2024年浙江臺州市二模數學高考模擬試卷試題（含答案）

臺州市2024屆高三第二次教學質量評估試題

數學

本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.已知集合/={x|x—1?0},5={x|-l<x<3},則2口8=()

A.(-l,l)B.(-l,3)C,[-l,l)D.[l,3)

2.在復平面內，復數z=--(i為虛數單位)，則()

i

A.z的實部為2B.|z|=V5

C.z=2-iD.z對應的點位于第一象限

3.已知平面向量3=(2/)，1=(-2,4),若(2Z+可乂蘇-可，則實數2=()

A.-lB.-2C.lD.2

4.已知正項等比數列{%}滿足q=3,且-3%,a2,%成等差數列，則數列{%}的前〃項和為()

5.已知x,y為正實數，則可成為“x<>”的充要條件的是()

11,

A.—<—B.x+iny<y+mx

xy'

C.sinx<sinjD.x-cosj<y-cosx

6.在△45。中，角N,B,。所對的邊分別為a,b,c.若acosC=2ccosZ,則空的最大值為()

a

A.V3B.-C.D.3

22

7.房屋建造時經常需要把長方體磚頭進行不同角度的切割，以契合實際需要.已知長方體的規(guī)格為

24cmxllcmx5cm,現從長方體的某一棱的中點處作垂直于該棱的截面，截取1次后共可以得到

12cmx1Icmx5cm,24cmx—cmx5cm,24cmxllcmx*cm三種不同規(guī)格的長方體.按照上述方式對第1

22

次所截得的長方體進行第2次截取，再對第2次所截得的長方體進行第3次截取，則共可得到體積為165cm3

的不同規(guī)格長方體的個數為()

A.8B.10C.12D.16

22

8.設公，鳥是雙曲線C：=—京=l(a〉O,b〉O)的左、右焦點，點、M,N分別在雙曲線C的左、右兩

TT----?----?

支上，且滿足=NF[=2MF[,則雙曲線。的離心率為()

7/-5

A.2B.-C.V3D.-

32

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

9.某同學最近6次考試的數學成績?yōu)?07,114,136,128,122,143.則()

A.成績的第60百分位數為122B.成績的極差為36

C.成績的平均數為125D.若增加一個成績125,則成績的方差變小

10.已知正方體N8CD-481GA的棱長為1，P為平面N8CD內一動點，且直線口尸與平面Z8CD所成

7T

角為一，￡為正方形Z/DQ的中心，則下列結論正確的是()

A.點P的軌跡為拋物線

TT

B.正方體ABCD-4BCR的內切球被平面ABC1所截得的截面面積為一

6

C.直線CP與平面CDD￡所成角的正弦值的最大值為—

D.點M為直線28上一動點，則“P+ME的最小值為

11.已知/(%)是定義域為｛x|xw0｝的非常數函數，若對定義域內的任意實數x,y均有

(\

/(x)/(y)=/(Ay)+/-,則下列結論正確的是()

A./(l)=2區(qū)/(叼的值域為［2,+00)

C./(x)=/D./(x)是奇函數

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（x+1）6的展開式中/的系數為（用數字作答）.

13.某班有/,8兩個學習小組，其中A組有2位男生，1位女生，8組有2位男生，2位女生.為了促進小組

之間的交流，需要從3兩組中隨機各選一位同學交換，則交換后“組中男生人數的數學期望為

ax-\

14.已知關于x的不等式lnx+1<a4e2恒成立，則實數0的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（13分）

已知數列｛4｝滿足/=一,an+1=-----.

21-an

（1）求4（）24（只需寫出數值，不需要證明）；

（2）若數列｛%｝的通項可以表示成見=5-0sin（加+9）Q<co<3,（pe-三！的形式，求。，（p.

16.（15分）

臺州是全國三大電動車生產基地之擁有完整的產業(yè)鏈和突出的設計優(yōu)勢.某電動車公司為了搶占更多的

市場份額，計劃加大廣告投入、該公司近5年的年廣告費玉（單位：百萬元）和年銷售量%（單位：百萬

輛）關系如圖所示：令匕=lnx,（i=l,2,3,5）,數據經過初步處理得：

55i(y.-y)22

E(x>-x)2i(v,-v)3(%-司(匕-何

Z=1i=li=li=li=li=li=l

444.81040.31.61219.58.06

現有①歹=6x+a和②y=〃lnx+加兩種方案作為年銷售量>關于年廣告費x的回歸分析模型，其中a,b,

m,n均為常數.

