2024年遼寧省十四地市民間大聯(lián)考中考第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

遼寧省十四地市民間大聯(lián)考第二次模擬數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答，在試卷上作答無效．2.本本試卷共23道題，滿分120分．考試時(shí)間共120分鐘．第一部分選擇題(共30分)一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.大荔冬棗開始采摘啦！每筐冬棗以2.4千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，記錄則實(shí)際質(zhì)量是（）A.2.8千克 B.2.2千克 C.2.1千克 D.2.4千克2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形是()A. B. C. D.3.我國(guó)的嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功在月球背面著陸，標(biāo)志著我國(guó)已經(jīng)成功開始了對(duì)月球背面的研究，填補(bǔ)了國(guó)際空白．月球距離地球的平均距離為千米，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為()A. B. C. D.4.下列運(yùn)算正確的是()A. B.C. D.5.一元二次方程的根的情況是()A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根6.把分式方程化為整式方程，方程兩邊需同時(shí)乘以（）．A. B. C. D.7.如圖，一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）A. B. C. D.8.《四元玉鑒》是我國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個(gè)“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”大意是：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的總售價(jià)為6210文錢．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文錢，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢．試問：用6210文能買多少株椽？設(shè)用6210文能買x株椽，則符合題意的方程是（）A. B.C. D.9.如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點(diǎn)P，若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.10.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以點(diǎn)D為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)Q，分別以P、Q為圓心，大于PQ為半徑畫弧交于點(diǎn)M，連接DM并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E，連接AE，恰好有AE⊥BC，則AE的長(zhǎng)為（）A.3 B.4 C.5 D.第二部分非選擇題(共90分)二、填空題(本題共5小題，每小題3分，共15分)11.計(jì)算：___________．12.如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)C坐標(biāo)是__________．13.在如圖所示電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，能讓燈泡L1發(fā)光的概率是______．14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形的頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，連接，過點(diǎn)B作交x軸于點(diǎn)D，則k的值是________．15.如圖，在等腰中，，，D為邊中點(diǎn)，E為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度為______．三、解答題(本題共8小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程)16計(jì)算．（1）；（2）17.節(jié)能減排從我做起，只有堅(jiān)持節(jié)約發(fā)展、清潔發(fā)展、安全發(fā)展，才能實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)又好又快發(fā)展．為了節(jié)能減排，某校準(zhǔn)備購(gòu)買某種品牌的節(jié)能燈，已知4只A型節(jié)能燈和5只B型節(jié)能燈共需55元，2只A型節(jié)能燈和1只B型節(jié)能燈共需17元．（1）求1只A型節(jié)能燈和1只B型節(jié)能燈的售價(jià)各是多少元．（2）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買這兩種型號(hào)的節(jié)能燈共300只，要求A型節(jié)能燈的數(shù)量不超過B型節(jié)能燈的數(shù)量的2倍，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案．18.2023年10月，開州區(qū)某學(xué)校舉辦了以“莎姐守衛(wèi)”未成年學(xué)生防性侵為主題的相關(guān)知識(shí)測(cè)試．為了了解學(xué)生對(duì)“莎姐守衛(wèi)”未成年學(xué)生防性侵相關(guān)知識(shí)的掌握情況，現(xiàn)從七年級(jí)和八年級(jí)參與競(jìng)賽的學(xué)生中各隨機(jī)選出20名同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行分析（單位：分，滿分100分），將學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)分為，，，四個(gè)等級(jí)，分別是：：，：，：，：．