2023新高考新教材版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)-1 2 .3 二項分布與正態(tài)分布

2023新高考新教材版數(shù)學(xué)高考第二輪復(fù)習(xí)

12.3二項分布與正態(tài)分布

五年高考

考點一條件概率與全概率公式、相互獨立事件及二項分布

1.（2022全國乙理,10,5分，應(yīng)用性）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤各盤比賽結(jié)果相互獨立.已知

該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為PIP20,且P3邛2>p>0.記該棋手連勝兩盤的概率為小則（）

A.p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)

B.該棋手在第二盤與甲比賽,p最大

C該棋手在第二盤與乙比賽,p最大

D.該棋手在第二盤與丙比賽,p最大

答案D

2.（2015課標(biāo)I,4,5分，應(yīng)用性）投籃測試中,每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃

投中的概率為06且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為（）

A.0.648B.0.432C.0.36D,0.312

答案A

3.（2014課標(biāo)11,5,5分，應(yīng)用性）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)

兩天為優(yōu)良的概率是06已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）

A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45

答案A

4.（2021新高考1,8,5分，綜合性）有6個相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機取兩次，每

次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2"，丙

表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”.丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，則（）

A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立

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C乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立

答案B

5.（2018課標(biāo)IH理,8,5分，應(yīng)用性）某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互

獨立.設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),D（X）=2.4,P（X=4）＜P（X=6）廁p=（）

A.0.7B.0.6C.0.4D,0.3

答案B

6.（2015廣東,13,5分基礎(chǔ)性）已知隨機變量X服從二項分布B（n,p）.若E（X）=30,D（X）=20,則p=.

Q條3

7.（2020天津,13,5分，基礎(chǔ)性）已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為2和a假定兩球是否落入盒子互不影

響,則甲、乙兩球都落入盒子的概率為:甲、乙兩球至少有一個落入盒子的概率為.

型空1.2

日來6'3

8.（2019課標(biāo)1理,15,5分，應(yīng)用性）甲、乙兩隊進(jìn)行籃球決賽.采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該

隊獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊主場取勝

的概率為06客場取勝的概率為05且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4：1獲勝的概率是.

答案0.18

9.（2017課標(biāo)II理,13,5分，基礎(chǔ)性）一批產(chǎn)品的二等品率為（）.02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽

取100次,X表示抽到的二等品件數(shù)，則D（X）=.

答案1.96

10.（2022新高考I,20,12分，應(yīng)用性）一醫(yī)療團(tuán)隊為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣（衛(wèi)

生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類）的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例（稱為病例組）,同時在

未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人（稱為對照組），得到如下數(shù)據(jù)：

不夠良好良好

病例組4060

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對照組1()90

(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異?

(2)從該地的人群中任選一人,A表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有

該疾病”，畿與甯的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險程度的一項度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為

R.

⑴證明:R簿?舞;

(ii)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B),P(A@的估計值,并利用⑴的結(jié)果給出R的估計值.

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(力+d)，

P(K，k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解析(1)由題中數(shù)據(jù)可知型黑鬻蒜黑=24>6.635,所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未

JLUUXJ.UUX3UXJL3U

患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異.

⑵⑴證明:因為1<=黯P(國四PQ48).PQ4).P(巨彳).P⑷_P(48)?P(巨彳)

P(B@)PQ).P(BA).P(A)?P(網(wǎng)-P畫)-P(BN)

曰P(@B)P“吵PQ4B).P(B).P(彳巨).P(B)P(AB)?P(AB)

1P(IIB)*。(川亙)P⑻'P(ZB)?P(B)?P(4瓦)P(彳B)?P(4m)

所以七端?犒

(ii)由題表中數(shù)據(jù)可知P(A|B尸器=|,P(A|S)=蕓=w正⑷B)=喘=|,嗝月)=意=9，

29

一

p萬X-

J6

川=5X

--10-_1

p川X3

8-J-

510

11.(2022新局)考H,19,12分.應(yīng)用性)在某地區(qū)進(jìn)行流行病學(xué)調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡,

得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：

第3頁共13頁

⑴估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡侗一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);

(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間［20,70)的概率;

(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%,該地區(qū)年齡位于區(qū)間［40,50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從

該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間［40,50),求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡

位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率精確到0.0001).

