2024屆浙江省寧波市二模模擬考試數(shù)學(xué)試題

2024年寧波二模模擬考試數(shù)學(xué)試題

一、單選題(每題5分，共40分)

1.已知點(diǎn)集八=｛&刈%€乙丫€2｝,S=｛(a,b)eA|lW5,1(645｝.設(shè)非空點(diǎn)集T=A,若對(duì)S中任意一點(diǎn)尸，在T中

存在一點(diǎn)。(。與尸不重合)，使得線段尸。上除了點(diǎn)R。外沒(méi)有A中的點(diǎn)，則T中的元素個(gè)數(shù)最小值是()

A.1B.2C.3D.4

2.已知復(fù)數(shù)z的實(shí)部大于等于1,則,+1+i的最小值為()

Z

A.V2B.V3C.叵iD.叵^

22

3.已知實(shí)數(shù)。、b,滿足〃=log56+log3625,3。+4。=5七則關(guān)于。、。下列判斷正確的是()

A.a<b<2B.b<a<2C.2<a<bD.2<b<a

A111/、

4.1-------------------------H...H------------------------=()

sin45°sin46°sin46°sin47°sin89°sin90°')

17

A.—FB.45s譏1。C.一工D.90s譏1。

sinl°sinl°

5.如圖，己知橢圓C1和雙曲線c?具有相同的焦點(diǎn)E(-c,o),8(c,o),42、c、r>是它們的公共點(diǎn)，且都在圓/+

上，直線A3與X軸交于點(diǎn)尸，直線CP與雙曲線C?交于點(diǎn)。，記直線AC、AQ的斜率分別為8、k2,若橢圓G的離

4

C.-D.4

3

6.已知向量a,b,工滿足a+6+C=0，(a-6)?(a-c)=0,\b-c\=9,則|a|+16|+|?的最大值是()

A.15B.—C.3+—D3isVio

224

7.等差數(shù)列也｝的通項(xiàng)是a“=3〃-l,等比數(shù)列也｝滿足伉=%,%=%,其中q>pNl,且〃、P、”勻?yàn)檎麛?shù).有

關(guān)數(shù)列也｝,有如下四個(gè)命題：

①存在p、q,使得數(shù)列｛年｝的所有項(xiàng)均在數(shù)列｛4｝中；

②存在？、q,使得數(shù)列｛〃｝僅有有限項(xiàng)(至少1項(xiàng))不在數(shù)列｛%｝中；

③存在。、q,使得數(shù)列也｝的某一項(xiàng)的值為2023；

④存在p、q,使得數(shù)列｛2｝的前若干項(xiàng)的和為2023.

其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）個(gè)

A.0B.1C.2D.3

8.我們規(guī)定具有下述性質(zhì)的正整數(shù)上為“奇妙數(shù)”：若將1,2,?,%中的每個(gè)數(shù)任意染為紅色或者藍(lán)色，則或者存在9個(gè)

互不相同的紅色的數(shù)占,多,,%滿足尤1+尤2++尤8〈尤9，或者存在1。個(gè)互不相同的藍(lán)色的數(shù)%，%，?,，%）滿足

%+必++/＜加.則最小的“奇妙數(shù)”為（）

A.396B.397C.408D.409

二、多選題（每題6分，共18分）

9.如圖，是邊長(zhǎng)為5的正方形，半圓面平面A8CD點(diǎn)尸為半圓弧4。上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)尸與點(diǎn)A,。不重

合）.下列說(shuō)法正確的是（）

A.三棱錐尸一A3。的四個(gè)面都是直角三角形

B.三棱錐「一48。體積的最大值為1號(hào)25

C.異面直線物與的距離為定值

D.當(dāng)直線PB與平面ABC。所成角最大時(shí)，平面出8截四棱錐尸一48CD外接球的截面面積為251一點(diǎn)』

10.函數(shù)/（》）=七-|sinx|在（0,+8）上有兩個(gè)零點(diǎn)內(nèi)69＜￡）,下列說(shuō)法正確的是（

5兀3兀csinor+sinB

A.尸eT5TB.tan￡-cr=--------———

：1+尸

C.tan,+)=D.f（x）在（0,2兀）上有2個(gè)極值點(diǎn)占,馬（為＜々）且馬-士=兀

1-B

11.平面直角坐標(biāo)系中xOy中，已知拋物線「丁=2球（？＞0）,焦點(diǎn)為尸，準(zhǔn)線為/,頂點(diǎn)為A,則下列說(shuō)法正確的有:

().

