福建省漳州市高三畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

漳州市2024屆高三畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試題

考生注意：

本試題卷共4頁，19題.全卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的姓名、班級、考場等.考生要

認(rèn)真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號、姓名是否一致.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，用0.5mm黑色簽字筆將

答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

A=<x-----<一>,B=|x"—3x-4<0}

1.已知集合〔12J,則2（18=（）

A.{x|3<x<4}B,3-1<》<1或3<1<4}

C.{x|-4<x<l}D,0

【答案】B

【解析】

【分析】先將集合a3化簡，再利用交集運(yùn)算得解.

113-xC

【詳解】由——<-,即彳7—^<0,解得x<l或x>3,

x-12

所以集合/=或X>3},又3=何一1<%<4},

則Zc5=-1<x<1或3Vx<4}.

故選：B.

2-A：+C：o=（）

A.65B.160C.165D.210

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)排列數(shù)、組合數(shù)的公式計(jì)算可得.

10x9

【詳解】A：+C[=A：+C；o=6x5x4+-----=165.

2x1

故選：C.

3.若復(fù)數(shù)2=/-,則歸―22=（）

3-4111

AC2「回

RD.

5

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)的模的求法結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】復(fù)g昌5i（3+4i）43.

---F

（3-4i）（3+4i）5

-43.

則2=------i,

55

匚二j.。一4.386.2.

所以iz-2z=——1---1---F—1=1+—1,

55555

所以匕―2目=l+|i=§

故選:C.

4.已知cosIocH—I=—,貝!]sin|---cc|+sin[2a---|=（）

—I6；6UJk6；

10426

A.—B.--C.一D.-

9935

【答案】A

【解析】

【分析】借助換元法，結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角公式計(jì)算即可得.

兀兀]

【詳解】☆an——t,則a二，—,cost——,

666

所以sin+sin[2a=sinj-r+^+sin

_._71111V

—cos,—cos2/—cost+1—2cost——bl----——.

6189

故選：A.

5.一個(gè)圓臺的上、下底面的半徑分別為1和4,體積為28兀，則它的表面積為（）

C.1

A.41兀B.42兀D.18+713兀

3

【答案】B

【解析】

【分析】先利用圓臺的體積公式求得高刀，再利用圓臺的表面積公式即可得解.

【詳解】依題意，設(shè)圓臺的高為人貝兀/z(F+42+ix4)=28兀，解得〃=4,

所以圓臺的母線長為7(4-1)2+42=5，

則圓臺的表面積為兀任+4?)+兀(1+4)x5=42兀.

故選：B.

6.在中，。是邊8c上一點(diǎn)，且5。=2。。必是力。的中點(diǎn)，記就=說，口=[,則屜=()

5一一*7--*7~*-

A.-n—3mB.—?-3mC.—m-3nD.-m-3n

3222

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可.

【詳解】~BE=AE-AB=^AC-(AC+CB)

=—:4—3①=—g/—3(礪—可

5—■—■5

=-AC-3AD=-m-3n,

22

故選：D.

7.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,/(2x+l)是奇函數(shù)，且/(x)+g(3-x)=-4j=g(x)的圖象

關(guān)于x=l對稱，/(4)=2,貝！|/(22)+g(24)=()

A.4B.8C.-4D.-6

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題中條件可得y=/(x)的圖像關(guān)于x=2對稱，結(jié)合/(2X+1)是奇函數(shù)，可得/(x)的圖象

關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱，繼而可得/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，通過賦值，進(jìn)一步計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)閥=g(x)的圖象關(guān)于x=l對稱，所以g(3—x)=g(x—1).

因?yàn)?(x)+g(3—x)=—4①，則/(4一x)+g(3—(4—x))=—4,

即/(4—x)+g(x—1)=—4②，①②得，/(x)=/(4-x),

所以y=/(x)的圖像關(guān)于x=2對稱.

