高三一輪總復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)課時跟蹤檢測84直線與圓圓與圓的位置關(guān)系

[課時跟蹤檢測][基礎(chǔ)達標]1．(2018屆撫順模擬)直線ax－y＋eq\r(2)a＝0(a≥0)與圓x2＋y2＝9的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．相切或相離解析：直線ax－y＋eq\r(2)a＝0(a≥0)可化為y＝a(x＋eq\r(2))，直線ax－y＋eq\r(2)a＝0過定點(－eq\r(2)，0)，而(－eq\r(2)，0)滿足2＋02＜9，點(－eq\r(2)，0)在圓x2＋y2＝9內(nèi)，所以直線與圓相交．答案：A2．(2017屆湖南長沙一模)圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為()A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離解析：兩圓心的距離為eq\r(17)，∵1<eq\r(17)<5，即|r1－r2|<d<r1＋r2，∴兩圓相交．答案：B3．(2018屆沈陽模擬)直線x－3y＋3＝0與圓(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得弦長為()A.eq\r(30) B.eq\f(5\r(3),2)C．4eq\r(2) D．3eq\r(3)解析：圓(x－1)2＋(y－3)2＝10的圓心坐標為(1,3)，半徑r＝eq\r(10)，圓心到直線x－3y＋3＝0的距離d＝eq\f(|1－9＋3|,\r(10))＝eq\f(5,\r(10))，故弦長為2eq\r(10－\f(25,10))＝eq\r(30)，故選A.答案：A4．(2017屆山東青島一模)已知點P(x，y)是直線kx＋y＋4＝0(k>0)上一動點，PA，PB是圓C：x2＋y2－2y＝0的兩條切線，A，B為切點，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為()A．4 B．3C．2 D.eq\r(2)解析：圓C的方程可化為x2＋(y－1)2＝1，因為四邊形PACB的最小面積是2，則此時切線長為2，故圓心(0,1)到直線kx＋y＋4＝0的距離為eq\r(5)，即eq\f(5,\r(1＋k2))＝eq\r(5)，解得k＝±2，又k>0，所以k＝2.答案：C5．(2017屆廣州一模)直線x－eq\r(3)y＝0截圓(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所對的圓心角是()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,2) D.eq\f(2π,3)解析：畫出圖形，如圖，圓心(2,0)到直線的距離為d＝eq\f(|2|,\r(12＋\r(3)2))＝1，∴sin∠AOC＝eq\f(d,|OC|)＝eq\f(1,2)，∴∠AOC＝eq\f(π,6)，∴∠CAO＝eq\f(π,6)，∴∠ACO＝π－eq\f(π,6)－eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3).答案：D6．(2016年山東卷)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離解析：圓M：x2＋y2－2ay＝0的圓心M(0，a)，半徑為a，所以圓心M到直線x＋y＝0的距離為eq\f(|a|,\r(2)).由直線x＋y＝0被圓M截得的弦長為2eq\r(2)，知a2－eq\f(a2,2)＝2，故a＝2，即M(0,2)且圓M的半徑為2.又圓N的圓心N(1,1)，且半徑為1，根據(jù)1<|MN|＝eq\r(2)<3知兩圓相交．故選B.答案：B7．(2017屆河北正定中學(xué)月考)直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－1＝0有兩個不同交點的一個充分不必要條件是()A．0<m<1 B．－4<m<2C．m<1 D．－3<m<1解析：圓的方程化為(x－1)2＋y2＝2，直線x－y＋m＝0與圓x2＋y2－2x－1＝0有兩個不同交點的充要條件是圓心到直線的距離d＝eq\f(|1＋m|,\r(2))<eq\r(2)，所以－3<m<1.所以直線與圓有兩個不同交點的一個充分不必要條件是{m|－3<m<1}的子集．故選A.答案：A8．(2017屆湖北武漢調(diào)研)圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直線和兩坐標軸所圍成圖形的面積為()A．1 B．2C．4 D．