《3.2.1雙曲線及其標準方程》教案、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《3.2.1雙曲線及其標準方程》教案【教材分析】本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》第二章《直線和圓的方程》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)雙曲線及其標準方程學(xué)生初步認識圓錐曲線是從橢圓開始的，雙曲線的學(xué)習(xí)是對其研究內(nèi)容的進一步深化和提高。如果雙曲線研究的透徹、清楚，那么拋物線的學(xué)習(xí)就會順理成章。所以說本節(jié)課的作用就是縱向承接橢圓定義和標準方程的研究，橫向加深對雙曲線的標準方程及簡單幾何性質(zhì)的理解與應(yīng)用。從高考大綱要求和課程標準角度來講，雙曲線的定義、標準方程作為了解內(nèi)容，在高考的考查當中以選擇、填空為主。正因如此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程當中對雙曲線缺少應(yīng)有的重視，成為了學(xué)生的一個失分點。而且由于學(xué)生對橢圓與雙曲線的區(qū)別與聯(lián)系認識不夠，無法做到知識與方法的遷移，在學(xué)習(xí)雙曲線時極易與橢圓混淆。在教學(xué)中要時刻注意運用類比的方法，讓學(xué)生充分的類比體會橢圓與雙曲線的異同點，使得橢圓與雙曲線的學(xué)習(xí)能相互促進?！窘虒W(xué)目標與核心素養(yǎng)】課程目標學(xué)科素養(yǎng)A.掌握雙曲線的標準方程及其求法.B.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單實際問題.C.與橢圓的標準方程進行比較,并加以區(qū)分.1.數(shù)學(xué)抽象：雙曲線的定義2.邏輯推理：運用定義推導(dǎo)雙曲線的標準方程3.數(shù)學(xué)運算：雙曲線標準方程的求法4.數(shù)學(xué)建模：運用雙曲線解法實際問題5.直觀想象：雙曲線及其標準方程【教學(xué)重點】：用雙曲線的定義和標準方程解決簡單實際問題.【教學(xué)難點】：雙曲線的標準方程及其求法.【教學(xué)過程】教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖一、情景導(dǎo)學(xué)雙曲線也是具有廣泛應(yīng)用的一種圓錐曲線，如發(fā)電廠冷卻塔的外形、通過聲音時差測定定位等都要用到雙曲線的性質(zhì)。本節(jié)我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關(guān)問題。我們知道，平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)1.雙曲線的定義從橢圓的情形一樣，下面我們用坐標法來探討嘗試與發(fā)現(xiàn)中的問題，并求出雙曲線的標準方程。以F1,F2所在直線為x

軸，線段F1此時雙曲線的焦點分別為F1（設(shè)Px,yPF1因為PF1所以(x+c)2+由①得(x+c)2+y整理得(x+c)2+且②與①右邊同時取正號或負號，①+②整理得(x+c)2+y2=±將③式平方再整理得c2-a2a因為c>a>0，所以c2設(shè)c2-a且b>0,則④可化為x2a2-y設(shè)雙曲線的焦點為F1和FPF1-PF2=2a,其中c>a>0，以F2.雙曲線的標準方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)焦點F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系b2=c2-a2雙曲線與橢圓的比較

橢圓雙曲線定義|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)a,b,c的關(guān)系b2=a2-c2b2=c2-a2焦點在x軸上焦點在y軸上1.在雙曲線的定義中,若去掉條件0<2a<|F1F2|,則點的軌跡是怎樣的?提示:①當2a等于|F1F2|時,動點的軌跡是以F1,F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點).②當2a大于|F1F2|時,動點的軌跡不存在.③當2a等于零時,動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線.2.判斷(1)平面內(nèi)到兩定點的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線.()(2)平面內(nèi)到點F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差等于5的點的軌跡是雙曲線.()(3)平面內(nèi)到點F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.()答案:(1)×(2)×(3)×3.過點(1,1),且ba=2A.x212-y2=1 B.y2C.x2-y212=1D.x212-y2=解析:∵ba=2,∴b2=2當焦點在x軸上時,設(shè)雙曲線方程為x2a將點(1,1)代入方程中,得a2=12此時雙曲線的標準方程為x212-y2=1.