令〃(x)=/(2x+l),則〃(x)是奇函數(shù)，

所以力［萬］+力=/(x+1)+/(_》+1)=0,即/(x+1)=—/(—x+1),

所以/(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)中心對稱，

所以/(4一x)=—/(x—2),所以/(x)=—/(x—2)=/(x—4),

所以/(x)是以4為周期的周期函數(shù).

因?yàn)?(x)+g(x—l)=-4,所以g(x)=-4-/(x+l).

因?yàn)?(x)是以4為周期的周期函數(shù)，

所以g(x)也是以4為周期的周期函數(shù)，

取x=0,/(1)=-/(1),所以/(1)=0.

因?yàn)?(4)=2,所以/(0)=2,

所以7(2)=-/(0)=-2,7(3)=-/(1)=0.

取x=3,所以/⑶+g(0)=—4,

所以g(0)=-4,

所以〃22)+g(24)=/(2)+g(0)=—2—4=—6,

故選:D.

8.將數(shù)列｛3〃-1｝與｛2"｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛4｝,則出0=()

A.237B.238C.239D.240

【答案】C

【解析】

【分析】經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)列"”｝中的奇數(shù)項(xiàng)都是數(shù)列｛3〃-1｝中的項(xiàng)，觀察歸納可得.

【詳解】數(shù)列｛2"｝中的項(xiàng)為：2,4,8,16,32,64,128,256,…，

經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)列｛2"｝中的奇數(shù)項(xiàng)都是數(shù)列｛3〃-1｝中的項(xiàng)，

即2,8,32,128,…可以寫成3〃-1的形式，觀察歸納可得見=22"T,

所以%O=22*2°T=239,

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=/sin(3x+e)的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是()

A./(x)的圖象關(guān)于中心對稱

771

B./(X)在區(qū)間371,—上單調(diào)遞增

C./(x)在［0,句上有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是—

D.將g(x)=2cos3x的圖象向右平移；個(gè)單位長度，可以得到函數(shù)/(x)的圖象

【答案】AD

【分析】不妨設(shè)幺〉0,?！?,根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.

…-327r5兀7t7i

【詳解】不妨設(shè)/則Z=2,—x——=—+—=-

4m12122

解得G=3.又/1—五J=一2，

(71)71

所以3x1~~^2J+°=-5+2而，左￡Z,

71

解得一~，左Z,

9=47+2Ec

TT

取符合條件的夕的一個(gè)值，不妨令9=-z，

則/(x)=2sin13x-；).

對于A選項(xiàng)，因?yàn)?j=2sin^3x---j=0.

所以/(x)的圖像關(guān)于中心對稱，故A選項(xiàng)正確;

TT717r

對于B選項(xiàng)，令----i-2hr<3x----<—+2hi,keZ,

242

,口2kn兀,兀2kn,,,

解得--------<%<-+——，4eZ,

31243

所以/(x)=2sinhx-^j的單調(diào)遞增區(qū)間為：

2kji71712kjl

—，--1------，左￡Z,

~T1243

[3兀437r

取左=5,得/(X)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為—

因?yàn)樨＃?＜7兀43兀

3一<----

4212

77T

所以/(x)在3兀,號上不具有單調(diào)性，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對于C選項(xiàng)，因?yàn)闊oqo,。],

所以—工＜3x—二W3?！?，

444

TT]3兀17兀

所以37r＜3。一上＜4兀，解得一,

41212

故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對于D選項(xiàng)，將g(x)=2cos3x的圖象向右平移;個(gè)單位長度得到:

2cos3Ix—

I42COS3X-T

c兀c兀

—2cos—3x---=2sin13x-：=/(x)的圖象,

24

故D選項(xiàng)正確,

故選:AD.

10.點(diǎn)尸在拋物線/=4x上，/為其焦點(diǎn)，。是圓C:(x—3)2+/=1上一點(diǎn)，〃(3,2),則下列說法正

確的是()

A.|P0|的最小值為2JL

B.△「回周長的最小值為4+20.

