北京市西城區(qū)2024屆高三年級下冊4月統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

北京市西城區(qū)2024屆高三下學(xué)期4月統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)試卷

第一部分（選擇題）

一、選擇題

1.已知全集。=R,集合A=WX<3}，3={X-2WxW2},則AI”=（）

A.（2,3）B.（-?）,-2）o（2,3）

C.[2,3）D.（F-2]D[2,3）

K答案HB

[解析》因為集合5={%]-2<%<2},所以23=卜|%<-2或X〉2},

又集合4={中<3},所以AIe8={小<-2或2<x<3}=（—2）U（2,3）.

故選：B.

2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+。）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=x2+xB.y=co&x

C.y=2"D.y=log2\x\

k答案1D

K解析工對于選項A,當(dāng)X=1時，y=l+l=2,當(dāng)x=—1時，y=l—l=o,即

所以選項A不滿足題意，

對于選項B,因丁=<?立在區(qū)間（0,+8）上不單調(diào)，所以選項B不滿足題意，

對于選項C,因y=2工圖象不關(guān)于>軸對稱，所以選項C不滿足題意，

對于選項D,因為y=log2|x|的定義域為（YQ,0）U（0,"O）,關(guān)于原點對稱，

又/（-%）=log2|-x|=log2|x|=/（x），所以y=log,\x\為偶函數(shù)，

當(dāng)尤>0時，y=log2|x|=log2x,又y=log2X在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增，所以選項D

滿足題意，故選：D.

3.[x-^\的展開式中，常數(shù)項為（）

A.—60B.-15

C.15D.60

K答案工D

|的展開式的通項為&]=C"6f(-2)’晨尸

k解析工x-7

令6—3廠=0,得到〃=2

展開式中常數(shù)項為(—2)2(2：=60,故選D項.

4.已知拋物線。與拋物線/=4%關(guān)于直線＞=%對稱，則C的準(zhǔn)線方程是()

A.x=—1B.x=-2

C.y=—lD.y=-2

[[答案』c

K解析工因為拋物線C與拋物線=4x關(guān)于直線＞=%對稱,

所以將無,y互換后可得拋物線C方程為d=4y,即2。=4=。=2,

所以C的準(zhǔn)線方程為y=—々=—1,

故選：C.

5.設(shè)〃=%—,b=t—,c=%（2+%）,其中一lv%vO,則（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

K答案Ic

K解析H由一lv%<0,故1^（—8,—1）,故〃

tt

由對勾函數(shù)性質(zhì)可得匕=/+；<—（1+1）=—2,

c=，（2+才）<0,且0=才?（2+1）=/+2/=?+Ip—1>—1,

綜上所述，有bvcva.

故選：c.

6.已知向量a/,g在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,則

［答案XA

K解析工由圖可得a—萬=（1,一3）,c=（2,l）,故c-（a—>）=lx2+（—3）x1=—1.

故選：A.

/、fx12*4+A:,-2<x<0/、

7.已知函數(shù)/（x）=｛匚“_，若/（x）存在最小值，則c的最大值為（）

111

A.—B.C.D.1

16842

K答案XA

K解析U當(dāng)一2Vx<0時，/（%）=%2+%=［%+；］一；，故當(dāng)九=一；時，/（X）有最小

值為一%

owX<c時，/（彳）=一6單調(diào)遞減，所以—,

由題意/a）存在最小值，則-62-工，解得0<。4工，即。的最大值為工.

41616

故選：A

8.在等比數(shù)列｛4｝中，4,>0.貝『'成>'+『'是"4+1>4+3”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C,充要條件D.既不充分也不必要條件

(答案』B

k解析』設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4/0,

當(dāng)“wAano+i時，即有冊。>"一%?,又。%>0，故q<l且qwO,

當(dāng)q<-1時,有4+3=。%%+1>%+1,故不能得到4+1〉"w+3，

即“%。>標(biāo)+1”不是“4+1>%+3”的充分條件；

當(dāng)4+1>。+3時，即有。%+3=4%?0+1<。?()+1，即<72<1且q/°，

則41+1=/%,當(dāng)qe(—1,0)時，由。取>0,故/+i<0,故%>%+1,

當(dāng)qe(O,l)時，a%+i=q.a,一%亦可得%>'+1,

故"%。>4。+1”是“％+i>4+3”的必要條件；

綜上所述，“%。>冊。+1”是“%+1>4+3”的必要不充分條件.故選：B.