同理求得焦點在y軸上時,雙曲線的標準方程為y212二、典例解析例1求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)焦點在x軸上,a=25,經(jīng)過點A(-5,2);(2)經(jīng)過兩點A(-7,-62),B(27,3).分析(1)設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),代入點的坐標,解方程即可得到.(2)可設(shè)雙曲線方程為解:(1)設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b則a=25,25a2-4b2=1,解得(2)設(shè)雙曲線方程為mx2-ny2=1,則有49m-72n=1,28求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法相似,可以先根據(jù)其焦點位置設(shè)出標準方程,然后用待定系數(shù)法求出a,b的值.若焦點位置不確定,可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解,此方法思路清晰,但過程復(fù)雜.若雙曲線過兩定點,可設(shè)其方程為mx2+ny2=1(mn<0),通過解方程組即可確定m,n,避免了討論,從而簡化求解過程.跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列條件,求雙曲線的標準方程.(1)焦點在x軸上,經(jīng)過點P(4,-2)和點Q(26,22);(2)過點P3,154,Q解:(1)因為焦點在x軸上,可設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b將點(4,-2)和(26,22)代入方程得16解得a2=8,b2=4,所以雙曲線的標準方程為x28-(2)設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1,AB<0.因為點P,Q在雙曲線上,則9A+故雙曲線的標準方程為y29-跟蹤訓(xùn)練2.“神舟”九號飛船返回艙順利到達地球后,為了及時將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預(yù)計到達區(qū)域安排了三個救援中心(記A,B,C),A在B的正東方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P為航天員著陸點.某一時刻,A接收到P的求救信號,由于B,C兩地比A距P遠,在此4秒后,B,C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒,求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角.解:因為|PC|=|PB|,所以P在線段BC的垂直平分線上.又因為|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B為焦點的雙曲線的右支上.以線段AB的中點為坐標原點,AB的垂直平分線所在直線為y軸,正東方向為x軸正方向建立平面直角坐標系,如圖所示.則A(3,0),B(-3,0),C(-5,23).所以雙曲線方程為x24-yBC的垂直平分線方程為x-3y+7=0.聯(lián)立兩方程解得x=8(舍負),y=53,所以P(8,53),kPA=tan∠PAx=3,所以∠PAx=60°,所以P點在A點的北偏東30°方向.通過實際問題，引導(dǎo)學(xué)生類比思考，引出雙曲線的定義。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，直觀想象的核心素養(yǎng)。類比橢圓的標準方程推導(dǎo)，運用雙曲線定義推導(dǎo)其標準方程。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)運算，直觀想象的核心素養(yǎng)。通過典例解析，，幫助學(xué)生形成求解雙曲線標準方程的基本解題思路，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題，進一步熟練掌握雙曲線標準方程的求解及其定義，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。三、達標檢測1.已知兩定點F1(-5,0),F2(5,0),動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a,則當a=3和5時,P點的軌跡為()A.雙曲線和一條直線B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線D.雙曲線的一支和一條射線解析:當a=3時,根據(jù)雙曲線的定義及|PF1|>|PF2|可推斷出其軌跡是雙曲線的一支.當a=5時,方程y2=0,可知其軌跡與x軸重合,舍去在x軸負半軸上的一段,又因為|PF1|-|PF2|=2a,說明|PF1|>|PF2|,所以應(yīng)該是起點為(5,0),與x軸重合向x軸正方向延伸的射線.答案:D2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2為其兩個焦點,若過焦點F1的直線與雙曲線的同一支相交,且所得弦長A.4a B.4a-mC.4a+2m D.4a-2m解析:不妨設(shè)|AF2|>|AF1|,由雙曲線的定義,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周長l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故選C.