C.當(dāng)/FMQ最大時(shí)，直線的方程為x+y—5=0.

D.過P作圓。的切線，切點(diǎn)分別為48,則當(dāng)四邊形？NCS的面積最小時(shí)，尸的橫坐標(biāo)是1.

【答案】BD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)：通過拋物線方程計(jì)算可得；

B選項(xiàng)：運(yùn)用拋物線定義，將|尸尸|轉(zhuǎn)換為尸到準(zhǔn)線的距離即可求出周長最小值;

C選項(xiàng)：將最大問題，轉(zhuǎn)換為NCMQ的最大值問題，再討論;

D選項(xiàng)：結(jié)合A選項(xiàng)得到的結(jié)論，判斷四邊形R4cs的面積最小時(shí)尸點(diǎn)坐標(biāo).

/2、/2\2

【詳解】對于A選項(xiàng)，設(shè)P\,歹,則|PQ|2|PC|—1,|PC「二V2--1+8>8,

143+V(4J

)

當(dāng)且僅當(dāng)/=4時(shí)取等號，此時(shí)“1,2)或P。,—2),所以|PC|?2行,

\PQ\>\PC\-1>242-1,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于B選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1,如圖1,過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足記為”,

則|PM|+|PR|=|PM|+|PH|,當(dāng)且僅當(dāng)〃，尸，〃三點(diǎn)共線時(shí)，|?比|+歸可取得最小值,

即\PM\+\PH\>\MH\=3+1=4,此時(shí)P(l,2),

5L\MF\=7（3-l）2+（2-0）2=2，所以△「回周長的最小值為4+2后，故B選項(xiàng)正確；

對于C選項(xiàng)，如圖2,當(dāng)〃。與圓。相切時(shí)，且=+時(shí)，NFM。取最大.

連接MC,CQ,由于b，CQLMQ,\MC\=2=2\CQ\

,所以NCM0=3O。，可得直線的斜率為一行，

所以直線〃。的方程為y=—G（x—3）+2,即Gx+y—3百—2=0,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于D選項(xiàng)，如圖3,連接尸C,S四邊形"cB=2Sac=2xgx|R4|xl=|R4|=J7TfW,

由A選項(xiàng)知，|尸。陞8,且當(dāng)P（l,2）或P。,—2）時(shí)，|PC「=8,

此時(shí)四邊形上4cs的面積最小，P的橫坐標(biāo)是1,所以D選項(xiàng)正確，

故選：BD.

11.如圖，在棱長為4的正方體ABCD-&B￡Di中，￡,歹分別是棱耳與，?？诘闹悬c(diǎn)，G為底面ABCD

上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（)

Bi

AD

A.當(dāng)G為ZD的中點(diǎn)時(shí)，EFICG

B.若G在線段5。上運(yùn)動，三棱錐/-G￡F的體積為定值

C.存在點(diǎn)G,使得平面E尸G截正方體所得的截面面積為12G

Oq/

D.當(dāng)G為ZD的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐4-ENG的外接球表面積為一-

9

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，EF=(2,4,-2),CG=(4,-2,0),利用向量

的坐標(biāo)運(yùn)算即可證明；對于B,當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)B重合時(shí)，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)。重合時(shí)，等體積法轉(zhuǎn)化即可得三棱錐

4-GE尸的體積；對于C,當(dāng)G為5C中點(diǎn)時(shí)，平面EbG截正方體所得的截面為正六邊形EKFaGJ,

可得截面面積；對于D，設(shè)△4^G的外接圓半徑為「，三棱錐4-MG的外接球半徑為R,由

R2=/+［昔］可求外接球半徑，根據(jù)球的表面積公式即可判斷.

