廣西兩校2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題含解析

廣西兩校2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末預(yù)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知一個幾何體是由半徑為2的球挖去一個三棱錐得到（三棱錐的頂點(diǎn)均在球面上）.若該幾何體的三視圖如圖所示（側(cè)視圖中的四邊形為菱形），則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．2．如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格邊長為，圖中粗線畫的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積等于（）A．B．C．D．3．已知等差數(shù)列的公差為2，且是與的等比中項，則等于()A． B． C． D．4．若，則下列不等式中不正確的是（）A． B． C． D．5．若是2與8的等比中項，則等于()A． B． C． D．326．已知直線與直線平行，則實數(shù)k的值為（）A．-2 B．2 C． D．7．在正方體中，與所成的角為（）A．30° B．90° C．60° D．120°8．已知是等差數(shù)列的前項和，公差，，若成等比數(shù)列，則的最小值為()A． B．2 C． D．9．已知函數(shù)，若方程在上有且只有三個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．10．下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在數(shù)列中，若，（），則________12．設(shè)，，，則，，從小到大排列為______13．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求三角形面積的“三斜公式”，設(shè)的三個內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，面積為S，則“三斜公式”為.若，，則用“三斜公式”求得的面積為______.14．過點(diǎn)作直線與圓相交，則在弦長為整數(shù)的所有直線中，等可能的任取一條直線，則弦長長度不超過14的概率為______________.15．已知，為銳角，且，則__________．16．函數(shù)的定義域記作集合，隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（骰子的每個面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)，，，），記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為，則事件“”的概率為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大??；（2）若，，，求的長18．記為等差數(shù)列的前項和，已知，．（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值．19．某科研課題組通過一款手機(jī)APP軟件，調(diào)查了某市1000名跑步愛好者平均每周的跑步量（簡稱“周跑量”），得到如下的頻數(shù)分布表周跑量（km/周）人數(shù)100120130180220150603010（1）在答題卡上補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖:注:請先用鉛筆畫，確定后再用黑色水筆描黑（2）根據(jù)以上圖表數(shù)據(jù)計算得樣本的平均數(shù)為，試求樣本的中位數(shù)（保留一位小數(shù)），并用平均數(shù)、中位數(shù)等數(shù)字特征估計該市跑步愛好者周跑量的分布特點(diǎn)（3）根據(jù)跑步愛好者的周跑量，將跑步愛好者分成以下三類，不同類別的跑者購買的裝備的價格不一樣，如下表:周跑量小于20公里20公里到40公里不小于40公里類別休閑跑者核心跑者精英跑者裝備價格（單位：元）250040004500根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計該市每位跑步愛好者購買裝備，平均需要花費(fèi)多少元?20．?dāng)?shù)列滿足，.（1）試求出，，；（2）猜想數(shù)列的通項公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.21．（2012年蘇州17）如圖，在中，已知為線段上的一點(diǎn)，且．（1）若，求的值；（2）若，且，求的最大值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由三視圖可知，三棱錐的體積為2、C【解析】

由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，作出圖形即可求出表面積?！驹斀狻吭搸缀误w為四棱錐，如圖..選C.【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖，考查了四棱錐的表面積，考查了學(xué)生的空間想象能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題。3、A【解析】

直接利用等差數(shù)列公式和等比中項公式得到答案.【詳解】是與的等比中項，故即解得：故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比中項，屬于?？碱}型.4、C【解析】

，可得，則根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析選項，A：，，所以成立；B：，則，根據(jù)基本不等式以及等號成立的條件則可判斷；C：且，根據(jù)可乘性可知結(jié)果；D：，根據(jù)乘方性可判斷結(jié)果.【詳解】A：由題意，不等式，可得，則，，所以成立，所以A是正確的；B：由，則，所以，因為，所以等號不成立，所以成立，所以B是正確的；C：由且，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以C不正確；D：由，可得，所以D是正確的，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，不等式等號成立的條件，熟記不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

利用等比中項性質(zhì)列出等式，解出即可?！驹斀狻坑深}意知，，∴．故選B【點(diǎn)睛】本題考查等比中項，屬于基礎(chǔ)題。6、A【解析】

由兩直線平行的可得:，運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由兩直線平行的判定可得:，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩直線平行求參數(shù)，屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】

把異面直線與所成的角，轉(zhuǎn)化為相交直線與所成的角，利用為正三角形，即可求解．【詳解】連結(jié)，則，所以相交直線與所成的角，即為異面直線與所成的角，連結(jié)，則是正三角形，所以，即異面直線與所成的角，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中異面直線及其所成角的求法，其中根據(jù)異面直線的定義，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】

由成等比數(shù)列可得數(shù)列的公差，再利用等差數(shù)列的前項和公式及通項公式可得為關(guān)于的式子，再利用對勾函數(shù)求最小值.【詳解】∵成等比數(shù)列，∴，解得：，∴，令，令，其中的整數(shù)，∵函數(shù)在遞減，在遞增，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量運(yùn)算、函數(shù)的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意為整數(shù)，如果利用基本不等式求解，等號是取不到的.9、A【解析】