（1）請從相關系數的角度，分析哪一個模型擬合程度更好？

（2）根據（1）的分析選取擬合程度更好的回歸分析模型及表中數據，求出y關于x的回歸方程，并預測年

廣告費為6（百萬元）時，產品的年銷售量是多少？

（3）該公司生產的電動車毛利潤為每輛200元（不含廣告費、研發(fā)經費）.該公司在加大廣告投入的同時也

加大研發(fā)經費的投入，年研發(fā)經費為年廣告費的199倍.電動車的年凈利潤受年廣告費和年研發(fā)經費影響外

還受隨機變量J影響，設隨機變量J服從正態(tài)分布N（600Q2）,且滿足產傳〉800）=0.3.在（2）的條件

下，求該公司年凈利潤的最大值大于1000（百萬元）的概率.（年凈利潤=毛利潤x年銷售量-年廣告費-年研

發(fā)經費-隨機變量）.

回歸直線^=a+bx中公式分別為務=-------------,a=y-bx；

x）

Z=1

②參考數據：V40.3xl.612=8.06,7403-20.1,1115Ml.6,ln6?1.8.

17.（15分）

如圖，已知四棱臺ABCD-AXBXCXDX中，AS=3AXBX,AB//CD,AD1AB,AB=6,CD=9,AD=6,

且Z4=Bq=4,。為線段Cq中點，

（1）求證：50〃平面4024；

（2）若四棱錐。的體積為岑求平面4844與平面夾角的余弦值.

18.（17分）

已知橢圓C：9X2+8/=81,直線/：x=-1交橢圓于M,N兩點，T為橢圓的右頂點，△0IW的內切

圓為圓Q.

（1）求橢圓C的焦點坐標；

（2）求圓。的方程；

（3）設點尸（1,3）,過P作圓0的兩條切線分別交橢圓。于點/,B,求△尸48的周長.

19.(17分)

設/,8是兩個非空集合，如果對于集合/中的任意一個元素x,按照某種確定的對應關系了,在集合8中

都有唯一確定的元素y和它對應，并且不同的x對應不同的以同時2中的每一個元素外都有一個/中的

元素x與它對應，則稱/：Z-5為從集合/到集合8的一一對應，并稱集合/與8等勢，記作7=萬.

若集合N與8之間不存在一一對應關系，則稱N與8不等勢，記作7/萬.

例如：對于集合/=N*,3={247eN*},存在一一對應關系y=2x(xe4ye8),因此，=瓦

(221__

C1)已知集合。={(1,#卜2+/=1},(x,y)\+1_=l卜試判斷e=萬是否成立?請說明理由；

(2)證明：①(0,1)=(—00,+00)；

②N*w{X|XNN*}.

參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

題號12345678

答案DBDADCBB

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。

題號91011

答案BCDBCDAC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

11、

12.2013.y14,r[l,+oo）

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（本小題滿分13分）

解（1）=—,a=2,a—一1,二一，

232

故數列｛%｝的周期為3,%024=

a2=2.

一百sin(G+0)+；=g,

（2）由4=5，。2=2，得至小—y/3sin(2G+0)+5=2,

八c兀n

0<@<3,---<(p<—,

[22

解得。==，=

33

備注：以下解法不扣分

2/r

因為｛%｝的周期為3,所以G二

T

-V3sinf—

-+叩廠5，

1I3

又由％=—,得到V'D

27in

----<（p<—

L22

jr

解得0=_.

3

16.（本小題滿分15分）

解：（1）設模型①和②的相關系數分別為"，4.

19.5

X0.97

20A

E(Vi-v)(vi-v)

i=\8.068.06

V40.3xl.612i06

所以hl<hl，由相關系數的相關性質可得，模型②的擬合程度更好.

8.06

(2)-------------------

1.612

Z=1

-15_15__

又由v=—工匕=0.96,歹=—Zy=8.8,得加二歹一5V=8.8—0.96x5=4,

5i=i5/=1

所以y=5v+4,即回歸方程為y=51nx+4.

當x=6時，y=51n6+4?13,

因此當年廣告費為6（百萬元）時，產品的銷售量大概是13（百萬輛）.

（3）凈利潤為200x（51nx+4）—200x—J,（x>0）,

令g（%）=200x（5Inx+4）-200x-J,

所以g'（x）=3L200.

X

可得y=g（x）在（0,5）上為增函數，在（5,+oo）上為減函數.

所以g（x）max=g（5）=200x（51n5+4-5）-^?1400-^,

由題意有：1400—4>1000,即4<400,

尸（J<400）=尸（J〉800）=0.3,

即該公司年凈利潤大于1000（百萬元）的概率為03

17.（本小題滿分15分）

解：（1）分別延長線段24，BBrCCX,DA交于點、P,將四棱臺補成四棱錐尸-48CD.

,：.PC,=|PC,二CQ=QG=C[P,

取的中點￡,連接。￡,AE,

2

?：QE1L-CD幺AB,：.四邊形ABQE為平行四邊形?

BQ//AE,又/￡<=平面AD24，50.平面2。24，

〃平面ADDXAX；

（不補成棱錐，直接取的中點，利用梯形中位線也不扣分）

2

（2）由于%ABBA=~VC/BRA'所以《ABBA=16m，

/l|3C—At>￡>]Zl|C-ADDjAj

又梯形488/]面積為8百，

設C到平面48四4距離為/z,則憶期/=1S梯刈班=得力=6.

11JZl|3

而CD〃48,48u平面4844，。。.平面4844，

所以CD〃平面

所以點C到平面ABBXAX的距離與點D到平而的距離相等,

而。=6=AD，所以ADJ_平面ABB[A].

以N為坐標原點，以直線48為x軸，以直線40為y軸，建立空間直角坐標系，如圖所示.

易得△PZ8為等邊三角形，所以/（0,0,0）,5（6,0,0）,C（9,6,0）,￡>（0,6,0）,43,0,3百）

m-DP(

=(x,y,z)-3,—6,36)=3x—6.y+3AAz二0,

設平面CDDG的法向量為m=(x,y,z),則＜

m-DC=(x,y,z)?(9,0,0)=9x=0,

得x=0,y=會,不妨取而=（0,G,2}

又平面ABB/1的一個法向量為?=（0,1,0）.

(0,百,2).(0/,0)后

則8s〈詞=g1=

7

平面ABB4與平面CDD￡夾角的余弦值為當一.

（傳統(tǒng)方法相應給分）

18.（本小題滿分17分）

22

解：（1）橢圓的標準方程為二+2=1,

981

m—9=2,所以稱點坐標為0,土

88

（2）將x=—1代入橢圓方程9/+8/=81得y=±3,由對稱性不妨設M（—1,3）,N（—1,—3）

3

直線的方程為^=-----（x-3）,即3x+4y—9=0

—1—3

設圓。方程為=/,

由于內切圓。在△7W的內部，所以/〉—1,

|3r+4x0-9|

則。到直線MV和直線MT的距離相等，即：t+l=

A/32+42

13

解得，二—，4=—

22

所以圓Q方程為—g

4

（用周長與面積求半徑的方法相應給分）

（3）顯然直線R4和直線必的斜率均存在,

設過P作圓0的切線方程為y=1）+3,其中左有兩個不同的取值左和k2分別為直線PA和PB的斜

率.

Mil卜3

3

由圓0與直線相切得:2,化簡得：8產+12左一27=0,

“2+12

,73

占+左2

則《

27

左左2=__~'

<y=左(x—l)+3,

得(9+8肝)/+16左(3—左)x+8M—48左一9=0,

由<9x2+8v2=81,

8左2—48勺一9

可得貓=xx=

pA8奸+9

所以為=6-1)+3.產-羋-Xi/%-產+27

，?J，1862+9)8k+9

—3(27—12左)一1購+2718(左一3)3

~27—12片+9—12(3-^)~~2'

同理X”密-羋-93

力=~~

88月+9

3

所以直線45的方程為了=—：

所以48與圓。相切，

將y=—|代入9/+8y2=81得x=±b，

所以|48|=2近，