【詳解】對于A選項(xiàng)，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖1所示的空間直角坐標(biāo)系，

則￡（2,0,4）,尸（4,4,2）,C（0,4,0）,G（4,2,0）,

所以定=（2,4,—2）,CG=（4,-2,0）,

因?yàn)辂?M=2x4+4x（—2）+0=0,所以即_LCG,故A選項(xiàng)正確;

對于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)5重合時(shí)，如圖2所示，V_=V__=lxlx4x4x4=^

AGEFFAGE323

11Q

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)。重合時(shí)，如圖所示，V—X4X2X2=-,

G3YA!-KGJlEljlF=Vl_Ej-jlxjl3

所以三棱錐/-GE9的體積不是定值，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對于C選項(xiàng)，當(dāng)G為5C中點(diǎn)時(shí)，平面￡尸G截正方體所得的截面為正六邊形EKFU,如圖4所示，其

中〃，J,K為相應(yīng)邊的中點(diǎn)，則正六邊形EKEHGJ的邊長為2行,

圖4圖5

I2=1273.故存在點(diǎn)G,符合題意，故C選項(xiàng)正確;

所以該截面的面積為6X--------X

4

對于D選項(xiàng)，當(dāng)G為2。的中點(diǎn)時(shí)，如圖5所示，易知E4,平面4FG,

因?yàn)?尸=4G=26，F(xiàn)G=272,

所以由余弦定理的推論得cos"4G=便21晨廣=2x2X275=5'

3

所以sinNE41G=《，設(shè)△吊尸G的外接圓半徑為「，

_FG_2A/2_10A/2歷

則sin/F4G一丁一丁,所以廠=浮

1-3

5

AE

設(shè)三棱錐4-EFG的外接球半徑為R,則A?=/+X

所以三棱錐A「EFG的外接球的表面積為4兀R2=--,故D選項(xiàng)正確，

9

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.曲線y=(——9二在(1,0)處的切線方程為.

【答案】y=e(x-l)

【解析】

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.

【詳解】由題可得歹'=(一+%—1卜)

當(dāng)x=l時(shí)，V|i=e,所以所求切線方程為y=e(x—1).

故答案為：j=e(x-l).

13.點(diǎn)片，8分別為雙曲線C:=-2=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)，過心作斜率為-組的直線與雙曲線C

Q63

的左、右兩支分別交于45兩點(diǎn)，若△片43為以45為底的等腰三角形，則。的離心率為.

【答案】V2

【解析】

【分析】根據(jù)題意作出圖象，結(jié)合雙曲線的定義及題中條件可得|4B|=4a,\MB\=2a,

\FxB\=4ic\MF\=c,繼而根據(jù)勾股定理建立方程，解出即可.

【詳解】由題可得出山=|片同，如圖，

取48的中點(diǎn)連接片貝ij耳攸，4g.

設(shè)閨旬=陽用=/,則\F2B\=t—2a,\F2A^=t+2a,

所以|/囚=(f+2a)-(/-2a)=4a,所以=2a.

因?yàn)橹本€48的斜率為-立，所以/〃工片=工.

36

又歸用=2c,所以|九里卜G，MFJ=C,

則優(yōu)司=|%J-=任-2，

所以陽同=2°+忸泗=版.

在中，+

即c2+(2a)2=(Gc)2,解得二=0,

a

即雙曲線。的離心率e=J5.

故答案為：V2.

14.如圖，某城市有一條公路從正西方向/。通過路口。后轉(zhuǎn)向西北方向08,圍繞道路。4,。8打造了一

個(gè)半徑為2km的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)相切的觀光道跖V,則跖V的最小值為_______km.

【答案】40+4

【解析】

【分析】在△。肋V中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得九加22口+夜,6,利用正弦定理可得

,4

ab=-——7——r,利用三角函數(shù)的有界性建立不等式，即可求解?

smcrsm(45-or)

【詳解】如圖，設(shè)切點(diǎn)為尸，連接。尸.由題意得NMON=135。，

設(shè)OM=akm,ON=6km,

在△OMN中，

MN2=a2+b2-2abcosl350

=a1+b'+y/2ab>(2+也)ab,

當(dāng)且僅當(dāng)。=b時(shí)取等號.

