福建省廈門市大同中學(xué)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題含解析

福建省廈門市大同中學(xué)2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在棱長為1的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A．異面直線和所成的角為定值 B．直線和平面平行C．三棱錐的體積為定值 D．直線和平面所成的角為定值2．下列函數(shù)中同時(shí)具有性質(zhì)：①最小正周期是，②圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，③在上為減函數(shù)的是（）A． B．C． D．3．內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，，，則這樣的三角形有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)或2個(gè)4．在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，則下列關(guān)于的形狀的說法正確的是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定5．已知函數(shù)，（），若對(duì)任意的（），恒有，那么的取值集合是（）A． B． C． D．6．已知點(diǎn)，點(diǎn)滿足線性約束條件O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么的最小值是A． B． C． D．7．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足的的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知是兩條異面直線，，那么與的位置關(guān)系（）A．一定是異面 B．一定是相交 C．不可能平行 D．不可能垂直9．我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈：A．281盞 B．9盞 C．6盞 D．3盞10．已知，則的值等于()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若存在實(shí)數(shù)使得關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.12．已知函數(shù)，若對(duì)任意都有（）成立，則的最小值為__________．13．已知，，則______.14．在平面直角坐標(biāo)系中，從五個(gè)點(diǎn)：中任取三個(gè)，這三點(diǎn)能構(gòu)成三角形的概率是_______．15．如圖，已知扇形和，為的中點(diǎn).若扇形的面積為1，則扇形的面積為______.16．已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)．（1）求證函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．（2）求函數(shù)在上的值域．18．函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求m的取值范圍.19．如圖，在五面體ABCDEF中，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，面CDE是等邊三角形，棱．（1）證明FO∥平面CDE；（2）設(shè)BC=CD，證明EO⊥平面CDE．20．在中，，，，解三角形.21．等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，的前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，，且．（1）求與；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

結(jié)合條件和各知識(shí)點(diǎn)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行分析，即可得解.【詳解】，在棱長為的正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)易得平面，平面，，故這兩個(gè)異面直線所成的角為定值，故正確，直線和平面平行，所以直線和平面平行，故正確，三棱錐的體積還等于三棱錐的體積，而平面為固定平面且大小一定，，而平面點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到該平面的距離，三棱錐的體積為定值，故正確，由線面夾角的定義，令與的交點(diǎn)為，可得即為直線和平面所成的角，當(dāng)移動(dòng)時(shí)這個(gè)角是變化的，故錯(cuò)誤故選【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線所成角的概念、線面平行及線面角等，三棱錐的體積的計(jì)算可以進(jìn)行頂點(diǎn)輪換及線面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離都相等這一結(jié)論，即等體積法的轉(zhuǎn)換．2、C【解析】

根據(jù)周期公式排除A選項(xiàng)；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性，排除B選項(xiàng)；將代入函數(shù)解析式，排除D選項(xiàng)；根據(jù)周期公式，將代入函數(shù)解析式，余弦函數(shù)的單調(diào)性判斷C選項(xiàng)正確.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，；當(dāng)時(shí)，，則其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；當(dāng)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了求正余弦函數(shù)的周期，單調(diào)性以及對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.3、C【解析】

根據(jù)和的大小關(guān)系，判斷出解的個(gè)數(shù).【詳解】由于，所以，故解的個(gè)數(shù)有兩個(gè).如圖所示兩個(gè)解.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理的運(yùn)用過程中，三角形解的個(gè)數(shù)判斷，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】

利用三角形的正、余弦定理判定．【詳解】在中，內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且，由正弦定理得，得，則，為直角三角形．故選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角形正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】當(dāng)時(shí)，，畫出圖象如下圖所示，由圖可知，時(shí)不符合題意，故選.【點(diǎn)睛】本題主要考查含有絕對(duì)值的不等式的解法，考查選擇題的解題策略中的特殊值法.主要的需要滿足的是，根據(jù)不等式的解法，大于在中間，小于在兩邊，可化簡為，左右兩邊為二次函數(shù)，中間可以由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象平移得到，由此畫出圖象驗(yàn)證是否符合題意.6、D【解析】

點(diǎn)滿足線性約束條件∵令目標(biāo)函數(shù)畫出可行域如圖所示，聯(lián)立方程解得在點(diǎn)處取得最小值：故選D【點(diǎn)睛】此題主要考查簡單的線性規(guī)劃問題以及向量的內(nèi)積的問題，解決此題的關(guān)鍵是能夠找出目標(biāo)函數(shù).7、A【解析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性分析可得，進(jìn)而結(jié)合單調(diào)性分析可得，解可得的取值范圍，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，為偶函數(shù)，則，

又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

則，

解得：，

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是得到關(guān)于的不等式．8、C【解析】

由平行公理，若，因?yàn)?，所以，與、是兩條異面直線矛盾，異面和相交均有可能．【詳解】、是兩條異面直線，，那么與異面和相交均有可能，但不會(huì)平行．因?yàn)槿?，因?yàn)椋善叫泄淼?，與、是兩條異面直線矛盾．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查空間的兩條直線的位置關(guān)系的判斷、平行公理等知識(shí)，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

