蘇教版高數(shù)選修2-3第5講：二項(xiàng)分布(教師版)

二項(xiàng)分布____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型.3.熟練掌握二項(xiàng)分布及其公式.4.能利用二項(xiàng)分布解決簡單的實(shí)際問題.1.條件概率(1)條件概率的定義：一般地，若有兩個(gè)事件A和B，在已知事件B發(fā)生的條件下考慮事件A發(fā)生的概率，則稱此概率為B已發(fā)生的條件下A的條件概率，記為P(A|B).(2)條件概率的公式：P(A|B)=P(B)>0(有時(shí)P(AB)也記作P(AB)，表示事件A、B同時(shí)發(fā)生的概率).2.兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性(1)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，對于等可能性事件的情形可以一般地給予證明.設(shè)甲試驗(yàn)共有種等可能的不同結(jié)果，其中屬于A發(fā)生的結(jié)果有種，乙試驗(yàn)共有種等可能的不同結(jié)果，其中屬于B發(fā)生的結(jié)果有種.由于事件A與B相互獨(dú)立，這里的種數(shù)與之間互相沒有影響.那么，甲、乙兩試驗(yàn)的結(jié)果搭配在一起，總共有種不同的搭配，顯然，這些搭配都是具有等可能性的.現(xiàn)在考察屬于事件AB的試驗(yàn)結(jié)果.顯然，凡屬于A的任何一種甲試驗(yàn)的結(jié)果同屬于B的任何一種乙試驗(yàn)的結(jié)果的搭配，都表示A與B同時(shí)發(fā)生，即屬于事件AB，這種結(jié)果總共有種，因此得所以P(AB)=P(A)·P(B).(2)一般地，可以證明，事件A與B(不一定互斥)中至少有一個(gè)發(fā)生的概率可按下式計(jì)算：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).特別地，當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，P(AB)=0，于是上式變?yōu)镻(A+B)=P(A)+P(B).(3)如果事件A與B相互獨(dú)立，則事件A與，與B，與也都相互獨(dú)立.3.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)一般地，由n次試驗(yàn)構(gòu)成，且每次試驗(yàn)相互獨(dú)立完成，每次試驗(yàn)的結(jié)果僅有兩種對立的狀態(tài)，即A與，每次試驗(yàn)中P(A)=p>0，我們將這樣的試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，也稱為伯努利試驗(yàn).4.二項(xiàng)分布若隨機(jī)變量X的分布列為P(X=k)=其中0<p<1，p+q=1，k=0，1，2，…，n，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，記作X~B(n，p).5.二項(xiàng)分布公式在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k(0≤k≤n)次的概率為k=0，1，2，…，n，它恰好是的二項(xiàng)展開式中的第k+1項(xiàng).其中每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，即P(A)=p，P()=1-p=q.類型一.條件概率例1：拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若已知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3，則出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率為________.[答案][解析]令點(diǎn)數(shù)不超過3為事件A，點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)為事件B，則P(AB)=又P(A)所以練習(xí)1：從一副不含大小王的52張撲克牌中不放回地抽取2次，每次抽1張.已知第1次抽到A，求第2次也抽到A的概率.[答案][解析]設(shè)第1次抽到A為事件M，第2次抽到A為事件N，兩次都抽到A為事件MN，從52張撲克牌中不放回地抽2張的事件總數(shù)為2652，由分步計(jì)數(shù)原理，事件M的總數(shù)為故P(M)事件MN的總數(shù)為故P(MN)由條件概率公式，得類型二.兩個(gè)事件的相互獨(dú)立性例2：制造一種零件，甲機(jī)床的正品率是0.96，乙機(jī)床的正品率是0.95，從它們制造的產(chǎn)品中各任抽一件.(1)兩件都是正品的概率是多少？(2)恰有一件正品的概率是多少？[解析]分別用A，B表示從甲、乙機(jī)床的產(chǎn)品中抽得正品.由題意知A，B是相互獨(dú)立事件.(1)P(AB)=P(A)·P(B)=0.96×0.95=0.912；(2)(1-0.96)×0.95+0.96×(1-0.95)=0.086.練習(xí)1：袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是()A.互斥事件 B.相互獨(dú)立事件 C.對立事件 D.不相互獨(dú)立事件若上題中的“不放回”改為“有放回”，則A與B是()[答案]Ｄ，Ｂ[解析]由題意知P(A)=，P(B)=，用AB表示第一次摸得白球且第二次也摸得白球.則P(AB)而P(A)·P(B)≠P(AB)，故A與B，是不相互獨(dú)立事件；若改為有故回地摸球，則P(A)=，P(B)=P(AB)故P(A)·P(B)=P(AB)，所以A與B是相互獨(dú)立事件類型三.n個(gè)事件相互獨(dú)立例3：有三種產(chǎn)品，合格率分別是0.90，0.95和0.95，從中各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn).(1)求恰有一件不合格的概率；(2)求至少有兩件不合格的概率(結(jié)果都精確到0.001).[解析]設(shè)從三種產(chǎn)品中各抽取一件，抽到合格產(chǎn)品的事件分別為A、B和C.