陜西省榆林市2023-2024學年高三第一次模擬檢測數學（文科）試題含答案

榆林市2023-2024年度高三第一次模擬檢測

數學試題（文科）

考生注意：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，共150分?？荚嚂r間120分鐘。

2.請將各題答案填寫在答題卡上。

第I卷

一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.復數i2+i3在復平面內對應的點所在的象限為

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.設集合A={一4,一2,0,2,4),8={用3—1<2}.則

A.{0.2,4}B.{-4,-2,0}C.{-4.-2}D.{2,4}

3.已知向量a=(??i.l),6=(12),a//b,則ni=

A./B.—C.2D.—2

4.在等比數列{a“}中，a[+。2=1，。2+43=2,則“5=

C.16D.8

5.某圓錐的側面積為16a其側面展開圖為一個半圓.則該圓錐的母線長為

A.2B.4C.2V2D.4夜

6.將函數f（/）=sin（axL*）（3>0）的圖像向右平移冷個單位長度后得到曲線C,若C關于y

軸對稱?則s的最小值是

A.-r-B.

63

7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖.輸出的S=

A.18

B.22

C.25

D137

,5

8.已知a=logo,a0.7,A=log；；2,（'=/，則

A.a<b〈cB.c<Zh<Za

C.a<Zc<ZbD.b<c<a

9.已知函數/⑺?工+加工在［一手，竽］上單調遞增.則a的取值范圍是

A.1—1,+2B.［1,+8)

C.［孝,+8)D.［-孝,+M

10.下圖是由兩個邊長不相等的正方形構成的，在整個圖形中隨機取一點，此點取自△八DC,

△AFC，ABEF的概率分別記為人.人.必.則

A.p\=M

B.pi=p3

C.M=p3

D.閉=生+力3

11.如圖，設拋物線V=47的焦點為F,不經過焦點的直線上有三個不同的點A,B,C,其中點

A,B在該拋物線上，點。在》軸「二，若|FA|=7"FB|=1?，則擺［=

D.3

12.已知H是球。的直徑八B上一點./\H：HB=1:2.AB，平面a,H為垂足.a截球O所得

截面的面積為4M為a上的一點?且MH=g.過點M作球O的截面?則所得的截面面積

4

最小的圓的半徑為

A.<B呼

L4

在D在

J42

第n卷

二、填空題:本大題共4小題,每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

22

13.已知直線產后r是雙曲線，一方=l(a>0.心>0)的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為

8.7,—y-440,

14.若工,了滿足約束條件17+?+420,則目標函數==工一3)，的最大值為▲.

J—2(0,

15.已知J-=/(J-)+2為奇函數.則/(-1)+/(0)+/(1)=A

16.某網店統(tǒng)計了A商品近30大的H銷售量，H銷售量依次構成數列⑦"，已知m=20,且

a"+l—a"=l+(—l)"(〃eN+),則A商品近30天的總銷量為▲.

三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據要求作答.

（一）必考題：共60分.

17.（12分）

在三棱錐八一BCD中,AB=AD,CB=CD,O為BD的中點.

（1）證明由平面OAC.

（2）若AB=BC=BD=2,平面A8DJ-平面BCD,求點B到平面ACD的距離.

18.（12分）

△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a已知△ABC的周長為6,池?花=電上產

（1）求a的值；

（2）求A的最大值.

19.（12分）

某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識?舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨

機抽取100份作為樣本，將100個樣本數據按[30,40）,本0,50）,[50,60）,[60,70）,[70,

80）.[80,90]分成6組.并整理得到如卜頻率分布直方圖.

（1）請通過頻率分布直方圖估計這100份樣本數據的平均值（同一組中的數據用該組區(qū)間的

中點值作代表）；

（2）該市決定表彰知識競賽成績排名前30%的市民，某市民知識競賽的成績是78,請估計該

市民能否得到表彰.

20.(12分)

設函數/(a-)=ln^+^才十〃,曲線3，=了(7)在點處的切線方程為了=61一一3.

(1)求a,b;

(2)證明：/(Z)〉一告.

21.(12分)

已知橢圓。昌+白=1儲>〃>0)經過A(0,l),P(4?，一：)兩點.

abob

(1)求。的方程；

(2)斜率不為0的直線I與橢圓C交于M,N兩點,且點A不在/上.AM^AN.過點P作)，

軸的垂線，交宜線，=—1于點S,與橢圓C的另一個交點為T.記△SMN的面積為S-

△7MN的面積為S?.求知.

09

(二)選考題:共10分.請考生在第22.23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.

