式恒成立與否得解.【詳解】（1）函數(shù)，，即函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)時，，求導(dǎo)得：，由于，由，得，解得，由，得，解得，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上有極小值，從而在上的極小值為，極大值為.（2）當(dāng)時，恒成立，即恒成立，亦即恒成立，令，求導(dǎo)得，則函數(shù)在上為增函數(shù)，有，因此恒成立；當(dāng)時，恒成立，即不等式恒成立，令，求導(dǎo)得：令，求導(dǎo)得則，由，得，當(dāng)時，即時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，則有，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，有，即，當(dāng)時，即時，存在一個，使得，且當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，且，則，于是在上單調(diào)遞增，因此，即，與矛盾，所以的最大值為3.題型九：構(gòu)造新函數(shù)求參利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).1．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)(1)討論的零點(diǎn)個數(shù);(2)當(dāng)時，|求a的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)的取值范圍為【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的大致圖象，結(jié)合分類討論思想求解可得答案；（2）將原不等式轉(zhuǎn)化為，再利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合虛設(shè)零點(diǎn)的方法解不等式即可.【詳解】（1）令，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，作出的大致圖象如下圖所示：

當(dāng)時，，無零點(diǎn)；當(dāng)時，，得，由上圖知：當(dāng)，即時，無零點(diǎn)；當(dāng)或，即或時，有1個零點(diǎn)；當(dāng)，即時，有2個零點(diǎn).（2）當(dāng)時，顯然在上單調(diào)遞增，由（1）知，在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，即，當(dāng)時，由得，即，設(shè)函數(shù)，則，在上單調(diào)遞減，所以，解得，當(dāng)時，，由得，即，設(shè)，則，由得，所以在上單調(diào)遞增，所以，解得，綜上，由得，綜上：的取值范圍為.2．（23-24高三·江西宜春模擬）已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)求證：；(3)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，求實數(shù)的取值范圍，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理，說明零點(diǎn)的情況；（2）構(gòu)造新函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合，即可證明；（3）設(shè)，并求導(dǎo)，可證明，即可證明，設(shè)，設(shè)，并求導(dǎo)，證明.【詳解】（1），又因為函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，，，所以在和上各有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，的最小值為，且，所以在內(nèi)至多只有一個零點(diǎn)，綜上，實數(shù)的取值范圍是；（2）設(shè)，，，，當(dāng)時，，，所以，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即當(dāng)時，，又因為函數(shù)有兩個零點(diǎn)，由（1）知，，，所以，（3）設(shè)，，，當(dāng)時，因為，令，，設(shè)，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以,所以恒成立，顯然，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)的零點(diǎn)為，，易知，所以，設(shè)，設(shè)，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以恒成立，即，設(shè)的零點(diǎn)為，，易知，，所以，所以，所以3．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性；(3)若存在，且，使得，求證：.【答案】(1)(2)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增(3)證明見解析【分析】（1）分別求出和的值，求切線方程即可；（2）求原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，借助其導(dǎo)數(shù)的符號，研究的單調(diào)性及符號，的單調(diào)性即可解決；（3）從出發(fā)，將不等式同構(gòu)為的形式，設(shè)定，只需證成立，構(gòu)造函數(shù)，用極值點(diǎn)偏移的方法解決問題即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以，又，所以，曲線在點(diǎn)處的切線方程為：；（2）因為，且，令，，因為，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，得，所以函數(shù)在上小于零，在上大于零，因為，的符號和函數(shù)的符號一致，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）因為，所以時，，且，則，即，若，且，，所以，取自然對數(shù)得：，即，由得：，即，所以，令，設(shè)，所以，所以時，，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增；下面證明：，又，即證，即證，即證，令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，從而得證；故，即，所以，所以，得證.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：極值點(diǎn)偏移是一種最常見的考法，其解題步驟大致分為3步，第一步：代根作差找關(guān)系，第二步：換元分析化結(jié)論，第三步：構(gòu)造函數(shù)證結(jié)論.題型十：借助三角函數(shù)構(gòu)造證明不等式三角函數(shù)的放縮（1）的放縮：當(dāng)時，；當(dāng)時，.（2）的放縮：當(dāng)時，.1．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若，，且，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用到數(shù)的幾何意義，即可求得答案；（2）設(shè)，，，原不等式即為，利用的單調(diào)性，繼而轉(zhuǎn)化為，繼而再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明結(jié)論.【詳解】（1）由，得，則，，.故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）證明：由，，且，不妨設(shè)，，，則證明等價于證明，，即證，從而構(gòu)造函數(shù)，利用其調(diào)性證明結(jié)論.令，則，當(dāng)時，，在單調(diào)遞減，故，，即，，則，要證，只需證.令，則，令，得.令，，則，令，，則在上恒成立，則，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增.當(dāng)時，，則，則，在單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，則，在單調(diào)遞增.因為，所以，即在上恒成立，從而.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，難點(diǎn)就在于不等式的證明，解答時要將原不等式轉(zhuǎn)化為，繼而構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性證明成立.2．（2024·山西呂梁·一模）已知函數(shù)．(1)求在處的切線方程；(2)若對任意恒成立，求正實數(shù)的取值集合．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意先求出，從而可求解.（2）由對任意恒成立，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，從而可求解.【詳解】（1）由題意得，所以，又因為，則切線方程為，即.