2024年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：11類(lèi)數(shù)列通項(xiàng)公式構(gòu)造解題技巧

題型1611類(lèi)數(shù)列通項(xiàng)公式構(gòu)造解題技巧

技法01用4H美摹求通項(xiàng)公式的解題技巧

技法02己如4.,-4?/(”)用*加法求通項(xiàng)公式的解題技巧

技法03已如d..,凡/(”)用累在法求通公式的州建技巧

技法04已如%=成+?用%，+"=從4+')求通項(xiàng)公式的解題技巧

技法0S己知”=、+小加“?+4"+"=R%+M"T?用求通"公式的解JS技巧

技法06已知見(jiàn)“網(wǎng).+/用““：乙4J求通通公式的解胭技巧

q'qqq

技法07已如“7Wz+e用%，5'梳%杭)求通澳公式的解題技巧

技法08e?la.,-a,^pa,.a,m---=p求通由公式的川題校巧

。?。?I

mu,ImIm

%“■-----2--------4-

技法09已知/?.+g用。?“q%尸求通歐公式的解壯技巧

技法10己如-=/<(/?>°必>0)用i—+以尸求通理公式的解題技巧

技法11構(gòu)造常數(shù)例求通項(xiàng)公式的新鹿技巧

技法01用““與S”關(guān)系求通項(xiàng)公式的解題技巧

唱高句?常見(jiàn)題型解讀

用4與虱關(guān)系求通組公式是高與數(shù)列中經(jīng)常與直的知識(shí)點(diǎn)，虛度不大.U要同學(xué)們按公式

解IS即可.

s^n-1

知識(shí)遷移％=

sn-sn_x,n>2

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例i.

(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)記5”為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和.已知<+〃=2%+1.

n

(1)證明：｛%｝是等差數(shù)歹U;

(2)若%，%，。9成等比數(shù)列，求E,的最小值.

試卷第1頁(yè)，共16頁(yè)

技巧點(diǎn)撥o

2s

(1)因?yàn)椤?n=2a+1,即2S+n2=2na+n①，當(dāng)時(shí)，

nnnn

2s—1)=2(〃—+(〃—1)②,

①一②得，2s〃+/—2S〃_]——1)=+〃—2(題——1),即

2an+2n-l=2nan+1,

即2(〃一1)%-=2(〃一1),所以一。小=1,?7>2<nGN*,

所以｛?｝是以1為公差的等差數(shù)列.

片磊卜知識(shí)遷移強(qiáng)化

(2023?江蘇揚(yáng)州?揚(yáng)州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))

1.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=4且0用=5"+4(〃€2).

(1)求數(shù)列｛“J的通項(xiàng)公式；

+1

⑵若bn=(-1)"丁+1,求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和T?.

(2023?浙江嘉興?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))

2

2.記S,為數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，且為=3,Sn=nan-n+n.

(1)求數(shù)列｛6｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)4=(-1)叫，求數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和T”.

an,an+\

(2023?廣東?統(tǒng)考二模)

3.記數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，已知為=-6,且滿足工|+1+%=3.

an+\

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵記數(shù)列｛?｝的前〃項(xiàng)和為(，若&“=2〃-g，b3rl_1=冊(cè)-2,&_2=%+〃，求45.

技法02已知。用=%,+〃〃)用累加法求通項(xiàng)公式的解題技巧

喟3?常見(jiàn)題型解讀

試卷第2頁(yè)，共16頁(yè)

IK加法求通項(xiàng)公式是高考數(shù)列中越常與去的知識(shí)點(diǎn)，器度不大，需要同學(xué)們注意黑腐的美

T?.蕭強(qiáng)化練習(xí).

知識(shí)遷移

,/(〃)為常數(shù)，構(gòu)造成等差數(shù)列

/(〃)為一次函數(shù)，構(gòu)造等差求和

形如4,+1=%+/(〃)，［=4若<

'為指數(shù)函數(shù)，構(gòu)造等比求和

/(")為分式函數(shù)，構(gòu)造裂項(xiàng)相消求和

02

例2.

(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))

在數(shù)列｛*中，釁3,%=%+合’求通項(xiàng)公式8

解題

技巧點(diǎn)撥

原遞推式可化為?！?1—a^------7，則&=+；-大。3=。2+■一二，

nnn+\1223

a=a+―――,a=a_H---------,逐項(xiàng)相加，得+1,故〃“=4—.