8解析：圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直線的方程為x－y＋2＝0，它與兩坐標軸分別交于(－2,0)，(0,2)，所以直線和兩坐標軸所圍成圖形的面積為eq\f(1,2)×2×2＝2.故選B.答案：B9．(2018屆陜西模擬)若P(2，－1)為圓(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程是______________．解析：記題中圓的圓心為C，則C(1,0)，因為P(2，－1)是弦AB的中點，所以直線AB與直線CP垂直，易知直線CP的斜率為－1，所以直線AB的斜率為1，故直線AB的方程為x－y－3＝0.答案：x－y－3＝010．若圓x2＋y2＋mx－eq\f(1,4)＝0與直線y＝－1相切，其圓心在y軸的左側(cè)，則m＝________.解析：圓的標準方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(m2＋1),2)))2，圓心到直線y＝－1的距離eq\f(\r(m2＋1),2)＝|0－(－1)|，解得m＝±eq\r(3)，因為圓心在y軸的左側(cè)，所以m＝eq\r(3).答案：eq\r(3)11．(2018屆南寧高三摸底)已知圓(x－a)2＋y2＝4截直線x－y－4＝0所得的弦的長度為2eq\r(2)，則a＝________.解析：由題意知，圓心為(a,0)，半徑為2，圓心到直線y＝x－4的距離為eq\f(|a－4|,\r(2)).因為弦長為2eq\r(2)，所以eq\f(|a－4|,\r(2))＝eq\r(22－\r(2)2)，解得a＝2或a＝6.答案：2或612．已知圓C經(jīng)過點A(2，－1)，和直線x＋y＝1相切，且圓心在直線y＝－2x上．(1)求圓C的方程；(2)已知直線l經(jīng)過原點，并且被圓C截得的弦長為2，求直線l的方程．解：(1)設(shè)圓心的坐標為C(a，－2a則eq\r(a－22＋－2a＋12)＝eq\f(|a－2a－1|,\r(2)).化簡，得a2－2a＋1＝0，解得a∴C(1，－2)，半徑r＝|AC|＝eq\r(1－22＋－2＋12)＝eq\r(2).∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2.(2)①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝0，此時直線l被圓C截得的弦長為2，滿足條件．②當直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y＝kx，由題意得eq\f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq\f(3,4)，∴直線l的方程為y＝－eq\f(3,4)x.綜上所述，直線l的方程為x＝0或3x＋4y＝0.13．已知⊙O方程為x2＋y2＝4，定點A(4,0)，求過點A且和⊙O相切的動圓圓心的軌跡方程．解：解法一：設(shè)動圓圓心為P(x，y)，因為動圓過定點A，所以|PA|即為動圓半徑．當動圓P與⊙O外切時，|PO|＝|PA|＋2；當動圓P與⊙O內(nèi)切時，|PO|＝|PA|－2.綜合這兩種情況，得||PO|－|PA||＝2.將此關(guān)系式坐標化，得|eq\r(x2＋y2)－eq\r(x－42＋y2)|＝2.化簡可得(x－2)2－eq\f(y2,3)＝1.解法二：由解法一可得動點P滿足幾何關(guān)系||OP|－|PA||＝2，即P點到兩定點O、A的距離差的絕對值為定值2，所以P點軌跡是以O(shè)、A為焦點，2為實軸長的雙曲線，中心在OA中點(2,0)，實半軸長a＝1，半焦距c＝2，虛半軸長b＝eq\r(c2－a2)＝eq\r(3)，所以軌跡方程為(x－2)2－eq\f(y2,3)＝1.14．求過點A(0,6)且與圓C：x2＋y2＋10x＋10y＝0切于原點的圓的方程．解：將圓C化為標準方程，得(x＋5)2＋(y＋5)2＝50，則圓心為C(－5，－5)，半徑為5eq\r(2).所以經(jīng)過此圓心和原點的直線方程為x－y＝0.設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.由題意，知O(0,0)，A(0,6)在此圓上，且圓心M(a，b)在直線x－y＝0上，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0－a2＋0－b2＝r2，,0－a2＋6－b2＝r2，,a－b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3，,r＝3\r(2).))于是所求圓的方程是(x－3)2＋(y－3)2＝18.15．判斷下列兩圓的位置關(guān)系，如果兩圓相交，請求出公共弦的方程．(1)(x＋2)2＋(y－2)2＝1與(x－2)2＋(y－5)2＝16；(2)x2＋y2＋6x－7＝0與x2＋y2＋6y－27＝0.