其中，七年級(jí)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)椋?6，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．八年級(jí)等級(jí)的學(xué)生成績(jī)?yōu)椋?1，82，83，86，87，88，89．兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表：學(xué)生平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級(jí)85.28659.66八年級(jí)85.2919176根據(jù)以上信息，解答下列問題；（1）填空：________，________，________；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為在此次知識(shí)競(jìng)賽中，哪個(gè)年級(jí)的成績(jī)更好？請(qǐng)說明理由；（一條理由即可）（3）若七年級(jí)有1000名學(xué)生參賽，八年級(jí)有900名學(xué)生參賽，請(qǐng)估計(jì)兩個(gè)年級(jí)參賽學(xué)生中成績(jī)優(yōu)秀（大于或等于90分）的學(xué)生共有多少人？19.某品牌烤箱新增一種安全烤制模式，即在烤箱內(nèi)溫度勻速升至?xí)r烤箱停止加熱，隨后烤箱內(nèi)溫度下降至初始溫度．如圖所示的是該品牌烤箱安全烤制模式下烤箱內(nèi)溫度隨時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象．（1）求該圖象的函數(shù)表達(dá)式；（2）若食物在及以上的溫度中烤制6分鐘以上才可健康食用，請(qǐng)問該模式下烤制的食物能否健康食用？請(qǐng)說明理由．20.為了保護(hù)小吉的視力，媽媽為他購(gòu)買了可升降夾書閱讀架（如圖1），將其放置在水平桌面上的側(cè)面示意圖（如圖2），測(cè)得底座高為，，支架為，面板長(zhǎng)為，為．（厚度忽略不計(jì)）（1）求支點(diǎn)C離桌面l的高度；（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）（2）小吉通過查閱資料，當(dāng)面板繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，面板與桌面的夾角α滿足時(shí)，問面板上端E離桌面l的高度是增加了還是減少了？增加或減少了多少？（精確到，參考數(shù)據(jù)：）21.如圖，為直徑，C，D為上的兩點(diǎn)，且，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：是的切線；（2）若，求的半徑．22.【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下問題：如圖1，在等腰中，，點(diǎn)D在邊上，連接，將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．求證：．①如圖2，小明同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出如下解題思路：在上截取連接，將線段與之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段與之間的數(shù)量關(guān)系．②如圖3，小亮同學(xué)從條件的角度出發(fā)，過E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，將線段與之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段與之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程．【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將要證明的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師將圖1進(jìn)行變換，并提出下面的問題，請(qǐng)你解答．如圖4，在等腰中，點(diǎn)D在邊上，連接，將線段繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交邊于點(diǎn)F，求證：．【類比分析】（3）如圖5，在矩形中，，點(diǎn)E、F分別在邊上，，連接，求線段的長(zhǎng)．23.給定兩個(gè)函數(shù)，，若對(duì)于任意一個(gè)x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，，我們用表示，中的較小值，即則稱為關(guān)于，的“二元最小值函數(shù)”．（1）已知一次函數(shù)，請(qǐng)寫出關(guān)于，的“二元最小值函數(shù)”，并寫出當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)隨的增大而增大，求函數(shù)最大值；（2）已知二次函數(shù)，，其中，求出兩個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖像的交點(diǎn)，的坐標(biāo)，并求出關(guān)于，的“二元最小值”，寫出當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)隨的增大而減??；（3）直線與（2）中關(guān)于，的“二元最小值函數(shù)”圍成的封閉圖形內(nèi)部有四個(gè)，均為整數(shù)的點(diǎn)，求的取值范圍；（4）若點(diǎn)為（2）中關(guān)于，的“二元最小值函數(shù)”上任意一點(diǎn)，與，構(gòu)成討論滿足，時(shí)，點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