答案:C3.已知方程x21+m+y2A.(-1,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2)解析:∵方程x21+m+y2m-2=1,解得-1<m<2,∴m的取值范圍是(-1,2).答案:D4.一塊面積為12公頃的三角形形狀的農(nóng)場.如圖所示△PEF,已知tan∠PEF=12,tan∠PFE=-2,試建立適當直角坐標系,求出分別以E,F為左、右焦點且過點P的雙曲線方程解:以E,F所在直線為x軸,EF的垂直平分線為y軸建立直角坐標系,如圖.設(shè)以E,F為焦點且過點P的雙曲線方程為x2a焦點為E(-c,0),F(c,0).由tan∠PEF=12,tan∠EFP=-設(shè)∠PFx=α,則tanα=tan(π-∠EFP)=2,得直線PE和直線PF的方程分別為y=12(x+c)和y=2(x-c)聯(lián)立兩方程,解得x=53c,y=43c,即P點坐標為∵在△EFP中,|EF|=2c,EF上的高為點P的縱坐標,∴S△EFP=43c2=12,∴c=3,即P點坐標為(5,4)由兩點間的距離公式|PE|=(5+3)2+42=45,∴a=5.又b2=c2-a2=4,故所求雙曲線的方程為x25-5.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)兩個焦點的坐標分別是(-5,0),(5,0),雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于8;(2)以橢圓x28+y(3)a=b,經(jīng)過點(3,-1).解:(1)由雙曲線的定義知,2a=8,所以a=4,又知焦點在x軸上,且c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9,所以雙曲線的標準方程為x216-(2)由題意得,雙曲線的焦點在x軸上,且c=22.設(shè)雙曲線的標準方程為x2a2-y2b則有a2+b2=c2=8,9a2-10b2=1,解得a2=故所求雙曲線的標準方程為x23-(3)當焦點在x軸上時,可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=a2,將點(3,-1)代入,得32-(-1)2=a2,所以a2=b2=8.因此,所求的雙曲線的標準方程為x28-y28=1.當焦點在y軸上時,可設(shè)雙曲線方程為y2-x2=a2,將點(3,-1)代入,得(-1)2-32=a2,a綜上,所求雙曲線的標準方程為x28-通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識，通過學(xué)生解決問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。四、小結(jié)通過總結(jié)，讓學(xué)生進一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。【教學(xué)反思】學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了直線的方程，雙曲線的方程以及簡單幾何性質(zhì)，會根據(jù)題目條件求簡單的雙曲線的標準方程。但是由于接觸學(xué)習(xí)雙曲線的時間還相對較短，對雙曲線的基本性質(zhì)了解不深，而且理性思維比較欠缺，且計算能力的短板約束使得在處理直線與雙曲線等綜合問題時還存在困難。把新問題轉(zhuǎn)化為已解決問題的能力有待提高，缺乏選擇、調(diào)整解決問題策略的能力?！?.2.1雙曲線及其標準方程》導(dǎo)學(xué)案【學(xué)習(xí)目標】1.掌握雙曲線的標準方程及其求法.2.會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單實際問題.3.與橢圓的標準方程進行比較,并加以區(qū)分.【重點和難點】重點：用雙曲線的定義和標準方程解決簡單實際問題.難點：雙曲線的標準方程及其求法.【知識梳理】1.雙曲線的定義2.雙曲線的標準方程焦點位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程(a>0,b>0)(a>0,b>0)焦點F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a,b,c的關(guān)系b2=c2-a2雙曲線與橢圓的比較