（2）由題意得對任意，恒成立，令，則，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，，所以存在使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，不合題意；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，符合題意；當(dāng)時，得在上單調(diào)遞增，又，所以，在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，，不符合題意，綜上，正實數(shù)的取值集合為.3．（23-24高三上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù).(1)若最小值為0，求的范圍；(2)在（1）的條件下，令的圖象上有一點(diǎn)列，若直線的斜率為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求得，對實數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合可得出實數(shù)的取值范圍；（2）由（1）可得，設(shè)，取點(diǎn)、，證明出，可得出，再利用不等式的基本性質(zhì)結(jié)合等比數(shù)列求和公式可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）因為，則，令，則，且.①當(dāng)時，即當(dāng)時，因為函數(shù)在上增函數(shù)，，所以，存在，使得，且當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，這與在上的最小值為0矛盾，舍去；②當(dāng)時，即當(dāng)時，且不恒為零，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時，，滿足題意.綜上所述，.（2）證明：由（1）知，設(shè)，取點(diǎn)，直線的斜率為，則，所以，曲線在處的切線的斜率為，接下來證明，即證，即證，令，其中，則，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，，故，所以，當(dāng)時，，所以，，所以，.題型十一：帕德逼近型證明與求參帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）1．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）帕德近似（Padeapproximation）是有理函數(shù)逼近的一種方法.已知函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，….又函數(shù)，其中.(1)求實數(shù)，，的值；(2)若函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）求和的導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，由，，，解方程組求實數(shù)，，的值；（2）函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，兩點(diǎn)代入函數(shù)解析式得，恒成立，轉(zhuǎn)化為恒成立，通過換元，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可.【詳解】（1），，則，所以，，，則，，由題意知，，，所以，解得，，故，，.（2）由（1）可知，函數(shù)定義域為，，，時，；時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，，，，即，令，則，，時，；時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，，使，即，，當(dāng)時，，當(dāng)時，.，，.，，，，，，令，則恒成立.令，則，，令，則在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞減，則，即，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時..，故.所以實數(shù)的取值范圍為.2．（2024·山東菏澤·一模）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為．(1)求實數(shù)a，b的值；(2)比較與的大小；(3)若在上存在極值，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)答案見解析；(3)．【分析】（1）由，，列方程組求實數(shù)a，b的值；（2）令利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，又，可比較與的大小；（3）由在上存在極值，所以在上存在變號零點(diǎn)，通過構(gòu)造函數(shù)分類討論，對的零點(diǎn)進(jìn)行分析．【詳解】（1）由，，有，可知，，，，由題意，，，所以，所以，．（2）由（1）知，，令，則，所以在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，時，；時，；所以時，；時，．（3）由，．由在上存在極值，所以在上存在變號零點(diǎn)．令，則，．①時，，為減函數(shù)，，在上為減函數(shù)，，無零點(diǎn)，不滿足條件．②當(dāng)，即時，，為增函數(shù)，，在上為增函數(shù)，，無零點(diǎn)，不滿足條件．③當(dāng)，即時，令即，．當(dāng)時，，為減函數(shù)；時，，為增函數(shù)，；令，，，在時恒成立，在上單調(diào)遞增，，恒成立；，，，則，，；，令，令，，則在是單調(diào)遞減，，所以，，令，則，，．，即．由零點(diǎn)存在定理可知，在上存在唯一零點(diǎn)，又由③知，當(dāng)時，，為減函數(shù)，，所以此時，，在內(nèi)無零點(diǎn)，在上存在變號零點(diǎn)，綜上所述實數(shù)m的取值范圍為．3．（22-23高三·山東濟(jì)南·）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，．已知在處的階帕德近似為．注：(1)求實數(shù)，的值；(2)求證：；(3)求不等式的解集，其中．【答案】(1)，(2)證明見解析(3)【分析】（1）求出，，，，依題意可得，，即可得到方程組，解得即可；（2）由（1）知，即證，令，即證時，記，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可證明；（3）分析可得，即或，先考慮，該不等式等價于，結(jié)合（2）的結(jié)論即可，再考慮，該不等式等價于，利用導(dǎo)數(shù)證明，，即可得到，，再分類討論即可判斷.【詳解】（1）因為，所以，，，則，，由題意知，，，所以，解得，.（2）由（1）知，即證，令，則且，即證時，記，，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，即，即成立，當(dāng)時，即，即成立，綜上可得時，所以成立，即成立.（3）由題意知，欲使得不等式成立，則至少有，即或，首先考慮，該不等式等價于，即，又由（2）知成立，所以使得成立的的取值范圍是，再考慮，該不等式等價于，記，，則，所以當(dāng)時，時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，，所以，，當(dāng)時由，可知成立，當(dāng)時由，可知不成立，所以使得成立的的取值范圍是，綜上可得不等式的解集為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，首先確定或，分別求、對應(yīng)解集，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為求、的解集，構(gòu)造中間函數(shù)研究不等式成立的x取值. 題型十二：泰勒展開型證明與求參常見泰勒展開；；截取片段：，當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立；進(jìn)而：當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立3、關(guān)于的放縮①切線放縮及其變形：；②當(dāng)時，；當(dāng)時，；③當(dāng)時，；當(dāng)時，；④對數(shù)平均不等式：.1．（2023·湖南永州·三模）已知函數(shù)，.(1)若是函數(shù)的極小值點(diǎn)，討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個數(shù).(2)英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：這個公式被編入計算工具，計算足夠多的項時就可以確保顯示值的精確性.現(xiàn)已知，利用上述知識，試求的值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）本小問考查函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，將的表達(dá)式表示出來，利用導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，利用最值、零