解析(1)平均年齡為

(5x0.001+15x0.002+25x0.012+35x0.017+45x0.023+55x0.020+65x().017+75x0.006+85x

0.002)x10=47.9(歲).

⑵設(shè)事件A="該地區(qū)T立這種疾病患者的年齡位于區(qū)間120,70)則

P(A)=1-P(4)=1-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.

(3)設(shè)事件B="任選一人年齡位于區(qū)間［40,50)”，事件C="任選一人患這種疾病”，由條件概率公式可得

P(C|B)嚅0.1%x0.023xl00.001x0.23=0.0014375-0.0014.

16%0.16

12.(2019課標(biāo)II理,18,12分,應(yīng)用性)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后,每球交

換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分的

概率為05乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨立.在某局雙方10：10平后，甲先發(fā)球,兩人又

打了X個球該局比賽結(jié)束.

⑴求P(X=2);

(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

第4頁共13頁

解析(1)X=2就是10：1()平后，兩人又打了2個球該局比賽結(jié)束,則這2個球均由甲得分或者均由乙得

分.因此P(X=2)=0.5x0.4+(l-0.5)x(l-0.4)=0.5.

(2)X=4且甲獲勝，就是10：10平后，兩人又打了4個球該局比賽結(jié)束，且這4個球的得分情況為:前兩球是

甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分.

因此所求概率為[0.5x(1-0.4)+(1-0.5)x0.4]x0.5x0.4=0.1.

思路分析(1)X=2,即要么甲得2分，要么乙得2分，分類求出獨立事件的概率，求和即可.

(2)X=4且甲獲勝，即又打了4個球，且后兩球甲得分,前兩個球甲、乙各得1分，由獨立事件的概率公式可

求解.

13.(2019天津理,16,13分，綜合性)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間.每天7:30之前到校的概率均為|.假定甲、

乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨立.

(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望：

⑵設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰

好多2”，求事件M發(fā)生的概率.

解析(1)因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨立.且每天7:30之前到校的概率均為|,

故X?B從而P(X=k)=C§(|)kg)3-k,k=0,l,2,3.

所以，隨機變量X的分布列為

X0123

1248

P

279927

則隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=3x|=2.

(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7:30之前到校的天數(shù)為Y,則Y~B(3,|),且M=｛X=3,Y=1｝u｛X=2,Y=0｝.

由題意知事件｛X=3,Y=1｝與｛X=2,Y=0｝互斥，且事件｛X=3｝與｛Y=1｝，事件｛X=2｝與｛Y=0｝均相互獨立從而

由⑴知

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P(M)=P({X=3,Y=1}u{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=8^2+4

1_20

27-243,

考點二正態(tài)分布

1.(2011湖北5,5分，基礎(chǔ)性)已知隨機變量；月縱正態(tài)分布N(2,〃),且P化<4)=0.8廁P(0<^<2)=()

A.0.6B.0.4C,0.3D,0.2

答案C

2.(2015山東,8,5分，應(yīng)用性)已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機取一件,

其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為()

(附:若隨機變量自服從正態(tài)分布N(乩/)廁p(^-a<^<g+o)=68.26%,P(p-2o<^<n+2o)=95.44%)

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D,31.74%

答案B

3.(2015湖北4,5分，基礎(chǔ)性)設(shè)X?Ng,曲),丫?N(R,應(yīng))，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正

確的是()

A.P(Y卻2)3P(Y卻|)

B.P(XWS)WP(XW6)

C.對任意正數(shù)t,P(XWt)》P(YQ)

D.對任意正數(shù)t,P(XNt)2P(Y》t)

答案C

4.(2022新高考11,13,5分，基礎(chǔ)性)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,4),且P(2<Xw2.5)=0.36廁

P(X>2.5)=.

答案0.14

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5.(2017課標(biāo)I理,19,12分，綜合性)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線

上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下生

產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(|i,o2).

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(23°,沖3可之外的零件數(shù)，求P(XN1)

及X的數(shù)學(xué)期望：

⑵一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在3-3◎中+3?)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過

程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

⑴試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

(ii)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

116rrier,~i6-

經(jīng)計算得元=.Exi=9.97,s=求備(久㈤2=濕喘*16gA0.212,其中Xi為抽取的第i個零件

的尺寸,i=l,2,…,16.

