山西省晉中市平遙縣2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷含解析

山西省晉中市平遙縣二中2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時(shí)模擬卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.—的二項(xiàng)展開(kāi)式中，產(chǎn)的系數(shù)是（）

A.70B.-70C.28D.-28

2.明代數(shù)學(xué)家程大位（1533~1606年），有感于當(dāng)時(shí)籌算方法的不便，用其畢生心血寫(xiě)出《算法統(tǒng)宗》，可謂集成計(jì)算

的鼻祖.如圖所示的程序框圖的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”問(wèn)題.執(zhí)行該程序框圖，若輸出的V的值為2,

則輸入的x的值為（）

/輸，出y/

756164

A.C.2D.句"

427

3.在等腰直角三角形ABC中，ZC=-,CA=2V2,。為AB的中點(diǎn)，將它沿CD翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)3間的距離

2

為2石，此時(shí)四面體ABC。的外接球的表面積為（）.

A.5兀B.竺至兀C.12萬(wàn)D.20萬(wàn)

3

4.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線(xiàn)畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

一33

5.已知二次函數(shù)/。）=公-法+。的部分圖象如圖所示，則函數(shù)g（x）=e'+/（x）的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)

Lx>0

6.已知符號(hào)函數(shù)sg〃x=<0，x=0/(x)是定義在R上的減函數(shù)，g(x)=f(x)-f(ax)(a>l),貝！)()

-Lx<0

A.sgn[g(x)]=sgnxB.sgn[g(x)]=-sgnx

C.sgn[g(x)]=sgn[f(x)]D.sg”[g(x)]=-sgn[f(x)]

7.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()

A』用8f用手…沖

8.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長(zhǎng)為3,則該幾何體表面積為（）

A.7?B.6?C.5TID.4TT

x

e/(x)

9.已知函數(shù)/⑴=上—依，x￡(0,+8),當(dāng)％2>玉時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

X%2X

A.(-a),e］B.(-co,e)C.1一00，'|］D.

10.方程/(x)=/'(x)的實(shí)數(shù)根與叫作函數(shù)/(x)的“新駐點(diǎn)”，如果函數(shù)g(x)=lnx的“新駐點(diǎn)”為。，那么a滿(mǎn)足

()

A.a-\B.OvavlC.2<a<3D.\<a<2

IL在正方體ABCD—A4Goi中，E,尸分別為CG，。，的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AF,所成角的余弦值為()

1R岳2761

A..Jt>?----cVz?---------n\j?

4455

12.將函數(shù)/(%)=Gsin2x-cos2x向左平移在單位，得到g(x)的圖象，則g(x)滿(mǎn)足()

A.圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，在區(qū)間［(),7］上為增函數(shù)

B.函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點(diǎn)］對(duì)稱(chēng)

C.圖象關(guān)于直線(xiàn)x=9對(duì)稱(chēng)，在三三上的最小值為1

6125

D.最小正周期為萬(wàn)，g(九)=1在0。有兩個(gè)根

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.戊戌年結(jié)束，己亥年伊始，小康，小梁，小譚，小楊，小劉，小林六人分成四組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組

各1人，分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講，則不同的分配方案有種(用數(shù)字作答)，

14.如圖，橢圓「:=l(a〉6〉0)的離心率為e產(chǎn)是「的右焦點(diǎn)，點(diǎn)尸是「上第一角限內(nèi)任意一點(diǎn),

/b2

uuuuumUULlUULU

OQ=2OP(A>0),FQOP=Q,若2<e,則e的取值范圍是

15.“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月共織九匹三丈.”其白話(huà)意譯為：“現(xiàn)有一善織布的女子，從第2

天開(kāi)始，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織了5尺布，現(xiàn)在一個(gè)月(按30天計(jì)算)共織布390尺.”則每天

增加的數(shù)量為_(kāi)_尺，設(shè)該女子一個(gè)月中第n天所織布的尺數(shù)為an,則a”+%+%6+%=.

16.已知拋物線(xiàn)丁=2°%(。＞0)的焦點(diǎn)為少，斜率為2&的直線(xiàn)過(guò)產(chǎn)且與拋物線(xiàn)交于AB兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),

s

若A在第一象限，那么不皿=_______________.

3BFO

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=6cos2x—J^sin2x.

jr

(1)求〃方)的值;

71

(2)若xe,求函數(shù)/⑺的單調(diào)遞減區(qū)間.

