2024年新高考新結(jié)構(gòu)題型數(shù)學(xué)選填壓軸好題匯編2（解析版）

2024耳騎龍老新傳，題剪裁后或嫉蒸^略題忙得02

一、單選題

1題目口(2024?廣東?一模)已知函數(shù)八⑸的定義域?yàn)镽,且滿足h(x+1)+h(x—1)=2,無(wú)(2—乃是偶函數(shù),

103

%(2)=0,若?1GZ,貝!JZh(n)=()

n=-103

A.202B.204C.206D.208

【答案】。

【解析】因?yàn)閔(x+1)+h(x—l)=2,所以拉(力+2)+%(%)=2①，即有h(x+4)+九(力+2)=2②,

由①②得到h{x+4)=無(wú)(力)，所以函數(shù)無(wú)(力)的周期為4,

又九(2—x)是偶函數(shù)，所以九(2+力)=無(wú)(2—力)，得到h[x)—五(4—X)—h(—x),即函數(shù)h(x)為偶函數(shù),

又由h(x+2)+h(x)=2,得到/z(l)+無(wú)(3)=2,無(wú)(2)+無(wú)⑷=2,九(0)+無(wú)(2)=2,

103103

又九(2)=0,所以/z(0)=2,故Zh(n)—2>^(n)+7z(0)=2x25x4+/z(0)+2供⑴+九(2)+無(wú)⑶)=

n=-103n=l

206,

故選：C.

題目0(2024?高三?湖南?階段練習(xí))設(shè)方程華|log2/|二l的兩根為的，g(gVg),則()

A.0V力i<1,劣2>2B.Xi>—C.OVg62VlD.rci+x>3

一力2一2一

【答案】C

【解析】由題意得，0<N1<力2,由2',|log24|=1得|log2a?|—(1)"=0,

如圖畫(huà)出函數(shù)|log2rc|和y=(2-)”的圖象，兩個(gè)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，

令f(c)=|log2同一(，丫3>0),則/(I)=—|-<0,7(2)=1-^=-1->0,/(y)=1-^->0,

由/(])./(1)<0，/(1)"(2)<0得為e(y,l),x2G(1,2),故力錯(cuò)；

由kg2電I-(.廣=kg2gl-(如’=。,得|iog2a；2|—log2gl=既「-怎):

由濟(jì)(1,2),得log222+log2g=(4廣—(^■廣〈。，

即logZ力便2V0,所以0VXiX2<1,故。對(duì)，"B錯(cuò)，

由xrE(1,1),x2^(L2),所以g+力2V3,。錯(cuò)誤.

故選：C

遒盯（*?福電*已知橢圓*。34。）與雙曲線，*】（心。，九＞。）有嬰的

1

焦點(diǎn)E，E，且在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)P,橢圓與雙曲線的離心率分別為e〉e2.若/月?月=4■，則生9的

最小值是

【答案】。

【解析】設(shè)共同的焦點(diǎn)為(一c,0),(C,0),設(shè)|PE|=S,|。月|=t,運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義，以及三角形的余

弦定理和基本不等式，即可得到所求最小值.設(shè)共同的焦點(diǎn)為(-c,O),(c,0),

設(shè)|F^|=s,\PF,\=t,

由橢圓和雙曲線的定義可得s+t—2a,s—1=2m,

解得s=a+wz,t—a—m,

在APRE中，/鄧泗=看,

o

可得用研=|PEF+|PE|2—2|PE|?\PFi\-COS/EP&

即為4c2=(a+m)2+(a—m)2—(a+m)(a—m)=a2+3m2,

即有冬+呼=4,

cc

即為」7+2=4,

可得e1'當(dāng)且僅當(dāng)e2=時(shí)，取得最小值,

故選。.

［題目|4)(2024?高三?沏南長(zhǎng)沙?階段練習(xí))求值：2cos40°霓°s8°°=()

sm80

A.V3B.平C.-V3D.-今

oo

【答案】A

［鏟析］2cos40°+cos80°=2cos(120°—80°)+cos80°

牛sin80°―sin80°

2(cosl20°cos80°+sinl20°sin80°)+cos80°V3sin80°后

=----------------------------------------------------=------------=73

sin80°sin80°

故選：A.