設(shè)4OMN=a,貝I]NONA/=45°—a,

2

所以”■人

sin（450-tz）'

故仍一T

smcrsm（45-tz）

1616

=------------------—-------=-

2sin（2a+45。）-后—2-遮

（當(dāng)且僅當(dāng)a=22.5°時(shí)取等號），

16（2+上）「

所以小加2>__L=16（72+1）2，

2-V2

解得MN24（C+1）,所以〃N的最小值為（4亞+4）km.

故答案為：4A/2+4.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.如圖，在四棱錐P—/BCD中，尸2,底面

ABCD,AB//CD,ZBAD=45°,PA=CD=4,AB==2.

P

（1）求證：8。1平面？4。；

（2）求平面必。與平面/BCD的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵典

41

【解析】

【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理及判定定理即可得證；

（2）分別求兩個(gè)平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的夾角公式求平面必C與平面45CD的夾角的余弦值;

或確定平面必C與平而45co所成角的平面角，利用解三角形的相關(guān)知識即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)?8=64。=2，所以40=夜，

又NBAD=45°，所以由余弦定理得BD=AB2+AD2-2AB-AD-cosABAD

=j+2—2x2x拒x*="

因?yàn)?+BD2=4=AB），所以AD18。，

因?yàn)槭?,平面/BC。,8。u平面/BCD,所以尸2,8￡）,

又因?yàn)锳D^PA=A,AD,PAu平面PAD，所以3。1平面PAD，

【小問2詳解】

解法一；以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為X/軸，過點(diǎn)A垂直于平面尸48的直線為V軸,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則8（2,0,0）,尸（0,0,4）,C（5,1,0）,

則元=（3,1,0）,4=（5,1,—4）,

設(shè)平面尸的法向量為陽=（西,弘,21）,

BC-m=0,[3x+v.=0,,、

則一即J,八取玩=（2,—6,1）,

PC-m=0,〔5X1+.4—4Z]=0,

易得平面45co的一個(gè)法向量為為=（0,0,1）,

設(shè)平面PBC與平面ABCD的夾角為。,

IV41

則cos。=|cos西司

V41xl"ZT

所以平面PBC與平面ABCD的夾角的余弦值為叵,

41

解法二：如圖，過A作交C5的延長線于X,連接？H，

因?yàn)槭?,平面Z8CO,8Cu平面/BCD,所以P/L5C,

因?yàn)镻A^AH=A,PA,AHu平面PAH，

所以5C1平面又PHu平面上47/,所以BCLPH,

所以NP網(wǎng)即為平面必C與平面/BCD所成角的平面角，

由（1）可得NBDC=45°,

由余弦定理得BC=^BD2+CD2-2BD-CDcos45°

=^2+16-2x72x4x^=710.

X

由正弦定理得———=———，所以?^T屈,

sinZBCDsinZBDCsmZBCD==—

因?yàn)?8//CD,所以NABH=NBCD,所以sin//用夕=sin//?「〃=由。

10

V10_VTo

所以/〃=ABsinZABH=2x

IB"一。

所以PH=飛AH?+PA?

Vio

AT-f^

所以cosZPHA=——=，==

PHV41041

5

所以平面PBC與平面ABCD的夾角的余弦值為辿，

41

16.已知數(shù)列｛%｝滿足，ax+2a2+--?+nan=""+1)(4"__0

6

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若對任意“eN*,加與+…求加的最小整數(shù)值.

31323"

【答案】(1)%=2〃—l(〃eN*)

(2)1

【解析】

【分析】(1)作差法，計(jì)算得到%=2〃-1,驗(yàn)證”=1是否成立，進(jìn)而得到數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)令S“=?+與+…+%,利用錯(cuò)位相減法得到S“=1-四，即可求得加的最小整數(shù)值.

"31323"3"

【小問1詳解】

因?yàn)閝+2出+???+〃%="〃+D(.T),①

6

當(dāng)"之2時(shí)，ax+2&H---1-(…；T)『),②

①②得〃a=〃(〃+1)(4"1)_("1)〃(4"5)=2/一

"66

即an=2〃一1.