18.(12分)如圖，在直三棱柱加3。一4四。1中，AB=BC=AAl=l,AC=?,點(diǎn)、D,E分別為AC和片￡的中點(diǎn).

(I)棱A4上是否存在點(diǎn)p使得平面平面ABE?若存在，寫(xiě)出K4的長(zhǎng)并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)

明理由.

(II)求二面角A—班―。的余弦值.

19.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=(a-x)e*+6x-clnx.

(1)若a=3,c=O時(shí)，/(尤)在(0,+g)上單調(diào)遞減，求8的取值范圍;

(2)若a=2,b=4,c=4,求證：當(dāng)x>l時(shí)，f(x)<16-81n2.

20.(12分)設(shè)數(shù)列｛凡｝,也｝的各項(xiàng)都是正數(shù)，S“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和,且對(duì)任意reN*，都有aj=2S“一4,

仇=e,bn+l=b；,cn=4(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

⑴求數(shù)列｛%｝,也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和

21.(12分)已知aeR,函數(shù)〃"=。"一》一1,g(x)=x-ln(x+l)(e=2.71828是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).

(I)討論函數(shù)/(無(wú))極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(II)若°=1,且命題“Vxe[O,”),〃x)“g(x)”是假命題,求實(shí)數(shù)上的取值范圍.

22.(10分)設(shè)尸為拋物線(xiàn)C:/=4x的焦點(diǎn)，P,。為拋物線(xiàn)。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)若點(diǎn)歹在線(xiàn)段PQ上，求|PQ|的最小值；

(II)當(dāng)OPLPQ時(shí)，求點(diǎn)?？v坐標(biāo)的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

試題分析：由題意得，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為&1=禺?產(chǎn)，?(_))，=(_1)，最:5二令8_|「=2nr=4,所以必的

系數(shù)是(-DP；=70,故選A.

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用.

2、C

【解析】

根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.

【詳解】

y=3x-4,；=1；y=3y-4=9x-16,i=2；y=3y—4=27x—52,，=3；

j=3j-4=81x-160,z=4；y=3y—4=243x—484,此時(shí)不滿(mǎn)足iW3,跳出循環(huán),

輸出結(jié)果為243x—484,由題意y=243x—484=2,得x=2.

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查了程序框圖的計(jì)算，意在考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力.

3、D

【解析】

如圖，將四面體ABC。放到直三棱柱中，求四面體的外接球的半徑轉(zhuǎn)化為求三棱柱外接球的半徑，然后確定球心在上

下底面外接圓圓心連線(xiàn)中點(diǎn)，這樣根據(jù)幾何關(guān)系，求外接球的半徑.

【詳解】

AABC中，易知AB=4,CD-AD-BD=2

翻折后AB=26，

22+22-(2^Vi

cosZADB=-----------————'

2x2x22

.-.ZADB-120，

設(shè)AADB外接圓的半徑為r,

=2r=4,:.r=2,

sin120

如圖：易得CD,平面ABD,將四面體ABC。放到直三棱柱中，則球心在上下底面外接圓圓心連線(xiàn)中點(diǎn)，設(shè)幾何體

外接球的半徑為R,

7?2=r2+l2=22+12=5，

四面體ABC。的外接球的表面積為S=4萬(wàn)尺2=20萬(wàn).

故選：D

c

【點(diǎn)睛】

本題考查幾何體的外接球的表面積，意在考查空間想象能力，和計(jì)算能力，屬于中檔題型，求幾何體的外接球的半徑

時(shí)，一般可以用補(bǔ)形法，因正方體，長(zhǎng)方體的外接球半徑容易求，可以將一些特殊的幾何體補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體,

比如三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，或是構(gòu)造直角三角形法，確定球心的位置，構(gòu)造關(guān)于外接球半徑的方程求解.

4、D

【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱構(gòu)成，利用錐體和柱體的體積公式計(jì)算出體積并相加求得幾何

體的體積.

【詳解】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個(gè)三棱錐和三棱柱構(gòu)成，該多面體體積為-x2x2x2+-x-x2x2x2=—.

2323

故選D.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查柱體和錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.

5、B

【解析】

由函數(shù)八x)的圖象可知，0Vl式1)=1-A+a=0,所以1<A<2.

又f(x)=2x—b,所以8(%)=二+2*—所以g，(x)=e*+2>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增，

又g(0)=l—bVO,g(l)=e+2-5>0,

根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(0,1),

故選B.

6、A

【解析】

根據(jù)符號(hào)函數(shù)的解析式，結(jié)合/(X)的單調(diào)性分析即可得解.

