2023年江西省樟村高考?jí)狠S卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"o

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知命題P：任意64,都有10g2XN2；命題q：a>b,則有/>/.則下列命題為真命題的是()

A.，八<7B.p/\(r)C.(r/?)△(-1/D.(r7)v"

2.已知函數(shù)/(x)=/+自+3,g(x)=r+m+2,若對(duì)任意％e[1,3],總存在々e[1,3],使得=

成立，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為()

A.^-,9B.(―②,]U[9,+8)

-1791(171.{9}

142」I4jL2)

3.在長(zhǎng)方體A3CD-4BGA中，AB=\,AD=O,A4,=J§,則直線。，與平面AB6所成角的余弦值為()

A&nbrV15nVW

A.B.C.------D.------

2355

4.定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足/(x+2)=f(x),當(dāng)xG[-3,-2]時(shí)，/(x)=-x-2,則()

5.已知集合用={x|-4Vx<2卜A^={X|X2-X-6<0},則McN=

A.[x\-4<x<3]B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3)

6.正項(xiàng)等比數(shù)列{4}中的4、%。39是函數(shù)/(力=:/一4/+61-3的極值點(diǎn)，貝Hog指4020=()

A.-1B.1C.y/2D.2

7.在AABC中，H為BC上異于B,C的任一點(diǎn)，/為AH的中點(diǎn)，^AM=AAB+uAC,則丸+〃等于（）

1

6-

8.已知雙曲線卻「一與=1（a>0,ft>0）的焦距為8,一條漸近線方程為y=JIr,則。為（）

ab

2222

A.三-匯=1B.工-二=1

412124

2292

C.工-匕=1D.三-匕=1

16484816

9.若不等式》2+辦+120對(duì)于一切%€（（）1恒成立，則。的最小值是（）

A.0B.-2C.--D.-3

2

10.已知%，是空間中兩個(gè)不同的平面，〃?，〃是空間中兩條不同的直線，則下列說法正確的是（）

A.若mua,〃u0,且a_L/?,則/〃

B.若mua,〃ua,且〃///7,〃//￡,則a///?

C.若m_La,〃///7,且c_L￡,則

D.若機(jī)_La,〃//4，且a//〃，則加

11.已知集合A={x|x<l},5={x|3，<l}，則

A.408={》|%<0}B.A|J8=R

C.AU5={x|x>l}D.AHB=0

12.在AABC中，角48,C的對(duì)邊分別為。，4c,若c-acosB=（2a—3）cosA,則△MC的形狀為（）

A.直角三角形B.等腰非等邊三角形

C.等腰或直角三角形D.鈍角三角形

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)P為有公共焦點(diǎn)片,心的橢圓G與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且P片橢圓G的離心率為衣，雙曲線C?的

離心率為e2,若62=3q,則%=.

14.設(shè)%、々、與、玉為互不相等的正實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量x和丫的分布列如下表，若記ox,。丫分別為x,y的方差,

則DXDY.（填＞,＜,=）

XX2%

為X+%3凡+再

Y++22

2222

￡]__1__1_

P

4444

5

15.已知實(shí)數(shù)對(duì)任意xeR,有（1-奴）、nao+Gx+azfH-Fa5x＞且4a1+。2=0，則

a0+ax+a2-\---\-a5=.

16.已知變量e（O，〃?）（m＞0）?且芯＜%,若為*＜彳2''恒成立，則，〃的最大值_____.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，平面ABC。，AB=BC=2,CD=AD=五,ZABC=120°.

（I）證明：BD.LPC；

（ID若M是PO中點(diǎn)，3M與平面PA6所成的角的正弦值為上叵，求Q4的長(zhǎng).