22.［選修4一4：坐標系與參數方程］(10分)

在直角坐標系3缶中.曲線G和G的參數方程分別為「T+e"%為參數),

Iv=sina

F=2+而cosd(產為參數)，以坐標原點為極點.7.軸正半軸為極軸建立極坐標系.

lj-1+75sin^9

(1)求曲線C］和C?的極坐標方程；

(2)已知在線/@=菽(￡>0),且/與曲線G相交于O?A兩點，與曲線G相交于O，B兩

點，則當I八B|取得最大值時，求歸的值.

23.［選修4—5：不等式選講口(10分)

已知函數八幻=|3工一2|+|2工+1|.

(1)求不等式f(z)>9的解集；

(2)若存在.zWR,使得了(l)<加成立，求實數回的取值范圍.

榆林市2023-2024年度高三第一次模擬檢測

數學試題參考答案(文科)

l.Ci?+i3=—1—i,所以該復數在復平面內對應的點為(一L—1),該點在第三象限.

2.D依題意得B={_z|3—工<2}={]|了>1},則A「B={2,4}.

3.B由題意可知一2租=1,則%=一1.

4.A設等比數列{4}的公比為q,則”曳=叫9=勺=2,即q=2,

4

由(21+。2=1,可得3al=1,即所以<25=aii7=y.

5.D設圓錐的母線長為/,底面半徑為廠，即側面展開圖的半徑為/,側面展開圖的弧長為

又圓錐的底面周長為2*所以24=兀/,即圓錐的母線長Z=2r.所以圓錐的側面積為“/=

2兀，=16冗,解得r=272,Z=4V2.

6.B曲線C為y=sin[s(_r-y)一~=sin(sx一等一■,又C關于y軸對稱，所以等+專

LJ0乙0LJ0

-99

=手十標"GZ,解得3=t+234ez,又3>0,所以當后=0時,3的最小值為早

7.C執(zhí)行該程序框圖,S=12"=2,%W4成立,S=18#=3#<4成立,S=22暴=4"W4成

立，S=25"=5,不滿足4W4,輸出的S=25.

8.D因為2a—logo.50.49〉logo.5。?5=1,所以Q〉'，因為2b=log54<Cl,所以,故b<Zc

<Za.

9.B/'(力)=。-sinR>0在[―?苧]上恒成立，即a^sin了,所以則a的取值范圍是

[l,+oo).

〃24z

10.A設AB=a,BE=b,a〈b,從而S/\ADC9^^BEF=2，因為AC〃_BF,所以S^AFC~S^ABC

2

=與，根據面積型幾何概型的概率公式，可以得到力1=九，故選A.

11.D由|FA|—7,|FB|—，可得kA+1=7,陰+1=~^~，即ZA=6,_，

所以*=|^^=—=3.

2

12.C如圖，設截得的截面圓的半徑為「，球。的半徑為R,因為AH：HB=B

1:2,所以。打"尺由勾股定理，得R2—+OH2,由題意得兀戶=2

0

=1,所以R2=1+([R)2,解得R2=1_,

OO后一二a

此時過點M作球O的截面，若要所得的截面面積最小,只需所求截面圓的

A

半徑最小.設球心o到所求截面的距離為高所求截面的半徑為則/=需尋，

所以只需球心。到所求截面的距離“最大即可，而當且僅當0M與所求截面垂直時，球心

。到所求截面的距離“最大，即“皿X=OM=J((R)2+MH2=[,所以《向n=j'—；=

/14

4,

13.早由題意可知搟=卮所以

14.12畫出可行域(圖略)知，當l-z=j：-3y平移到過點(0,—4)時,z取得最大值,最大值

為12.

15.-6因為v=/Cr)+2為奇函數，所以/(z)+2=—[/(—Z)+2],即/(—z)+/(z)=

—4,所以/(—=—4"(0)=—2,即/(-1)+/(0)+/(1)=-6,

16.1020當n=2k—1時，。2&'??；，當n=2k時，■，+產七1+2,所以=痣&-1+2,所以處

+。2+。3+???+。29+。3。=2(。1+。3+。5+~?+々29)=2X(15X20H------—X2)=1020.