【詳解】

根據(jù)題意，g(r)=/(r)-f(ax),而/(x)是衣上的減函數(shù)，

當(dāng)x>0時(shí)，x<ax,則有/(x)>f(ax),則g(x)—f(x)-f(ax)>0,此時(shí)sg〃[g(x)]=1,

當(dāng)x=0時(shí)，x=ax,則有/(x)=f(ax),則g(x)=f(x)-f(ax)=0,此時(shí)sg〃[g(x)]=0,

當(dāng)x<0時(shí)，x>ax,則有f(x)<f(ax),則g(x)—f(x)-f(ax)<0,此時(shí)sgn[g(x)]=-1,

綜合有：sgn[g(x)]=sgn(x)；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)新定義問(wèn)題，涉及函數(shù)單調(diào)性辨析，關(guān)鍵在于讀懂定義，根據(jù)自變量的取值范圍分類(lèi)討論.

7、D

【解析】

結(jié)合三視圖可知，該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐，下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為4的正三棱柱,分別求出體積即可.

【詳解】

由三視圖可知該幾何體的上半部分是半個(gè)圓錐,下半部分是一個(gè)底面邊長(zhǎng)為4,高為4的正三棱柱，則上半部分的半個(gè)圓

錐的體積匕=；義^義4兀義26=生皆，下半部分的正三棱柱的體積I4=1X4X2A/3X4=1673，故該幾何體的體積

V=X+X=^^+16村

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖，考查空間幾何體的體積，考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.

8、C

【解析】

幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1,圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為3,底面半徑為1,計(jì)算得到答案.

【詳解】

幾何體是由一個(gè)圓錐和半球組成，其中半球的半徑為1,圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為

12

—x3x2/r+27rxi=5乃.

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)三視圖求表面積，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.

9、D

【解析】

由'(網(wǎng))<')變形可得(石)<x2/(x2)，可知函數(shù)g(x)=4"(x)在xe(0,+oo)為增函數(shù)，由

X2%

g'(x)=ex-2ax>Q恒成立，求解參數(shù)即可求得取值范圍.

【詳解】

XG(0,+O0),

二.%/(%)<x2f(%2),即函數(shù)g(%)=4(%)="-加在X￡(0,+00)時(shí)是單調(diào)增函數(shù).

貝!1g'(%)=ex-2ax>。'恒成立.

ex

/.2〃4—?

x

令m(x)=J,貝！Jmr(x)=――

xx

xG(0,1)時(shí),m(x)<0,m(x)單調(diào)遞減,xG(1,+(x))時(shí)mr(x)>0,m(x)單調(diào)遞增.

e

二2a<m(^)niin=m(l)=e,:.a<-

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查恒成立時(shí)求解參數(shù)問(wèn)題,考查學(xué)生的分析問(wèn)題的能力

和計(jì)算求解的能力，難度較難.

10、D

【解析】

由題設(shè)中所給的定義，方程/(x)=/'(%)的實(shí)數(shù)根%叫做函數(shù)AM的“新駐點(diǎn)”，根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求出。的大致

范圍

【詳解】

解：由題意方程/(%)=/(%)的實(shí)數(shù)根/叫做函數(shù)/(%)的“新駐點(diǎn)”，

對(duì)于函數(shù)g(x)=/冰，由于g'(尤)=L

/.IfVC=—,

X

設(shè)/7(X)=/〃尤-L該函數(shù)在(0,+00)為增函數(shù)，

X

/z(l)=-1<0,九(2)=ln2-；=ln2—ln-Je>0,

；./z(x)在(1,2)上有零點(diǎn)，

故函數(shù)g(x)=/7穴的“新駐點(diǎn)”為。，那么1<"2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題是一個(gè)新定義的題，理解定義，分別建立方程解出。存在范圍是解題的關(guān)鍵，本題考查了推理判斷的能力，屬于

基礎(chǔ)題..

11、D

【解析】

連接跳，BD,因?yàn)樗?BED為異面直線(xiàn)AF與OE所成的角(或補(bǔ)角)，

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,取瓦)的中點(diǎn)為G,連接EG,在等腰AB石。中，求出COSNBEG=^=￡,在利用

BE6

二倍角公式，求出cos/BED,即可得出答案.