橢圓雙曲線定義|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)a,b,c的關(guān)系b2=a2-c2b2=c2-a2焦點在x軸上焦點在y軸上1.在雙曲線的定義中,若去掉條件0<2a<|F1F2|,則點的軌跡是怎樣的?2.判斷(1)平面內(nèi)到兩定點的距離的差等于常數(shù)(小于兩定點間距離)的點的軌跡是雙曲線.()(2)平面內(nèi)到點F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差等于5的點的軌跡是雙曲線.()(3)平面內(nèi)到點F1(0,4),F2(0,-4)的距離之差的絕對值等于8的點的軌跡是雙曲線.()3.過點(1,1),且ba=2A.x212-y2=1 B.y2C.x2-y212=1D.x212-y2=【學(xué)習(xí)過程】一、情景導(dǎo)學(xué)雙曲線也是具有廣泛應(yīng)用的一種圓錐曲線，如發(fā)電廠冷卻塔的外形、通過聲音時差測定定位等都要用到雙曲線的性質(zhì)。本節(jié)我們將類比橢圓的研究方法研究雙曲線的有關(guān)問題。我們知道，平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)從橢圓的情形一樣，下面我們用坐標法來探討嘗試與發(fā)現(xiàn)中的問題，并求出雙曲線的標準方程。設(shè)雙曲線的焦點為F1和FPF1-PF2=2a,其中c>a>0，以F二、典例解析例1求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)焦點在x軸上,a=25,經(jīng)過點A(-5,2);(2)經(jīng)過兩點A(-7,-62),B(27,3).求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法相似,可以先根據(jù)其焦點位置設(shè)出標準方程,然后用待定系數(shù)法求出a,b的值.若焦點位置不確定,可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解,此方法思路清晰,但過程復(fù)雜.若雙曲線過兩定點,可設(shè)其方程為mx2+ny2=1(mn<0),通過解方程組即可確定m,n,避免了討論,從而簡化求解過程.跟蹤訓(xùn)練1根據(jù)下列條件,求雙曲線的標準方程.(1)焦點在x軸上,經(jīng)過點P(4,-2)和點Q(26,22);(2)過點P3,154,Q跟蹤訓(xùn)練2.“神舟”九號飛船返回艙順利到達地球后,為了及時將航天員安全救出,地面指揮中心在返回艙預(yù)計到達區(qū)域安排了三個救援中心(記A,B,C),A在B的正東方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P為航天員著陸點.某一時刻,A接收到P的求救信號,由于B,C兩地比A距P遠,在此4秒后,B,C兩個救援中心才同時接收到這一信號.已知該信號的傳播速度為1千米/秒,求在A處發(fā)現(xiàn)P的方位角.【達標檢測】1.已知兩定點F1(-5,0),F2(5,0),動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a,則當a=3和5時,P點的軌跡為()A.雙曲線和一條直線B.雙曲線和一條射線C.雙曲線的一支和一條直線D.雙曲線的一支和一條射線2.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),F1,F2為其兩個焦點,若過焦點F1的直線與雙曲線的同一支相交,且所得弦長A.4a B.4a-mC.4a+2m D.4a-2m3.已知方程x21+m+y2A.(-1,+∞) B.(2,+∞)C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2)4.一塊面積為12公頃的三角形形狀的農(nóng)場.如圖所示△PEF,已知tan∠PEF=12,tan∠PFE=-2,試建立適當直角坐標系,求出分別以E,F為左、右焦點且過點P的雙曲線方程5.求適合下列條件的雙曲線的標準方程.(1)兩個焦點的坐標分別是(-5,0),(5,0),雙曲線上的點與兩焦點的距離之差的絕對值等于8;(3)a=b,經(jīng)過點(3,-1).(2)以橢圓x28+y【課堂小結(jié)】【參考答案】知識梳理1.提示:①當2a等于|F1F2|時,動點的軌跡是以F1,F2為端點的兩條方向相反的射線(包括端點).②當2a大于|F1F2|時,動點的軌跡不存在.③當2a等于零時,動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線.2.判斷答案:(1)×(2)×(3)×3.解析:∵ba=2,∴b2=2當焦點在x軸上時,設(shè)雙曲線方程為x2a2將點(1,1)代入方程中,得a2=12此時雙曲線的標準方程為x212-y2=1.同理求得焦點在y軸上時,雙曲線的標準方程為y21答案:D學(xué)習(xí)過程一、情景導(dǎo)學(xué)以F1,F2所在直線為x

軸，線段F1此時雙曲線的焦點分別為F1（設(shè)Px,yPF1因為PF1所以(x+c)2+由①得(x+c)2+y整理得(x+c)2+且②與①右邊同時取正號或負號，①+②整理得(x+c)2+y2=±將③式平方再整理得c2-a2a因為c>a>0，所以c2設(shè)c2-a且b>0,則④可化為x2a2-y例1分析(1)設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2(2)可設(shè)雙曲線方程為mx2-ny2=1,代入點的坐標,得到方程組,解方程組即可得到.解:(1)設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b則a=25,25a2-4則雙曲線的標準方程為x220-(2)設(shè)雙曲線方程為mx2-ny2=1,則有49m-則雙曲線的標準方程為x225-跟蹤訓(xùn)練1解:(1)因為焦點在x軸上,可設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b將點(4,-2)和(26,22)代入方程得16解得a2=8,b2=4,所以雙曲線的標準方程為x28-(2)設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1,AB<0.