4334nn｛n—lnnn

片篇i?知識(shí)遷移強(qiáng)化

(2023上?江蘇?高三專(zhuān)題練習(xí))

4.已知數(shù)列｛氏｝滿足。用=%+2.3”+1,%=3,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

(2023?江蘇南京??？级?

5.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S"，滿足％=\,(n-1)an-nan_x=1(?>2,/?eN*j.

(1)求出的值，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

,求數(shù)列列,｝的前"項(xiàng)和.

(2022?浙江?統(tǒng)考高考真題)

6.已知數(shù)列｛。"｝滿足為則()

5577

A.2<100。［00<—B.—<loo。］。。<3C.3<100t2,<—D.—<100^Zi<4

iuu22IUUlnuuo221OUUO

(2021?浙江?統(tǒng)考高考真題)

試卷第3頁(yè)，共16頁(yè)

7.已知數(shù)列｛4｝滿足%=l，%u=4［("eN*).記數(shù)列｛%｝的前”項(xiàng)和為s.,則()

399

A.—<^100<3B.3<5100<4C.4<S100<—D.—<5100<5

技巧技法03已知。用=〃〃?/(〃)用累乘法求通項(xiàng)公式的解題技巧

叫?常見(jiàn)題型解讀

M乘法求通項(xiàng)公式是高考數(shù)列中經(jīng)常與杏的知識(shí)點(diǎn)，碘度不大.需要同學(xué)們注意累乘的美

需強(qiáng)化練習(xí).

知識(shí)遷移形如%=??-/(?)A=/n乎@)，若:/R)為［%二喝詈

〃〃［圖數(shù)T■系來(lái)拉

02

例3.

(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)

是公差為;的等差數(shù)列.

記5“為數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和，已知%=1,

⑴求｛叫的通項(xiàng)公式;

又,:是公差為1的等差數(shù)列，

5

冊(cè)31)3…凡-3

.,.當(dāng)〃22時(shí)，S=(〃+l”"T,

I3

.c_(〃+2)%+

??_J”一)“T---，

整理得：(〃T”“=(〃+1)%,

試卷第4頁(yè)，共16頁(yè)

%&na”

.?.an=%xx3x...xx——

a\a2an-2an-\

34+1\

〃^71

-1X-X-XXX+F1-

12-22

顯然對(duì)于〃=1也成立，

｛叫的通項(xiàng)公式%=當(dāng)辿；

喘累記?知識(shí)遷移強(qiáng)化

（2023?江蘇鎮(zhèn)江?江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)校考二模）

8.已知數(shù)列｛%｝滿足：ax=\,an+x=-^—an.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若b?=（-ir（In+l）a?,求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和s..

（2023.Lh東?沂水縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）

9.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，邑=1,。向

[2Zn）

（1）求數(shù)列｛“"｝的通項(xiàng)公式；

(2)證明：Sn<2.

（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）

10.已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足%=1

⑴求證：數(shù)列｛叫為等差數(shù)列；

⑵設(shè)3=~~~,求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和小

anan+\+anan+\

技法04已知an+l=+q用a?+1+2=p（a“+彳）求通項(xiàng)公式的解題技巧

叫鼠考?常見(jiàn)題型解讀

已知U..I**+q,我們可以用恃定系數(shù)法構(gòu)造4“+4=M0.+4）.從而行化為我們熟

慫的等比數(shù)列求解.足高考的?？己崗?qiáng)化縹習(xí)

知識(shí)遷移

試卷第5頁(yè)，共16頁(yè)

形如4?!=Ml"，其中為常數(shù)

構(gòu)造I假設(shè)存在T實(shí)數(shù)z使得；j?0M，+a)成立

a■^FW,.2_.

二數(shù)列｛.*2｝是以淋公比，以值?”為首項(xiàng)的等比數(shù)列，

二.?z=(.+z)L=>.=(.7r

此類(lèi)型題關(guān)鍵在于是否存在這樣的Z使得弧+2｝為等比數(shù)列？

可用待定系數(shù)展開(kāi)0a.i+2=p(.+2)6.4=pa,+(p-l)4^jl=—?—

"I

二Z=J]使得(.+2｝為等比數(shù)列

p-1

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例4.

