平移、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)的基本概念和應(yīng)用

平移、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)的基本概念和應(yīng)用1.定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)方向作相同距離的移動(dòng)，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。2.特點(diǎn)：平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置。3.表示方法：通常用箭頭表示平移的方向，用文字或數(shù)字表示平移的距離。（1）在實(shí)際生活中，如拉抽屜、推動(dòng)物體等都是平移的應(yīng)用。（2）在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，平移用于改變圖形的位置。（3）在數(shù)學(xué)中，通過平移可以研究函數(shù)圖象的變換。1.定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換稱為翻轉(zhuǎn)。（1）關(guān)于垂直軸的翻轉(zhuǎn)：即繞著垂直軸旋轉(zhuǎn)。（2）關(guān)于水平軸的翻轉(zhuǎn)：即繞著水平軸旋轉(zhuǎn)。（3）關(guān)于任意軸的翻轉(zhuǎn)：即繞著任意軸旋轉(zhuǎn)。3.特點(diǎn)：翻轉(zhuǎn)不改變圖形的大小，但改變圖形的方向和位置。（1）在實(shí)際生活中，如鏡子中的反射、玩旋轉(zhuǎn)木馬等都是翻轉(zhuǎn)的應(yīng)用。（2）在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，翻轉(zhuǎn)用于改變圖形的方向和位置。（3）在數(shù)學(xué)中，通過翻轉(zhuǎn)可以研究函數(shù)圖象的變換。1.定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換稱為旋轉(zhuǎn)。2.特點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，只改變圖形的位置和方向。3.表示方法：通常用一個(gè)點(diǎn)作為旋轉(zhuǎn)中心，用角度表示旋轉(zhuǎn)的大小。（1）在實(shí)際生活中，如開鎖、轉(zhuǎn)動(dòng)車輪等都是旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用。（2）在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，旋轉(zhuǎn)用于改變圖形的位置和方向。（3）在數(shù)學(xué)中，通過旋轉(zhuǎn)可以研究函數(shù)圖象的變換。綜上所述，平移、翻轉(zhuǎn)和旋轉(zhuǎn)都是平面幾何中基本的圖形變換，它們?cè)趯?shí)際生活和學(xué)科領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用。掌握這些基本概念和特點(diǎn)是十分重要的。習(xí)題及方法：習(xí)題：已知平面上有四個(gè)點(diǎn)A(2,3)、B(4,5)、C(6,7)、D(1,1)，求將這四個(gè)點(diǎn)按照向左平移2個(gè)單位的操作后的坐標(biāo)。方法：對(duì)于每個(gè)點(diǎn)，只需將其橫坐標(biāo)減去2，得到平移后的坐標(biāo)。答案：A’(0,3)、B’(2,5)、C’(4,7)、D’(-1,1)習(xí)題：已知函數(shù)f(x)=x^2，對(duì)其進(jìn)行平移，使其圖像向右平移3個(gè)單位，向上平移4個(gè)單位，求新函數(shù)的表達(dá)式。方法：根據(jù)平移的規(guī)律，對(duì)于函數(shù)f(x)=x^2，向右平移3個(gè)單位，相當(dāng)于在x的表達(dá)式中加上3，向上平移4個(gè)單位，相當(dāng)于在原函數(shù)的基礎(chǔ)上加上4。答案：新函數(shù)的表達(dá)式為f(x)=(x-3)^2+4習(xí)題：已知平面上有三個(gè)點(diǎn)A(2,3)、B(4,5)、C(6,7)，求將這三個(gè)點(diǎn)分別繞點(diǎn)O(3,4)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度的坐標(biāo)。方法：首先，將點(diǎn)A、B、C繞點(diǎn)O(3,4)平移到新的坐標(biāo)系中，使得O點(diǎn)成為坐標(biāo)原點(diǎn)。在新坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C分別對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為A’(2-3,3-4)=(-1,-1)、B’(4-3,5-4)=(1,1)、C’(6-3,7-4)=(3,3)。然后，將這三個(gè)點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度。答案：旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)分別為A’(-1+sqrt(2),-1-sqrt(2))、B’(1+sqrt(2),1-sqrt(2))、C’(3+sqrt(2),3-sqrt(2))。習(xí)題：已知平面上有三個(gè)點(diǎn)A(2,3)、B(4,5)、C(6,7)，求將這三個(gè)點(diǎn)分別繞點(diǎn)O(3,4)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度的坐標(biāo)。方法：首先，將點(diǎn)A、B、C繞點(diǎn)O(3,4)平移到新的坐標(biāo)系中，使得O點(diǎn)成為坐標(biāo)原點(diǎn)。在新坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C分別對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為A’(2-3,3-4)=(-1,-1)、B’(4-3,5-4)=(1,1)、C’(6-3,7-4)=(3,3)。然后，將這三個(gè)點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度。答案：旋轉(zhuǎn)后的坐標(biāo)分別為A’(sqrt(2),-1-sqrt(2))、B’(1-sqrt(2),1+sqrt(2))、C’(3-sqrt(2),3+sqrt(2))。