遼寧省十四地市民間大聯(lián)考第二次模擬數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上作答，在試卷上作答無效．2.本本試卷共23道題，滿分120分．考試時(shí)間共120分鐘．第一部分選擇題(共30分)一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.大荔冬棗開始采摘啦！每筐冬棗以2.4千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的千克數(shù)記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，記錄則實(shí)際質(zhì)量是（）A.2.8千克 B.2.2千克 C.2.1千克 D.2.4千克【答案】C【解析】【分析】本題考查了負(fù)數(shù)的意義，有理數(shù)的加法運(yùn)算的應(yīng)用．熟練掌握負(fù)數(shù)的意義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，故選：C．2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】此題考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的識(shí)別，軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)后與自身重合．根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．是軸對(duì)稱但不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；B．是軸對(duì)稱但不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；C．不是軸對(duì)稱，是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)不符合題意；D．既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)符合題意．故選：D．3.我國(guó)的嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功在月球背面著陸，標(biāo)志著我國(guó)已經(jīng)成功開始了對(duì)月球背面的研究，填補(bǔ)了國(guó)際空白．月球距離地球的平均距離為千米，數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，熟悉掌握科學(xué)記數(shù)法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示方法進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：，故選：B．4.下列運(yùn)算正確的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，涉及了同底數(shù)冪的除法，冪的乘方，完全平方等知識(shí)點(diǎn)，熟悉掌握運(yùn)算的法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)運(yùn)算法則逐一運(yùn)算判斷即可．【詳解】解：A．，故A錯(cuò)誤；B．，故B錯(cuò)誤；C．，故C正確；D．，故D錯(cuò)誤；故選：C．5.一元二次方程的根的情況是()A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D.沒有實(shí)數(shù)根【答案】A【解析】【分析】此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：（1）?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)；（3）?方程沒有實(shí)數(shù)根．先計(jì)算出根的判別式的值，根據(jù)的值就可以判斷根的情況．【詳解】∵一元二次方程中，，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：A．6.把分式方程化為整式方程，方程兩邊需同時(shí)乘以（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．找出最簡(jiǎn)公分母是解此題的關(guān)鍵．把分式方程化為整式方程，乘以最簡(jiǎn)公分母即可．【詳解】解：∵∴，∴方程的最簡(jiǎn)公分母是，∴把分式方程化為整式方程，方程兩邊需同時(shí)乘以即可．故選C．7.如圖，一次函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)圖象找到當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍即可得到答案．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知y隨x增大而減小，則當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，故選：A．8.《四元玉鑒》是我國(guó)古代的一部數(shù)學(xué)著作，其中記載了一個(gè)“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，倩人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準(zhǔn)與一株椽．”大意是：現(xiàn)請(qǐng)人代買一批椽，這批椽的總售價(jià)為6210文錢．如果每株椽的運(yùn)費(fèi)是3文錢，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢．試問：用6210文能買多少株椽？設(shè)用6210文能買x株椽，則符合題意的方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)單價(jià)總價(jià)數(shù)量結(jié)合少拿一株椽后剩下的椽的運(yùn)費(fèi)恰好等于一株椽的價(jià)錢，即可得出關(guān)于x的分式方程．【詳解】解：設(shè)用6210文能買x株椽，由題意得：，故選：C．9.如圖，一束平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后，其折射光線與一束經(jīng)過光心O的光線相交于點(diǎn)P，若，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、對(duì)頂角相等，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的性質(zhì)求得，再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求得，然后利用對(duì)頂角相等求解即可．【詳解】光線平行于主光軸，，，，，，．故選B．10.