10

18.（12分）已知橢圓E:三+孑=1（?！怠＃?）的離心率為半，且過點(diǎn)點(diǎn)P在第一象限，A為左頂點(diǎn),

B為下頂點(diǎn)，24交)'軸于點(diǎn)C,/有交X軸于點(diǎn)O.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若CDHAB,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

19.(12分)古人云：“腹有詩書氣自華.”為響應(yīng)全民閱讀，建設(shè)書香中國(guó)，校園讀書活動(dòng)的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計(jì)

學(xué)生一周課外讀書的時(shí)間，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取〃名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，統(tǒng)計(jì)了他們一周課外讀書時(shí)間(單位：h)

的數(shù)據(jù)如下：

一周課外

合

讀書時(shí)間(0,2](24](4，可(6網(wǎng)(8,10](10,12](12,14](14,16](16,18]

計(jì)

/h

頻數(shù)4610121424a4634n

頻率0.020.030.050.060.070.120.25P0.171

(1)根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù)，求P,"的值并估算一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù).

(2)如果讀書時(shí)間按(0,6],(6,12],(12,18]分組，用分層抽樣的方法從〃名學(xué)生中抽取20人.

①求每層應(yīng)抽取的人數(shù);

②若從(0,6],(6,12]中抽出的學(xué)生中再隨機(jī)選取2人，求這2人不在同一層的概率.

20.(12分)已知a>0,證明:

21.(12分)某企業(yè)質(zhì)量檢驗(yàn)員為了檢測(cè)生產(chǎn)線上零件的質(zhì)量情況，從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取了80個(gè)零件進(jìn)行測(cè)量，根據(jù)

所測(cè)量的零件尺寸(單位：mm),得到如下的頻率分布直方圖：

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這8()個(gè)零件尺寸的中位數(shù)(結(jié)果精確到0.01)；

(2)若從這80個(gè)零件中尺寸位于［62.5,64.5)之外的零件中隨機(jī)抽取4個(gè)，設(shè)X表示尺寸在［64.5,65］上的零件個(gè)數(shù),

求X的分布列及數(shù)學(xué)期望

(3)已知尺寸在［63.0,64.5)上的零件為一等品，否則為二等品，將這80個(gè)零件尺寸的樣本頻率視為概率.現(xiàn)對(duì)生產(chǎn)

線上生產(chǎn)的零件進(jìn)行成箱包裝出售，每箱100個(gè).企業(yè)在交付買家之前需要決策是否對(duì)每箱的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)，已

知每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)用為99元.若檢驗(yàn)，則將檢驗(yàn)出的二等品更換為一等品；若不檢驗(yàn)，如果有二等品進(jìn)入買家手中，

企業(yè)要向買家對(duì)每個(gè)二等品支付500元的賠償費(fèi)用.現(xiàn)對(duì)一箱零件隨機(jī)抽檢了11個(gè)，結(jié)果有1個(gè)二等品，以整箱檢驗(yàn)

費(fèi)用與賠償費(fèi)用之和的期望值作為決策依據(jù)，該企業(yè)是否對(duì)該箱余下的所有零件進(jìn)行檢驗(yàn)？請(qǐng)說明理由.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=|x—l|+|x+l|-2.

(1)求不等式/(幻..1的解集；

(2)若關(guān)于x的不等式/(x)../一。一2在R上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

先分別判斷命題p，q真假，再由復(fù)合命題的真假性，即可得出結(jié)論.

【詳解】

p為真命題；命題4是假命題，比如當(dāng)（）＞。＞力，

或＜2=1,Z?=-2時(shí)，貝！I/＞方不成立.

則〃八4,（―1〃）△（—!/，（-均為假.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合命題的真假性，判斷簡(jiǎn)單命題的真假是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

2.C

【解析】

將函數(shù)“X）解析式化簡(jiǎn)，并求得了'（X）,根據(jù)當(dāng)司?1,3］時(shí)r（x）＞0可得）的值域；由函數(shù)g（x）=—x+m+2

在々e［1,3］上單調(diào)遞減可得g（%）的值域，結(jié)合存在性成立問題滿足的集合關(guān)系，即可求得〃?的取值范圍.