習(xí)題：已知函數(shù)f(x)=x^3，對(duì)其進(jìn)行翻轉(zhuǎn)，使其關(guān)于y軸對(duì)稱，求新函數(shù)的表達(dá)式。方法：對(duì)于原函數(shù)f(x)=x^3，關(guān)于y軸對(duì)稱，相當(dāng)于將x替換為-x。答案：新函數(shù)的表達(dá)式為f(x)=(-x)^3=-x^3習(xí)題：已知平面上有三個(gè)點(diǎn)A(2,3)、B(4,5)、C(6,7)，求將這三個(gè)點(diǎn)分別關(guān)于x軸對(duì)稱的坐標(biāo)。方法：對(duì)于每個(gè)點(diǎn)，只需將它的縱坐標(biāo)取相反數(shù)，得到關(guān)于x軸對(duì)稱的坐標(biāo)。答案：A’(2,-3)、B’(4,-5)、C’(6,-7)習(xí)題：已知平面上有三個(gè)點(diǎn)A(2,3)、B(4,5)、C(6,7)，求將這三個(gè)點(diǎn)分別關(guān)于y軸對(duì)稱的坐標(biāo)。方法：對(duì)于每個(gè)點(diǎn)，只需將它的橫坐標(biāo)取相反數(shù)，得到關(guān)于y軸對(duì)稱的坐標(biāo)。答案：A’(-2,3)、B’(-4,5)、C’(-6,7)習(xí)題：已知平面上有三個(gè)點(diǎn)A(2,3)、B(4,5)、C(6,7)，求將這三個(gè)點(diǎn)分別關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)。方法：對(duì)于每個(gè)點(diǎn)，將它的橫縱坐標(biāo)都取相反數(shù)，得到關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的坐標(biāo)。答案：A’(-2,-3)、B’(-4,-5)、其他相關(guān)知識(shí)及習(xí)題：1.定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸。2.性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形對(duì)稱軸上的任意一點(diǎn)到圖形兩旁對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離相等。（1）在實(shí)際生活中，如剪窗花、制作衣服等都是軸對(duì)稱的應(yīng)用。（2）在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，軸對(duì)稱用于生成對(duì)稱的圖形。（3）在數(shù)學(xué)中，通過軸對(duì)稱可以研究函數(shù)圖象的變換。習(xí)題：已知平面上有三個(gè)點(diǎn)A(2,3)、B(4,5)、C(6,7)，求將這三個(gè)點(diǎn)分別關(guān)于直線y=x對(duì)稱的坐標(biāo)。方法：對(duì)于每個(gè)點(diǎn)，先找到它關(guān)于y=x對(duì)稱的點(diǎn)，再將這個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互換，得到關(guān)于直線y=x對(duì)稱的坐標(biāo)。答案：A’(3,2)、B’(5,4)、C’(7,6)二、中心對(duì)稱1.定義：如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能夠與自身重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。2.性質(zhì)：中心對(duì)稱圖形對(duì)稱中心到圖形上任意一點(diǎn)的距離相等。（1）在實(shí)際生活中，如制作鏡子、設(shè)計(jì)圖案等都是中心對(duì)稱的應(yīng)用。（2）在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，中心對(duì)稱用于生成對(duì)稱的圖形。（3）在數(shù)學(xué)中，通過中心對(duì)稱可以研究函數(shù)圖象的變換。習(xí)題：已知平面上有三個(gè)點(diǎn)A(2,3)、B(4,5)、C(6,7)，求將這三個(gè)點(diǎn)分別關(guān)于點(diǎn)O(3,4)中心對(duì)稱的坐標(biāo)。方法：對(duì)于每個(gè)點(diǎn)，先找到它關(guān)于點(diǎn)O(3,4)對(duì)稱的點(diǎn)，再將這個(gè)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)互換，得到關(guān)于點(diǎn)O(3,4)中心對(duì)稱的坐標(biāo)。答案：A’(1,2)、B’(1,6)、C’(5,6)1.定義：在平面幾何中，如果兩個(gè)圖形的形狀相同但大小不同，那么這兩個(gè)圖形叫做相似圖形。2.性質(zhì)：相似圖形對(duì)應(yīng)邊的比例相等，對(duì)應(yīng)角的度數(shù)相等。（1）在實(shí)際生活中，如制作模型、觀察天文等都是相似的應(yīng)用。（2）在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，相似用于生成比例相同的圖形。（3）在數(shù)學(xué)中，通過相似可以研究函數(shù)圖象的變換。習(xí)題：已知函數(shù)f(x)=x^2，對(duì)其進(jìn)行相似變換，使其圖像縮小一半，求新函數(shù)的表達(dá)式。方法：對(duì)于原函數(shù)f(x)=x^2，縮小一半相當(dāng)于將x替換為sqrt(x)。答案：新函數(shù)的表達(dá)式為f(x)=(sqrt(x))^2=x四、坐標(biāo)系的變換1.定義：坐標(biāo)系變換是指通過一定的數(shù)學(xué)變換，將一個(gè)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為另一個(gè)坐標(biāo)系。2.性質(zhì)：坐標(biāo)系變換包括平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等操作。（1）在實(shí)際生活中，如地圖導(dǎo)航、航空航天等都是坐標(biāo)系變換的應(yīng)用。（2）在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，坐標(biāo)系變換用于改變圖形的位置、方向和大小。（3）在數(shù)學(xué)中，通過坐標(biāo)系變換可以研究函數(shù)圖象的變換。習(xí)題：已知平面上有三個(gè)點(diǎn)A(2,3)、B(4,5)、C(6,7)，求將這三個(gè)點(diǎn)分別繞點(diǎn)O(3,4)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度后的坐標(biāo)。方法：首先，將點(diǎn)A、B、C繞點(diǎn)O(3,4)平移到