2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽貴州省預賽試題及答案

2016年全國高中數(shù)學聯(lián)賽貴州省預賽試題及答案

一.選擇題（每小題5分，共30分）

(1)若集合d={x-X-12W0},B=.xI<0?。={x且x任B},則

集合C=(D)

(A)[-3,-l)U(l，4](B)[-3,-l]U(l?4]

(C)[-3,-l)(j[l，4](D)[一3,-1]11[1，4]

解：

依題意，d={x|x?-x-12近0}=[-3,4],B=\x|—<0[=(-1,1).

x-1

由xw/,知-3W^4；B,知M-1或.

所以，-3&W-1或1&W4,即0=[-3,-1]141，4].

（2）若函數(shù)/（.D=[x?-2X-4，XW3'（。>0,且）的值域為[3,十功，則實數(shù)。的

2+logax,x>3,

取值范圍為（A）

(A)(1,3]

(C)(3,+oc)

解：

當M3時，函數(shù)“X)

當工>3時，2+logax>3,即x>3時，logax>l=logaa

（第3

o>1,且x>3時，x2a恒成立|

〈廬3,a的取值范圍為H,3].

J

（3）如圖，在四面體尸-4BC中，已知P4、PB、PC兩兩互相垂直，且尸.4=尸8=PC=3.

則在該四面體表面上與點d距離為2出的點形成的曲線段的總長度為（B）

（A）岳（B）巫n（C）氈萬（D）3后

22

解：（B）

如圖.^AE=AF=AG=14i（E在48上，尸在P8上，G在PC上）.

由&_LP8,PA上PC,PB1PC,PA=PB=PC=3,

知PF=PG=4i，^PAF=-,AEAF=---=—.

64612

二在面PdB內(nèi)與點4距離為2君的點形成的曲線段（圖中弧Ef）長為

三x2^W.

126

同理，在面尸.4。內(nèi)與點4距離為2瓜的點形成的曲線段長為立力.

6

同理，在面dBC內(nèi)與點Z距離為2出的點形成的曲線段長為

l43=—.

3x23

同理,在面尸8C內(nèi)與點X距離為2出的點形成的曲線段長為石=4.

所以.該四面體表面上與點.4距離為2點的點形成的曲線段的總長度為士史.

（4）AABC中，"A<5<C”是“cos2d>cos25>cos2C”的（C）

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（O充分必要條件（D）既不充分也不必要條件

解：（C）

A<B<C=a<bvc=sin,4<sin5<sinC

01-20--4>l-2sin:B>1-2sin2C=cos2J>cos25>cos2C.

2

(5)已知函數(shù)f(x)=2016'+log2016(Vx+1+x)-2016f+2,則關(guān)于x的不等式/(3x+l)+/(x)>4的

解集為()

A.B.C.D.

解法1令g(x)=/(x)-2,則函數(shù)g(x)為奇函數(shù)且在實數(shù)上為增函數(shù)，

不等式轉(zhuǎn)化為g(3x+l)+g(x)>0=g(3x+l)>g(-x)<=>3x+l>-x

解法二：>,=/(“)關(guān)于(0,2)中心對稱且在實數(shù)上為增函數(shù)3x-l+x>onx>—2.

4

(6)記A/(X，KZ)為x.y.z三個數(shù)中的最小數(shù)，若二次函數(shù)/(x)=ax2+bx+c(a,b,c>0)有零點，

則.匕.巴心)的最大值為(B)

abc

(A)2(B)-|(C)-(D)1

42

M.(B)

可以不妨設a262c>0.因為成，所以。22/24比，故一W1.0<上W2

aa4

cc+a(b-a)(a+b+c)―b+ca+b(c-a)(a+b+c)一

所以----------=--------------W0.----------=--------------W0.

ababacac

所以Af(也土2)="Qwi+1=工(當且僅當a=6=4c>0時取等號)

abca44

填空題(每小題8分，共64分)

(7)數(shù)學競賽后，小明、小樂和小強各獲得一枚獎牌，其中一人得金牌，一人得銀牌，

一人得銅牌.老師猜測：“小明得金牌,小樂不得金牌，小強得的不是銅牌.”結(jié)果老

師只猜對了一個，由此推斷：得金牌、銀牌、銅牌的依次是小樂，小強，小明.

(8)省中醫(yī)院3月1號至5月3號擬安排6位醫(yī)生值班，要求每人值班1天，每天安排

2人.若6位醫(yī)生中的甲不能值2號，乙不能值3號，則不同的安排值班的方法共有

____種.

解：分兩類

(1)甲、乙同一天值班，則只能排在1號，有。；=6種排法；

(2)甲、乙不在同一天值班，有。；。卜3=36種排法，

故共有42種方法.

(9)已知函數(shù)f(x)=-ox+a-l,aGR?若對于任意的ae(0,4),存在使得

成立，則t的取值范圍為?

解.0

解法一：函數(shù)/(.X)視作為a的函數(shù)/(a)=(l-初。+(x+l)]

問題等價于對于Vaw(0,4],f〈|/(a)|

由于xt[0,2],所以"(a)1mM=*-4X+3|

所以問題等價于玄€血2],區(qū)|/(。)」=|￡—4》+3]

即岡/-4工+3|皿，所以Wl.

解法二：由題意得/(x)=(x+a-lXx-l)

對于％e[0,2]則只需rWmax{|a-l|,|3-a|,|--a2+a-l|)

4

^^(o)=max(|a-l|.|3-a|.|--a:+a-l|}

4

此時g(a)111n=1

所以對于Waw(0,4)只需Wg(a)由，所以fWl.

解法三，若對任意的ae(0,4),存在/e[0,2]使得W|/(%)|

當fW0時符合條件；

當7>0時等價于若對任意的ae(0.4),存在.qc[0,2]使得或/(x/W—r.

若fW/(3)則因為aw(0,4),所以^€(0").

所以函數(shù)/(xK2—6+。-1在(0t)為減函數(shù)，在弓,2)為增函數(shù)

所以當ae(0,2]時,，W3—a進而有0<Wl；

當ae(24)時，？Wa—l進而有：0<rWl；

所以0<r$L

②若1AM°)W-f,則W——a+1.

4

所以Vaw(0.4)應有：，WO這與1>0矛盾，舍去.

綜上：WL

(10)已知a>0,b>Q,a3+b3=l.則a+b的取值范圍為.

解：(1.V4]

由0<a辰(0了)及]=<?+/=(a+》)(a，-ab+b，)=(a+b)[(a+b)--3ab]

有l(wèi)(a+b)3w<(a+b)3,所以l<a+bWW.

4

(11)已知/(X)是偶函數(shù)，后0時，/(x)=x-[.x|(符號"]表示不超過X的最大整數(shù))，若關(guān)

于X的方程/(x)=h+左(k>0)恰有三個不相等的實根,則實數(shù)上的取值范圍為

作出函數(shù)J=/(K)與%無T+k的草圖(如圖所示).

易知直線「=匕+￡恒過點(-1,0),x=-1是方程/(X)=fct+R的一個根.

從圖像可知，

當上匕WA<上匕，即［時，兩個函數(shù)的圖像恰有三個不同的交點.

2-(-1)1-(-1)32

???左的取值范圍為

(12)已知點戶為橢圓工+4=l(a>b>0)的右焦點，橢圓的離心率為立，過點廠的直線/交

a"fr2

橢圓于43兩點(點4在工軸的上方)，且工了=3萬，則直線/的斜率為.

解：—>/2.

極點在右焦點的極坐標方程為P=一里一，

l+ecos6

所以|/尸|=—空一,|BF|=—空---

l+ecos6l-ecos6

從而一空一=-解一,可得cos6=-且，tan<9=->/2,

1+ecos^1-e8s63

所以直線/的斜率為-五.

(13)方程2(x+lXy+l)-l=.q，z(x<y)的正整數(shù)解(x,y,z)為(寫

出所有可能的情況).

解:(1,3,5),(3,7,3).

2xy+2x+2v+1=xyz.

/.xy|(2xy+2x+2y+1),/.xyr\(2x+2y+1),qW2x++1.

由x<y,知x+因此，2x+2r+l<4y.

x<4,x=L2,3

若x=l,則y|(2y+3),y|3,v=3.

將x=l,》=3代入題中方程，得15=3z,z=5.

若x=2,則2y|(2j，+5),2>?|5.由>2知，》不存在.

若x=3,貝!)3j|(2'+7).以，3yW2y+7,又y>3,因此，y=4,5,6,7.

經(jīng)驗證只有y=1符合3y|(2y+7).

將x=3,y=7代入題中方程，得63=21z,z=3.

，符合條件的正整數(shù)解有(x,y,z)=(1,3,5)或(3,7,3).

(14)一個有限項的數(shù)列滿足：任何3個連續(xù)項之和都是負數(shù)，且任何4個連續(xù)項之和

都是正數(shù)，則此數(shù)列項數(shù)的最大值為.

解：5

一方面可以構(gòu)造5項的數(shù)列：2,2,-5,2,2符合題設：

另一方面，證明滿足條件的數(shù)列不超過5項.