因為點P,Q在雙曲線上,則9A+故雙曲線的標準方程為y29-例2.跟蹤訓(xùn)練2.解:因為|PC|=|PB|,所以P在線段BC的垂直平分線上.又因為|PB|-|PA|=4<6=|AB|,所以P在以A,B為焦點的雙曲線的右支上.以線段AB的中點為坐標原點,AB的垂直平分線所在直線為y軸,正東方向為x軸正方向建立平面直角坐標系,如圖所示.則A(3,0),B(-3,0),C(-5,23).所以雙曲線方程為x24-yBC的垂直平分線方程為x-3y+7=0.聯(lián)立兩方程解得x=8(舍負),y=53,所以P(8,53),kPA=tan∠PAx=3,所以∠PAx=60°,所以P點在A點的北偏東30°方向.達標檢測1.解析:當a=3時,根據(jù)雙曲線的定義及|PF1|>|PF2|可推斷出其軌跡是雙曲線的一支.當a=5時,方程y2=0,可知其軌跡與x軸重合,舍去在x軸負半軸上的一段,又因為|PF1|-|PF2|=2a,說明|PF1|>|PF2|,所以應(yīng)該是起點為(5,0),與x軸重合向x軸正方向延伸的射線.答案:D2.解析:不妨設(shè)|AF2|>|AF1|,由雙曲線的定義,知|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|BF1|=2a,所以|AF2|+|BF2|=(|AF1|+|BF1|)+4a=m+4a,于是△ABF2的周長l=|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m.故選C.答案:C3.解析:∵方程x21+m+y2m-2=1,∴(m-2)(m+1)<0,解得-答案:D4.解:以E,F所在直線為x軸,EF的垂直平分線為y軸建立直角坐標系,如圖.設(shè)以E,F為焦點且過點P的雙曲線方程為x2a焦點為E(-c,0),F(c,0).由tan∠PEF=12,tan∠EFP=-設(shè)∠PFx=α,則tanα=tan(π-∠EFP)=2,得直線PE和直線PF的方程分別為y=12(x+c)和y=2(x-c)聯(lián)立兩方程,解得x=53c,y=43即P點坐標為53∵在△EFP中,|EF|=2c,EF上的高為點P的縱坐標,∴S△EFP=43c2=12,∴c=3,即P點坐標為(5,4)由兩點間的距離公式|PE|=(5+3)2+42=45,∴a=5.又b2=c2-a2=4,故所求雙曲線的方程為x25-5.解:(1)由雙曲線的定義知,2a=8,所以a=4,又知焦點在x軸上,且c=5,所以b2=c2-a2=25-16=9,所以雙曲線的標準方程為x216-(2)由題意得,雙曲線的焦點在x軸上,且c=22.設(shè)雙曲線的標準方程為x2a2-y2b則有a2+b2=c2=8,9a2解得a2=3,b2=5.故所求雙曲線的標準方程為x23-(3)當焦點在x軸上時,可設(shè)雙曲線方程為x2-y2=a2,將點(3,-1)代入,得32-(-1)2=a2,所以a2=b2=8.因此,所求的雙曲線的標準方程為x28-當焦點在y軸上時,可設(shè)雙曲線方程為y2-x2=a2,將點(3,-1)代入,得(-1)2-32=a2,a2=-8,不可能,所以焦點不可能在y軸上.綜上,所求雙曲線的標準方程為x28-《3.2.1雙曲線及其標準方程-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)一、選擇題1已知點的坐標滿足，則動點P的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．兩條射線 D．雙曲線的一支2.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P是該雙曲線上的一點，且，則（）A．2或18 B．2 C．18 D．43．已知F是雙曲線C：的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1，3)，則的面積為A．B．C．D．4．數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點，可得方程的解為（）A． B． C． D．5．（多選題）已知兩監(jiān)測點間距離為800米，且監(jiān)測點聽到爆炸聲的時間比監(jiān)測點遲2秒，設(shè)聲速為340米/秒，下列說法正確的是（）A．爆炸點在以為焦點的橢圓上B．爆炸點在以為焦點的雙曲線的一支上C．若監(jiān)測點的聲強是監(jiān)測點的4倍(聲強與距離的平方成反比)，則爆炸點到監(jiān)測點的距離為米D．若監(jiān)測點的聲強是監(jiān)測點的4倍(聲強與距離的平方成反比)，則爆炸點到監(jiān)測點的距離為米6．（多選題）若方程所表示的曲線為,則下面四個命題中錯誤的是（）A．若為橢圓,則 B．若為雙曲線,則或C．曲線可能是圓 D．若為橢圓，且長軸在軸上，則二、填空題7.已知雙曲線的一個焦點是，橢圓的焦距等于，則________．8.若雙曲線的一個焦點到坐標原點的距離為3，則m的值為______.9.若雙曲線x2n-y2=1(n>1)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線上,且滿足|PF1|+|PF2|=2n+2,則△PF110.焦點在x軸上的雙曲線經(jīng)過點P(42,-3),且Q(0,5)與兩焦點的連線互相垂直,則此雙曲線的標準方程為.