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝5，BC＝8，以點(diǎn)D為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，交AD于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)Q，分別以P、Q為圓心，大于PQ為半徑畫弧交于點(diǎn)M，連接DM并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)E，連接AE，恰好有AE⊥BC，則AE的長(zhǎng)為（）A.3 B.4 C.5 D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知，再利用平行四邊形的性質(zhì)即可證明，即，即可求出，最后在中，利用勾股定理即可求出AE的長(zhǎng)．【詳解】根據(jù)作圖可知DE為的角平分線，即，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，．故選B．本題考查角平分線的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理．理解題意，判斷出DE為的角平分線是解答本題的關(guān)鍵．第二部分非選擇題(共90分)二、填空題(本題共5小題，每小題3分，共15分)11.計(jì)算：___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二次根式的除法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：．故答案為：．本題考查了二次根式的除法，熟練掌握二次根式的除法法則是解題的關(guān)鍵．12.如圖，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，將線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)C坐標(biāo)是__________．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了圖形變化，旋轉(zhuǎn)，添加輔助線構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，證明，即可得到答案．【詳解】解：過點(diǎn)作軸于，過點(diǎn)作軸于，A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，，軸，軸，，線段繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，，，，在，中，，，，，，，，點(diǎn)C在第四象限，故點(diǎn)C坐標(biāo)是，故答案為：．13.在如圖所示的電路中，隨機(jī)閉合開關(guān)S1，S2，S3中的兩個(gè)，能讓燈泡L1發(fā)光的概率是______．【答案】．【解析】【詳解】解：畫樹狀圖得：∵共有6種等可能的結(jié)果，能讓燈泡L1發(fā)光的有2種情況，∴能讓燈泡L1發(fā)光的概率為：=．故答案為．點(diǎn)睛：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形的頂點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，連接，過點(diǎn)B作交x軸于點(diǎn)D，則k的值是________．【答案】【解析】【分析】本題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合、菱形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．過點(diǎn)作于點(diǎn)，先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用勾股定理可得，從而可得點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入反比例函數(shù)的解析式即可得k的值．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，，，，四邊形是菱形，，∵，四邊形是平行四邊形，，，，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，將點(diǎn)代入反比例函數(shù)得：，故答案為：．15.如圖，在等腰中，，，D為邊的中點(diǎn)，E為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度為______．【答案】或【解析】【分析】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，設(shè)與相交于F，分點(diǎn)F在D的上方和下方兩種情況討論即可．【詳解】解：設(shè)與相交于F，當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D的下方時(shí)，如圖，∵，，∴，∵D為邊的中點(diǎn)，沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，∴，，∵，∴、是等腰直角三角形，∴，，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)D的上方時(shí)，如圖，同理：、是等腰直角三角形，∴，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)度為或，故答案為：或，三、解答題(本題共8小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程)16.計(jì)算．（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算和分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則和順序是解題的關(guān)鍵．（1）先計(jì)算乘方、除法、乘法后，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的減法，再進(jìn)行除法運(yùn)算即可．【小問1詳解】【小問2詳解】．17.節(jié)能減排從我做起，只有堅(jiān)持節(jié)約發(fā)展、清潔發(fā)展、安全發(fā)展，才能實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)又好又快發(fā)展．為了節(jié)能減排，某校準(zhǔn)備購(gòu)買某種品牌的節(jié)能燈，已知4只A型節(jié)能燈和5只B型節(jié)能燈共需55元，2只A型節(jié)能燈和1只B型節(jié)能燈共需17元．（1）求1只A型節(jié)能燈和1只B型節(jié)能燈的售價(jià)各是多少元．