設(shè)塔的頂層共有盞燈，得到數(shù)列的公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式，即可求解．【詳解】設(shè)塔的頂層共有盞燈，則數(shù)列的公比為2的等比數(shù)列，所以，解得，即塔的頂層共有3盞燈，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】，所以，則，故選擇D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先求得的取值范圍，將題目所給不等式轉(zhuǎn)化為含的絕對(duì)值不等式，對(duì)分成三種情況，結(jié)合絕對(duì)值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范圍.【詳解】由于，故可化簡得恒成立.當(dāng)時(shí)，顯然成立.當(dāng)時(shí)，可得，，可得且，可得，即，解得.當(dāng)時(shí)，可得，可得且，可得，即，解得.綜上所述，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的值域，考查含有絕對(duì)值不等式恒成立問題，考查存在性問題的求解策略，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.12、【解析】

根據(jù)和的取值特點(diǎn)，判斷出兩個(gè)值都是最值，然后根據(jù)圖象去確定最小值.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意成立，所以取最小值，取最大值；取最小值時(shí)，與必為同一周期內(nèi)的最小值和最大值的對(duì)應(yīng)的，則，且，故.【點(diǎn)睛】任何一個(gè)函數(shù)，若有對(duì)任何定義域成立，此時(shí)必有：，.13、【解析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，利用二倍角的正切公式，求得，再利用兩角和的正切公式，求得的值，再結(jié)合的范圍，求得的值．【詳解】，，，，，，故答案：.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正切公式，二倍角的正切公式，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

分別算出兩點(diǎn)間的距離，共有種，構(gòu)成三角形的條件為任意兩邊之和大于第三邊，所以在這10種中找出滿足條件的即可．【詳解】由兩點(diǎn)之間的距離公式，得：，，，任取三點(diǎn)有：，共10種，能構(gòu)成三角形的有：，共6種，所求概率為：.【點(diǎn)睛】構(gòu)成三角形必須滿足任意兩邊之和大于第三邊，則n個(gè)點(diǎn)共有個(gè)線段，找出滿足條件的即可，屬于中等難度題目．15、1【解析】

設(shè)，在扇形中，利用扇形的面積公式可求，根據(jù)已知，在扇形中，利用扇形的面積公式即可計(jì)算得解．【詳解】解：設(shè)，扇形的面積為1，即：，解得：，為的中點(diǎn)，，在扇形中，．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積公式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

由題意得，且，，由=，解得即可.【詳解】已知，是夾角為的兩個(gè)單位向量，所以，得，若解得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

(1)直接用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性.

(2)利用（1）的單調(diào)性結(jié)論可求函數(shù)在上的值域【詳解】（1）證明：任取，且則由，且，則，所以所以所以函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)．（2）由（1）可得函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)所以，即所以函數(shù)在上的值域?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性和結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的值域.屬于基礎(chǔ)題.18、（1），（2）【解析】

（1）首先利用二倍角公式及兩角和差的正弦公式化簡得到，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對(duì)稱軸；（2）由，求出的值域，設(shè)，則.則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于對(duì)于恒成立，則解得即可；【詳解】解：（1）.即令，解得，則圖象的對(duì)稱軸方程為，（2）當(dāng)時(shí)，，則，從而，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，等價(jià)于對(duì)于恒成立，則解得.故m的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和與差的正弦公式，考查三角變換與輔助角公式的應(yīng)用，突出考查正弦函數(shù)的性質(zhì)以及一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立問題，屬于中檔題．19、(1)證明見解析；(2)證明見解析；【解析】

（1）利用中點(diǎn)做輔助線，構(gòu)造出平行四邊形即可證明線面平行；（2）根據(jù)所給條件構(gòu)造出菱形，再根據(jù)兩個(gè)對(duì)應(yīng)的線段垂直關(guān)系即可得到線面垂直.【詳解】證明：（1）取CD中點(diǎn)M，連結(jié)OM，連結(jié)EM，在矩形ABCD中，又,則,于是四邊形EFOM為平行四邊形．∴FO∥EM.又∵FO平面CDE，且EM平面CDE，∴FO∥平面CDE．（2）連結(jié)FM,由（1）和已知條件，在等邊ΔCDE中，CM=DM,EM⊥CD且因此平行四邊形EFOM為菱形，從而EO⊥FM.∵CD⊥OM,CD⊥EM∴CD⊥平面EOM，從而CD⊥EO.而FMCD=M,所以EO⊥平面CDF.【點(diǎn)睛】（1）線面平行的判定定理：平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面；（2）線面垂直的判定定理：一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則該直線垂直于此平面.20、當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，【解析】

利用已知條件通過正弦定理求出，然后利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化求解，即可求解．【詳解】在中，，由正弦定理可得：＝＝，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，從而，?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，從而＝．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟記三角形的正弦定理與余弦定理，合理運(yùn)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