題目可(2024?陜西安康?二?)宋代理學(xué)家周敦頤的《太極圖》和《太極圖說(shuō)》是象數(shù)和義理結(jié)合的表達(dá).《朱

子語(yǔ)類(lèi)》卷七五:“太極只是一個(gè)混淪底道理，里面包含陰陽(yáng)、剛?cè)帷⑵媾?，無(wú)所不有”.太極圖(如下圖)將平

衡美、對(duì)稱(chēng)美體現(xiàn)的淋漓盡致.定義:對(duì)于函數(shù)/(2),若存在圓。，使得/(，)的圖象能將圓。的周長(zhǎng)和面積

同時(shí)平分，則稱(chēng)“⑼是圓。的太極函數(shù).下列說(shuō)法正確的是()

①對(duì)于任意一個(gè)圓,其太極函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)

2

②/(c)=108工(2。+1)+4①是rc2+(y+1)2=1的太極函數(shù)

22

③太極函數(shù)的圖象必是中心對(duì)稱(chēng)圖形

④存在一個(gè)圓C,/(x)=sina;+cos力是它的太極函數(shù)

A.①④B.③④C.①③D.②③

【答案】A

[解析】對(duì)于①:過(guò)圓心的直線都可以將圓的周長(zhǎng)和面積平分，

所以對(duì)于任意一個(gè)圓，太極函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，故①正確

對(duì)于②：/(一/)=]0gj2-+1)—二呵—藍(lán))-yT,

/(re)—f{—x)=logj2,+l)+c=—r+%=0,所以/(%)關(guān)于g軸對(duì)稱(chēng)，不是太極函數(shù)，故②錯(cuò)誤;

~22”+1

2X

對(duì)于③:中心對(duì)稱(chēng)圖形必定是太極函數(shù)，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即為圓心.

但太極函數(shù)只需平分圓的周長(zhǎng)和面積，不一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④：曲線/(，)=sine+cosrr=，^sin(a;+存在對(duì)稱(chēng)中心，

所以必是某圓的太極函數(shù)，故④正確.

故選：A.

題目回已知定義在[0,1]上的函數(shù)/Q)滿足：

@/(o)=f(i)=o；

②對(duì)所有土,,e[0,1],且有1/(工)一/(夕)|</限一辦

若對(duì)所有劣,ye[0,1],|/(T)一/3)|vk,則k的最小值為

A.《B.；C.*D

2427t-1

【答案】B

【解析】不妨令047<沙《1,則|/(2)—/(力|〈/也一切

法一:2|/(rc)一/(y)|=I/Q)-/(0)+/(x)-/(y)-[/(y)-/(1)]|

<l/(x)-/(0)|+|/(x)-/(y)|+|/(y)-/(l)|

V9m一0|+9.一引+土y一1|=梟+之&一2)+=]

即得〃3

UX，。404J

另一方面，當(dāng)“e(0，W)時(shí)，/(力)={，符合題意，

—u(l—X),—<x<1

當(dāng)■時(shí)，?)-/(0)|=y^^,

故％C

4

法二：當(dāng)土—沙&/時(shí)，I/O)-/(y)l<y|x-y|<

當(dāng)工一夕>方時(shí)，|/(c)-/(y)|=1[;(□：)-/(0)]-[/(y)-/(l)]|

<l/(^)-f(i)l+IAy)-A0)l

<-^\x-1|+y|y-o|=y(1-x)+yy=y+y(y-a;)<^,

故A:4《

4

考點(diǎn)：1.抽象函數(shù)問(wèn)題；2.絕對(duì)值不等式.