A.拋物線上兩點(diǎn)P、G與頂點(diǎn)A為正三角形三頂點(diǎn)，PG與「的對(duì)稱軸交于N,則AN=6p.

B.過(guò)「上兩點(diǎn)Q、Q'的切線交于T,作7X，/,直線QQ'與r的對(duì)稱軸交于N',則TK=2FN'.

c.過(guò)「焦點(diǎn)F作三條弦xr,yy',zz',則/2="為二

3△XYZ'%%為'

D.任意作一條直線廠與拋物線相交于氏R（設(shè)R在R上方），在直線/'取兩點(diǎn)T,T'使得|RT|=|RT'|（設(shè)T在R上

方，T'在R下方），分別過(guò)T,T'作『的切線，切點(diǎn)為S,S',直線SS'和RR'交于則"為RR'中點(diǎn).

三、填空題（每題5分，共15分）

12.現(xiàn)要將一邊長(zhǎng)為101的正方體A8CD-4耳G0,分割成兩部分，要求如下：（1）分割截面交正方體各棱&A,BB},

CG，DR于點(diǎn)、P,Q,R,S（可與頂點(diǎn)重合）；（2）線段AP,BQ,CR,OS的長(zhǎng)度均為非負(fù)整數(shù)，且線段AP,BQ,

CR,OS的每一組取值對(duì)應(yīng)一種分割方式，則有種不同的分割方式.（用數(shù)字作答）

13.正多面體又稱為柏拉圖立體，是指一個(gè)多面體的所有面都是全等的正三角形或正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)聚集的棱的條

數(shù)都相等，這樣的多面體就叫做正多面體.己知正12面體的每個(gè)面均為正五邊形，棱長(zhǎng)為1,則它的體積為

14.已知函數(shù),=9-雙的圖象上存在四個(gè)點(diǎn)4&,%）,過(guò)A,的切線為虱i=l,2,3,4,其中/"4），且4,心左。圍成的圖

形是正方形.貝I。的取值范圍為

四、解答題

15.（13分）設(shè)a,#e（0,兀），滿足。+，＜兀.

（1）證明：若a＞0,則當(dāng)xe（0,l）時(shí)，asin（ax+/3）＞/3sin（/3x+a）.

⑵若存在尤e（0,1）滿足sin（cr）-sin（?x+尸）=sin（6）?sin（6元+a）,證明a=￡.

16.（15分）近些年來(lái)，三維掃描技術(shù)得到空前發(fā)展，從而催生了數(shù)字幾何這一新興學(xué)科.數(shù)字幾何是傳統(tǒng)幾何和計(jì)算

機(jī)科學(xué)相結(jié)合的產(chǎn)物.數(shù)字幾何中的一個(gè)重要概念是曲率，用曲率來(lái)刻畫(huà)幾何體的彎曲程度.規(guī)定：多面體在頂點(diǎn)處的曲

率等于2萬(wàn)與多面體在該點(diǎn)的所有面角之和的差（多面體的面角是指多面體的面上的多邊形的內(nèi)角的大小，用弧度制表

示），多面體在面上非頂點(diǎn)處的曲率均為零.由此可知，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正方體

在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是TT所以正方體在各頂點(diǎn)的曲率為2萬(wàn)-3xT^T=1TT,故其總曲率為4乃.

⑴求四棱錐的總曲率；

（2）表面經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡(jiǎn)單多面體.關(guān)于簡(jiǎn)單多面體有著名歐拉定理：設(shè)簡(jiǎn)單多面體的頂點(diǎn)數(shù)

為D,棱數(shù)為乙面數(shù)為則有：O-L+M=2.利用此定理試證明：簡(jiǎn)單多面體的總曲率是常數(shù).