三、解答題11.如圖，若是雙曲線的兩個焦點.（1）若雙曲線上一點到它的一個焦點的距離等于，求點到另一個焦點的距離；（2）若是雙曲線左支上的點，且，試求的面積.12.如圖所示,已知定圓F1:(x+5)2+y2=1,定圓F2:(x-5)2+y2=42,動圓M與定圓F1,F2都外切,求動圓圓心M的軌跡方程.《3.2.1雙曲線及其標準方程-基礎(chǔ)練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．已知點的坐標滿足，則動點P的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．兩條射線 D．雙曲線的一支【答案】B【解析】設(shè)，則由已知得即動點P到兩個定點A?B的距離之差的絕對值等于常數(shù)，又，且，所以根據(jù)雙曲線的定義知，動點P的軌跡是雙曲線.故選：B2.已知雙曲線的左、右焦點分別為，點P是該雙曲線上的一點，且，則（）A．2或18 B．2 C．18 D．4【答案】C【解析】在雙曲線中，，，，因為，所以點P在該雙曲線左支上，則，故選：C.3．已知F是雙曲線C：的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標是(1，3)，則的面積為A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以，將代入，得，所以，又點A的坐標是(1，3)，故△APF的面積為，選D．4．數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點，可得方程的解為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，其幾何意義為平面內(nèi)動點與兩定點，距離差的絕對值為4．平面內(nèi)動點與兩定點，距離差的絕對值為4的點的軌跡是雙曲線，由題得，解之得.所以平面內(nèi)動點與兩定點，距離差的絕對值為4的點的軌跡方程是．聯(lián)立，解得．故選：C．5．（多選題）已知兩監(jiān)測點間距離為800米，且監(jiān)測點聽到爆炸聲的時間比監(jiān)測點遲2秒，設(shè)聲速為340米/秒，下列說法正確的是（）A．爆炸點在以為焦點的橢圓上B．爆炸點在以為焦點的雙曲線的一支上C．若監(jiān)測點的聲強是監(jiān)測點的4倍(聲強與距離的平方成反比)，則爆炸點到監(jiān)測點的距離為米D．若監(jiān)測點的聲強是監(jiān)測點的4倍(聲強與距離的平方成反比)，則爆炸點到監(jiān)測點的距離為米【答案】BD【解析】依題意，兩監(jiān)測點間距離為800米，且監(jiān)測點聽到爆炸聲的時間比監(jiān)測點遲2秒，設(shè)爆炸點為，則，所以爆炸點在以為焦點的雙曲線的一支上.所以A選項錯誤，B選項正確.若監(jiān)測點的聲強是監(jiān)測點的4倍(聲強與距離的平方成反比)，所以，即，結(jié)合可得.所以C選項錯誤，D選項正確.故選：BD6．（多選題）若方程所表示的曲線為,則下面四個命題中錯誤的是（）A．若為橢圓,則 B．若為雙曲線,則或C．曲線可能是圓 D．若為橢圓，且長軸在軸上，則【答案】AD【解析】若，則方程可變形為，它表示焦點在軸上的雙曲線；若，則方程可變形為，它表示焦點在軸上的雙曲線；若，則，故方程表示焦點在軸上的橢圓；若，則，故方程表示焦點在軸上的橢圓；若，方程即為，它表示圓，綜上，選AD.二、填空題7.已知雙曲線的一個焦點是，橢圓的焦距等于，則________．【答案】5【解析】因為雙曲線的焦點是，所以雙曲線的標準方程是，即，，即，所以橢圓方程是，因為焦距，所以，即，解得.8.若雙曲線的一個焦點到坐標原點的距離為3，則m的值為______.【答案】7或【解析】依題意可知，當雙曲線的焦點在x軸上時，，所以；當雙曲線的焦點在y軸上時，，所以綜上，或.9.若雙曲線x2n-y2=1(n>1)的左、右焦點分別為F1,F2,點P在雙曲線上,且滿足|PF1|+|PF2|=2n+2,則△PF1【答案】1【解析】設(shè)點P在雙曲線的右支上,則|PF1|-|PF2|=2n,已知|PF1|+|PF2|=2n+2解得|PF1|=n+2+n,|PF2|=n+2-n,|PF1|·|PF2|=2.又|F1則|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,∴△PF1F2為直角三角形,∠F1PF2=90°,∴S△PF1F2=12|PF1|·10.焦點在x軸上的雙曲線經(jīng)過點P(42,-3),且Q(0,5)與兩焦點的連線互相垂直,則此雙曲線的標準方程為.