趣自工"（2024?高三?浙江杭州?壽題練習(xí)）已知三棱錐S—ABC中，/SAB=/ABC=爭(zhēng)SB=4,4B=2,

BC=心，SA和BC所成的角為手，則該三棱錐外接球的表面積是（）

O

A.12兀B.16nC.24nD.32兀

【答案】8

【解析】將三棱錐S-AB。放入長(zhǎng)方體ABCD-EFGH中，S在棱EH上面，

并以人為原點(diǎn)，4B,AD,AB所在直線分別為c,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:

由題意NSAB=ZABC=~SB=4,AB=2,BC=V3,

所以SA=V16-4=2V3,

因?yàn)镾A和BC所成的角為專(zhuān)，AD//BC,

所以AE—2V3sin-Y=3,ES=2，3cos*=V3,

0O

而底面三南形外接圓圓心為AC中點(diǎn)O1,設(shè)球心O到平面ABC的距離為伍

則人(0,0,0),6(2,0,0),0(2,g,0),5(0,g,3),01(1,乎,0),0(1,孚仇)，

所以O(shè)A=(^-ly-^^-y—h^yOS=(一1,,3—九),

則由I函=碣=An&=告+1+無(wú)2=+1+(3一12,

解得九二-^-,/?2=4,從而S=4兀7?2=16兀,

即該三棱錐外接球的表面積是167U.

故選：B.

題目⑥已知等差數(shù)列｛a“｝中，a4+a5=2記勾=馬(，九CN*,則數(shù)列｛bj的前8項(xiàng)和為()

anT

A.0B.4C.8D.16

【答案】。

【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)得an+a9-n=Q4+Q5

a+la—l+22

b—---n-----=----n----------=]H----------

n冊(cè)一1。九―1@一1'

設(shè)cn=一^―-，當(dāng)時(shí)，

冊(cè)一1

,2.2oan-\-a9-n—2a4+a5—2

cn+c9_n=-----H--------=2----------------=2---------------=0,

冊(cè)―1。9—九一1(an—l)(a9.n—1)(an—l)(a9.n—1)

故瓦+62+63+—Fbs

999

=1+-V+1+-T+…+1+上丁=8+。1+。2+…+。8

CLI—1電—1。8—1

=8+(。1+。8)+(c2+c7)+(c3+c6)+(c4+c5)=8

故選：C

[題目|9]（2024?高三?浙江?階段練習(xí)）若3sin。+cos3=V10，則tan（。+稱(chēng)）一1——的值為（）

\O7tan(。+/)

4

A.-7B.-14。c—7D-7

【答案】B

【解析】一方面由題意3sin。+cos夕=且注意到sin%+cos%=1,

聯(lián)立得lOsin20—6VlOsin0+9=0,解得sin。=宜需1,cosP=,

所以tan。=s,叫=3,

cosfJ

2tan-5-

另一方面不妨設(shè)力=tan-y>0,且tan與二1O

o41—tan2-y

O

所以有/+2/—1=0,解得力=-1+V2或x=-1—舍去)，即力=tan-^=—1+V2,

0

由兩角和的正切公式有tan（夕+-ytan0+x_34-(—1+V2)_(2+V2)X(4+3A/2)

\81—x,tan。1—3(—1+A/2)(4—3A/2^)X(4+3A/2)

-(7+5V2),

所以tan(夕+]]=-(7+5V2)+--

\otan(夕+專(zhuān))(7+5V2)

7-5V2

=-(7+5V2)+

(7+5V2)x(7-5V2)

二-7-5V2+5V2-7=-14.

故選：B.

遒亙巨］（2024?南三?江蘇慎江?升學(xué)考試）已知過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。且異于坐標(biāo)軸的直線交橢圓4+￥=l（a>

abb2

6>0）于兩點(diǎn)，Q為OP中點(diǎn)，過(guò)Q作/軸垂線,垂足為B,直線MB交橢圓于另一點(diǎn)N,直線PA/,PN

的斜率分別為自施，若自七=—9，則橢圓離心率為（）

XB符

A-27

【答案】。

【解析】如圖所示:

mnm

設(shè)P(m,n),則M(—m.

而kpN=

xN+mxN—mx^—rr^端一病

又因?yàn)閗pM，kPN——"

所以酗￡=二

^MN———

號(hào)+館

所以橢圓離心率為e

故選：D

2

〔題目〔11〕（2024?高三?江蘇南京?開(kāi)學(xué)考試）斜率為J的直線I經(jīng)過(guò)雙曲線-V=l(a>0,b>0)的左焦

2ab2

點(diǎn)E，與雙曲線左，右兩支分別交于A,B兩點(diǎn)，以雙曲線右焦點(diǎn)￡為圓心的圓經(jīng)過(guò)A,B,則該雙曲線的離

心率為（）

A.V2B.V3

【答案】。

【解析】取AB的中點(diǎn)M,連接MF2,

由題意可知：|人用=舊￡|,則岫_LAB,

設(shè)|力上=7?2>0,則|AE|—=2a,即\BF^\=\AF^\—m+2a,

因?yàn)閨B局-|B￡|=2a,則\BF[\=\BR\+2a=m+4a,

可得\AM\—=2a,\MF{\—\AF2\—m+2a,

又因?yàn)橹本€AB的斜率為，即tan乙4EE=1■,且/A蹶為銳角,

；sinZAJ；K=xsi屋月用月=一普

則（cosN4的2，可得《5廠或

[sin?/AFJ￡+COS2/AFJE=11cosNAE￡=COS/AE￡=-挈

則\MF,\=|EE|sinZAEE=^^,\MFl\=囪卻cos/ARE=,

55

且\MF>\2+\AM\2=|A^|2,即4a2+（差￡）2=（生等y,整理得02=1_口2,

V15

所以雙曲線的離心率e=

13

故選：D

1.焦點(diǎn)三角形的作用

在焦點(diǎn)三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái).

寇瓦亙（2024?高三?湖南長(zhǎng)沙?階段練習(xí)）雙曲線C：4一q=1的右支上一點(diǎn)P在第一象限，后，￡分別為

yio

雙曲線。的左、右焦點(diǎn)，/為△PEE的內(nèi)心，若內(nèi)切圓/的半徑為1,則的面積等于（）

A.24B.12C.警D.冬

OO

【答案】。

、"2y2

【解析】由雙曲線C:————=1的a=3,b=4,c=5,

916

設(shè)圓與三角形三邊相切于點(diǎn)河,N,Q,

則|PR|—|P￡|=\PM\+|御|—|Q￡|—|PQ|=\MF[\-\QF^=|7VR|-|7V^|=2a,

又|NR|+|NR|=2c,

所以\NF[\=Q+c=8JTVF^I=c—a=2,

因此IN.L力軸，因此\NF[\=a+c=8,\NFi\=c—a=2,|/N|=1,1（3,1）,

「口ZW1|/N|1

tanZIF]7V=----=--,tanZIZ^A^=----=-,

師|8'|麗2，

sin傳-公鼻N—/圾N）

所以tan（y-/IF、N—/圾N）=1

COS圈-AIF.N-AIF^N）tan（//EN+N/￡N）

?方x/3\IM\\PM\=^,：.|F^|=y+8=^-,

1+i2\PM\

因此\PF,\=|PR|—2Q=小故三角形的面積為J（|PE|+|尸引+lEEl）X1=等.

J/o

故選：C

6

I況_]Inp2

,2,若方程/(/(，))=4的實(shí)

{2(x—3)—1,力>2幺

根個(gè)數(shù)為()

A.4B.8C.10D.12

【答案】。

【解析】因?yàn)榧?mu，則時(shí)H“H)⑵=1力4)=i，

令12(c—3)2—l=上解得劣=3—4或2=3+4，

卜)222

又在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y—f{x}與9=]■的圖象，

由圖象觀察可知y—f(x)與夕=~|■有4個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為21,3：2,23,，4且±1<x2<x3<Xt,

則0<◎=x2—-1-<2<x3<3<a?4V4,

當(dāng)f(于⑸)=[■時(shí)，由/(，)=Xi,0<Xi=<1,則存在4個(gè)不同實(shí)根，

由于(x)—x2,1Va；2=今V2,則存在2個(gè)不同實(shí)根,

由/(c)=a；3,2<23<3,則存在2個(gè)不同實(shí)根，

由f(z)=包,3<叫<4,則存在2個(gè)不同實(shí)根，

綜上/(/(,))=:的實(shí)根個(gè)數(shù)為10.

故選：C

題目西(2024?陜西咸陽(yáng)?模赧預(yù)測(cè))已知圓G：(x-V3)2+y2=r2(O<r<4)與圓G：(力+V3)2+y2=(4-r)2

交點(diǎn)的軌跡為初,過(guò)平面內(nèi)的點(diǎn)P作軌跡M的兩條互相垂直的切線，則點(diǎn)P的軌跡方程為()

A.rc2+y2=5B.x2+y2=4C.x2+y2=3D.x2+y2=-y

【答案】A

【解析】圓G：(a;—A/3)2-Vy2—r2(0<r<4)圓心G,0),

圓Q:(x+A/3)2+^/2—(4—r)2圓心。2(—V3?0),

設(shè)兩圓交點(diǎn)為NQ,g),則由題意知|MR=『，|7VG|=4—7，所以|NG|+閃勾=4,

又由于|GG|=2，^,所以由橢圓定義知，交點(diǎn)N是以G(〃^0)、C2(—V^,0)為焦點(diǎn)的橢圓，

且c=V3,a=2,則b=Va2—c2=1,所以軌跡7W的方程為+y2—1,

設(shè)點(diǎn)P(g，Uo),當(dāng)切線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)切線方程為：y—yo=k(x—a?0),

(y—yQ=k(x—Xo)

聯(lián)立2一，消"得(或2+1)/2+8(%—心力0)k力+4(%—kg)2_4=0,

Q+g=l

22

則A=64(隊(duì)一卜的)2睛一4x(4fc+l)[4(y0-kx0)-4]=0,

即(4—屑)取+2力0伙)4+1—0,由于k#2=T，則由根與系數(shù)關(guān)系知----7=-1,即謚+需=5.

4一力0

當(dāng)切線斜率不存在或?yàn)?。時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,1),(—2,1),(—2,—1),(2,—1),滿足方程舄+若=5,

故所求軌跡方程為/+才=5.

故選：4

〔題目〔15](2024?高三?河北保定?開(kāi)學(xué)考說(shuō))已知A是左、右焦點(diǎn)分別為耳E的橢圓氏]+'=1上異于左、

右頂點(diǎn)的一點(diǎn)，。是線段人區(qū)的中點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)用作入用的平行線交直線8于口點(diǎn)，則四邊形

4及8月的面積的最大值為()

A.2B.-yC.D.~~

442

【答案】。

【解析】

如圖，因?yàn)?。為線段AF]的中點(diǎn)，。為E片中點(diǎn)，所以O(shè)C為△AF;月中位線,

8

℃〃人凡℃=^4&又因?yàn)?〃人&

所以四邊形為平行四邊形，OC=OB,

由幾何關(guān)系易得S^BFq=SWF、O=S&CFQ=:,設(shè)S帖q0=S,

則Szwy?=4S,Sa號(hào)%=65,5.胸=等厲，

又$44萬(wàn)片="四同,ly^l＞當(dāng)且僅當(dāng)\1JA\=b=V3時(shí)，（S△"用）max=

V3,

所以SAFiBp2--^-V3.

故選：D

［題目〔16］（2024?高三?山西??城?開(kāi)學(xué)考試）已知月，月分別為橢圓+與=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一

點(diǎn)，則5局2+|PEF+3|PEl|P月的最大值為（）

A.20B.16C.64D.24

【答案】A

【解析】由橢圓的定義可知|PE|+|P￡|=4,

|P^|2+|P^|2=16-2|PE||PE|,

.?.|PE/+|P鳥(niǎo)|2+3|PE||P￡|=16-2|P園|P￡|+31PlMPEI

=16+|PE||PE|《16+（爐制；廬碼）2=20,

當(dāng)且僅當(dāng)|P月|=|P￡|=2時(shí)等號(hào)成立，

故選：A.

寇里亙（2024?高三?山西??戰(zhàn)?開(kāi)學(xué)考試）已知tan（7

tan（a+

R72「7V2

A上o士k10D

10BF-<

【答案】A

taaa2

【解析】由于

tan（a+￡3

tan。+tar嚀

tana=-|~tan（a+兀22tana+1

I31—tanatan531—tana

解得tan<2=--或tan（2=2,

o

sin（2a+弓）=-^-（sin2（7+cos2。）=^^（2sinacosa+2cos2a—1）=sinac^s"+c?sa）—_

'4'22\sina+cosa'2

商tana+1\V2

VUan26z4-1

將tan0=―^代入可得：sin（2a+與）=

3v410

將tana=2代入可得：sin（2a+：）=

14710

故選：A.

題目叵（2024?高三?山西?階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD-4BQQ1中，石是CD的中點(diǎn)，

9

上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐A-DEF外接球半徑的最小值為()

A.3B.2V3C.V13D.V15

【答案】。

【解析】連接AE,取AE的中點(diǎn)G,可知G為4ADE的外心，

過(guò)G作平面ABCD的垂線，可知三棱錐4一DEF外接球的球心O在該垂線上,

設(shè)GO=n,CF=me(0,4],

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DAQCQDi分別為rc,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),4(4,0,0),E(0,2,0),G(2,1,0),。(2,l,m),下(0,4,小),

因?yàn)镺D—OF，即V4+1+n2=J4+9+(m—n)之,

整理得九=華+昆＞2、停巨=22，當(dāng)且僅當(dāng)年=衛(wèi)-,即m=2蓼時(shí)，等號(hào)成立,

2m\2m2m

所以三棱錐A—DEF外接球半徑的最小值為“4+1+8=V13.

故選：C.

2

題目回(2024?高三?山西?階段練習(xí))已知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a=b=esin^,C=磊，則

21nV7Ueln2

()

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>c>a

【答案】B

【解析】構(gòu)建/(力)=產(chǎn)~,力>已,則/(力)=I"":>0在(e,+8)內(nèi)恒成立，

Inc(Ina?)

可知/O)在(6,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增，

因?yàn)椤愣猚—_J___A_

21nV7rIn兀'ln2ln4'

可知/(4)>/(7u)>/(e)=e，即c>a>e;

構(gòu)建g(%)=/—sin力，力>0,則g(x)—1—cos/>0在(0,+oo)內(nèi)恒成立，

可知g(優(yōu))在(0,+oo)內(nèi)單調(diào)遞增,則g(x)>g(0)=0,即0>sinx,x>0,

可得工>sin—，且e>0,則e>e2-sin—，即e>b;

eee

綜上所述：c>a>b.

故選：

Wt叵(2024?高三?重慶?階段練習(xí))將分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球放入A,B,。三個(gè)盒子，每個(gè)

小球只能放入一個(gè)盒子,每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球.若標(biāo)有數(shù)字1和2的小球放入同一個(gè)盒子，且A盒子中

只放一個(gè)小球，則不同的放法數(shù)為()

A.28B.24C.18D.12

.

【答案

【解析】第一種情況,將五個(gè)小球按1,1,3分為三組，則安排的方法有CO⑷=12種；

第二種情況，將五個(gè)小球按1,2,2分為三組，則安排的方法有C\C^=6種.

不同的放法數(shù)為18.

故選：C.

二、多選題

題目叵（2024?高三?廣東?階段練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線。：才=4c的焦點(diǎn),點(diǎn)P（4,4）,直線Z：

2=利夕+1交拋物線。于力，3兩點(diǎn)（不與P點(diǎn)重合）,則以下說(shuō)法正確的是（）

A.\FA\>1B.存在實(shí)數(shù)機(jī),使得乙4OBV等

C.若力F=2BF,則小=±*

D,若直線PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，則m=-2

【答案】CD

【解析】由題意可知,拋物線焦點(diǎn)為F（l,0）,準(zhǔn)線方程為x=一1,

直線x—my+1恒過(guò)F（l,0）,如下圖所示：

設(shè)431,%）,8（62,例），作441垂直于準(zhǔn)線力=一1,垂足為Alf

根據(jù)拋物線定義可知，|JFL4|=\AAi\=^+1,易知名1>0,所以\FA\=xr+l>1,

但當(dāng)|FA|=1時(shí)，此時(shí)A與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，因此\FA\手1,

所以即4錯(cuò)誤；

聯(lián)立直線力=my+1和拋物線C\y—4%方程得y2—^my—4=0;

22

所以U曲=-4,x1x2=mj=1，

此時(shí)04?OB=|OA||OB|cosZAOB=6何2+幼統(tǒng)=—3V0,所以cosZAOBV0,即Z.AOB>,

所以不存在實(shí)數(shù)使得/4OBV故8錯(cuò)誤；

若AF—2FB,由幾何關(guān)系可得yi=-2y?,結(jié)合幼紡二-4,可得改=V2或紡=一即或

鳳亭一代），

將B點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程可得館=±苧，所以。正確；

若直線P4與PB的傾斜角互補(bǔ)，則kPA+kPB^0,

即功:+紡:=0,整理得2小,曲-（4m+3）（陰+%）+24=0,

力1—422-4

、、3

代入％例=14,%+紡=4m解得m=—2或?n=彳，???

當(dāng)?ri=[■時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)P(4,4)，人與P點(diǎn)重合，不符合題意，所以=—2;即D正確.

故選：CD

題目叵(2024?廣東?一模)將圓柱。。2的下底面圓Q置于球。的一個(gè)水平截面內(nèi)，恰好使得Q與水平截

面圓的圓心重合，圓柱的上底面圓。2的圓周始終與球。的內(nèi)壁相接(球心O在圓柱OiQ內(nèi)部).已

知球。的半徑為3,OQ=若R為上底面圓Q的圓周上任意一點(diǎn)，設(shè)RO與圓柱QQ的下底面所成

的角為圓柱。。2的體積為V,則()

A.a可以取到中的任意一個(gè)值B.V--^^cos2<z(l+2sina)

C.V的值可以是任意小的正數(shù)D.匕1ax=竽

【答案】BD

過(guò)作圓柱的軸截面PQAS,過(guò)。作MN，。。2交圓柱軸截面的邊于

由RO與圓柱的下底面所成的角為a,則OM=3cos=3sina,所以V=7U-OM2-QR=n?(3cos(7)2

(OOi+3sin<z)=-^^-COS2(7(1+2sina),

即V=215cos2a(1+2sina)=—sin2^),(1+2sina),故B正確；

當(dāng)點(diǎn)P,Q均在球面上時(shí)，角a取得最小值，此時(shí)OOi=OO2=,，所以&二專(zhuān)，

zo

所以故A錯(cuò)誤；

令sina=t1),所以V=-^(1-t2)(l+2。=^|^(-2t3-t2+2t+1),

所以^'=警(一6F一2%+2),另一6^—2￡+2=0,

解得兩根方尸勺一,

所以十二華㈠廿一2t+2)W等x[―6X居『-2x.+2]=一等<0,

所以卜=考，一2±3—/+2t+1)在te[y,l)時(shí)單調(diào)遞減，

所以心=等X[―2.(y)3-(y)2+2X")+1]=等，故。正確,C錯(cuò)誤；

故選：BD.

題目叵(2024*三?湖南?階段練習(xí))已知體積為2的四棱錐P—ABCD,底面ABCD是菱形，4B=2,PA

=3,則下列說(shuō)法正確的是()

0

A.若尸A_L平面ABCD，則ABAD為乎

B.過(guò)點(diǎn)P作P。±平面ABCD,AO±BO,則BD±PC

C.PA與底面ABCD所成角的最小值為？

0

D.若點(diǎn)P僅在平面ABCD的一側(cè)，且AB，AD,則P點(diǎn)軌跡長(zhǎng)度為3小兀

【答案】BCD

【解析】設(shè)P到底面的距離為力,

VP_ABCD=~~-SABCD-h=:AB,ADsinABAD?h=-^-hsinZBAD=2,

ooo

則當(dāng)PA_L平面ABCD時(shí)，九=PA=3,則sinZBAD=^~,即ABAD為工或三，A錯(cuò)誤；

266

如圖1,若PO_L平面ABCD,BOu平面ABCDf?］PO_L6。，又40_L60,

POC\AO=O,PO,AOu平面PAO,

則BO_L平面PAO,PAu平面PAO,故BO_LP4,又BO_L［

PAAAC=A,PA,AC(z平面PAC,

所以BO_L平面P4O,PCu平面947,8。_1P。，右正確；/ly\

設(shè)P4與底面ABCD所成角為夕，又VP_ABCD=^-SABCDh=^-SABCDPAsin3=2,/二二枇Z

33AB

則sin。=—,因?yàn)镾ABCD—4sin/BADW4,則sin。>,圖］

'ABCD2

由于夕e(o號(hào)］所以夕e［專(zhuān)號(hào)］

則P4與底面ABCD所成角的最小值為4,。正確；

如圖2,當(dāng)AB，AD,根據(jù)^SABCJI.=2,得拉=卷，即P點(diǎn)到底面ABCD的距離為,，過(guò)4點(diǎn)作

底面ABCD的垂線為z,過(guò)點(diǎn)p作PO_LZ交，于點(diǎn)o,則PO=JAP2To2=Js2-(-|-)2=，點(diǎn)P的

軌跡是以O(shè)為圓心，旦，為半徑的圓，軌跡長(zhǎng)度為3g乃，。正確.

故選：BCD

遒國(guó)藥(2024?高三?湖南農(nóng)沙?階段練習(xí))已知函數(shù)/⑺=(c+l)(eJc—1),則下列說(shuō)法正確的有

A./(①)有唯一零點(diǎn)B./0)無(wú)最大值

C./(2)在區(qū)間(1,+8)上單調(diào)遞增D.±=0為/(>)的一個(gè)極小值點(diǎn)

【答案】BCD

【解析】對(duì)于4依題意，/(—I)=/(0)=0,即力=—1和力=0是函數(shù)/(%)=(力+1)(e°—力—1)的零點(diǎn)，A錯(cuò)

、口

沃；

對(duì)于當(dāng)力>0時(shí)，令”(力)=e”一力一1,求導(dǎo)得M(c)=e"一1>0,函數(shù)”(6)在(0,+co)上遞增，當(dāng)?>2

時(shí)，u(x)>e2—3>1,

而。=力+1在(0,+8)上遞增，值域?yàn)?1,+8),

因此當(dāng)力>2時(shí)，/(/)>力+1,則/(力)無(wú)最大值，B正確；

對(duì)于C,f\x)=(x+2)e*—2力—2,

令gQ)=Q+2)e，一2rc—2,求導(dǎo)得，(:c)=(力+3)e*—2,

當(dāng)%>0時(shí)，令九(0)=(%+3)。-2,則H(x)=(力+4)。>0,即g'Q)=h[x)在(0,+oo)上遞增，

。(力)>。(0)=1>0,則/'(6)=g(宏)在(0,+oo)上遞增，f3)>/(0)=0,

因此了(力)在(0,+8)上遞增，即/(力)在(L+8)上單調(diào)遞增，。正確；

對(duì)于。，當(dāng)一1〈力V0時(shí)，0(力)=2%+：,

力+2

求導(dǎo)得/(力)=e-(力；2)2，顯然函數(shù)”(力)在(T，°)上遞增，

而d(—1)=十—2vo,"(o)=方>0,則存在ge(―1,0),使得d(四))=0,

當(dāng)力e(g,0)時(shí),0,(力)>0,函數(shù)0(力)在(xo,O)上單調(diào)遞增，則0(/)<0(0)=0,

即當(dāng)(g,o)時(shí)，ey2力+(，則f(2)-3+2)00—2±-2<0,又/(0)=0,

因此力=0為f(x)的一個(gè)極小值點(diǎn)，D正確.

故選：BCD

面目藥(2024?高三?山東濟(jì)南?期末)已知函數(shù)/㈤的定義域?yàn)榉睬?(2+切=/(乃+/⑹+1,/⑴=0,

貝M)

A.f(0)=-1B./(①)有最小值C.f(2024)=2023D./(c)+1是奇函數(shù)

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A中，令c=y=0,可得/(0)=—1,所以A正確；

對(duì)于B中，令力=的,沙=/2一/1,且力1<力2,則/(力1+力2一力1)=/(^1)+/(力2一力1)+1,

可得/(力2)—/(力1)=/(力2—力1)+1,

若力>0時(shí)，/(力)>—1時(shí)，/(力2)—/(為)>。,此時(shí)函數(shù)/(N)為單調(diào)遞增函數(shù)；

若力>0時(shí),/(力)<—1時(shí)，/(22)—/(61)V0,此時(shí)函數(shù)/(比)為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以函數(shù)/(力)不一定有最小值,所以右錯(cuò)誤；

對(duì)于。中，令V=I,可得+1)=/(。+/⑴+1=f(x)+1,

即/(力+1)-/(%)=1,

所以“2)-/⑴=1/3)—/⑵=1,-,/(2024)-/(2023)=