17.(15分)設(shè)整數(shù)a”%，，“2oi91兩足1=a1<^2—"<—^2019=99.

f-(^1+々2++.2019)-(4“3+々2&4+〃3〃5++〃2017a2019).

(1)求/的最小值力.

(2)求使旦成立的數(shù)組(4％,,%019)的個(gè)數(shù)?(可用組合數(shù)表示)

22

18.(17分)設(shè)C為橢圓二+幺=1的左焦點(diǎn)，直線、=辰+1與橢圓交于A,B兩點(diǎn).

84

(1)求|CA|+|CB|的最大值；

(2)若直線>=履+1與x軸、>軸分別交于M,N,且以為直徑的圓與線段的垂直平分線的交點(diǎn)在橢圓內(nèi)部

(包括在邊界上)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

19.(17分)X-t乘積數(shù)組是由白俄羅斯LilianaW.Willanovski提出的概念，在量子力學(xué)、曲面幾何等領(lǐng)域有重要應(yīng)用。

求最小的實(shí)數(shù)2,使得小t乘積數(shù)組概念如下：對(duì)任意的正整數(shù)“，可以將其表示成t個(gè)正整數(shù)之積，即，7=尤/x“

且滿足對(duì)任意的ie{1,2…t},均有％是素?cái)?shù)或者為,則稱(xi,X2...xt)為n的；l-t乘積數(shù)組.記A(n,2,t)為{a[a=x；,

(xi,X2...xt)為n的二-t乘積數(shù)組}

(1)直接寫(xiě)出A{22024,高,2023}中各元素的和；

(2)若對(duì)任意正整數(shù)n,均存在/l-t乘積數(shù)組，求2的最小值。

參考答案:

1.B

2.C

3.D

4.A

5.B

6.D

7.B

8.C

9.AC

10.ACD

11.ACD

12.707504

1315+7日

,-4

14.120,+8)

15.(1)f^x)=asin(ax+/7)-/?sin(；0x+a),

則fr(%)=&cos(ax+P)-B2cos+a),----2分

由于二>p，xe(0,l),

故6ZX+力_(/+夕)=(6/_尸)1_屹_尸)=(6/_2)(%_1)vO,

即ax+P<px+a,

又?！?0,1),a,pG(0,7t),a+/3<7t,故0<a%+/?<<分+a<兀，

由于V=cos，在彳￡(0,兀)上單調(diào)遞減，故cos(crx+⑶>cos("x+a),

所以/'(x)=a2cos(ax+/3)-伊cos("x+a)>。恒成立，

所以/(x)=asin(ax+月)一月sin("x+a)在%￡(0,1)上單調(diào)遞增，----6分

設(shè)g(%)=^^，%￡(0,兀)，

%

、xcosx-sinx

則niIg(%)二——1-------，

令/z(x)=xcos尤一sinx,XG(0,K),

貝!!”(九)=cosx-xsinx-cosx=-xsin尤v0在兀￡(0,兀)上恒成立,

故/z(x)=xcos九一sin%在工￡(。,7i)上單調(diào)遞減，

故〃(x)</i(O)=O,故g[x)<0,

所以g(x)=出產(chǎn)在尤e(0㈤上單調(diào)遞減，

,cc,,sinasinB

由于2>/J,。,4￡(0,兀)，故----<—T—

ap

即/(0)=asm/3-/3sina>0,

故了(%)>/(。)>。，即asin(a%+4)>(3sin(y0x+a)；----10分

(2)存在x￡(?！?滿足sin(a)?sin(a九+力)=sin(/7)-sin(/?x+a),

sin(ax+Q)sin/?