（2）學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買這兩種型號(hào)的節(jié)能燈共300只，要求A型節(jié)能燈的數(shù)量不超過B型節(jié)能燈的數(shù)量的2倍，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出最省錢的購(gòu)買方案．【答案】（1）1只A型節(jié)能燈的售價(jià)是5元，1只B型節(jié)能燈的售價(jià)是7元（2）當(dāng)購(gòu)買A型節(jié)能燈200只，B型節(jié)能燈100只時(shí)最省錢【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)解答．（1）設(shè)1只A型節(jié)能燈的售價(jià)是x元，1只B型節(jié)能燈的售價(jià)是y元，根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以解答本題；（2）設(shè)購(gòu)買A型節(jié)能燈只，則購(gòu)買B型節(jié)能燈只，費(fèi)用為元，根據(jù)題意可以得到費(fèi)用與購(gòu)買A型號(hào)節(jié)能燈的關(guān)系式，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解答本題．【小問1詳解】解：設(shè)1只A型節(jié)能燈的售價(jià)是元，1只B型節(jié)能燈的售價(jià)是元，根據(jù)題意，得，解得，答：1只A型節(jié)能燈的售價(jià)是5元，1只B型節(jié)能燈的售價(jià)是7元．【小問2詳解】設(shè)購(gòu)買A型節(jié)能燈只，則購(gòu)買B型節(jié)能燈只，費(fèi)用為元，則，，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)．答：當(dāng)購(gòu)買A型節(jié)能燈200只，B型節(jié)能燈100只時(shí)最省錢．18.2023年10月，開州區(qū)某學(xué)校舉辦了以“莎姐守衛(wèi)”未成年學(xué)生防性侵為主題的相關(guān)知識(shí)測(cè)試．為了了解學(xué)生對(duì)“莎姐守衛(wèi)”未成年學(xué)生防性侵相關(guān)知識(shí)的掌握情況，現(xiàn)從七年級(jí)和八年級(jí)參與競(jìng)賽的學(xué)生中各隨機(jī)選出20名同學(xué)的成績(jī)進(jìn)行分析（單位：分，滿分100分），將學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)分為，，，四個(gè)等級(jí)，分別是：：，：，：，：．其中，七年級(jí)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)?yōu)椋?6，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．八年級(jí)等級(jí)的學(xué)生成績(jī)?yōu)椋?1，82，83，86，87，88，89．兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差如下表：學(xué)生平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差七年級(jí)85.28659.66八年級(jí)85.29191.76根據(jù)以上信息，解答下列問題；（1）填空：________，________，________；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為在此次知識(shí)競(jìng)賽中，哪個(gè)年級(jí)的成績(jī)更好？請(qǐng)說明理由；（一條理由即可）（3）若七年級(jí)有1000名學(xué)生參賽，八年級(jí)有900名學(xué)生參賽，請(qǐng)估計(jì)兩個(gè)年級(jí)參賽學(xué)生中成績(jī)優(yōu)秀（大于或等于90分）的學(xué)生共有多少人？【答案】（1），，（2）見解析；（3）估計(jì)兩個(gè)年級(jí)參賽學(xué)生中成績(jī)優(yōu)秀（大于或等于90分）的學(xué)生共有660人．【解析】【分析】本題考查頻數(shù)分布直方圖，用樣本估算總體，加權(quán)平均數(shù)，中位數(shù)．（1）利用中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求出和的值；利用八年級(jí)組的頻數(shù)除以20即可得的值；（2）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的角度進(jìn)行分析即可得；（3）分別利用1000和900乘以七、八年級(jí)的優(yōu)秀率即可得．【小問1詳解】解：八年級(jí)、組的頻數(shù)和為，所以將八年級(jí)20名學(xué)生的成績(jī)按從大到小排序后，第10個(gè)數(shù)和第11個(gè)數(shù)在組，分別為87，88，則其中位數(shù)，根據(jù)七年級(jí)成績(jī)可知88分的最多有3人，所以眾數(shù)為，，所以；故答案為：87.5，88，35；【小問2詳解】解：八年級(jí)的成績(jī)更好，理由如下：七、八年級(jí)的平均數(shù)相同，但八年級(jí)成績(jī)的中位數(shù)和眾數(shù)都比七年級(jí)的大，所以八年級(jí)的更好；【小問3詳解】解：（人，答：估計(jì)兩個(gè)年級(jí)參賽學(xué)生中成績(jī)優(yōu)秀（大于或等于90分）的學(xué)生共有660人．19.某品牌烤箱新增一種安全烤制模式，即在烤箱內(nèi)溫度勻速升至?xí)r烤箱停止加熱，隨后烤箱內(nèi)溫度下降至初始溫度．如圖所示的是該品牌烤箱安全烤制模式下烤箱內(nèi)溫度隨時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象．（1）求該圖象的函數(shù)表達(dá)式；（2）若食物在及以上的溫度中烤制6分鐘以上才可健康食用，請(qǐng)問該模式下烤制的食物能否健康食用？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）（2）該模式下烤制的食物可以健康食用．