9.關(guān)于函數(shù)/(x)=sinx+cos2x,給出下列三個命題：

①“X)是周期函數(shù)；

②曲線y=/(x)關(guān)于直線對稱；

③〃力在區(qū)間［0,2兀)上恰有3個零點.

其中真命題的個數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

k答案》D

K解析X對于①，因/(x)=sinx+cos2x,

所以〃x+27i)=sin(x+27i)+cos2(x+27i)=sinx+cos2x=/(x),故7=2兀，所以選

項①正確，

對于②，因為于5一%)=sin(兀一x)+cos2(7r一％)=sinx+cos2x=f(x),

jr

由對稱軸的定義知，元=］為函數(shù)/(九)的一條對稱軸，所以選項②正確，

對于③，因為/(X)=sinx+cos2x=-2sin2x+sinx+l,令/(x)=0,得到

-2sin2x+sinx+1=0，

解得sin%=—5或sinx=1,又工￡[0,2兀），由sin%=一萬，得至=3-或—=$，

7T

由sinx=l,得至3=',所以選項③正確，

2

故選：D.

10.德國心理學(xué)家艾?賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，人類大腦對事物的遺忘是有規(guī)律的，他依據(jù)實驗數(shù)據(jù)

繪制出“遺忘曲線”.“遺忘曲線”中記憶率y隨時間/（小時）變化的趨勢可由函數(shù)

y=l-0.6產(chǎn)27近似描述，則記憶率為50%時經(jīng)過的時間約為（）（參考數(shù)據(jù)：

lg2ao.30,lg3a0.48）

A.2小時B.0.8小時C.0.5小時D.0.2小時

k答案UC

k解析》根據(jù)題意得工=1-0.6產(chǎn)27,整理得到』=產(chǎn)27,兩邊取以1。為底的對數(shù)，

26

得到lg』=0.271g/,即1-lg3-21g2=0.271g八又lg2ao.30,lg3=0.48,

6

88

所以lg/二—藥,得到彳=]0一萬六05,故選：C.

第二部分（非選擇題）

二、填空題

11.若復(fù)數(shù)Z滿足（l+2i）z=3+i,則忖=

K答案X72

K解析》（l+2i）z=3+i,則z=答=（；-；）—=]_i,

1+21（1+21）（1-21）5

故忖=Jl2+12=故K答案U為：?

12.已知。，萬￡（0,兀）.使tan（a+6）＜tan（a—月）成立的一組a,（3的值為

----------；B------------

TTTT

K答案X--（K答案》不唯一）

33

（解析H取0=/=］,此時tan（a+/?）=tang<0,tan（a—萬）=tanO=。，

故tan（a+/?）<tan（a—￡）,符合要求.

TTTT

故［答案》為：一；一氯答案』不唯一）.

33

2

13.雙曲線M：/—］_=1的漸近線方程為；若M與圓。：爐+丁2=/&〉（））

交于AB,。,。四點，且這四個點恰為正方形的四個頂點，貝ijr=.

（答案Xy=+43x也

k解析》由〃：爐—其=1,故其漸近線方程為y=土走》=±氐；

31

23

令由題意可得帆=1”，即有m2一2=1,解得機2=一，

32

故產(chǎn)=+〃2=2rrr=3，即r=6.

故［答案U為：y=+y/3x；色.

14.在數(shù)列｛a“｝中，q=2,a2=-3.數(shù)列也｝滿足仇=a“+i—a”eN）若也｝是公

差為1的等差數(shù)列，則｛包｝的通項公式為2=,??的最小值為.

［答案工n-6-13

K解析工由題意a=。2-。1=-5,又等差數(shù)列｛%｝的公差為1,

所以2=-5+（?-1）-1=?-6；

故4+1-4="一6,所以當(dāng)〃W6時，??+1-a?<0,當(dāng)〃>6時，a?+i-a?>0,

所以6>%>。3>〃4>。5>。6=%<4<〃9<…，顯然an的最小值是。6?

又an+l—"〃="一6’所以。6=。1+(。2—%)+(%—。2)+(。4一%)+(%—。4)+(。6-。5)

=2+(―5)+(-4)+(-3)+(-2)+(-1)=-13,即4的最小值是一13.