(1)P(A)=0.90，P(B)=P(C)=0.95，則因?yàn)槭录嗀、B、C相互獨(dú)立，所以恰有一件不合格的概率為2×0.90×0.95×0.05+0.10×0.95×0.95≈0.176.(2)至少有兩件不合格的概率為0.90×0.05×0.05+2×0.10×0.05×0.95+0.10×0.05×0.05=0.012.故至少有兩件不合格的概率為0.012.練習(xí)1：甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員分別進(jìn)行一次投籃，如果兩人投中的概率都是0.6，計(jì)算：(1)兩人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率；(3)至少有一人投中的概率.[解析](1)設(shè)事件A為“甲投籃一次，投中”，事件B為“乙投籃一次，投中”，則事件AB為“兩人各投籃一次，都投中”.由題意知，事件A與B相互獨(dú)立，則所求概率為P(AB)=P(A)·P(B)=0.6×0.6=0.36.(2)所求概率為：=0.6×(1-0.6)+(1-0.6)×0.6=0.48.(3)事件“兩人各投籃一次，至少有一人投中”的對立事件“兩人各投籃一次，均未投中”的概率是(1-0.6)×(1-0.6)=0.16.因此,至少有一人投中的概率為：1-0.16=0.84.類型四.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及二項(xiàng)分布例4：某一種玉米種子，如果每一粒發(fā)芽的，概率為0.9.播下五粒種子，則其中恰有兩粒末發(fā)芽的概率約是()A.0.07 B.0.27 C.0.30 D.0.33[答案]A[解析]相當(dāng)于做5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).練習(xí)1：某射擊手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8，現(xiàn)在連續(xù)射擊4次，求擊中目標(biāo)次數(shù)X的概率分布表.[解析]本題是一個(gè)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)問題，其擊中目標(biāo)的次數(shù)X的概率分布屬二項(xiàng)分布，可直接由二項(xiàng)分布公式得出.在獨(dú)立重復(fù)射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)X服從二項(xiàng)分布X～B(n，p).由已知，n=4，p=0.8，P(X=k)k=0，1，2，3，4，所以P(X=0)=P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=所以，X的概率分布表為：Ｘ０１２３４Ｐ0.00160.02560.15360.40960.4096類型五.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和二項(xiàng)分布的應(yīng)用例5：某排球隊(duì)參加比賽，每場比賽取勝的概率均為80%，計(jì)算：(1)5場比賽中恰有4場勝出的概率；(2)5場比賽中至少有4場勝出的概率.[解析](1)記“比賽1場，結(jié)果勝出”為事件A，比賽5場相當(dāng)于做5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生k次的概率公式，5場比賽中恰有4場勝出的概率，即5場比賽中恰有4場勝出的概率約為0.41.(2)5場比賽中至少有4場勝出的概率，就是5場比賽中恰有4場勝出的概率與5場比賽都勝出的概率的和，即0.74.即5場比賽中至少有4場勝出的概率約為0.74.練習(xí)1：某人射擊5次，每次中靶的概率均為0.9.求他至少有2次中靶的概率.[解析]在5次射擊中恰好有2次中靶的概率為在5次射擊中恰好有3次中靶的概率為在5次射擊中恰好有4次中靶的概率為在5次射擊中5次均中靶的概率為至少有2次中靶的概率為0.0081+0.0729+0.32805+0.59049=0.99954.1.甲射擊命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,2)，乙命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,3)，丙命中目標(biāo)的概率是eq\f(1,4).現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3) C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,10)[答案]A2.面幾種概率是條件概率的是()A.甲、乙兩人投籃命中率分別為0.6，0.7，各投籃一次都投中的概率B.甲、乙兩人投籃命中率分別為0.6，0.7，在甲投籃一次投中的條件下乙投籃一次命中的概率C.有10件產(chǎn)品其中3件次品，抽2件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，恰好抽到一件次品的概率D.小明上學(xué)路上要過四個(gè)路口，每個(gè)路口遇到紅燈的概率都是則小明在一次上學(xué)中遇到紅燈的概率[答案]B3.下列說法正確的是()A.P(A|B)=P(B|A) B.0<P(B|A)<1C.P(AB)=P(A)·P(B|A) D.P(AB|A)=P(B)[答案]C4.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)應(yīng)滿足的條件是：①每次試驗(yàn)之間是相互獨(dú)立的；②每次試驗(yàn)只有發(fā)生與不發(fā)生兩種結(jié)果；③每次試驗(yàn)中發(fā)生的機(jī)會是均等的；④每次試驗(yàn)發(fā)生的事件是互斥的.其中正確的是()A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④[答案]C5.某一試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則在n次試驗(yàn)中發(fā)生k次的概率為()A. B. C. D.[答案]D6.4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為()A. B. C. D.[答案]C7.