【詳解】

依題意f（x）=L+3x+3=V+x+2（x+l）+l

\'x+ix+l

貝!1/（力=1一1上,

（x+1）

當(dāng)xe［l,3］時(shí)，r（x）＞0,故函數(shù)/（x）在［1,3］上單調(diào)遞增,

「72「

當(dāng)X|C［1,3］時(shí),匕，了1

而函數(shù)8（%）=-％+加+2在［1,3］上單調(diào)遞減，

故g（A2）w［m-l,m+l］,

~7211

則只需—~［m—1,777+1］,

24L」

7

m-\<—

；解得加

故

m+\>—

4

故實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為—.

_42.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，恒成立與存在性成立問題的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

3.C

【解析】

在長(zhǎng)方體中AB//C9，得。，與平面ABG交于A，過。做DOLA〃于。，可證平面ABGA，可得

為所求解的角，解RfAAOR,即可求出結(jié)論.

【詳解】

在長(zhǎng)方體中AB//￡9,平面ABC,即為平面ABCR,

過。做DOJ.AR于。，QAB_L平面AAR。，

小匚平面朋。。,，ABlDO,ABnAD,=D,

：.。0J_平面ABCQI，,ZDD,A為DD1與平面ABC,所成角,

在Rt^ADD^,DD[-AAj=AD—>/2,ADi—\[5)

DQ_V3_V15

cosZDDA-

i拓一店一亨

???直線。。與平面ABG所成角的余弦值為半.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與平面所成的角，定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”，三步驟缺一不可，屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

根據(jù)函數(shù)的周期性以及xG[-3,-2]的解析式，可作出函數(shù)/(x)在定義域上的圖象，由此結(jié)合選項(xiàng)判斷即可.

【詳解】

由/(x+2)=/(X),得/(x)是周期函數(shù)且周期為2,

先作出/(x)在xG[-3,-2]時(shí)的圖象，然后根據(jù)周期為2依次平移，

并結(jié)合/(x)是偶函數(shù)作出/(x)在R上的圖象如下，

-4-3-2-IO1234

，小TH4八?冗1。3TC{

選項(xiàng)A,0<sin———<——cos—<1,

6226

所以小i吟］</"看］，選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

選項(xiàng)B,因?yàn)榫W(wǎng)V3V%，所以〈一cos3V1,

42

所以f(si"3)<f(-cos3),即f(si"3)<f(cos3),選項(xiàng)B正確；

諉木.4萬64萬1,.4萬4萬八

選壩C,sin——■=----,cos-~-=——,1>-sin——>-cos-~>0?

323233

選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D,/(2020)=/(0)</(I)=/(2019),選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)值的大小比較，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

5.C

【解析】

本題考查集合的交集和一元二次不等式的解法，滲透了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).采取數(shù)軸法，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題.

【詳解】

由題意得，M={x|-4<x<2},N={x]-2<x<3},貝!!

A/cN={x|-2<x<2}.故選C.

【點(diǎn)睛】

不能領(lǐng)會(huì)交集的含義易致誤，區(qū)分交集與并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分.

6.B

【解析】

根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0,得出4%039=6,再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.

【詳解】

解：依題意囚、“39是函數(shù)/(x)=；d—4x2+6x_3的極值點(diǎn)，也就是r(x)=f-8x+6=0的兩個(gè)根

??"|〃4039—6

Cl

又{4}是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以4020=\l\'fl4039=娓

,l°gm°2020=l°g而遙=1?

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)以應(yīng)用，屬于中檔題.

7.A

【解析】

根據(jù)題意，用通，/表示出正，麗■與而，求出乙〃的值即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意，設(shè)麗=x配，則

AM=-AH=-(AB+BH)=-(AB+xBC)=-AB+-x(,AC-AB)=-(1-x)AB+-xAC,

又麗7=幾通+〃/，

.1八、=1

71=—(1-X),JLl~X,

c1八、11

Z+//=—(1-X)4-—X=—,

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

由題意求得c與2的值，結(jié)合隱含條件列式求得標(biāo)，",則答案可求.

a

【詳解】

由題意，2c=8,則c=4,

又2=且。2+戶=02,

a

解得a?=4,b2=12.