故［答案X為：n-6,-13

15.如圖，正方形ABCD和矩形MEF所在的平面互相垂直.點尸在正方形ABCD及其內(nèi)

部運動，點。在矩形ABEF及其內(nèi)部運動.設(shè)AB=2,AF=1,給出下列四個結(jié)論：

①存在點RQ，使尸。=3；

②存在點RQ，使CQ//EP；

③到直線A。和EF的距離相等的點尸有無數(shù)個；

④若則四面體尸AQE體積的最大值為;.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

K答案X①③④

k解析》建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-EBD,

則有4(0,0,0)、F(l,0,0),3(0,2,0)、￡>(0,0,2),C(0,2,2),石(1,2,0),

設(shè)Q(s,t,o),其中。<772,“/<2,0<5<1,

對①：PQ=(s,t-m,-n),則=&+?-,

當(dāng)s=l,t—n—2,帆=0時，有p0=A/1+4+4=3,

故存在點P,Q,使PQ=3,故①正確；

對②：CQ=(sj—2,—2),石戶=(―1,加―2,71),

若CQ//EP,則有I）'）,

sn=2

由0<5<1,故當(dāng)s〃=2時，s=l,n=2,

此時有〃z—2=—（f—2）,即加+/=4,即〃工=/=2,

此時。與E重合，P與C重合，故不存在點尸,。，使CQ//EP,故②錯誤;

對③：點P到直線A。的距離為加，點P到直線EF的距離為Ji?+〃2,

即有"=,12+/，即〃2=1，由°<加,〃<2，

故其軌跡為雙曲線的一部分，即點尸有無數(shù)個，故③正確；

對④：AP=（0,m,n）,EP={-1,m-2,ri）,

由上故有加（加一2）+1=0,則“2=1—（7%—1）2包0』，

又SA2E<5S矩形ABFE=,xlx2=l,

故K-A0E=gxSA2EX"<gxlxl=g,故④正確.

故［答案》為：①③④.

三、解答題

16.如圖，在三棱柱ABC-431G中，側(cè)面AACG為正方形，AB±AC,AB=AC=2,

。為的中點.

(1)求證：4。//平面4片。；

(2)若ACLA8,求二面角。—Ag—4的余弦值.

(1)證明：如圖，連接48,設(shè)ABAB】=E,連接OE.

因為在三棱柱ABC-A與G中，四邊形耳是平行四邊形，所以E為AB的中點.

因為。為的中點，所以DE//A。.

又因為4CO平面ABQ,DEu平面A耳。，

所以AC“平面入用”

(2)解：因為AB^AC,ABYAC,

又4CCAC=C,acu平面AACG，ACU平面AACG，

所以AB工平面AACG，又因A^U平面AACC],所以ABLA4.

又A41，AC,所以A3,AC,A4兩兩相互垂直.如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-孫z,

則4(0,0,0),4(2,0,2),D(l,l,o),C(0,2,0).

所以M=(2,0,2),A￡>=(1,1,0).

,、fm-AB.=0[2x+2z=0

設(shè)平面ABQ的法間量為桃=(x,y,z),貝叫即八

m-AD=0|x+y=0

令x=-4,則y=l,z=l于是應(yīng)=(-1,1,1).

因為AC，平面AA34,所以AC=（O,2,O）是平面AA55］的一個法向量.

由題設(shè)，二面角。-4與-4的平面角為鈍角，

所以二面角。一A用一4的余弦值為一心.

3

17.在一ABC中，atanB=2Z?sinA.

（1）求一§的大?。?/p>

（2）若a=8,再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使ABC存在，求,ABC的面

積.

條件①：邊上中線的長為收；

2

條件②：cosA=一—；

3

條件③：匕=7.

注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解

答，按第一個解答計分.

解：（1）由atanB=2Z?sinA,得asmB=2Z?sinAcosB,

在，ABC中，由正弦定理得sinAsinB=2sinAsinBcosB,

1兀

因為sinA>0,sin3>0,所以cos3=—,又。所以/B=—；

23

（2）選條件①：邊上中線的長為0T：

設(shè)邊中點為M,連接AAf,則AM=

ABM中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2AB-BMcosB，

即21=44+16-8AB-cos1,整理得AB?-4AB-5=0,解得AB=5或AB=-1（舍），

所以.ABC的面積為S=gAB.BCsinB=gx5x8sinm=10jL

B

選條件③：b=7：

在ABC中，由余弦定理得步=儲+02一2accos3，即7?=8?+c?—16c-cos],

整理得c?-8c+15=0，解得c=3或c=5,

當(dāng)c=3時，,ABC的面積為S鉆。=；acsinB=gx8x3sinm=64.