否則取出前6項，作出如下排列：

生,%q

w：色

由每行的和為負數(shù)，知這12個數(shù)之和為負數(shù)：

由每列的和為正數(shù)，知這12個數(shù)之和為正數(shù).

矛盾.

三.解答題(共56分)

(15)(本小題16分)

已知函數(shù)g(x)=(a+l)A2+i(a>o)的圖象恒過定點力,且點4又在函數(shù)

/(X)=log.O-Q)的圖象上.

(I)求實數(shù)a的值I

(II)當方程|g(x+2)-2|=2b有兩個不等實根時.求b的取值范圍；

_]]

(III)設a”=g(〃+2).i>=—---.neN*>求證t"+b、+b3T----i-bn<—,(weN

4%,3

解：

(I)函數(shù)g(x)的圖像恒過定點d,A點的坐標為(2,2)

又因為d點在/(x)上，則/(2)=log^(2+a)=2

即2+a=3,;.a=l

(II)|g(x+2)-2|=2b即忙+1-2|=2,.-.|2x-l|=2b

故b的取值范圍為；0,；］.

由圖像可知：0<2b<l,

211

(ni)4=2"+i&

(2"+lX2-*1+l)2"+l2+

,,,.111

(16)(本小題20分)

22.

如圖，橢圓。：最■+5=l(a>b>0)的離心率6=短軸的兩個端點分別為鳳，區(qū),焦點為

小外,四邊形石與外約的內(nèi)切圓半徑為中.

(I)求橢圓C的方程；

(II)過左焦點石的直線交橢圓于M,N兩點，交直線x=-4于點尸，設

用7=2標.西=〃麗.試證2+〃為定值，并求出此定值.

2)如圖所示，|

設四邊形6耳用用的內(nèi)切圓與邊國出的切點為G,一

連接OG,|OG|=^.「

由Sw&K=\\OB:\-\OF2\=^\B2F2\-\OG\,\OB2\=b,\OF2\=C,\B2F2]=a.

得be-孚a.

又0=￡=L.〃=Zr+c?.解得a=2.b=舊.

a2'

22

故橢圓。的方程為C:9+凸=L

(n)根據(jù)巳知條件，可設直線A￡V的方程為J=￡(x+1),

代入橢圖方程，整理得(3+4及2)1+8￡、+4(4：-3)=0.

設M(Xj,'),N{x.,y2),則x1+x2=一弟/，再毛=f)-

又P(—4,一3火)，石(一L0),由市=Z說,PN=/2NF\,

得…嘉…黑

2xzxz+5(X]+X])+8

(Xi+lXXj+l)

?.?2演三+5(演+三)+8=2?^^+5-(一^^)+8

JI,4rC

8次：一24—40*2+24+32左：

=0

3+4丁,

/.2+4=0為定值.

(17)(本小題20分)

2

已知函數(shù)/(X)=—,直線I，=Lr為曲線y=/(X)的切線.

e”e

(1)求實數(shù)a的值；

(II)用min{用,”}表示m.”中的最小值，設函數(shù)g(x)=min{/(.t).x-L}(x>0),若函數(shù)

x

力(x)=g(x)-cd為憎函數(shù)，求實數(shù)C的取值范圍?

解:

2xex-x2ex_x(2-x)

對/(x)求導得r(x)=a

(1)(e、y~aex

設直線j=Lx與曲線尸=f(x)切于點P(x0,y0),則

e

LQ.*二々)

.ee"

解得a=x0=l.所以。的值為i.

1V-1

(II)記函數(shù)尸(x)=f(x)-(x-2)=、-x+±.x>0,下面考察函數(shù)y=F(x)的符號.

xex

對函數(shù)v=F(.x)求導得尸(x)=坐N一1一義.x>o.

ex

當x22時尸XDvO恒成立.

當0<x<2時，X(2-X)^[V~(；~A-]2=1.

從而廣(x)=^^-l-LwL-l-4<1-1-3=一乙<0.

ex犬exx2x2x2

二尸'(x)<0在(0,+8)上恒成立.故y=F(x)在(0,+x)上單調(diào)遞減.

J

143

???F(l)=->O.F(2)=—一一<0,F(l)-F(2)<0.

ee2

又曲線j=F(x)在［1,2］上連續(xù)不間斷,所以由函數(shù)的零點存在性定理及其單調(diào)性知

三惟一的％e(L2),使尸(.q)=0

?*.xe(O.xo).F(x)>0;xe(x0.-t-oc).F(x)<0.

g(x)=min{/(x),x——}=<

—X>X

e}0