當(dāng)〃=1時(shí)，q=1也符合上式，

所以%=2〃—l(〃eN*).

【小問2詳解】

因?yàn)?=2〃—1，所以/生7=2H,—1，

.?a,a.a?1352n-l

令sa=4-+4-+---+-^=-+—+—+-?-+----,

“31323"332333"

cri<,1o1352n-l

所以_S；,=_7H—rH—TH--1----r-,

33233343,+i

22

兩式相減得2s=l+2_+...I22〃-1=jL⑺」L_2〃T=2__2〃+2,

2n+1,,+1

3"333"31133'"i33

3

所以S“=l—q?(〃eN*).

n+1

因?yàn)槎　?,所以S“<1，

所以機(jī)21,故加的最小整數(shù)值為1.

17.已知函數(shù)/(x)=ax?-lnx-x.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

(2)若不等式/(x)NO恒成立，求。的取值范圍；

(3)當(dāng)a=0時(shí)，試判斷函數(shù)R(x)=2sinx-/(x)-2x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并給出證明.

【答案】(1)答案見解析

(2)[l,+oo)

(3)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，證明見解析

【解析】

【分析】(1)對/(X)求導(dǎo)，再分。<0與a>0兩種情況分類討論/(x)的單調(diào)性即可求解；

(2)根據(jù)條件，分離常量得到—+T，構(gòu)造g(x)=—+」：(x〉0),將問題轉(zhuǎn)化成求g(x)的最大

XXXx~

值，即可解決問題；

(3)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理即可求解.

【小問1詳解】

因?yàn)?(x)=ax2-lnx-x,xe(0,+co),

所以/'(x)=2ax-工-1=2"廠—I,

XX

當(dāng)a<0時(shí)，2a/—x—1<0恒成立，所以/''仁卜。；

當(dāng)a>0時(shí)，令2ax2—x—l=0，

解得x=9El巴(舍去負(fù)根)，

4a

令#(x)>0,得x〉l+Jl+M.；令f'(x)<0,得o<x<5叵

4a4。

綜上所述，

當(dāng)aKO時(shí)，/(x)在(0,+")上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)在/H&+阻］上單調(diào)遞減,在「+Jl+8a,+」］上單調(diào)遞增.

I4aJI癡J

【小問2詳解】

由/(x)20恒成立，得G221nx+X在(0,+司上恒成立，

jInY

所以a2—I—y-在(0,+。)上恒成立.

XX

./x1lnx八、

令g(x)=—+F(zx>0)，

XX

…，/、1x-2x\nx1l-21nx-x+1-21nx

則gX=~—+—5—=-—+——=------3——?

XXXXX

令h(x)=-2lnx-x+l(x>0),

易知〃(x)=—2lux—x+1在(0,+8)上單調(diào)遞減.

又〃⑴=0,

所以當(dāng)xe(O,l)時(shí)，/j(x)>0,gr(x)>0,

當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，/z(x)<0,g'(x)<0,

所以g(X)在(0,1)上單調(diào)遞增，在0,+8)上單調(diào)遞減,

所以g(x)在X=1處取得極大值，也是最大值，

即g(x)max=g(l)=l，

所以。之1,即。的取值范圍為［1,+8).

【小問3詳解】

當(dāng)。=0時(shí)，F(xiàn)(x)=2sinx+Inx+x-2x=Inx-x+2sinx,x>0,

貝U9(x)=工-l+2cosx,

X

令G(x)=產(chǎn)'(x)=—-l+2cosx,x>0,

則G'(x)——-—2sinx,

當(dāng))￡(0,%)時(shí),G(x)<0,所以廠'(％)在(0,兀)上單調(diào)遞減.

又尸'(1)=2cosl>0,尸(]]=2—1<0,

所以k(x)在(0,兀)上存在唯一的零點(diǎn).