【詳解】

連接BE,BD,因?yàn)锽EHAF,所以/BED為異面直線(xiàn)AF與所成的角(或補(bǔ)角)，

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則3E=DE=逐，BD=141-

在等腰ABED中，取BD的中點(diǎn)為G,連接EG,

______n

則EG—A/5—2=>cos/BEG==—產(chǎn)，

BE75

所以cosABED=cos2NBEG=2cos2ZBEG-1，

31

即：cosNBED=2x——1=-,

55

所以異面直線(xiàn)AE,OE所成角的余弦值為

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間異面直線(xiàn)的夾角余弦值，利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式，還考查空間思維和計(jì)算能力.

12>C

【解析】

由輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得g(x)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即

可判斷各選項(xiàng).

【詳解】

函數(shù)/(%)=石sin2x-cos2x,

貝!|/(x)=2sin[2x—7],

將/(x)=2sin向左平移.個(gè)單位，

可得g(x)=2sin2^x+—J--=2sin^2x+—J,

'jrk/jr

由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，g(x)的對(duì)稱(chēng)中心滿(mǎn)足2工+二=左乃次eZ,W%=--+—所以A、B選項(xiàng)中

6122

的對(duì)稱(chēng)中心錯(cuò)誤；

對(duì)于C,g(x)的對(duì)稱(chēng)軸滿(mǎn)足2%+-=工+2日,％eZ,解得x=^+左肛左eZ,所以圖象關(guān)于直線(xiàn)》=三對(duì)稱(chēng)；當(dāng)

6266

%￡時(shí)，+，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知2sin(2x+二]e[1,2],所以在—上的最小值為1,

123」636JVo7|_123_

所以C正確;

c兀兀27r

對(duì)于D,最小正周期為二=7，當(dāng)xe0,f,2%H---€，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，2sin2%+-=1

246I6)

時(shí)僅有一個(gè)解為x=0,所以D錯(cuò)誤；

綜上可知，正確的為C,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)，三角函數(shù)圖象平移變換，正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1080

【解析】

「2「2廠(chǎng)1

按照先分組，再分配的分式，先將六人分成四組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人有種，再分別

奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有A：種，然后用分步計(jì)數(shù)原理求解.

【詳解】

5?J?5?Ci

將六人分成四組，其中兩個(gè)組各2人，另兩個(gè)組各1人有=45種,

A；

再分別奔赴四所不同的學(xué)校參加演講有國(guó)=24種，

則不同的分配方案有45x24=1080種.

故答案為：1080

【點(diǎn)睛】

本題主要考查分組分配問(wèn)題，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.

以唱

【解析】

由于點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，。尸與X軸的正方向的夾角在變，所以先設(shè)/FOQ=，，又由/。?OP=0,可知

2（CCOS20,ccos0sin0）,從而可得PCCOS,CCOSSm,而點(diǎn)尸在橢圓上，所以將點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入橢圓方程

中化簡(jiǎn)可得結(jié)果.

【詳解】

設(shè)|。同=。，P（九,y）,ZFOQ=0,則Q（ccos2e,ccos6sin。），

由々=4防u>o),得4空代入橢圓方程,

,九4,

24

ccos0c2cos28sin?6=川＜《，化簡(jiǎn)得?〉cos?，(0°＜。＜90°)恒成立,

得丁+

b22a2l+cos20v)

b~1

由此得即a222c2,

a22

故答案為：0,

【點(diǎn)睛】

此題考查的是利用橢圓中相關(guān)兩個(gè)點(diǎn)的關(guān)系求離心率，綜合性強(qiáng)，屬于難題.

16

15、-52

29

【解析】

設(shè)從第2天開(kāi)始，每天比前一天多織。尺布，由等差數(shù)列前九項(xiàng)和公式求出』=3,由此利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式能求出

。］4+"15+"16+"17?

【詳解】

設(shè)從第2天開(kāi)始，每天比前一天多織d尺布,

30x29

貝！IS30=30x5+---d=390,

解得d=II，即每天增加的數(shù)量為II,

44+。15+46+%7=%+13d+%+14d+a1+15d+%+16d

=4q+58(7

=4義5+58義更=52,故答案為竺,52.

2929

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的求和公式，意在考查利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

16、2

【解析】

s

\AF\SAF0\AF\n

如圖所示，先證明產(chǎn)兩’再利用拋物線(xiàn)的定義和相似得到兩=2.

)BFO

【詳解】

由題得=~\OF\\AF\sinZAFO,S^FO=~\OF||BF\sinZBFO.

因?yàn)閆AFO+ZBFO=7i.:.sinZAFO=sinZBFO.