【答案】x216-【解析】設(shè)焦點F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),則由QF1⊥QF2,得kQF1·kQF2=-1,設(shè)雙曲線方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),∵雙曲線過點(42,-3),∴32a2-9b2=1,又∵c2=a2+b2=25,∴三、解答題11.如圖，若是雙曲線的兩個焦點.（1）若雙曲線上一點到它的一個焦點的距離等于，求點到另一個焦點的距離；（2）若是雙曲線左支上的點，且，試求的面積.【解析】（1）是雙曲線的兩個焦點，則設(shè)點到另一個焦點的距離為，由拋物線定義可知，解得或，即點到另一個焦點的距離為或.（2）是雙曲線左支上的點，，則，代入，可得，即，所以為直角三角形，所以.12.如圖所示,已知定圓F1:(x+5)2+y2=1,定圓F2:(x-5)2+y2=42,動圓M與定圓F1,F2都外切,求動圓圓心M的軌跡方程.【解析】圓F1:(x+5)2+y2=1,圓心F1(-5,0),半徑r1=1;圓F2:(x-5)2+y2=42,圓心F2(5,0),半徑r2=4.設(shè)動圓M的半徑為R,則有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,∴|MF2|-|MF1|=3<10=|F1F2|.∴點M的軌跡是以F1,F2為焦點的雙曲線的左支,且a=32,c=5,于是b2=c2-a2=91∴動圓圓心M的軌跡方程為x294-《3.2.1雙曲線及其標準方程-提高練》同步練習(xí)一、選擇題1.與橢圓x24+y2=1共焦點且過點P(2,1)的雙曲線方程是(A.x24-y2=1 B.x23-y2=1C.x22-y2=1 D.2.動圓與圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,則動圓圓心的軌跡是()A.雙曲線的一支 B.圓C.橢圓 D.雙曲線3.設(shè)F1,F2分別是雙曲線x2-y29=1的左、右焦點.若P在雙曲線上,且PF1·PF2=A.25 B.5 C.210 D.104.已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，則的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．55．（多選題）在平面直角坐標系中，動點P到兩個定點和的斜率之積等于8，記點P的軌跡為曲線E，則（）A．曲線E經(jīng)過坐標原點 B．曲線E關(guān)于x軸對稱C．曲線E關(guān)于y軸對稱 D．若點在曲線E上，則6.（多選題）已知點在雙曲線上，、是雙曲線的左、右焦點，若的面積為，則下列說法正確的有（）A．點到軸的距離為 B．C．為鈍角三角形 D．二、填空題7.已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點,P是C上一點,且PF與x軸垂直,點A的坐標是(1,3),則△APF的面積為8.若方程所表示的曲線為，給出下列四個命題：①若為橢圓，則實數(shù)的取值范圍為；②若為雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為；③曲線不可能是圓；④若表示橢圓，且長軸在軸上，則實數(shù)的取值范圍為.其中真命題的序號為________.（把所有正確命題的序號都填在橫線上）9.已知圓與y軸的兩個交點A，B都在某雙曲線上，且A，B兩點恰好將此雙曲線的焦距三等分，則此雙曲線的標準方程為________.10.平面上兩點F1,F2滿足|F1F2|=4,設(shè)d為實數(shù),令D表示平面上滿足||PF1|-|PF2||=d的所有P點組成的圖形,又令C為平面上以F1為圓心、6為半徑的圓.下列結(jié)論中,其中正確的有(寫出所有正確結(jié)論的編號).