即~~T^------7=~一在%￡(0,1)上有根，

sin(px+6z)sina

由(1)可得sin附=2與朝2=2等號(hào)成立的條件均為a=§

sm(〃x+a)asinaa

故若存在尤￡(0,1)滿足sin(a)?sin(ax+/7)=sin(0?sin(/?x+a),則有a=f3.——13分

16.(1)四棱錐有5個(gè)頂點(diǎn),4個(gè)三角形面,1個(gè)凸四邊形面，故其總曲率為

2萬(wàn)><5-4><萬(wàn)一2萬(wàn)=4萬(wàn).----5分

(2)設(shè)多面體有M個(gè)面，給組成多面體的多邊形編號(hào),分別為1,2,…,/號(hào).

設(shè)第i號(hào)(IViWM)多邊形有L;條邊.

則多面體共有L=.+4；+4條棱.——7分

由題意，多面體共有。=2-M+L=2-M+I+,：+兄個(gè)頂點(diǎn).——9分

i號(hào)多邊形的內(nèi)角之和為"4-2萬(wàn)，故所有多邊形的內(nèi)角之和為萬(wàn)(4+4++LM)-2TTM,——11分

故多面體的總曲率為2加0-[萬(wàn)(￡1+￡2++〃)-2力W]

=2萬(wàn)(2_加+4+4；+L"[乃(1+濯++L”)-2萬(wàn)M]=4萬(wàn)

所以滿足題目要求的多面體的總曲率為4萬(wàn).一一15分

17.

(1)由題意，/=(q+。；++a浙§)—(%。3+。2。4+。3。5++。2017。2019)，

20172

可得2/=4；+4；+域018+域019+Z("i+2一生)，①----3分

z=l

由于％,。及4+2-4(1=1，2,,2016)均為非負(fù)整數(shù)，故有a；之如而之出，

且(4+2-4JN4+2-4(i=L2,,2016),

201622016

于是+4+Z(〃i+2-卬)?.%+“2+￡("i+2-"i)="2017+“2018，------6分

z=li=l

由①，②得2/N。2017+。2018+(。2019—a2017)+。2018+。2019'

結(jié)合〃2019=99及%oi8—“2017>°，

可知刈7+(99—a2?！?2+域。u+991=(%oi7—49y+7400N7400,-一③一一8分

另一方面，令%=。2==。1920=1，4920+21="1920+2&=左(左=12,49),%019=99,

此時(shí)驗(yàn)證，知上述所有不等式均取到等號(hào)，從而了的最小值為=7400.——9分

(2)取等時(shí)%M7=4oi8=49,且②中的不等式均取等，

即%=%=1,6+2一aif{°，DC=1,2,,2016).

因此1=a1<a?W…<a2oi9=99,且對(duì)每個(gè)網(wǎng)10后49),%,。2丁，。2018中至少有兩項(xiàng)等于％.易驗(yàn)證，知這也是③取等

的充分條件.----11分

對(duì)每個(gè)網(wǎng)1必*9),設(shè)％,“2,，4018等于女的項(xiàng)數(shù)為1+4，

則成為正整數(shù)，且(1+勺)+(1+%)+…+(1+%9)=2018,

即〃1+〃2++〃49=1969,——13分

該方程的正整數(shù)解(4,%，，羯9)的組數(shù)為C：；68，

且每組解唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)使④取等的數(shù)組(4,019)，

故使/=為成立的數(shù)組)19)有C黑個(gè).一一15分

18.

22_

(1)二+二=1的半長(zhǎng)軸a=2五,半短軸6=2,

84

半焦距c=-Ja2-b1=V8-4=2,

離心率6=9=變，----3分

a2

設(shè)A(XQJ,3(孫衛(wèi))，

聯(lián)立可得0+2-6=。,

所以占+%=-,----5分

J.?乙K

|CA|-a+exx=2y/2+^xt,\CB\=2y/2+^x2,

貝?CA|+|C卸=4&+變(%+%)=4夜一^^〈4夜+1；——7分

21+2k

(2)依題意可知"(-1，。)，N(0,l),

所以圓的方程為［x+：］x+y(y-l)=0①，垂直平分線為y=與］+〈②,

——9分

VKJk\2kJ2

聯(lián)立①②消去y,"-卜，

2

即卜+1得*

------11分

4

11

解得一+—

2k2

1111

對(duì)應(yīng)％=一+—%=------十一，

2k222k2

兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為