\AF\

所以u(píng)AFO

uBFO\BFV

過(guò)點(diǎn)A、B分別作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為M,N,過(guò)點(diǎn)B作BELAM于點(diǎn)E,

設(shè)|BF|二m,|AF|=n,則|BN|二m,|AM|=n,

所以|AE|二n-m,因?yàn)椤躲@=2/，

所以|AB|二3(mm),

所以3(n-m)=n+m,

ri

所以一=2.

m

所以羨配\AF\_n

'BFO|BF|m

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查拋物線(xiàn)的定義，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

n57r1\TC

17、(1)(2)f(x)的遞減區(qū)間為—-和——

31212

【解析】

IT

(1)化簡(jiǎn)函數(shù)/(尤)，代入X=—,計(jì)算即可；

12

71

(2)先利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，再結(jié)合V即可求出.

【詳解】

(1)/(%)=6cos2x-石sin2x=3(1+cos2x)-百sin2x

=-A/3sin2x+3cos2x+3

=一26sin一3+3,

從而/j=3+6.

兀冗冗

(2)令-----F2左〃*<2x---<—卜2k兀,keZ.

232

JI57r

解得-----Fk/c<%<-----Fk兀，keZ.

1212

JI57r

即函數(shù)/(%)的所有減區(qū)間為一八+k兀,不+k兀,keZ,

JIji57r11%

考慮到,取左二。,1,可得xe—----，兀

12

jr57r1l/r

故了(元)的遞減區(qū)間為和五環(huán)?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變形，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.

311

18、(I)存在點(diǎn)P滿(mǎn)足題意，且出==，證明詳見(jiàn)解析；(II)—.

419

【解析】

(I)可考慮采用補(bǔ)形法，取AC的中點(diǎn)為P，連接EEAF,DF,可結(jié)合等腰三角形性質(zhì)和線(xiàn)面垂直性質(zhì)，先證

班)，平面ACG，即5￡>J_A產(chǎn)，若能證明”則可得證，可通過(guò)膽△B4Ds用A4D尸我們反推出點(diǎn)尸對(duì)

3

應(yīng)位置應(yīng)在申=-處，進(jìn)而得證；

(II)采用建系法，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB,DC,叱分別為％，丁，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩平面對(duì)應(yīng)

法向量，再結(jié)合向量夾角公式即可求解；

【詳解】

3

(I)存在點(diǎn)P滿(mǎn)足題意，且R4=1.

4

證明如下：

取AG的中點(diǎn)為歹，連接AF,DF.

則所〃A瓦〃AB,所以"u平面ABE.

因?yàn)?6=3。，。是AC的中點(diǎn)，所以

在直三棱柱ABC-A與G中，平面ABC,平面ACC「且交線(xiàn)為AC,

所以6￡>_L平面ACG，所以B￡>_LA尸.

在平面ACC；內(nèi)，—=—,ZPAD^ZADF^90°,

ADDF2

所以RtAPAIBRtAADF,從而可得

又因?yàn)槲濉?gt;<^5￡>=￡>,所以"J_平面P3D.

因?yàn)锳Fu平面ABE,所以平面P皮)，平面ABE.

(II)如圖所示，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DB,DC,。尸分別為劉y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

易知D（0,0,0）,BQ,O,O!A/,-?巖,1

所以8E=AB=DB=g,o,o.

設(shè)平面45石的法向量為加=（羽y,z）,則有

173

m?BE=——x-\----y+z=0,

<44取y=2,得根=卜2g2—g卜

m-AB=—x+y=0.

I22，

同理可求得平面BDE的法向量為n=（0,4,-6）.

m-n8+311

則cosm,n=,,,.=,一,二——

川帆同J12+4+3-J16+319'

由圖可知二面角A-BE-。為銳角，所以其余弦值為一.

19

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題

19、(1)(―°°,—^](2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)/(尤)在(0,+8)上單調(diào)遞減等價(jià)于尸(x)<0在(0,+8)恒成立，分離參數(shù)即可解決.(2)先對(duì)/(%)求導(dǎo)，化簡(jiǎn)后根

據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷唯一零點(diǎn)所在區(qū)間，構(gòu)造函數(shù)利用基本不等式求解即可.

【詳解】

(1)Q=3,c=0時(shí)，/(x)=(3-x)ex+bx,

/"(%)=-ex+(3-x)ex+Z?=(2-x)ex+b,

???/(%)在(0,+s)上單調(diào)遞減.

/.(2-x)ex+b<0,b<(x-2)ex.