用樣本平均踞作為的估計值入用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為o的估計值。，利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生

產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除&-3就+3前之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計/口◎(精確到0.01).

附:若隨機變量Z服從正態(tài)分布N3，?).貝！］P(H-3O<Z<M+3O)=0.9974.

0.9974ko.9592,70^008^0.09.

解析⑴抽取的一個零件的尺寸在3-3o/+3o)之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在(氏3?,葉36之

外的概率為0.0026,故X~B(16,0.0026).

因此P(X》1)=1-P(X=0)=1-0.9974,6?=0.0408.

X的數(shù)學(xué)期望為EX=16x0.0026=0.0416.

(2)⑴如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在3-3?小+3c)之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個零件中,

出現(xiàn)尺寸在3-3◎中+3。)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理

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由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.可見上述

監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.

（ii）由±=9.9730.212,得口的估計值為＞9.97,。的估計值為2=0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的

尺寸在4-3。,2+3。）之外，因此需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

剔除&-3蔡+3。）之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為表x（16x9.97-9.22）=10.02,因此p的估計值為

10.02.

16

Exf=16x0.2122+16x9.972^l591.134,

1=1

剔除4-3蔡+3：）之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為全x（1591.134-9.222-15x10.022）-0.008,

因此a的估計值為何麗^0.09.

方法總結(jié)正態(tài)分布:若變量X服從正態(tài)分布N3，W）,其中口為樣本的均值，正態(tài)分布曲線的對稱軸為

x=n；o為樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性.

三年模擬

A組考點基礎(chǔ)題組

考點一條件概率與全概率公式、相互獨立事件及二項分布

1.（2022廣東粵港澳大灣區(qū)聯(lián)考,3）甲乙兩個雷達(dá)獨立工作.它們發(fā)現(xiàn)飛行目標(biāo)的概率分別為0.9和0.8,則

飛行目標(biāo)被雷達(dá)發(fā)現(xiàn)的概率為（）

A.0.26B,0.7C.0.72D.0.98

答案D

2.（2022遼寧東北育才學(xué)校?？剂?3）某大學(xué)有A,B兩家餐廳，某同學(xué)第1天午餐時隨機地選擇一家餐廳

用餐,如果第一天去A餐廳,那么第2天去A餐廳的概率是0.4;如果第一天去B餐廳,那么第二天去A餐

廳的概率是0.8,則該同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率是（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

答案B

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3.(2022湖南新高考教學(xué)教研聯(lián)盟聯(lián)考一,4)已知隨機變量X,Y分別滿足X?B(8,p),Y?用四卡).且

E(X)=E(Y),若P(Y云3片，則p=()

1131

A-5B-3C-8叼

答案C

4.(2022重慶八中調(diào)研檢測七,4)考察下列兩個問題:①已知隨機變量X~B(n,p),且E(X)=4,D(X)=2,記

P(X=l)=a;②甲、乙、丙三人隨機到某3個景點去旅游，每人只去一個景點，設(shè)A表示“甲、乙、丙所去

的景點互不相同”，B表示“有一個景點僅甲一人去旅游”，記P(A|B)=bJ!J()

A1L111

A.a=—,b=-DB.a=Ub=—

2322422

c1L1n11

C.a=7,b=5D.a=-,bu=-

答案C

5.(202[廣東二模,3)2020年12月4日是第七個“國家憲法日”.某中學(xué)開展主題為“學(xué)習(xí)憲法知識，弘揚

憲法精神”的知識競賽活動.甲同學(xué)答對第一道題的概率為|,連續(xù)答對兩道題的概率為去用事件A表示

“甲同學(xué)答對第一道題”，事件B表示“甲同學(xué)答對第二道題”，則P(B|A)=()

A.1B.|C.|D.,

3234

答案D

考點二正態(tài)分布

1.(2022山東臨沂二模,5)已知隨機變量：服從正態(tài)分布N(3,W).且P?<5)=0.7,則P(l<^<3)=()