設(shè)廠'(X)在(0㈤上的零點(diǎn)為/[1<工0<、｝

可得當(dāng)xe(O,x())時(shí),F(x)〉0,尸(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xe(x(),兀)時(shí)，尸(《〈。，心⑺單調(diào)遞減,

解法一：F|—|=In--—+2sin—=-ln2--+2sin—,

UJ22222

,_,..17CLLit.l.711

因?yàn)橐?lt;一，所以sin—<sin—=一,

26262

故2sin，<l.又—ln2—，<—1,所以W<0.

22U；

又尸[Tin111'—1+2〉°,

所以尸(x)在上有一個(gè)零點(diǎn).

又F(兀)=Injr一兀<0,

所以月(%)在[|>兀]上有一個(gè)零點(diǎn).

-3兀11

當(dāng)工￡7T,—時(shí)，/'(％)=---1+2COSX<0,

37r

所以R(x)在71,—上沒有零點(diǎn).

3兀

當(dāng)工〉一時(shí)，

2

令W(x)=Inx——(x>e),

則少，(x)=4—』=^^<0,

xeex

所以少(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減，

pyy

所以少(x)vine——=0,所以lnx<—<一,

Qe2

xx

所以尸(x)=］wc-x+2sinx<--x+2sinx=2sinx--,

而2$加42,5%>5乂$>2,所以尸(%)<0,

故/(X)在［g,+oo］上沒有零點(diǎn).

綜上所述，F(xiàn)(X)在定義域(0,+力)上有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

解法二：因?yàn)槭?-2—-+2sin—<0,=In］—1+〉0,

所以尸(x)在［5,上有一個(gè)零點(diǎn).

又F(7i)=In兀一兀<0,

所以尸(X)在［；,兀］上有一個(gè)零點(diǎn)，

當(dāng)工￡［兀,2兀］時(shí)，F(xiàn)(x)=lux-x+2sinx<lux-x,

易證lnx<x—l,

所以lux—x<x—1—x=—1<0,

從而尸(x)<0在［兀,2兀］上恒成立,

故廠(x)在［兀,2兀］上沒有零點(diǎn).

當(dāng)x￡(2兀,+8)時(shí)，F(xiàn)(x)=Inx-x+2sinx<Inx-x+2,

設(shè)〃(x)=Inx-x+2(x>2兀),

則〃(X)=L—1<0,

JC

所以〃(x)在(2兀,+8)上單調(diào)遞減.

又H(2兀)=In(271)-2TI+2<0,

則//(x)<0在(2兀,+8)上恒成立，

所以尸(x)<0在(2兀,+co)上恒成立，

故廠(x)在(2兀,+oo)上沒有零點(diǎn).

綜上所述，F(xiàn)(x)在定義域(0,+動上有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

1Inv

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二小問，將恒成立問題，分離常量轉(zhuǎn)化為—十丁，構(gòu)造函數(shù)

XX

IInY

g(x)=-+—(x>0),求g(x)的最大值，即可得解；第三小問，主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

XX

利用導(dǎo)數(shù)可得當(dāng)xe(O,x0)時(shí)，E(x)單調(diào)遞增；當(dāng)xe(x0，兀)時(shí)，e(%)單調(diào)遞減，其中再

結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，可得零點(diǎn)所在區(qū)間得解.

18.已知橢圓C：=+《=l(a〉b〉0)的右焦點(diǎn)為是C上的點(diǎn)，直線7F的斜率為-二

a~b-12)4

(1)求。的方程；

(2)過點(diǎn)/作兩條相互垂直的直線分別交。于兩點(diǎn)和P,0兩點(diǎn)，的中點(diǎn)分別記為48,

且為垂足.試判斷是否存在點(diǎn)K,使得|次月|為定值？若存在，請求出點(diǎn)K的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

22

【答案】(1)—+^=1

43

(2)存在;K卜云)

【解析】

【分析】(1)由條件列方程組，即可得解；

(2)當(dāng)跖V,尸。均不與尤軸垂直時(shí)，設(shè)直線跖V的方程為》=江+1,得出直線尸。的方程，分別與橢圓的

方程聯(lián)立，求出中點(diǎn)48的坐標(biāo)，進(jìn)而得到直線42的方程，可知直線過定點(diǎn)，并驗(yàn)證特殊情況下，

直線N2也過定點(diǎn)，結(jié)合直角三角形中斜邊中線的性質(zhì)即可求解.