令g(x)=Q—2)/,

g\x)=ex+{x-2)ex=(x-l)ex,

Ovxvl時(shí)，g'(x)vO；x>l時(shí)，g'Cx)>0,

???g。)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1,丑。)上為增函數(shù).

???g(x)min—e,:?b4—e.

.??b的取值范圍為(一8,一團(tuán),

(2)若〃=2,b=4,c=4時(shí)，/(x)=(2-x)ex+4x-41nx,

f\x)=+(2-x)ex+4--=(1-x)||,

xxj

4

令/i(x)=/—-，顯然以x)在(1,y)上為增函數(shù).

X

2

又h(x)=e-4<0,A(2)=e-2>0,h(x)有唯一零點(diǎn)x0.

且/e(1,2),時(shí)，h{x)<0,f\x)>0；

x>玉)時(shí),h(x)>0,f'(x)<0,

，f(x)在(1,九0)上為增函數(shù)，在(%0,+8)上為減函數(shù).

???/(x)a=/伍)=(2-%)*+4%-4111%.

44

r

又----=0,二e%=一，xoe-°=4,x0+lnx0=：ln4.

X。%0

8

/(%o)=2e"°—4+4XQ_4In----4+4XQ_4(in4_)

xo

(1、

=8---bx0-4-41n4.

<8[g+2,4—41n4=16—81n2,(l<%0<2).

當(dāng)尤>1時(shí)，/(x)<16-81n2.

【點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)定區(qū)間上單調(diào)，和零點(diǎn)存在性定理等知識(shí)點(diǎn)，難點(diǎn)為找到最值后的構(gòu)造函數(shù)求值域，屬于較難題目.

20、(1)a“=n,d=e*(2)7；,=(??-1)-2,1+1

【解析】

(1)當(dāng)“22時(shí),=2s“_1—4T，與片=2S“—。”作差可得an-味=1(〃>2)，即可得到數(shù)列｛??)是首項(xiàng)為1,公差

為1的等差數(shù)列，即可求解；對(duì)2+i=彳取自然對(duì)數(shù)，則Indy=21n〃，即｛ln2｝是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列,

即可求解；

(2)由(1)可得?！?。"1112=〃-2"-1,再利用錯(cuò)位相減法求解即可.

【詳解】

解：(1)因?yàn)??！?gt;0,4=2S〃—4,①

當(dāng)〃=1時(shí),=2sl-q,解得q=1；

當(dāng)〃22時(shí)，有4T=2S"T--,②

由①-②得,=2(S"—S“_i)T見(jiàn)一％T)=%+an_^n>2),

又〉0,所以可一4_1=1("22),

即數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，故=n,

又因?yàn)?b；，且bn〉0,取自然對(duì)數(shù)得Ind+1=21nbn，所以—=2,

又因?yàn)镮n偽=lne=l,

所以｛In%｝是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

所以ln〃=2"T,即2=e2"T

(2)由(1)知,c“=a“l(fā)n6〃=a-2"T,

所以4=lxl+2x(2)i+3x(2>++(n-l)x(2)tt-2+nx(2尸，③

31

2xTn=lx(2)i+2x(2)2+3x(2)++(〃—1)x(2)"-+nx(2)”,④

③減去④得：Y,=1+2+2?++2"T—〃X2"

=-^----^--nx2n=2n-l-nxT=(l-n)2"-b

2-1''

所以7；=(〃-1)2+1

【點(diǎn)睛】

本題考查由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式，考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.

21、(1)當(dāng)aVO時(shí)，/(無(wú))沒(méi)有極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，/(九)有一個(gè)極小值點(diǎn).(2)(1,+?)

【解析】

試題分析：⑴f'(x)=ae*-1,分aWO,a>0討論，當(dāng)aWO時(shí)，對(duì)VxeR,f'(x)=aex-1<0,當(dāng)a>0時(shí)

f'(x)=O,解得x=-Ina,f(x)在(-a,-Ina)上是減函數(shù)，在(-Ina,+“)上是增函數(shù)。所以，當(dāng)aWO時(shí)，f(x)沒(méi)

有極值點(diǎn)，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)有一個(gè)極小值點(diǎn).⑵原命題為假命題，則逆否命題為真命題。即不等式f(x)<kg(x)

在區(qū)間［0,+“)內(nèi)有解。設(shè)F(x)=f(x)—kg(x)=ex+kln(x+l)-(k+l)x-l,所以F<x)=eX+上

ik

-(k+