2v2

二雙曲線C的方程為—x-2_=i.

412

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

試題分析：將參數(shù)a與變量x分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，即可得到結(jié)論.

解：不等式x2+ax+120對(duì)一切xe(O,成立，等價(jià)于吟-x-'對(duì)于一切xe[0,彳成立，

2xI2」

???y=-x-，在區(qū)間[。，工上是增函數(shù)

xI2」

-115

??一X—s---，=—

x22

:.a>--

2

???a的最小值為-3故答案為C.

2

考點(diǎn)：不等式的應(yīng)用

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了不等式的應(yīng)用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中

檔題

10.D

【解析】

利用線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理，對(duì)選項(xiàng)做出判斷，舉出反例排除.

【詳解】

解：對(duì)于A,當(dāng)muamu/3,且則加與"的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；

對(duì)于3,當(dāng)加〃“時(shí)，不能判定a///，故錯(cuò)；

對(duì)于C,若機(jī)_La,〃//尸，且。_L〃，則加與〃的位置關(guān)系不定，故錯(cuò)；

對(duì)于￡>,由，〃_La,a//，可得m_1_尸，又〃///?,則〃?故正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間線面位置關(guān)系.判斷線面位置位置關(guān)系利用好線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理.一般可借助正方體

模型，以正方體為主線直觀感知并準(zhǔn)確判斷.

11.A

【解析】

?.?集合B={X|3，<1}

B={x|x<0}

?.?集合A={x|x<l}

AcB={x|x<0},AD3={X|X<1}

故選A

12.C

【解析】

利用正弦定理將邊化角，再由sin(A+6)=sinC,化簡(jiǎn)可得sinBcosA=sinAcosA,最后分類討論可得；

【詳解】

解：因?yàn)閏-acosB=(2a-b)cosA

所以sinC-sinAcos3=(2sinA-sinB)cosA

所以sinC-sinAcosB=2sinAcosA-sinBcosA

所以sin(A+B)-sinAcos3=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinAcosB+sinBcosA-sinAcos3=2sinAcosA-sinBcosA

所以sinBcosA=sinAcosA

jr

當(dāng)《?/1=0時(shí)4=不，A48C為直角三角形；

2

當(dāng)cosA時(shí)sinA=sin8即A=B，AA6C為等腰三角形；

...AABC的形狀是等腰三角形或直角三角形

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形形狀的判斷，考查正弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.好

3

【解析】

設(shè)舄=2。

根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得SJFE=b；tan0=b；

:4=￡,：.%=—,:.b^=a^-c2=c2-4-1

441%)

,2

根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)可得，S,PF\F、=4J=吠

“tan。

cc

=

,**e2—,二,％=”■

%e2

(i、

=c2—cd=c21—

<e2>

即!+!=2,?.?3G=%二弓=~f

ele23

故答案為亞

3

14.>

【解析】

根據(jù)方差計(jì)算公式，計(jì)算出DX,r>y的表達(dá)式，由此利用差比較法，比較出兩者的大小關(guān)系.

【詳解】

4

DX^-[(”)2+(工2-EX)2+(w-EX)2+(5-EX)2；《(EX)2.

4i=l

Ey=1(3+々工2+3?七+Z?*4+3

+?+

42222

2222

+【X+"X+空一破

I2

\22\2、2

玉+xx+x%+X|

2+23I+工+七+-4(￡X)2.

42)22)~2~)

4222

x+xx2+x}毛+為4、X+X|

要比較力X,。丫的大小，只需比較E>；與i21+1++4,兩者作差并化簡(jiǎn)得

i=l222，27

222

玉+xx+x%+玉

2I+23I+凡+匕+

1=1222)2

2x；+24+2x；+2x1-2(X,X2+x2x3+x3x4+x4Xj)

4

4

由于玉,々,X3，%為互不相等的正實(shí)數(shù)，故①>0,也即

42222

尤|+公王+玉x3+x4Z+X

I+I+I+，也即。x>z）y.