解：(1)根據(jù)題意，得兩圓的半徑分別為r1＝1和r2＝4，兩圓的圓心距d＝eq\r([2－－2]2＋5－22)＝5.因為d＝r1＋r2，所以兩圓外切．∴無公共弦．(2)將兩圓的方程化為標準方程，得(x＋3)2＋y2＝16，x2＋(y＋3)2＝36.故兩圓的半徑分別為r1＝4和r2＝6，兩圓的圓心距d＝eq\r(0－32＋3－02)＝3eq\r(2).因為|r1－r2|<d<r1＋r2，所以兩圓相交．兩圓的公共弦方程為6x－6y＋20＝0即3x－3y＋10＝0.[能力提升]1．(2017屆浙江嘉興質(zhì)檢)已知直線l：xcosα＋ysinα＝2(α∈R)，圓C：x2＋y2＋2xcosθ＋2ysinθ＝0(θ∈R)，則直線l與圓C的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．與α，θ有關(guān)解析：圓C：x2＋y2＋2xcosθ＋2ysinθ＝0(θ∈R)，即(x＋cosθ)2＋(y＋sinθ)2＝1(θ∈R)的圓心C的坐標為(－cosθ，－sinθ)，半徑為r＝1.圓心C到直線l：xcosα＋ysinα＝2(α∈R)的距離d＝eq\f(|－cosθcosα－sinθsinα－2|,\r(cos2α＋sin2α))＝2＋cos(θ－α)．當cos(θ－α)＝－1時，d＝r，直線l和圓C相切；當－1<cos(θ－α)≤1時，d>r，直線l和圓C相離，故選D.答案：D2．(2017屆福建福州質(zhì)檢)若直線x－y＋2＝0與圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A，B兩點，則eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))的值為()A．－1 B．0C．1 D．6解析：聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－32＋y－32＝4，,x－y＋2＝0，))消去y，得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A(1,3)，B(3,5)．又C(3,3)，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(－2,0)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(0,2)．∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－2×0＋0×2＝0.答案：B3．已知過點A(3,1)的直線l與圓C：x2＋y2－4y＝1相切于點B，則eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝________.解析：由x2＋y2－4y－1＝0可知圓C為圓心C(0,2)，半徑r＝eq\r(5)，∴|AC|＝eq\r(3－02＋1－22)＝eq\r(10)，∴|AB|＝eq\r(10－5)＝eq\r(5)，∴∠ACB＝45°，故eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\r(10)×eq\r(5)×cos45°＝5.答案：54．(2017屆寧夏銀川一中檢測)過點M(1,2)的直線l與圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝25交于A，B兩點，當∠ACB最小時，直線l的方程是________．解析：依題意得知，當∠ACB最小時，圓心C到直線l的距離達到最大，此時直線l與直線CM垂直，又直線CM的斜率為1，因此所求的直線l的方程是y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝05．(2017屆湖南省東部六校聯(lián)考)已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方．(1)求圓C的方程；(2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點N，使得x軸平分∠ANB？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)設(shè)圓心C(a,0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>－\f(5,2)))，則eq\f(|4a＋10|,5)＝2，解得a＝0或a＝－5(舍)．所以圓C：x2＋y2＝4.(2)如圖，當直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB.當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\