【解析】【分析】本題考查了待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)段的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)和點(diǎn)代入函數(shù)表達(dá)式求解即可，設(shè)段的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)和點(diǎn)代入函數(shù)表達(dá)式，確定解析式，從而求出求該圖象的函數(shù)表達(dá)式；（2）分別令，分別代入兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式中計(jì)算時(shí)間，比較判斷即可．【小問1詳解】設(shè)段的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)和點(diǎn)代入函數(shù)表達(dá)式，得，解得，段的函數(shù)表達(dá)式為．設(shè)段的函數(shù)表達(dá)式為，將點(diǎn)和點(diǎn)代入函數(shù)表達(dá)式，，解得得．段的函數(shù)表達(dá)式為．∴該圖象的函數(shù)表達(dá)式；【小問2詳解】令，即，解得，令，即，解得，（分鐘）．，該模式下烤制的食物可以健康食用．20.為了保護(hù)小吉的視力，媽媽為他購(gòu)買了可升降夾書閱讀架（如圖1），將其放置在水平桌面上的側(cè)面示意圖（如圖2），測(cè)得底座高為，，支架為，面板長(zhǎng)為，為．（厚度忽略不計(jì)）（1）求支點(diǎn)C離桌面l的高度；（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）（2）小吉通過查閱資料，當(dāng)面板繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，面板與桌面夾角α滿足時(shí)，問面板上端E離桌面l的高度是增加了還是減少了？增加或減少了多少？（精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）（2）當(dāng)α從變化到的過程中，高度增加了【解析】【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．把所求線段和所給角放在合適的直角三角形中是解決本題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，，易得四邊形為矩形，那么可得，所以，利用的三角函數(shù)值可得長(zhǎng)，進(jìn)而可求解；（2）過點(diǎn)C作，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，分別得到與所成角為和時(shí)的值，相減即可得到面板上端E離桌面l的高度增加或減少了．小問1詳解】解：過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，過點(diǎn)B作于點(diǎn)M，，由題意得：，四邊形為矩形，．，．，．，答：支點(diǎn)C離桌面l的高度為；【小問2詳解】解：過點(diǎn)C作，過點(diǎn)E作于點(diǎn)H，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，∴當(dāng)α從變化到的過程中，面板上端E離桌面l的高度是增加了．21.如圖，為直徑，C，D為上兩點(diǎn)，且，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：是的切線；（2）若，求的半徑．【答案】（1）見解析（2）的半徑【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)垂直定義可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知可得，從而可得，然后利用同弧所對(duì)的圓周角定理可得，從而可得，進(jìn)而可得，最后利用平行線的性質(zhì)即可解答；（2）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)、圓周角定理推出，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】證明：如圖，連接，，，，，，，，，，，，，，是的半徑，是的切線；【小問2詳解】如圖，連接，是的直徑，，，，，，，又，，，，，，，，，，，，，，，，的半徑為．本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)，以及圓周角定理是解題的關(guān)鍵．22.【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下問題：如圖1，在等腰中，，點(diǎn)D在邊上，連接，將線段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．求證：．①如圖2，小明同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出如下解題思路：在上截取連接，將線段與之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段與之間的數(shù)量關(guān)系．②如圖3，小亮同學(xué)從條件的角度出發(fā)，過E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，將線段與之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段與之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程．【類比分析】（2）李老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將要證明的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，為了幫助學(xué)生更好地感悟轉(zhuǎn)化思想，李老師將圖1進(jìn)行變換，并提出下面的問題，請(qǐng)你解答．如圖4，在等腰中，點(diǎn)D在邊上，連接，將線段繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接交邊于點(diǎn)F，求證：．【類比分析】（3）如圖5，在矩形中，，點(diǎn)E、F分別在邊上，，連接，求線段的長(zhǎng)．【答案】（1）兩種證明見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】本題考查了全等三角形判定與性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、相似三角形判定與性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，（1）①證明即可證明結(jié)論，②證明即可證明