當(dāng)c=5時，ABC的面積為=gacsinB=gx8x5sinm=10j^.

不可選條件②，理由如下:

2=好,

若cosA=一故A為鈍角，則sinA=

一§'

8/

,asinBx12^/15,432,

則8=一:—―=-~—，1>一=---->a,即

sinA55

其與A為鈍角矛盾，故不存在這樣的一ABC.

18.10米氣步槍是國際射擊聯(lián)合會的比賽項目之一，資格賽比賽規(guī)則如下：每位選手采用立

姿射擊60發(fā)子彈,總環(huán)數(shù)排名前8的選手進入決賽.三位選手甲、乙、丙的資格賽成績?nèi)缦?

環(huán)數(shù)6環(huán)7環(huán)8環(huán)9環(huán)10環(huán)

甲的射出頻數(shù)11102424

乙的射出頻數(shù)32103015

丙的射出頻數(shù)24101826

假設(shè)用頻率估計概率，且甲、乙、丙的射擊成績相互獨立.

（1）若丙進入決賽，試判斷甲是否進入決賽，說明理由;

（2）若甲、乙各射擊2次，估計這4次射擊中出現(xiàn)2個“9環(huán)”和2個“10環(huán)”的概率;

（3）甲、乙、丙各射擊10次，用X,（i=1,2,3）分別表示甲、乙、丙的10次射擊中大于。環(huán)的次

數(shù)，其中ae{6,7,8,9}.寫出一個a的值，使0（乂3）＞0（乂2）＞0（乂1）.（結(jié)論不要求證

明）

解：（1）甲進入決賽，理由如下:

丙射擊成績的總環(huán)數(shù)為2x6+4x7+10x8+18x9+26x10=542,

甲射擊成績的總環(huán)數(shù)為1x6+1x7+10x8+24x9+24x10=549.

因為549＞542,所以用樣本來估計總體可得甲進入決賽.

242

（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)：“甲命中9環(huán)”的概率可估計為一=一；

605

242

“甲命中10環(huán)”的概率可估計為二=—；

605

301

“乙命中9環(huán)”的概率可估計為一=—；

602

“乙命中10環(huán)”的概率可估計為"='.

604

所以這4次射擊中出現(xiàn)2個“9環(huán)”和2個“10環(huán)”的概率可估計為：

[IN小凱*MM*"端.

(3)〃=7或8.

根據(jù)題中數(shù)據(jù)：

當(dāng)a=6時，

59

在每次射擊中，甲擊中大于6環(huán)的的概率為p=而；

57

在每次射擊中，乙擊中大于6環(huán)的的概率為p=而；

58

在每次射擊中，丙擊中大于6環(huán)的的概率為p=而；

由題意可知：二］,X2fiflO,——,X310,——

k60/\60;\60

此時。(Xj=10x竺義工=幽~,D(X2)=10x—x—=

'176060360012760603600

q(4)=1。產(chǎn)x2=3,

v3760603600

不滿足0（X3）>0（X2）>O（X]）.

當(dāng)a=7時,

在每次射擊中,甲擊中大于7環(huán)的的概率為p=0；

乙擊中大于環(huán)的概率為；

在每次射擊中,72=1|

60

54

在每次射擊中,丙擊中大于7環(huán)的的概率為口=不

60

嗜〉、2~小喘,X—琮.

由題意可知:

此時。（xj=iox變義工=^^2750

D（X2）=10x—x—=

'"60603600'2760603600

D（X3）=10X^XA=^,

V3760603600

滿足0（X3）>0（X2）>D（Xj.

當(dāng)a=8時，

48

在每次射擊中，甲擊中大于8環(huán)的的概率為°=而；

45

在每次射擊中，乙擊中大于8環(huán)的的概率為°=而；

44

在每次射擊中，丙擊中大于8環(huán)的的概率為°=0；

由題意可知：X]?,X2~10,—|,X3~10,—

I60jI60J160

“4八/、7\e48125760八/、,、45156750

此時。（X］）=10x—x—=,D（—10x—x—=------

\"6060360012760603600

°區(qū)）=1°礙啾=篝，滿足。區(qū)）＞。區(qū)）＞。（乂）.