先輔助角公式化簡,先求解方程的根的表達(dá)式,再根據(jù)在上有且只有三個實數(shù)根列出對應(yīng)的不等式求解即可.【詳解】.又在上有且只有三個實數(shù)根,故,解得或,即或,.設(shè)直線與在上從做到右的第三個交點(diǎn)為,第四個交點(diǎn)為.則,.故.故實數(shù)的取值范圍為.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三角函數(shù)的根求解參數(shù)范圍的問題,需要根據(jù)題意先求解根的解析式,進(jìn)而根據(jù)區(qū)間中的零點(diǎn)個數(shù)列出區(qū)間端點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解即可.屬于中檔題.10、A【解析】

判斷每個函數(shù)在上的單調(diào)性即可.【詳解】解：在上單調(diào)遞增，，和在上都是單調(diào)遞減.故選：A.【點(diǎn)睛】考查冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)的單調(diào)性.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題意，得到數(shù)列表示首項為1，公差為2的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列中，滿足，（），即（），所以數(shù)列表示首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義和通項公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義，合理利用數(shù)列的通項公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

首先利用輔助角公式，半角公式，誘導(dǎo)公式分別求出，，的值，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性對，，排序即可.【詳解】由題知，，，因為正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了輔助角公式，半角公式，誘導(dǎo)公式，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

先由，根據(jù)余弦定理，求出，再由，結(jié)合余弦定理，求出，再由題意即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，因此；又，由余弦定理可得，所以，因此.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于?？碱}型.14、【解析】

根據(jù)圓的性質(zhì)可求得最長弦和最短弦的長度，從而得到所有弦長為整數(shù)的直線條數(shù)，從中找到長度不超過的直線條數(shù)，根據(jù)古典概型求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，最長弦為圓的直徑：在圓內(nèi)部且圓心到的距離為最短弦長為：弦長為整數(shù)的直線的條數(shù)有：條其中長度不超過的條數(shù)有：條所求概率：本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問題的求解，涉及到過圓內(nèi)一點(diǎn)的最長弦和最短弦的長度的求解；易錯點(diǎn)是忽略圓的對稱性，造成在求解弦長為整數(shù)的直線的條數(shù)時出現(xiàn)丟根的情況.15、【解析】

由題意求得，再利用兩角和的正切公式求得的值，可得的值．【詳解】，為銳角，且，即，．再結(jié)合，則，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】要使函數(shù)有意義，則且，即且，即，隨機(jī)地投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，記骰子向上的點(diǎn)數(shù)為，則，則事件“”的概率為.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理化簡已知可得：，結(jié)合兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式可得：，問題得解.（2）利用可得：，兩邊平方并結(jié)合已知及平面向量數(shù)量積的定義即可得解.【詳解】解：（1）因為，所以由正弦定理可得,即,因為,所以，，,故.（2）由已知得，所以,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用及兩角和的正弦公式，還考查了利用平面向量的數(shù)量積解決長度問題，考查轉(zhuǎn)化能力及計算能力，屬于中檔題．18、（1）an=3n–4，（3）Sn=n3–8n，最小值為–1．【解析】分析：（1）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，求出公差，再代入等差數(shù)列通項公式得結(jié)果，（3）根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得的二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)對稱軸以及自變量為正整數(shù)求函數(shù)最值.詳解：（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–3．由a1=–7得d=3．所以{an}的通項公式為an=3n–4．（3）由（1）得Sn=n3–8n=（n–4）3–1．所以當(dāng)n=4時，Sn取得最小值，最小值為–1．點(diǎn)睛：數(shù)列是特殊的函數(shù)，研究數(shù)列最值問題，可利用函數(shù)性質(zhì)，但要注意其定義域為正整數(shù)集這一限制條件.19、(1)見解析；(2)中位數(shù)為29.2，分布特點(diǎn)見解析；(3)3720元【解析】

（1）根據(jù)頻數(shù)和頻率之間的關(guān)系計算，即可得到答案；（2）根據(jù)頻率分布直方圖利用中位數(shù)兩邊頻率相等，列方程求出中位數(shù)的值，進(jìn)而得出結(jié)論；（3）根據(jù)頻率分布直方圖求出休閑跑者，核心跑者，精英跑者分別人數(shù)，進(jìn)而求出平均值．【詳解】（1）補(bǔ)全該市1000名跑步愛好者周跑量的頻率分布直方圖，如下：（2）中位數(shù)的估計值：由，所以中位數(shù)位于區(qū)間中，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，因為，所以估計該市跑步愛好者多數(shù)人的周跑量多于樣本的平均數(shù)．（3）依題意可知，休閑跑者共有人，核心跑者人，精英跑者人，所以該市每位跑步愛好者購買裝備，平均需要元．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平均數(shù)、中位數(shù)的求法，以及頻率分布直方圖的性質(zhì)等相應(yīng)知識的綜合應(yīng)用，著重考查了化簡能力，推理計算能力，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）,,（2），證