A.0.6B,0.5C.0.3D.0.2

答案D

2.(2022重慶調(diào)研四,6)已知兩個隨機變量X,Y,其中X~B(5,)Y?N(H，02)(Q0),若E(X)=E(Y).且

P(|Y[<l)=0.4,則P(Y>3)=()

A.0.4B.0.3C,0.2D,0.1

答案D

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3.（2022重慶二模,4）已知某批零件的尺寸X（單位:mm）服從正態(tài)分布N（10,4）,其中Xe[8,l4]的產(chǎn)品為“合

格品”，若從這批零件中隨機抽取一件，則抽到合格品的概率約為（）

（附:若X?NQ,"）,則PQ-GWXW|X+O）=0.6827,P（H-2OWXWJI+2G）=

0.9545,P（n-3o?X?n+3a）^0.9973）

A.0.3414B.0.4773C.0.512D,0.8186

答案D

4.（多選）（2022湖南邵陽一模,9）給出下列命題，其中正確的命題有（）

A.“a邛”是“sina=sin0”的必要不充分條件

B.已知命題p:xeR,e，<x+l",貝!|rp:"vxwR,eX/x+l”

C若隨機變量卜BQJ,則E0=|

D.已知隨機變量X?N（3,/）.且P（X>2a-l）=P（X<a+3）,則a=g

答案BCD

5.（2021江蘇七市第二次調(diào)研,13）已知隨機變量X?N（2,G2）,P（X>0）=0.9,則P（2<X這4）=.

答案04

B組綜合應(yīng)用題組

時間：25分鐘分值40分

一、單項選擇題（每小題5分，共20分）

1.（2022湖南益陽一模）甲、乙、丙、丁4名棋手進(jìn)行象棋比賽，賽程如下面的框圖所示，其中編號為i的

方框表示第i場比賽，方框中是進(jìn)行該場比賽的兩名棋手，第i場比賽的勝者稱為“勝者i”.負(fù)者稱為“負(fù)

者i”，第6場為決賽，獲勝的人是冠軍.已知甲每場比賽獲勝的概率均為|.而乙，丙，丁之間相互比賽，每人

勝負(fù)的可能性相同.則甲獲得冠軍的概率為（）

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136

答案D

2.(2022海南瓊海嘉積中學(xué)四校聯(lián)考,8)長時間玩手機可能影響視力，據(jù)調(diào)查.某校學(xué)生大約40%的人近視,

而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機超過1h,這些人的近視率約為50%.現(xiàn)從每天玩手機不超過1h的

學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為()

2353

B.-C.-Dq

答案B

3.(2022遼寧鞍山一中4月線上模擬,5)正態(tài)分布是最重要的一種概率分布，它是由德國的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)

家Moivre于1733年提出的，但由于德國數(shù)學(xué)家Gauss率先應(yīng)用于天文學(xué)研究，故正態(tài)分布又稱為高斯分

布，記作Y-N(n，o2).n=0,o=l的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.如果令X=?，則可以證明X~N(0,l),即任意的

正態(tài)分布可以通過變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.如果X~N(0,l),那么對任意的a,通常記為①(a)=P(X<a),也就

是說，①(a)表示N(0,l)對應(yīng)的正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間(心,a)內(nèi)所圍的面積.某校高三年級800名學(xué)生期中考

試數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布,數(shù)學(xué)成績的平均分為100,方差為36,①(2)=0.9772,那么成績落在(88,112]

的人數(shù)大約為()

A.756B.748C.782D.764

答案D

4.(2020遼寧葫蘆島興城高級中學(xué)模擬)一個袋中有大小、形狀相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現(xiàn)

隨機等可能取出小球，當(dāng)有放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為自；當(dāng)無放回依次取出兩個小球

時,記取出的紅球數(shù)為③，則()

A.E(M)<E(&),D曰)<D&)

第11頁共13頁

B.E(a)=Ee),D(a)>Da)

C.E(0)=E&),D(S<D(0)

D.E(&)>E&),D(&)>D(&)

答案B

二、多項選擇題(共5分)

5.(2022湖南三湘名校聯(lián)盟聯(lián)考,10)已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量X(單位:g)服從正態(tài)分布N(500,16),則下

面結(jié)論正確的是()

(附:若X?N(n，W),貝！JP(HP〈XWH+O)=0.6827,P(g-2o<X^p+2o)=0.95