/=12222

故答案為：〉

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查隨機(jī)變量期望和方差的計(jì)算，考查差比較法比較大小，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.

15.-1

【解析】

由二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求法得4C；（-翻+盤（-4=0,又所以。=2,令X=1得:

(l-2xl)5=%+q+%+/+。4+%，所以％+4+生+/+4+%=T，得解.

【詳解】

525

由(1-ar)=a。+axx+a2x+...+a5x,且4q+a2=0,

則4c(-4+C；(-a)2=0,

又aH0,

所以a=2,

令x=l得：

(1-2x1，'=/+q+%+%+q+%,

所以%+q+%+/+%+45=-l,

故答案為：一1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理及展開式系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

16.e

【解析】

Inx

在不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)/（X）=—,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論.

X

【詳解】

不等式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得Inxj<In%為，

即X2，〃X1VX1/"X2,又不，入2e(0,加)

Inx.Inx.

即一L<--成立,

王

、r,、Inx,、

設(shè)/(x)=---,xG(0,/n),

X

???X1<X2,f5)<f(X2),則函數(shù)/(X)在(0,“力上為增函數(shù),

--x-lnx1.

函數(shù)的導(dǎo)數(shù),7、x_1-lnx,

/（X）=2

Xx2

由/(x)>0得1-歷x>0得比XVI,

得OVxVe,

即函數(shù)/（x）的最大增區(qū)間為（0,e）,

則m的最大值為e

故答案為：e

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的應(yīng)用，根據(jù)條件利用取對(duì)數(shù)得到不等式,從而可構(gòu)造新函數(shù)，是解決本題的關(guān)鍵

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(I)見解析；(II)76

【解析】

(I)取4。的中點(diǎn)。，連接由AB=3C,AO=8,得3,0,。三點(diǎn)共線，且AC_LBD,又BDLPA,

再利用線面垂直的判定定理證明.

(H)設(shè)=則P8=&+4,&+7,在底面ABC。中，BD=3,在中，由余弦定理得：

PB-=BM2+PM2-2.BM-PM-cos/PMB，在ADBM中，由余弦定理得

DB2=幽2+2?BM-DM-cosN豳，兩式相加求得6V=f：19，再過。作?！?，助，則。

DH

平面PA6,即點(diǎn)O到平面PA6的距離，由M是PD中點(diǎn)，得到M到平面PAB的距離一，然后根據(jù)與平面

2

R43所成的角的正弦值為更求解.

10

【詳解】

(I)取AC的中點(diǎn)0,連接。8,00,

由AB=BC,AD=CD,得民O,。三點(diǎn)共線，

且ACLBD,又3￡>_L9，ACcP4=A,

所以80_L平面PAC,

所以BOJ.PC.

(II)設(shè)PA=x,P3=6+4,P0=6+7,

在底面A3CD中，80=3,

在APBM中，由余弦定理得：PB2=BM2+PM2-2.BM-PM-cos/PMB，

在ADBM中，由余弦定理得加2=BM2+DM2_2.BM.DM?cosmMB，

兩式相加得：DB2+PB2=25,+2DM2，

X2+19

BM=

4

過。作則?！╛L平面246,

即點(diǎn)。到平面PAB的距離DH=BD-sin60。=正

2

因?yàn)椤笆荘O中點(diǎn)，所以為M到平面Q46的距離”=2幺=3叵

24

因?yàn)锽M與平面Q43所成的角的正弦值為速，

10

373

h'3囪

即sina丁

BMx2+191°

解得x=V6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面垂直的判定定理，線面角的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象運(yùn)算求解的能力，屬于中檔

題.