?！?1=3。〃+8,%=2,求｛%｝通項(xiàng)公郎

技巧點(diǎn)撥

解：假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)力使得：%+2=3(%+2)成立

解得：2=4

。〃+1+4=3(%+4)

...5^=3

?！?4

???數(shù)歹U｛%+4｝是以3為公比，以/1+4=6為首項(xiàng)的等比數(shù)列

%+4=6X3〃T

an=6x3"i—4

瞎親而?知識(shí)遷移強(qiáng)化

(2023?湖南張家界?統(tǒng)考二模)

11.數(shù)列｛0“｝中，q=2,an+l=2an-1.

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式?！埃?/p>

⑵若6"=。"+",求數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和加

(2023?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))

12.已知數(shù)列｛%｝中,?i=5,且2a“+]=a“+2,S”為其前"項(xiàng)的和.

試卷第6頁(yè)，共16頁(yè)

⑴求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)求滿足不等式電-2〃-61〈嘉的最小正整數(shù)n的值；

(3)設(shè)粼=("?-3)2+%，G="〃g)"T(%U),其中彳>0,若對(duì)任意加，“eN*,總有

7

或-C,,>可成乂，求2的取值范圍.

(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第六中學(xué)校?？既?

13.已知正項(xiàng)數(shù)列｛凡｝滿足q=1,an+x=2an+1.

(1)證明：數(shù)歹!J｛%+1｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)2=烏土1，求數(shù)列他,｝的前〃項(xiàng)和

an'an+\

(2023?山東德州?三模)

14.已知S,為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，%=2,5“=%+]-3〃-2.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

2〃1

(2)設(shè)“=------，記也，的前〃項(xiàng)和為證明：Tn<~.

aja”+i5

(2023?貴州遵義?統(tǒng)考三模)

15.已知5“為數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，且滿足5“+〃=2%,“eN*.

(1)求證：數(shù)列｛%+1｝是等比數(shù)列；

2〃13

⑵若也,=------,記Z,為數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和，求滿足不等式北的〃的最大值.

4,q+i14

技法05已知。用⑺用an+An+B=加%T+4~1)+可求通項(xiàng)公式的

解題技巧

?常見(jiàn)題型解讀

己如a“i=〃<1+/(”)用4+力”+8=P[“.T+HN-I)+用來(lái)通項(xiàng),可以一要模極來(lái)戊活

M1B.其本版是恃定系數(shù).需強(qiáng)化煉習(xí).

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例5.

試卷第7頁(yè)，共16頁(yè)

（2023?陜西安康?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）

在數(shù)列｛%｝中，已知?！?2%_1-2"+4（〃22）,%=4.

（1）求｛%｝的通項(xiàng)公式;

（2）求數(shù)列｛2"q-4"｝的前〃項(xiàng)和.

技巧點(diǎn)撥o

（1）因?yàn)?20"_1-2〃+4（〃22）,

所以=又q_2=2片0,

所以｛%-2〃｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

所以。“一2〃=2",即=2〃+2〃；

力魯?知識(shí)遷移強(qiáng)化

（2023?貴州六盤(pán)水?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）

16.在數(shù)列｛%｝中，q=1,2%+]-%="+2.

（1）證明：數(shù)列｛。用-%-1｝為常數(shù)列.

（2）若4=含,求數(shù)列低｝的前"項(xiàng)和

（2022下?湖北?高二校聯(lián)考階段練習(xí)）

17.在數(shù)列｛%｝中，%=1,且。"+]=3%+2〃-1.

⑴證明：數(shù)列｛““+〃｝是等比數(shù)列;

（2）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（3）求數(shù)列，上一|的前〃項(xiàng)和

[an+n\

=+

技法06已知an+l=pan+q"用黑7求通項(xiàng)公式的解題技巧

qqqq

喟3?常見(jiàn)題型解讀

試卷第8頁(yè)，共16頁(yè)

L!知a..i=夕見(jiàn)+g*用—=---^+―求謝項(xiàng)公式,其本質(zhì)是除以一個(gè)拒Ik式，足高與

"■，「Jq

中的高喊號(hào)也,可靈活運(yùn)用模板解也

02

（2023?浙江?模擬預(yù)測(cè)）

例6.

已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為、g=l,a?+1=2an+2用

（1）試求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式;

(2)求S*.

技巧點(diǎn)撥

（1）由題意％=2a,+2向，兩邊同時(shí)除以2向，將其變形為招=§+1，即金-祟=1，

由等差數(shù)列的定義可知是以首項(xiàng)為*=;、公差為d=l的等差數(shù)列，

所以號(hào)=；+（"l）xl=￥，即。"=（2〃-l）-2"T.

需票證?知識(shí)遷移強(qiáng)化

（2023?河北衡水?衡水市第二中學(xué)校考三模）

n

18.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S〃，^Sn=an-2-'.

⑴證明：［券:是等差數(shù)列；

⑵求數(shù)列［督］的前〃項(xiàng)積.

（2022下?全國(guó)?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）

+1

19.已知數(shù)列｛%｝中，％=1,g=3,a?+2+2a?-2"=3a?+1（weAf,）.

⑴設(shè)2=。^，求證也｝是等差數(shù)列；

⑵求｛%｝的通項(xiàng).

技法07已知an+2=pan+l+q%用an+2-kan+l=力（%-也）求通項(xiàng)公式的解題技巧

試卷第9頁(yè)，共16頁(yè)

識(shí)高考?常見(jiàn)題型解讀

已知生“=/XL]用心j一版乙）求通項(xiàng)公式，其木質(zhì)是恃定系數(shù)法.

是高與中的高頻號(hào)題?可靈活運(yùn)用模板解麴

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例7.

（2023?廣東梅州?統(tǒng)考三模）

己知數(shù)列｛?！埃凉M足弓=2,g=4,an+2=an+l+2an.

⑴證明：數(shù)列｛g｝為等比數(shù)列.

12n

⑵數(shù)列也｝滿足7+『+…+了=%+i-2,求數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和S".

技巧點(diǎn)撥

a

⑴..."〃+2—"〃+1+2%，n+2-2%+i=-(Q〃+1

已知％=2,4=4,得〃2-2%=0,可得%+1-24=0,

，數(shù)列｛4｝為以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列

喘京福?知識(shí)遷移強(qiáng)化

（2024上?河北保定?高二保定一中校考階段練習(xí)）

[3

20.已知數(shù)列｛%｝滿足。什2=3。用-2?！?，％=萬(wàn)，％=].

（1）證明：數(shù)列｛。向是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

（2023下?吉林白城?高二?？茧A段練習(xí)）

41

21.已知數(shù)列｛%｝滿足％=3,a2=5,an+2=-an+l--an

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式對(duì)

⑵設(shè)6'=g”（6-%）總為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，若S"+恒成立，求實(shí)數(shù)〃?

的取值范圍

試卷第10頁(yè)，共16頁(yè)

（2023下?重慶沙坪壩?高二重慶南開(kāi)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）

22.已知數(shù)列｛%｝滿足q=5,%=13,且。,+2=5q,+j-6q,eN*）.

（1）求證：數(shù)列｛?！?「2%｝是等比數(shù)列，并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵若%-2">43〃+l）（-iyi對(duì)任意的〃eN*恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

（2023上?重慶渝中?高二重慶巴蜀中學(xué)?？计谀?/p>

23.已知數(shù)列滿足％=1,4=4,對(duì)任意的〃eN+時(shí)，都有a,"=5%+i-6%+2成

立.

（1）令2=。"+「2%+1，2=%-3與+2,求證：｛bn｝,匕,｝都是等比數(shù)列；

⑵求數(shù)列｛“J的通項(xiàng)公式區(qū),.

技法08已知%”用■-一-求通項(xiàng)公式的解題技巧

anan-l

用器上?常見(jiàn)題型解讀

已知a.=9?用工一■一■=「求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是除以凡囚」虺高號(hào)中的

/41

高喊專(zhuān)用.可靈活運(yùn)用模板就身

02

（2023?福建三明?統(tǒng)考三模）

例8.

已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,2an+l+anan+l-2an=0（neN*）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)6“=（T）“（4”Ji）a，色｝的前"項(xiàng)和為S“，證明：-KSz,,“。

...相益嬴*

技巧點(diǎn)撥。

（1）因?yàn)?=2,2an+i+anan+i-2^n=0GN*）,所以4w0,

22

所以一+i------=。.

an%+1

試卷第11頁(yè)，共16頁(yè)

為等差數(shù)列，首項(xiàng)為15,公差公5,

所以:？+(1"=梟〃-1耳苦,

所以%=三2

需票證?知識(shí)遷移強(qiáng)化

(2023?河南安陽(yáng)?統(tǒng)考三模)

24.已知數(shù)列｛%｝滿足4=1，&=1+2?！?

⑴求｛%｝的通項(xiàng)公式；

2

⑵設(shè)C?=Ananaij+l,求數(shù)列｛c〃｝的前”項(xiàng)和1.

(2023上?陜西西安?高三校聯(lián)考階段練習(xí))

25.設(shè)數(shù)列｛6｝的前"項(xiàng)和為S”%=；,且。=%_](〃22,”eN+).

(1)求｛?！保耐?xiàng)公式；

(2)設(shè)”=(一1嚴(yán)(2〃+3)的同，求數(shù)列低｝的前〃項(xiàng)和乙

(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))

26.已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,an+1-an+3an+lan=0,?eN,.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛?！ㄏ颍那啊?xiàng)和為北，若〃>UpeN*),求人的最小值.

技法09已知％“=常，用[=9十+三求通項(xiàng)公式的解題技巧

Pun十qun+lyUnP

喟界?常見(jiàn)題型解讀

已知a..i=叫用L=U1-+"求通圓公式，其本質(zhì)虺取劑數(shù)，是高與中的高I?號(hào)

pajqqAp

用.可靈活垢用模板解題

試卷第12頁(yè)，共16頁(yè)

02

（2023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）

例9.

數(shù)列｛4｝中，％=1,且%+|=個(gè).

（1）求｛。”｝的通項(xiàng)公式；

2〃

（2）令或=一，記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S“，求匯

an

技巧點(diǎn)撥

aII1

（I）由%+1=----可得—=—+1

%+1%+i%

1一

因?yàn)閠4=1,所以---1.

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.

11

所以一=",即%=—.

a?n

睛奈福?知識(shí)遷移強(qiáng)化

（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè)）

27.已知數(shù)列｛%｝滿足的=工，且。川=r.

⑴求證：數(shù)列［是等比數(shù)列；

（2）若」■+▲+!+,,?+L<10。，求滿足條件的最大整數(shù)也

%a2a3an

（2023?山東?模擬預(yù)測(cè)）

28.已知數(shù)列｛4,｝滿足％=1，%+1=^7T（MeN，）-

⑴求數(shù)列｛與｝的通項(xiàng)公式；

⑵設(shè)6：=1+端+。3也>0,數(shù)列低｝的前"項(xiàng)和為S",證明：-<Sn<n+\.

（2023?江蘇南通?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）

試卷第13頁(yè)，共16頁(yè)

29.已知數(shù)列｛?！埃?，=-,??+i=---.

32-4,

（1）求數(shù)列｛七｝的通項(xiàng)公式；

（2）求證：數(shù)列｛&｝的前〃項(xiàng)和5?<1.

技法10已知?！?1="/（0>0,?！?gt;。）用lg%=41ga“+lgP求通項(xiàng)公式的解題技巧

叫?常見(jiàn)題型解讀

已如a.“=>0）用lg"z=g1gq,+lgp求通項(xiàng)公式，其本質(zhì)是取時(shí)收，足

離身中的高喊與題,可靈活運(yùn)用模板解18

02

j|我學(xué)?解題思維剖析

例10.

%+1=3x%2,已矢町=3,求｛%｝的通項(xiàng)公式？

解題

技巧點(diǎn)撥

解:兩邊同時(shí)取次為底的對(duì)數(shù)得：

2

log3fl?+1=log3（3X%2）=log33+log3a?=l+21og3an

設(shè)6'=logs%nb”4=2b“+l

假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)2使得6用+2=20.+2）成立，

解得：2=1

也+1｝是以2為公比，M為首項(xiàng)的等比數(shù)列

.?.”+l=2x2〃T=2〃na=2〃-1

log3%=2〃_]=%=32-1

喘景福?知識(shí)遷移強(qiáng)化

（2023?浙江寧波?浙江省寧波市堇B州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）

30.數(shù)列｛%｝滿足%=5,%=4-2%+2,下列說(shuō)法正確的是（）

3

A.存在正整數(shù)左，使得知B.存在正整數(shù)左，使得%=3

C.對(duì)任意正整數(shù)左，都有1<軟<2D.數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增

（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）

試卷第14頁(yè)，共16頁(yè)

31.已知數(shù)列｛%｝滿足。用=2.3"C，6=7,求數(shù)列也J的通項(xiàng)公式.

（江西撫州?高一統(tǒng)考期中）

32.已知％=2,點(diǎn)（%,%+[）在函數(shù)/（無(wú)）=X2+2x的圖像上，其中”=1,2,3,….

（1）求生嗎的值；

（2）證明數(shù)列他（1+%）｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（3）記”=工+-^,求數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S..

（2023?全國(guó),高三專(zhuān)題練習(xí)）

33.已知數(shù)列｛%｝滿足。,m=2.3"@,q=7,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

技法11構(gòu)造常數(shù)列求通項(xiàng)公式的解題技巧

喟3?常見(jiàn)題型解讀

構(gòu)造常數(shù)例的用在近年模粗18中越來(lái)翅名.也是號(hào)向標(biāo)的一轉(zhuǎn)風(fēng)向.能料代部分K加索

乘.雒做利快速求解.

02

跟我學(xué)?解題思維剖析

例H.

（2023?四川攀枝花?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）

數(shù)列｛對(duì)｝的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足q=1,2S“=nan+1（〃eN*）.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛%-2"｝的前〃項(xiàng)和7；

技巧點(diǎn)撥o

（.1）由25“="?！?1，得當(dāng)時(shí)，2S._]兩式相減得：+

從而以=5,即數(shù)列組是常數(shù)列，因此&=?=],

n+1nInIn1

所以數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式是。"=".

喘京福?知識(shí)遷移強(qiáng)化

試卷第15頁(yè)，共16頁(yè)

(2023?江蘇無(wú)錫?校聯(lián)考三模)

SS1

34.記S”為數(shù)列｛應(yīng)｝的前"項(xiàng)和，已知q=1,二&---=

an+\an,

(1)求｛%｝的通項(xiàng)公式；

⑵記bn=2%,數(shù)列他,｝的前"項(xiàng)和為I,求QT除以3的余數(shù).

(2023?四川資陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))

35.已知數(shù)列滿足G=1,%+2氏+36+-”%=2匯+3"+1

6

(1)求｛?！保耐?xiàng)公式；

⑵記log3bn=an,求數(shù)列U的前〃項(xiàng)和1.

(2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))

36.已知數(shù)列｛%｝的前九項(xiàng)和為S0,S“=；(”+2)%，且%=1.

(1)求證：數(shù)列，:1是等差數(shù)列；

⑵求數(shù)列的前〃項(xiàng)和人

試卷第16頁(yè)，共16頁(yè)

參考答案:

1.(1)?！?2向

(T嚴(yán)

⑵(=1+

n+1

【分析】

（1）利用??與E,的關(guān)系得到｛%｝為等比數(shù)列求解即可;

（2）利用裂項(xiàng)相消法求和即可.

【詳解】（1）因?yàn)?M=S"+4,

當(dāng)〃=1時(shí)，/=H+4=8,

當(dāng)〃22時(shí)，%=%+4,

所以〃〃+「%=%，

即an+x=2an（W>2,Z?GN*）,

又因?yàn)?=）=2,滿足上式，

ax4

所以｛%｝是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

則％=4>21=2”*1

2/7+1)，

（2）因?yàn)椤?（一1）用_/_]“+i2i+1

n(n+1)

?log2an

所以I=]+)*+■??+(-If1

1+

n+1

2.⑴%=2〃+l

⑵if需

【分析】

（1）根據(jù)S”與。“的關(guān)系分析可得數(shù)列｛4｝是3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)

列通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；

答案第1頁(yè)，共30頁(yè)

(2)由(1)可得：&?=-HL+H)_,利用裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.

a?%

【詳解】⑴

2

因?yàn)镾"=nan-n+n,可得S”.=(〃+1)。向一(〃+1『+"+1,

兩式方目減得a?+i=(〃+1)。”+1—(,+1)+n+\—nan+n~-n,

整理得。"+「%=2,可知數(shù)列｛%｝是3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，

所以4=3+2("-1)=2〃+1.

(2)

------1--1--H-----F---——1r--(---I--f--9

%%+i32n+3

所以

〃32〃+3

3.⑴%=-3x2"

(2)-36672

【分析】

(1)利用a“=S0-ST得到數(shù)列｛a,｝為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解;

(2)求出a“+4"T+4"-2,然后利用分組求和法求和即可.

【詳解】(1)

因?yàn)镾“+i+S"+的=3。向，則當(dāng)"22時(shí)，S"+S._]+電=3。“，

兩式相減可得%+i+%=3an+1-3a?(n>2),貝ij。用=2an(n>2),

且當(dāng)"=1時(shí)，星+?+%=3,解得g=2%,

?2

答案第2頁(yè)，共30頁(yè)

所以｛%｝是首項(xiàng)為-6,公比為2的等比數(shù)列,

所以?！?-6X2"T=-3X2",

即％=-3x2"；

(2)

因?yàn)锳”+&-1+。3.-2=4+3?-2=-3x2"+3〃—2,

則45=(4+仿+4)+(4+4+&)+…+(&+&5+方36)-46

1212

=-3x(2+2+---+2)+lxl2+^|^-x3-(2xl2-tz12)

2(1—212)

=-3x~^+210-(24+3x212)=-36672.

4.an-3"+??-1.

【分析】

得到4+1-?！?2-3"+1,利用累加法求出通項(xiàng)公式.

【詳解】

由a向=%+2-3'+1得an+l-an=2-3"+1,

貝！Ja”=(a?-a?-i)+(a,i-%一2)+—F(&3-a2)+(4-

=(2?3"T+1)+(2-3"-2+1)+…+(2x3+1)+3

3(1—3〃T)

=2(3"T+3'L2+…+32+3卜(〃_I?3=2X\4〃+2=3"+n-i

3

5.(l)a2=>。3=5,a“=2"-l(”eN*)

GT32〃+3

(2)(=3一一三

【分析】(1)根據(jù)遞推公式分別計(jì)算%,%的值，然后構(gòu)造數(shù)列，利用累加法求出通項(xiàng)公式;

(2)錯(cuò)位相減法求和.

【詳解】(1)?i=l,(?-l)a?>2,neN*j,

二.當(dāng)〃=2時(shí)，％=3;當(dāng)〃=3時(shí)，%=5,

答案第3頁(yè)，共30頁(yè)

2”N*).?芻11

?「-na

f7nn

T

又丁4=1,.*.an=2幾一1(〃￡N*

2n-\

（2）由（1）得bn二r

1352/7-1

]+級(jí)+夢(mèng)+-一+3=

i32〃一32〃一1

=F+~T+…+--

22232”2"4

=—1+.J2nA

2一22232"2"4

11

x1-

1.F2"~'2〃一1

=—+2x——

220+1

2篦+3

2〃

6.B

【分析】先通過(guò)遞推關(guān)系式確定｛。/除去4,其他項(xiàng)都在（0」）范圍內(nèi)，再利用遞推公式變

形得到」----1>累加可求出,>；（〃+2）,得出lOOqoo<3,再利用

%%3-%

1111

J-<1+'累加可求出！-1<的111

a4n+1-1)+-—I-----F,??H—

%+1n3-43—'323n

“+2

再次放縮可得出1OOfifloo>|.

2

【詳解】=4=1,易得a=-e（0,1）,依次類(lèi)推可得（0,1）

23

1311

由題意,4+1\--a即一=

3"“〃+1

1111

%an3-%

1111111111一上〉.2）,

即一>-,------>3,>3；

a2%3a3a2

累加可得(〃-1),即，〉)(〃+2),(〃>2),

%3an3

答案第4頁(yè)，共30頁(yè)

.3

，(〃22),即qoo<妥,lOOtzloo

11111

1+^—,(心2)

又?！?ian3-a?n+1

n+2

1111+1+j____l+|k(?>3),

43U3llaa

a3a2a4%3n?-l3

累加可得〉叱1(11111〕，.、

n+-|-+-+???+-

23n

-1<33+r1+\1..+11

<33+-|-x4+-x96|<39,

“l(fā)oo3123Too31226)

gp—<40,^100>為,即lOO%oo>~；

0100

綜上:5<IO。。］。。<3.

故選:B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用遞推關(guān)系進(jìn)行合理變形放縮.

7.A

3

【分析】顯然可知，5100>|

1114an

得~/-<-/=+不，由累加法可得％之;一行，進(jìn)而由%+1=/節(jié)=局部放縮可得

2

也+i血5+1)i+A

—V7,然后利用累乘法求得%V7-I,最后根據(jù)裂項(xiàng)相消法即可得到幾。<3,

從而得解.

【詳解】因?yàn)?=l，%u=U^("eN3

所以%>0,5100>-.

1n—1n+1/\11+1

根據(jù)累加法可得，7=<1+=廠二:廠，522),當(dāng)〃=i時(shí)丁二可,

也227al2

177+1

則『V一/，當(dāng)且僅當(dāng)“=1時(shí)等號(hào)成立，

、//2

答案第5頁(yè)，共30頁(yè)

n+1

...%+iV7+1

an"+3'

由累乘法可得:c、，("N2),且％=:

則生，<7―2—C，當(dāng)且僅當(dāng)”=1時(shí)取等號(hào)，

(〃+1)(〃+2)

由裂項(xiàng)求和法得:

b”,fl111113-

所以又。46丁.+丁-+---+--?+<3,即]<Eoo<3.

\JIIJ

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)倒數(shù)法先找到值,向二的不等關(guān)系，再由累加法可求得

4

%2m了，由題目條件可知要證Hoo小于某數(shù)，從而通過(guò)局部放縮得到%,%+i的不等關(guān)系,

改變不等式的方向得到??V；_2--

最后由裂項(xiàng)相消法求得H。。＜3.

（〃+1）（〃+2）

1

8-（1馮=五百

⑵S"=-g+(T)"1

2〃+2

【分析】（1）運(yùn)用累乘法計(jì)算;

（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和.

a1a2a3a4.”〃+i=幾

【詳解】（）由題意:2345

1電

%3'4'%5'%6ann+2

a7a.a.a.a.1234n2

/.-^-x-^-x--義-^-x…x=mmm-x…乂------

axa2a3a4an3456n+2

“+i—___________0—?7x___________—_____________

1

ax(〃+l)(〃+2)'〃+〔(〃+l)(〃+2)2(〃+l)(〃+2)

1

2出+i），將〃=1代入上式也成立,

(2)2=(T)”(2〃+1)%=(-1)"J：[

2n[n+l)

S〃="+62+63+&+4+…+b〃

1

2223341)+1

]__1+(_以，1

2()n+\2〃+2

答案第6頁(yè)，共30頁(yè)

/、〃

9.(1)??=—

(2)證明見(jiàn)解析

【分析】

(1)解法一：由已知等式變形可得&a=：x"L計(jì)算出％的值，再利用累乘法可求得數(shù)

列｛6｝的通項(xiàng)公式；

解法二：由已知條件計(jì)算出生的值，推導(dǎo)出數(shù)列，?，為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公

比，即可求得數(shù)列］子卜勺通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)利用錯(cuò)位相減法求出，，進(jìn)而可證得結(jié)論成立.

【詳解】(1)解：解法一：由題為+g=1①，2%=［1+；,?,即。i=%②，由①②得%=%=1，

由2氏+|=［1+工］與得號(hào)=；x：n+1

1n)an2n

〃a123nn

所以當(dāng)"22時(shí)，%=4x"34nfY1

aan

axa.z3n-\)12n-12

1Tl

%=5也滿足

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為?！岸?E"eN*)；

2a2=[1+，]%,即②，由①②得%=2=；,

解法二：由題，。］+%=1①，：

由""一口1+［""=］町)%,，得智=1?%，

n+12n

所以數(shù)列。，是以g為首項(xiàng)，；為公比的等比數(shù)列，^=ixfiT1=—,

2〃232〃

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為％專(zhuān)

Ic1r11

(2)證明：由(1)知S"=lx：-+2x--+3x—+---+77X—,

222232〃

所以=lx"+2x*…+(<八11

+"產(chǎn)，

Ui」

n

兩式作差得工S"=L+1+%+-11n2<2)n.n-2

23：242"2"'.12"42"4

2"2221----

2

答案第7頁(yè)，共30頁(yè)

所以S"=2-〃變+2＜2.

10.（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）由題箕利用累乘法即可求解四=?（〃eN*）,進(jìn)而可得

4；=〃（〃￡N*）,進(jìn)而可證等差;

（2）由（1）得7=，由裂項(xiàng)求和即可求解.

7n5+1

【詳解】（1）由題可得

所以當(dāng)時(shí)，

%”3〃4"Ian_L2347T!-

Q---------------------Jlx—X—X—x---x----x----=7n，

n4%“3an-2%v123n-2n-1

易知q=1滿足=G，所以4〃=4(〃EN)

所以a；+i_a；=n+