17.(1)證明：因為AB=AD,CB=CD,所以OA，BD,OC，BD,.........2分4

又因為QA,OCU平面OAC,OAnOC=O，........................................3分

所以平面OAC...............................................................................5分/；\

(2)解：因為平面ABDJ_平面BCD,且平面ABDQ平面BCD=BD,OA/\\\

LBD,所以OA,平面BCD,..................................................................7分

所以VABCD=，X2?=1......................................................9分c

在AACD中,AD=CD=2,AC=H，貝ijS：=y\^22-(^)2/15

AAD=1。分

2

設點B到平面ACD的距離為",所以8年"=1,解得人%里............12分

18.解：(1)期,前一cAosA-J+g—.......................................................2分

即(6+。)2=4/,........................................................................................................................3分

因為△ABC的周長為6,所以(6—。)2=4。2,......................................................................5分

解得〃=2......................................................................................................................................6分

(2)由(1)可知6+c=4?............................................................................................................7分

八c2~]~b2—a2(6+c)2-26c—/66.1止口e止7口4輅口

c°sA=—=---------詼------=瓦一12正電一1=7,當且僅當6=。時，等節(jié)

(2'

成立.....................................................................10分

故當6=c=2時,A取得最大值等............................................12分

19.解：(1)100份樣本數據的平均值為

5=(35X0.005+45X0.010+55X0.010+65X0.020+75X0.032+85X0.023)X10=

68.3............................................................................................................................................5分

(2)成績低于70分的頻率為0.45,成績低于80分的頻率為0.77,................................7分

則被表彰的最低成績?yōu)?0+—募里X10=77.8125<78,........................................11分

所以估計該市民能得到表彰................................................12分

20.（1）解：函數/（公的定義域為（0,+8）"‘（G=：+a......................................................1分

由題意可得/（1）=3,/'（1）=6?...............................................................................................3分

故Q+6=3,1+Q=6,解得。=5,6=—2?..............................................................................5分

（2）證明：由（1）知f（x）=ln久+51一2,

從而/（1）〉——等價于iln1〉一512+2久——................................7分

0

設函數g（z）=iln則g/（z）=l+lnx.

所以當L（o［）時,g'（x）<0,當JCG（+,+8）時,g，（_z）〉0.

故gCz）在（0,（）上單調遞減，在（（，+8）上單調遞增，從而g（z）在（0,十8）上的最小值

為g（：）=--........................................................................................................................9分

Q19

設函數九（久）=一522+2k一三=一5（久一三）2—三，從而/1（1）在（0,+8）上的最大值為

A（V）=-1-<--.................................................................................................................11分

55e

故g（i）〉五（1）,即.............................................12分

僅2=1,

21.解：（1）因為橢圓C過點A和點P,所以46439_1.................................................2分

［而十礪i

解得］［=：'.................................................................................................................................3分

16=1,

則橢圓C的方程為亍+、2=1................................................................................................4分

（2）當直線lA_x軸時,△MAN為鈍角三角形，且NM4N<90°,不滿足題意.

設M（a：i,^1）,N（i2,丁2）,由AM，AN,可得AM?AN=0,

所以麗?京=（4,yi—1）?（孫，2—1）=4電+（凹—1）。2—1）=0，...................5分

所以直線I的斜率存在.設直線I的方程為、=左7+%，

由巴化簡得（1+4為2）*+8岳％r+4〃?2—4=0,

|/+城=4,

△〉0064公樞2-4（1+4無?）（4根之一4）>0=>m2<1+4公.

2

I_—8km_4m一4「八

久1十支2=訐病，乃冗2=1+4廬'.............................................6分

所以A必?不畝=11處+后2處涇+%（加-1）（11+］2）+（加一I）2

_（1+公）（4/一4）_8A27n（加一DI（m—1）2（1+4/）_八

1+4-21+4/1+4"=

則（1+公）（4/—4）—8/加（利一1）+（加一1）2（1+4歸2）=o,.............................................7分

整理得（加一1）（5m+3）=0,因為加力1,所以m=一百，..........................8分

所以直線/的方程為尸菽一!■，恒過點Q。一卷）.............................9分

由題意可知—.....................................10分

000

設點s到直線I的距離為出，點T到直線/的距離為d2,

,dl_di_|SQ|_5

$一1|MN|?「一4―..................................................................................

22.解：⑴由—―1+cosa,得（i一］）2+/=1,即工2+/—2L0,....................................1分

〔N=sinQ,

將力=pcos仇、=Qsin9代入上式，得p=2cos/..................................................................2分

由12+.c°s⑶得（1―2）2+（、-1）2=5,即12+y2—4i—2）=0,............................3分

［N=l+V^sinB，

將力=pcos仇;y=psin9代入上式，得p=4cos0+2sin仇

即曲線G和C2的極坐標方程分別為p=2cos仇p=4cos0+2sin9..........................