①當d=0時,D為直線;②當d=1時,D為雙曲線;③當d=2時,D與圓C交于兩點;④當d=4時,D與圓C交于四點;⑤當d>4時,D不存在.三、解答題11.在周長為48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=34,求以M,N為焦點,且過點P的雙曲線方程12.如圖，某野生保護區(qū)監(jiān)測中心設(shè)置在點處，正西、正東、正北處有三個監(jiān)測點，且，一名野生動物觀察員在保護區(qū)遇險，發(fā)出求救信號，三個監(jiān)測點均收到求救信號，點接收到信號的時間比點接收到信號的時間早秒（注：信號每秒傳播千米）.（1）以為原點，直線為軸建立平面直角坐標系（如題），根據(jù)題設(shè)條件求觀察員所有可能出現(xiàn)的位置的軌跡方程；（2）若已知點與點接收到信號的時間相同，求觀察員遇險地點坐標，以及與檢測中心的距離；（3）若點監(jiān)測點信號失靈，現(xiàn)立即以監(jiān)測點為圓心進行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑至少是多少公里？《3.2.1雙曲線及其標準方程-提高練》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1.與橢圓x24+y2=1共焦點且過點P(2,1)的雙曲線方程是(A.x24-y2=1 B.x23-y2=1C.x22-y2=1 D.【答案】C【解析】由題意得,雙曲線焦點在x軸上,且c=3,設(shè)雙曲線的標準方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),則有a2+b2=c2=3,4a2-1b2=1,解得2.動圓與圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,則動圓圓心的軌跡是()A.雙曲線的一支 B.圓C.橢圓 D.雙曲線【答案】A【解析】設(shè)動圓的圓心為M,半徑為r,圓x2+y2=1與x2+y2-8x+12=0的圓心分別為O1和O2,半徑分別為1和2,由兩圓外切的充要條件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.∴|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,∴動點M的軌跡是雙曲線的一支(靠近O1).3.設(shè)F1,F2分別是雙曲線x2-y29=1的左、右焦點.若P在雙曲線上,且PF1·PF2=A.25 B.5 C.210 D.10【答案】C【解析】由題意,知雙曲線兩個焦點的坐標分別為F1(-10,0),F2(10,0).設(shè)點P(x,y),則PF1=(-10-x,-y),PF2=(10-x,-y).∵PF1·PF2=0,∴x2+y2-∴|PF1+PF2|=|4.已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，則的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由題意雙曲線和橢圓有相同的焦點，，，當且僅當即時等號成立，故的最小值為，故選：B.5．（多選題）在平面直角坐標系中，動點P到兩個定點和的斜率之積等于8，記點P的軌跡為曲線E，則（）A．曲線E經(jīng)過坐標原點 B．曲線E關(guān)于x軸對稱C．曲線E關(guān)于y軸對稱 D．若點在曲線E上，則【答案】BC【解析】設(shè)，則，則，（）.故軌跡為焦點在軸上的雙曲線去除頂點.故曲線不經(jīng)過原點，錯誤；曲線E關(guān)于x軸對稱，關(guān)于y軸對稱，正確；若點在曲線E上，則或，錯誤；故選：.6.（多選題）已知點在雙曲線上，、是雙曲線的左、右焦點，若的面積為，則下列說法正確的有（）A．點到軸的距離為 B．C．為鈍角三角形 D．【答案】BC【解析】因為雙曲線，所以.又因為，所以，所以選項A錯誤；將代入得，即.由對稱性，不妨取的坐標為，可知.由雙曲線定義可知，所以，所以選項B正確；由對稱性，對于上面點，在中，.且，則為鈍角，所以為鈍角三角形，選項C正確；由余弦定理得，，所以選項D錯誤.故選：BC.二、填空題7.已知F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點,P是C上一點,且PF與x軸垂直,點A的坐標是(1,3),則△APF的面積為【答案】3【解析】因為F是雙曲線C:x2-y23=1的右焦點,所以F(2,0).因為PF⊥x軸,所以可設(shè)P的坐標為(2,yP).因為P是C上一點,所以4-yP23=1,解得yP=±3,所以P(2,±3),|PF|=3.又因為A(1,3),所以點A到直線