從20名男同學(xué)，10名女同學(xué)中任選3名參加體能測試，則選到的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的概率為()A. B. C. D.[答案]D8.籃球運(yùn)動(dòng)員在三分線投球的命中率是他投球10次，恰好投進(jìn)3個(gè)球的概率為________.(用數(shù)值作答)[答案]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基礎(chǔ)鞏固1.（2014新課標(biāo)全國卷Ⅱ）某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45[答案]A2.設(shè)隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)等于()A.eq\f(5,16) B.eq\f(3,16) C.eq\f(5,8) D.eq\f(3,8)[答案]A3.某籃球隊(duì)員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為eq\f(16,25)，則該隊(duì)員每次罰球的命中率為________．[答案]eq\f(3,5)4.有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機(jī)抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為________．[答案]0.725.設(shè)隨機(jī)變量X～B則P(X=3)為()A. B. C. D.[答案]A6.某人參加一次考試，4道題中解對3道則為及格，已知他的解題正確率為0.4，則他能及格的概率是()A.0.18 B.0.28 C.0.37 D.0.48[答案]A7.把10枚骰子全部投出，記出現(xiàn)6點(diǎn)的骰子個(gè)數(shù)為則P(≤2)等于()A. B.C. D.以上都不對[答案]B8.有5粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均是98%，在這5粒種子中恰有4粒發(fā)芽的概率是()A. B. C. D.[答案]C能力提升1.設(shè)隨機(jī)變量X～B(2，p)，Y～B(4，p)，若P(X≥1)＝eq\f(5,9)，則P(Y≥2)的值為()A.eq\f(32,81) B.eq\f(11,27) C.eq\f(65,81) D.eq\f(16,81)[答案]B2.口袋里放有大小相等的兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，有放回地每次摸取一個(gè)球，定義數(shù)列{an}：an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1，第n次摸取紅球，,1，第n次摸取白球，))如果Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，那么S7＝3的概率為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(5) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(5)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(5) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(5)[答案]B3.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80.現(xiàn)有5人接種了該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為________.(精確到0.01)[答案]0.944.三人獨(dú)立地破譯一份密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為假設(shè)他們破譯密碼彼此是獨(dú)立的，則此密碼被破譯的概率為()A. B. C. D.不能確定[答案]A5.某射手每次擊中目標(biāo)的概率是eq\f(2,3)，各次射擊互不影響，若規(guī)定：其若連續(xù)兩次射擊不中，則停止射擊，則其恰好在射擊完第5次后停止射擊的概率為________．[答案]6.（2015安徽卷節(jié)選）已知2件次品和3件正品放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時(shí)檢測結(jié)束.求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；[解析]P==7.（2014山東卷節(jié)選）乒乓球臺面被網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖1-4所示，甲上有兩個(gè)不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個(gè)不相交的區(qū)域C，D.某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球．規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分．對落點(diǎn)在A上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為eq\f(1,2)，在D上的概率為eq\f(1,3)；對落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為eq\f(1,5)，在D上的概率為eq\f(3,5).假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響．求：小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；[解析]記Ai為事件“小明對落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”(i＝0，1，3)，則P(A3)＝eq\f(1,2)，P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A0)＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq