第三章 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（知識(shí)點(diǎn)講練）-高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

§3.1橢圓

3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握橢圓的定義2掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).3.會(huì)求簡(jiǎn)單的橢圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程.

I導(dǎo)語(yǔ)】

橢圓是圓錐曲線的一種，具有豐富的幾何性質(zhì)，在科研、生產(chǎn)和人類生活中具有廣泛的應(yīng)用，

那么，橢圓到底有怎樣的幾何特征？我們?cè)撊绾卫眠@些特征建立橢圓的方程，從而為研究

橢圓的幾何性質(zhì)奠定基礎(chǔ)？

一、橢圓的定義

問(wèn)題1取一條定長(zhǎng)的細(xì)線，把它的兩端都固定在圖板的同一點(diǎn)，套上鉛筆，拉緊繩子，移

動(dòng)筆尖，這時(shí)筆尖(動(dòng)點(diǎn))畫(huà)出的軌跡是一個(gè)圓.如果把細(xì)繩的兩端拉開(kāi)一段距離，分別固定

在圖板中的兩點(diǎn)Fi，E，套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫(huà)出的軌跡是什么曲線？在這

一過(guò)程中，移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))滿足的幾何條件是什么？

提示橢圓，筆尖到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù).

【知識(shí)梳理】

把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)B的距離的和等于常數(shù)(大于IBBI)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓,這兩個(gè)定

點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距,焦距的一半稱為半焦距.

注意點(diǎn)：

(1)橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為定值.

(2)定值必須大于兩定點(diǎn)的距離.

(3)當(dāng)距離的和等于尸iBI時(shí)，點(diǎn)的軌跡是線段.

(4)當(dāng)距離的和小于|尸1分|時(shí)，點(diǎn)的軌跡不存在.

二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

問(wèn)題2觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡(jiǎn)單？

提示觀察可以發(fā)現(xiàn)橢圓具有對(duì)稱性，而且過(guò)兩焦點(diǎn)的直線是它的對(duì)稱軸，所以我們以經(jīng)過(guò)

橢圓兩焦點(diǎn)為，尸2的直線為X軸，線段打尸2的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。孫,

如圖所示，此時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)分別為月(一c,0)和凡(c,0).

根據(jù)橢圓的定義，設(shè)M與焦點(diǎn)尸1，出的距離的和等于2。由橢圓的定義可知，橢圓可看作點(diǎn)

集/)=｛加|阿西1+阿網(wǎng)=2。｝.因?yàn)閨MQ|=N(X+C)2+V，|集巳|=#@—cp+y,

所以"(x+c)2+/+，(x-c)2+—=2a.①

為了化簡(jiǎn)方程①，我們將其左邊一個(gè)根式移到右邊，得"+c)2+H(x—c)2+y2.②

對(duì)方程②兩邊平方，得

(x+c)2+y2=4.2—4a\/(x—c)2+y2+(%—c)2+j2,

整理，得cr^cx—cr\l(x-c)-+y2,③

對(duì)方程③兩邊平方，得

a4—2〃2cx+?=Q27—242cx++a2y2,

整理，得(〃2—〃2y2=〃2(Q2—，)，④

將方程④兩邊同除以a2(a2-c2),

/V2

得⑤

由橢圓的定義可知2〃>2c>0,即〃>c>0,

所以a2~c2>0.

_______72

令6=、°2—那么方程⑤就是3+g=13>6>0).⑥

我們將方程⑥稱為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程.

問(wèn)題3如圖，如果焦點(diǎn)為，歹2在y軸上，且八，色的坐標(biāo)分別是(0，-C),(0,c),a,b

的意義同上，那么橢圓的方程是什么？

提示5+盤(pán)=

l(a>b>0).

【知識(shí)梳理】

焦點(diǎn)在工軸上焦點(diǎn)在y軸上

標(biāo)準(zhǔn)方程a+方=1也地力+去=1也地

學(xué)

圖形

焦點(diǎn)坐標(biāo)為(一c,0),&(c.0)尸1(0,—C),6(0,C)

a,b,c的關(guān)系/=〃2—廿

注意點(diǎn)：

(1)橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為2a.

(2)f項(xiàng)和丁項(xiàng)誰(shuí)的分母大，焦點(diǎn)就在誰(shuí)的軸上.

例1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)；

⑵兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,-2),(0,2),并且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一|,今；

(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸出￡),0(0,-￡).

解(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，

27

所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為，+本=1(。>6>0).

又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和(1,0),

所以所求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為9+/=1.

(2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，

所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為《十自1(。>6>0),

由橢圓的定義知，

2"=[(—1)2+(1+2>+情―1>+(1—2)

=2①，

即a=y[10,

又c=2,所以b2=a2—c2=6,

22

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為言+*一L

72

(3)方法一①當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+%=1(。>於0).

依題意,

由a>b>0,知不符合題意，故舍去;

②當(dāng)橢圓焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

l(a>b>0).

依題意,

X2

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為V-T+[=1.

一45

方法二設(shè)橢圓的方程為g2十九y2=i(m>o,n>0,m^n).

I9加+9〃1，

m=5

解得

〃=4.

所以所求橢圓的方程為5f+4/=1,

2^

-1

121+-1-1

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為--

45

反思感悟確定橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法

(1)“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在中心為原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)

軸上，以判斷方程的形式.

(2)“定量”是指確定片，〃的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程(組)求解.

跟蹤訓(xùn)練1求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,—巾)，(一1,可目；

22

（2）過(guò)點(diǎn)（小，一小），且與橢圓旨+，=1有相同的焦點(diǎn).

72

解（1）方法一（分類討論法）若焦點(diǎn)在無(wú)軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方=13>6>0）.

1聲2，[a2=8,

由已知條件得j解得,，

11141[b2=4.

〔/十4層一1，

92

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為"+5=1.

o4

22

若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為力十方=1（〃>">0）.

〃=8,

由已知條件得解得

/=4.

則很<白,與題設(shè)中a>b>0矛盾，舍去.

?2

綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為京+5=1.

o4

方法二（待定系數(shù)法）設(shè)橢圓的方程為4V2+為2=1（4>0,B>0,Arff）.

將兩點(diǎn)（2,—也），（一1,田丹代入，

-4A+2B=1,卜=/，

得《,14解得《"

1…fV4

72

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為"+?=1.

o4

（2）因?yàn)樗髾E圓與橢圓奈+弓=1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在y軸上，且,2=25—9=16.設(shè)它

27

的標(biāo)準(zhǔn)方程為力+方=13*0）.

因?yàn)?=16,且為=々2—廬,故為一廬=16.①

又點(diǎn)（小，一?。┰跈E圓上，所以仁爐十喈=1,

即抖奈=1.②

由①②得反=4,.2=20,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

三、橢圓的定義及其應(yīng)用

22

例2已知P為橢圓*+全=1上一點(diǎn)，巳是橢圓的左、右焦點(diǎn)，ZFlPF2=60°,求

的面積.

解由已知得。=2'\/5,b—y[3,

所以c=ya?—b2=q12—3=3,

從而|尸1/2|=20=6,

在△QPB中，

222

|FIF2|=|PFII+|PF2|-2|PFI|-|PF2|COS60°,

22

即36=|PFI|+|PF2|-|PFI|.|PF2|.@

由橢圓的定義得|PRI+|PB|=4小，

22

即48=|PFI|+|PF2|+2|PFI|-|PF2|.@

由①②得|PRHP&I=4.

所以=3『人卜『尸2卜sin60。=小.

延伸探究若將本例中”/丹尸尸2=60?！弊?yōu)椤癗PFIF2=9Q°”，求△RPB的面積.

解由已知得a=2A/3,b=寸i,

所以c=、a2_b2=N12—3=3.

從而|FF2|=2c=6.

在△RPB中，由勾股定理可得

|尸產(chǎn)2產(chǎn)=仍碎2+回啊2,

即|P尸2|2=|PBF+36,

又由橢圓定義知|PQ|十|刊囹=2X2小=4小，

所以|尸母|=4小一|PB|.

從而有(4小一|尸碎)2=|尸入|2+36,

解得|吶=竽

所以△￡色的面積5=界吊卜再出1=緊坐><6=半，

即△￡「出的面積是平.

反思感悟橢圓定義的應(yīng)用技巧

(1)橢圓的定義能夠?qū)E圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

(2)橢圓上一點(diǎn)P與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1,尸2構(gòu)成的△PF/2稱為焦點(diǎn)三角形，可以利用橢圓的

定義，結(jié)合正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式等知識(shí)求解.

跟蹤訓(xùn)練2設(shè)尸為橢圓C：^g+~=1上一點(diǎn)，品，出分別是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且△PF1B

的重心為點(diǎn)G,若|PB|：|尸6|=3:4,那么△GPFi的面積為()

A.24B.12C.8D.6

答案C

解析：尸為橢圓C：.+5=1上一點(diǎn)，IPF1I：|PF2|=3:4,|PFi|+|PF2|=2a=14,

：.\PFi\=6,『Bl=8.

又EBI=2c=2/9-24=10,

易知△PR尸2是直角三角形，％及&=梟刈"2|=24.

丁△尸尸尸12的重心為點(diǎn)G,

?,S/XPFE-3sAGPR，

:.叢GPFi的面積為8.

-課堂小結(jié)

1.知識(shí)清單：

(1)橢圓的定義及其應(yīng)用.

(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.方法歸納：待定系數(shù)法.

3.常見(jiàn)誤區(qū)：

(1)忽視橢圓定義中a,b,c的關(guān)系.

(2)混淆不同坐標(biāo)系下橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程.

3隨堂演練

1.設(shè)乃，B為定點(diǎn)，|FIF2|=6,動(dòng)點(diǎn)M滿足|MR|+|MBI=6,則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是()

A.橢圓B.直線C.圓D.線段

答案D

解析V|MFI|+|MF2|=6=|FIF2|,

二動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是線段.

2.已知橢圓的焦點(diǎn)為(-1,0)和(1,0),點(diǎn)尸(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為()

A&+—1B.?+y2=i

C.^;+y=lD.^;+X2=1

答案A

解析c—1,由點(diǎn)尸(2,0)在橢圓上，可得〃=2,/?2—3,

22

???橢圓的方程為5+5=1.

3.若方程X2+⑥2=2表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)上的取值范圍是()

A.(0,+8)B.(0,2)

C.(1,+8)D.(0,1)

答案D

解析?.?方程X2+價(jià)2=2,即日十

表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,

2

Av>2,故0<kl.故選D.

K

4.已知AABC的頂點(diǎn)8,C在橢圓可+/=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外

一個(gè)焦點(diǎn)在邊上，則△ABC的周長(zhǎng)是()

A.2小B.6

C.4小D.12

答案C

解析設(shè)在BC邊上的另一個(gè)焦點(diǎn)為F,利用橢圓的定義，|54|+|2月=2小，|C4|+|CF|=25,

便可求得△ABC的周長(zhǎng)為4^3.

課時(shí)對(duì)點(diǎn)練

L基礎(chǔ)鞏固

1.(多選)已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(—3,0),8(3,0),點(diǎn)/3為一動(dòng)點(diǎn),且|必|+|尸8|=2趴°20),

下列說(shuō)法中正確的是()

A.當(dāng)。=2時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡不存在

B.當(dāng)。=4時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡是橢圓，且焦距為3

C.當(dāng)。=4時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡是橢圓，且焦距為6

D.當(dāng)。=3時(shí)，點(diǎn)尸的軌跡是以為直徑的圓

答案AC

解析當(dāng)。=2時(shí)，2a=4<\AB\,故點(diǎn)P的軌跡不存在，A正確；

當(dāng)a=4時(shí)，2a=8>|AB],故點(diǎn)P的軌跡是橢圓，且焦距為|AB|=6,B錯(cuò)誤，C正確；

當(dāng)a=3時(shí)，2a=6=\AB\,故點(diǎn)P的軌跡為線段48,D錯(cuò)誤.

2.已知橢圓過(guò)點(diǎn)尸(|,—4)和點(diǎn)Q(一去3),則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

A*+x2=lB.*+y2=l或k2+*=1

C.=+y2=lD.以上都不對(duì)

答案A

解析設(shè)橢圓方程為加2+8y2=i（A>o,B>0,AWB）,

|^A+16B=1,

"4=1,

由題意得|

解得I1

B=

=A+9B=1,25-

所以此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

72

3.已知尸1，尸2是橢圓器+，=1的兩焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸2的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),若［48|=5,

則IAQI+IBQI等于（）

A.9B.10C.11D.12

答案C

解析根據(jù)橢圓定義，|AB|+⑷囹=2a=8,|2/1|十|3局=20=8,

所以△AR2的周長(zhǎng)為|4/1|十|8/1|+|48|=16,

所以|AB|+|2B|=16一|AB|=1L

72

4.“2<優(yōu)<6”是“方程上7++=1為橢圓”的（）

m-2Q-m

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

X2V2

解析若方程力十七1表示橢圓,

m—2>0,

則<6—m>0,解得2<m<6且

m—2W6—m,

22

所以“2<冽<6”是“方程為橢圓”的必要不充分條件.

m-2o—m

72

.設(shè)尸為橢圓作+方=上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)i，尸2為其上、下焦點(diǎn)，則的最大值是（

51IPFiHPBI)

A.4B.6C.9D.12

答案C

2

(|PFI|+|PF2|)

解析|PFi|+|P3|=2a=6,|PFI|.|PF2|^4一9

當(dāng)且僅當(dāng)|PE|=|PB|時(shí)取等號(hào).

22

6.P是橢圓糯+]=1上一點(diǎn)，F(xiàn)i，B分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若|尸人上|睡|=12,則

的大小為（）

A.60°B.30°C.120°D.150°

答案A

解析由橢圓的定義得

|PQ|+|PBI=8,[尸尼1=2市,

；.（|尸尸1]十|尸尸2|）2=64,

?：\PFi\-\PF2\=n,|尸尸1|2+尸產(chǎn)加=40,

-A上40-281

在△尸1尸尸2中，COSNF1PF2=CMI7=5,

ZZX1Z乙

O

V0°<ZFIPF2<180,

???NRP尸2=60°.

7.已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，其上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為8,焦距為2仃，則此橢

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

答案器+爐=1

解析由已知2a=8,2c=2715,

所以。=4,c=y[15,

所以廬=。2—廿=16—15=1.

又橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為若+f=l.

8.已知橢圓C：，+?=1,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合.若點(diǎn)M關(guān)于C的焦點(diǎn)尸2的對(duì)稱

點(diǎn)分別為A，B,線段的中點(diǎn)在C上，貝I|AN|+|BN|=.

答案12

解析如圖，取的中點(diǎn)G,G在橢圓C上，

因?yàn)辄c(diǎn)M關(guān)于C的焦點(diǎn)為，后的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,

故有|GB|=；|AN，|GF2|=3BN]，

所以|AN|+|BN|=2（|GFi|+|G&|）=4a=12.

9.已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為華和平，過(guò)點(diǎn)尸

作焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸的垂線，垂足恰好為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求此橢圓的方程.

解設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為尸1,巳，

不妨取|P吊尸羊，|P尸2尸半，

由橢圓的定義，知2"=|尸碎+|P6|=2巾，

即a=y[5.

由|尸尸i|>|尸尸2I知，尸尸2垂直于焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸.

在中，4c2=|PB|2一|尸巳|2=竽，

?.03,

廬=〃2—，=￥

又所求的橢圓的焦點(diǎn)可以在X軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為t+聿=1或朋+

七=1

5L

10.已知橢圓M與橢圓N：器+方=1有相同的焦點(diǎn)，且橢圓M過(guò)點(diǎn)(一1,丹可.

⑴求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵設(shè)橢圓M的左、右焦點(diǎn)分別為6,點(diǎn)P在橢圓M上，且△PR3的面積為1,求點(diǎn)尸

的坐標(biāo).

解(1)由題意，知橢圓N的焦點(diǎn)為(-2,0),(2,0),

22

設(shè)橢圓M的方程為7%+方V=1(。泌>0),

%2一廬=4,

則114化簡(jiǎn)并整理得5〃+11。2—16=0,

了+/=鼠

故從=1或廬=一號(hào)(舍去)/=5,

y2

故橢圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為與+丁=1.

(2)由⑴知尸1(—2,0),尸2(2,0),

設(shè)尸(祝，州)，則△尸尸1出的面積為3義4><伙)]=1,

解得yo=±￡.

又日+京=1,

所以君=竽，Xo=土日工

所以點(diǎn)尸有4個(gè)，它們的坐標(biāo)分別為。亨，；），（一^§，e里，一3；（一^~2）~

L綜合運(yùn)用

72

11.橢圓舌+看=1的一個(gè)焦點(diǎn)為Q,點(diǎn)P在橢圓上，如果線段PQ的中點(diǎn)/在y軸上，那

么點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為（）

答案D

解析：線段PR的中點(diǎn)加在》軸上且。是線段的中點(diǎn)（尸2為橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)），

.?.P&Lx軸，...點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是±3,

?點(diǎn)P在橢圓上，.?.卷+看=1,即y2=*二丫=土坐.

點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為土坐.

12.設(shè)P是橢圓會(huì)+]=1上一點(diǎn)，M,N分別是圓A：（無(wú)+4>+y2=i和圓B：（x—4）2+y2

=1上的點(diǎn)，則1PM+|PN|的最小值、最大值分別為（）

A.9,12B.8,11

C.8,12D.10,12

答案C

解析如圖，由橢圓及圓的方程可知兩圓圓心分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，由橢圓的定義知|出|

+\PB\=2a=10,連接B4,PB,分別與左、右兩圓相交于M,N兩點(diǎn)，此時(shí)1PM+FN最小，

最小值為|R1|+|P2|—2r=8.延長(zhǎng)B4,PB,分別與左、右兩圓相交于M',N'兩點(diǎn),此時(shí)1PM

+|PN|最大，最大值為|B4|+|PB|+2r=12,即最小值和最大值分別為8,12.

13.若橢圓3f—小2=6的一個(gè)焦點(diǎn)為網(wǎng)0,2）,則實(shí)數(shù)/=

答案T

72

解析橢圓3ff2=6的標(biāo)準(zhǔn)方程為5+士=1,

因?yàn)槠湟粋€(gè)焦點(diǎn)為"0,2）,

所以°2=—彳，b2=2,

所以一,一2=4,解得f=-l.

14.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，已知△ABC的頂點(diǎn)4(-3,0)和C(3,0),頂點(diǎn)B在橢圓行+京=

sinA+sinC

1上,則

2sinB~

答案I

解析由橢圓的方程得。=5,6=4,c=3.

VAABC的頂點(diǎn)A(—3,0)和C(3,0),頂點(diǎn)B在橢圓行+京=1上,

：.\BC\+\AB\=2a=lO,

sinA+sinC+2a5

...由正弦定理可知-2sinB-=2\AC\=4^=6-

L拓廣探究