2

x21；(2)V2,

18.(1)L

【解析】

￡=走

a2

(1)由題意得《a2=b2+c2,求出進(jìn)而可得到橢圓后的方程;

79

4a7+16F-

(2)由(1)知點(diǎn)A，8坐標(biāo)，設(shè)直線AP的方程為卜=%。+2),易知0＜女＜3,可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,2%),聯(lián)立方

y-Z(x+2)

程V,得到關(guān)于y的一元二次方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，可用k表示p的坐標(biāo)，進(jìn)而由R民。三點(diǎn)共線,

—+/=1

[4，

即須°=MB，可用攵表示。的坐標(biāo)，再結(jié)合％°=七8,可建立方程，從而求出左的值，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo).

【詳解】

a2

a2=4

（1）由題意得a2—b~+c2解得

〃=1

79

4a2+16及

2

所以橢圓E的方程為土+丁=1.

4-

(2)由⑴知點(diǎn)A(—2,0),B(0,-1),

由題意可設(shè)直線AP的斜率為左，則0<Z<；,所以直線4尸的方程為y=Mx+2）,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,2%）,

y=k(x+2)

22222

聯(lián)立方程x,,消去)'得：(l+4k)x+16kx+16k-4=0.

一+曠=1

I4-

16汰2-4,所以x=一爻三

設(shè)。（冗1，、1）,則-2,尤］

1+4/l+4k2

.8K—24kcei、ir>/8左2—24k

所以X=k(------+2)=----,所以P(------彳,----)-

11+4公1+4-71+4%2'1+47

設(shè)。點(diǎn)的坐標(biāo)為（公,0）,因?yàn)辄c(diǎn)P,民。三點(diǎn)共線，所以kBD=kpB，即

4k,

—+1

11+4公7-4）12-4k

，所以為=,,所以。（由P。）.

8攵2—2

1+4公

2k1

因?yàn)镃D//AB,所以kcD=卜.，即_2二4左一2,

-1+2〃

所以4^2+4左一1=0,解得左=T土及

2

又（）<%<!，所以上=避二1符合題意,

22

Qjt2-2r-4k0

計(jì)算可得一V一=0,

1+4F1+4女2一工-'

故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（、反,立）.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查平行線的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于難

題.

19.(1)71=200,a=50,p=0.23,中位數(shù)13.2h；⑵①三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13；②3

21

【解析】

4

(1)根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì)，即可求得〃=——=200,得到。=50,〃=0.23,再結(jié)合中位數(shù)的計(jì)算方法，

0.02

即可求解.

(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，根據(jù)抽樣比，求得在三層中抽取的人數(shù)；

②由①知，設(shè)(0,6］內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為蒼y,(6,12］內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為a,0,c,d,e,利用列舉法得到基本事件

的總數(shù)，利用古典概型的概率計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】

446

(1)由題意，可得〃=——=200,所以a=0.25x200=50,p=——=0.23.

0.02200

設(shè)一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù)為x小時(shí)，

則0.17+0.23+(14—x)x0.125=0.5,解得x=13.2,

即一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù)約為13.2小時(shí).

(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人，抽樣比為5，

又因?yàn)?0,6］,(6,12］,(12,18］的頻數(shù)分別為20,50,130,

所以從(0,6］,(6,12］,(12,18］三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13.

②由①知，在(0,6］,(6,12］兩層中共抽取7人，設(shè)(0,6］內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為(6,12］內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為

a,b,c,d,e,

若從這7人中隨機(jī)抽取2人，則所有情況為孫，xa,xb,xc,xd,xe,ya,yb,

yc,yd,ye,ab,ac?ad,ae，be,bd,be?cd,ce，de,共有21種，

其中2人不在同一層的情況為xa,xb,xc,xd,xe,ya,yb,yc,yd,ye,共有種.

設(shè)事件M為“這2人不在同一層”，

由古典概型的概率計(jì)算公式，可得概率為尸(M)=W.

21

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了頻率分布直方表的性質(zhì)，中位數(shù)的求解，以及古典概型的概率計(jì)算等知識(shí)的綜合應(yīng)用，著重考查了分

析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

20.證明見解析

【解析】

13

利用分析法，證明。+—>一即可.

a2

【詳解】

證明：