24

當(dāng)a=9時，在每次射擊中，甲擊中大于9環(huán)的的概率為p=0

15

在每次射擊中，乙擊中大于9環(huán)的的概率為°

-60

26

在每次射擊中，丙擊中大于9環(huán)的的概率為°

~60

X2?11。喘;?“0，總.

由題意可知：

“s24368640八?、15456750

此時。（X］）=10x—x—=------,_D（X?）=10x—x—=--------

'176060360012760603600

26348840

D（X）=IOX------X------

360603600

不滿足0（X3）>0（X2）>O（Xj.所以a=7或8.

22

19.己知橢圓G:\+與=l（a>，>0）的一個頂點為4（-2,0）,離心率為丸

ab/

（1）求橢圓G的方程；

（2）設(shè)。為原點.直線/與橢圓G交于兩點（C。不是橢圓的頂點），/與直線x=2

交于點E，直線ACA。分別與直線OE交于點M,N.求證：|。知|=|。2.

（1）解：由題意可得￡==，解得。=有,

a2

入c=1

a2-b2=c2〔

所以橢圓G的方程為三+乙=1；

43

（2）證明：由題意可知直線/的斜率存在，設(shè)其方程為丫=履+加.

I^2）

則E（2,2k+m）,直線OE的方程為y=\k+—\x,

\y=kx+m

得（4K+3）V+8ktnx+4nr-12=0,

叫3/+4/=12'

由A=48（4左2一加2+3）>0,得裙<4左2+3,

設(shè)C（%，%），D（孫％），8kmW-12

則為+々=_4左2+3送1々=

442+3

直線AC的方程為y=*g（x+2）,

聯(lián)立直線AC和OE得」^7（X+2）=左+￡X,

玉+2'I2）

4M4（hq+m）

mxx+4kmXy+4左，

4（AX2+m）

同理可得/=

7nx2+4左

(fctj+7%)(7%+4左)+(京2+根)(7叫+4人)

所以為+XN=4X

〃%+4k^tnx2+4左)

因為+zn)(mr,+4左)+(3+機)(，叫+4%)

=2km+(4左之+/)+8^z

2km(4m2—12j8km(4k~+m2^8km(4k2+3^

--4/+34k~+3-+-4k2+3—一°'

所以“+/=0,即點M和點N關(guān)于原點。對稱，所以閭=|。叫.

20.己知函數(shù)/'(x)=x+ln(以)+，xe".

(1)當(dāng)a=l時，求曲線y=/(x)在點(1,/。))處切線的斜率;

(2)當(dāng)。=-1時，討論〃龍)的單調(diào)性；

(3)若集合｛削/(“2-1｝有且只有一個元素，求"的值.

解：(1)當(dāng)a=l時，/(x)=x+lar+%ev,

所以/''(x)=l+L+(l+x)e、，得到了'(l)=2e+2,

X

所以曲線y=/(x)在點(1,/(1))處切線的斜率為2e+2.

(2)當(dāng)a=—l時,/(x)=^+In(-%)-xe',易知/(%)的定義域為(一”,0),

Xr(x)=l+--(l+x)

因為xc(-8,0),所以L—e*<0,

X

所以尤,T)時，xe(-l,o)時，/(%)<0

所以/(力的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1);單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0).

11QX

(3)因為/(x)=x+ln(依)+—xe"所以/'(x)=(l+x)—4——

C/L、

易知a/0,當(dāng)a>0時，/(力的定義域為(0,+"),

所以制x)>0恒成立，故"X)在(0,+“)上單調(diào)遞增，

又/+—ea>0,所以。>0不合題意,

aa

當(dāng)a<0時，”力的定義域為(—8,0),此時工+生<0,

xa

所以尤e(T,—1)時，f^x)>0,xe(-l,0)時，/'(x)<0,

故〃力的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為(—1,0),

所以/'(x)max=/(T)=T+ln(—a)—'.

111py1

設(shè)g(x)=-l+ln(-x)---(%<0),則g'(x)=一+—-=——)

xexex'

當(dāng)xe一勿,—尸寸,g'(x)<0,XG—,0時，g'(x)>0,

所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為

所以g