【小問1詳解】

a~=b2+c~,

9a=2,

1

依題意得《3=1,解得1=石

ab2

c=l,

--0

23

.-1-C

22

所以。的方程為±+t=1.

43

【小問2詳解】

存在點(diǎn)—言］］，使得|K5|為定值.

當(dāng)MN,P。均不與x軸垂直時(shí),

設(shè)直線MV的方程為》=江+1/力0,，

則直線P0的方程為x=—+1,

fx2/

聯(lián)立43'

、x=ty+l,

消去x整理可得（3r+4）/+6勿—9=0,A>0.

6t9

則nl叫+『-E，"2=-E'

設(shè)/（七,%），則％=匕P=_三4,&='看

所以/

同理得點(diǎn)3的坐標(biāo)為

7f

則直線48的斜率3B="±1),

――1

4〃+33F+4

3t

所以直線的方程為了=

3/+4'

4

令y=o,解得x=—

7

所以直線N5經(jīng)過定點(diǎn)

當(dāng)/=±1時(shí)，直線的方程為x=:，也經(jīng)過定點(diǎn)

當(dāng)"N與x軸垂直或重合時(shí)，直線的方程為＞=0,經(jīng)過定點(diǎn)^,0

綜上，直線N2經(jīng)過定點(diǎn)

記定點(diǎn)G[T，O]，GT的中點(diǎn)記為K,則K,言,￡|,'G|=￥^，

因?yàn)?77工/2,所以區(qū)叫=；|76|為定值，

所以存在點(diǎn)犬,得[],使得區(qū)月|為定值.

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，直線過定點(diǎn).

設(shè)出直線跖V的方程為x=(y+l,根據(jù)條件得直線尸。的方程，分別與橢圓的方程聯(lián)立，由韋達(dá)定理求出

中點(diǎn)48的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線的方程，證明直線N5過定點(diǎn)結(jié)合圖形分析得出結(jié)果.

19.“綠色出行，低碳環(huán)?！钡睦砟钜呀?jīng)深入人心，逐漸成為新的時(shí)尚.甲、乙、丙三人為響應(yīng)“綠色出行，低

碳環(huán)?！碧栒?，他們計(jì)劃每天選擇“共享單車”或“地鐵”兩種出行方式中的一種.他們之間的出行互不影響，

其中，甲每天選擇“共享單車”的概率為玄，乙每天選擇“共享單車”的概率為g,丙在每月第一天選擇“共享

31

單車，，的概率為一，從第二天起，若前一天選擇“共享單車，，，后一天繼續(xù)選擇“共享單車”的概率為一，若前

44

一天選擇“地鐵”，后一天繼續(xù)選擇“地鐵”的概率為工，如此往復(fù).

3

（1）若3月1日有兩人選擇“共享單車”出行，求丙選擇“共享單車”的概率；

（2）記甲、乙、丙三人中3月1日選擇“共享單車”出行的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）求丙在3月份第〃（"=1,2,…,31）天選擇“共享單車”的概率勺，并幫丙確定在3月份中選擇“共享單

車”的概率大于“地鐵”的概率的天數(shù).

9

【答案】⑴—

23

（2）分布列見解析；期望為一

12

⑶月4+氯一總（LTD；2天

【解析】

【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件概率的乘法公式與條件概率公式進(jìn)行求解即可；

（2）依題意得到X的所有可能取值及對應(yīng)的概率，從而求得分布列及數(shù)學(xué)期望；