甘肅省師大附中2023-2024學(xué)年高考全國統(tǒng)考預(yù)測(cè)卷數(shù)學(xué)試卷含解析

甘肅省師大附中2023-2024學(xué)年高考全國統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷

請(qǐng)考生注意：

1.請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.如圖，在AABC中，點(diǎn)N分別為C4,CB的中點(diǎn)，若AB=下,CB=1,且滿足3AG?MB=C?+CB?，

則AG-AC等于（）

二28

A.2B.J5C.-D.-

33

2.我們熟悉的卡通形象“哆啦A夢(mèng)”的長寬比為行：1.在東方文化中通常稱這個(gè)比例為“白銀比例”，該比例在設(shè)計(jì)和

建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.已知某電波塔自下而上依次建有第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)，塔頂?shù)剿椎母叨扰c第二展望臺(tái)

到塔底的高度之比，第二展望臺(tái)到塔底的高度與第一展望臺(tái)到塔底的高度之比皆等于“白銀比例”，若兩展望臺(tái)間高度

差為100米，則下列選項(xiàng)中與該塔的實(shí)際高度最接近的是（）

A.400米B.480米

C.520米D.600米

171

3.“cos2a=——"是"a=k"■一，左￡Z”的()

23

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

4.從集合｛—3,—2,-1,1,2,3,4｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為加，從集合｛—2,-1,2,3,4｝中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為〃，則在方

2222

程二+匕=1表示雙曲線的條件下，方程土+匕=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的概率為（）

mnmn

98179

A.—B.—C.—D.—

17173535

5.設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和為S〃，若2+%=4+%，則跖=（）

A.28B.14C.7D.2

6.下圖中的圖案是我國古代建筑中的一種裝飾圖案，形若銅錢，寓意富貴吉祥.在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影

區(qū)域內(nèi)（陰影部分由四條四分之一圓弧圍成）的概率是（）

7.“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載埴最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要

貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前

一個(gè)單音的頻率的比都等于死■.若第一個(gè)單音的頻率為了,則第八個(gè)單音的頻率為

A.⑸B.將手

C.垂于D.啊于

8.已知|i|=百，|6|=2,若則向量o+b在向量6方向的投影為()

1717

A.-B.-C.一一D.--

2222

9.已知曲線y=a'T+l(a〉0且過定點(diǎn)化若m+72=/2且m>0,〃>0,則多+』的最小值為().

mn

95

A.-B.9C.5D.-

22

TTqr

10.函數(shù)/(x)=Asin(ox+])(o>0)的圖象與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個(gè)公差為(的等差數(shù)列，要得到函數(shù)

g(x)=Acos&w的圖象，只需將/(x)的圖象()

1T

A.向左平移展個(gè)單位B.向右平移一個(gè)單位

4

713兀

C.向左平町個(gè)單位D.向右平移一個(gè)單位

4

11.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖，則它的外接球的表面積為

()

左視圖

俯視圖

L8

A.47rB.87rC.6+4V2D.—7i

12.設(shè)。、bwR+，數(shù)列｛4｝滿足q=2,an+l=a-a^+b,“eN*，則()

A.對(duì)于任意“，都存在實(shí)數(shù)〃，使得a“<M恒成立

B.對(duì)于任意b,都存在實(shí)數(shù)"，使得a"<“恒成立

C.對(duì)于任意be（2-4a,+8）,都存在實(shí)數(shù)〃，使得a“<M恒成立

D.對(duì)于任意be（0,2-4a）,都存在實(shí)數(shù)使得<M恒成立

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

3

2r一,X..O

2

13.已知函數(shù)/(%)=<若/（3m—1）>/（2—加），則實(shí)數(shù)〃7的取值范圍為

3

2r--,x<0

2

14.如圖所示，邊長為1的正三角形ABC中，點(diǎn)M,N分別在線段AB,AC上，將AAMN沿線段MN進(jìn)行翻折,

得到右圖所示的圖形，翻折后的點(diǎn)4在線段6c上，則線段的最小值為

15.如圖是某幾何體的三視圖，俯視圖中圓的兩條半徑長為2且互相垂直，則該幾何體的體積為.

?

假桃cs

16.函數(shù)/'(x)=4(4-4)+x-l的值域?yàn)?

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)在中，ABC=90，tanNACB.已知E,F分別是BC,AC的中點(diǎn).將ACEF沿石尸折

2

起，使C到C的位置且二面角C'—跖―3的大小是60。，連接C'8CA,如圖：

(1)證明：平面AEC'，平面ABC

(2)求平面AFC與平面BEC所成二面角的大小.

18.(12分)如圖，在等腰梯形ABC。中，AD=AB=CD=2,BC=4,M,N,。分別為BC,CD,

AC的中點(diǎn)，以AC為折痕將一ACD折起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)尸位置(Pe平面ABC).

(1)若H為直線QN上任意一點(diǎn)，證明：〃平面A5P；

7T

(2)若直線與直線所成角為一，求二面角A-PC-3的余弦值.

4

19.(12分)某市調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)該市工薪階層對(duì)“樓市限購令”態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，抽調(diào)了50名市民，他們?cè)率杖腩l數(shù)分布表

和對(duì)“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表：

月收入(單位：百元)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)

頻數(shù)5C1055

頻率0.1ab0.20.10.1

贊成人數(shù)4812521

（1）若所抽調(diào)的50名市民中，收入在［35,45）的有15名，求a,b,c的值，并完成頻率分布直方圖.

（2）若從收入（單位：百元）在［55,65）的被調(diào)查者中隨機(jī)選取2人進(jìn)行追蹤調(diào)查，選中的2人中恰有X人贊成“樓

市限購令”，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

（3）從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機(jī)抽取3名市民，恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”，根據(jù)表

格數(shù)據(jù)，判斷這3名市民來自哪組的可能性最大？請(qǐng)直接寫出你的判斷結(jié)果.

20.（12分）已知函數(shù)/（x）=，-x+alnx.

（1）若/（九）在（0,+8）上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍：

⑵若逑石<9,記〃龍）的兩個(gè)極值點(diǎn)為占，％，記'"）一"，）的最大值與最小值分別為M,m,求M-加

22%一々

的值.

21.（12分）設(shè)首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列｛a,,｝的前"項(xiàng)和為S,”數(shù)列的前"項(xiàng)和為T",且"J-（S；—p）,其中

P為常數(shù).

（1）求P的值；

（2）求證：數(shù)列｛“”｝為等比數(shù)列;

（3）證明:“數(shù)列麗，22“+1,萬知+2成等差數(shù)列，其中*、y均為整數(shù)”的充要條件是“*=1,且y=2”.

22.（10分）在平面四邊形（圖①）中，AABC與A/跖均為直角三角形且有公共斜邊A6,設(shè)AB=2,

ZBAD=3O°,NR4C=45°,將AABC沿AB折起，構(gòu)成如圖②所示的三棱錐C'-AB。，且使CZ>=?.

（1）求證：平面C'AB_L平面ZMB；

（2）求二面角A—C'O—6的余弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

選取拓，前為基底，其他向量都用基底表示后進(jìn)行運(yùn)算.

【詳解】

由題意G是AA5C的重心，

2—————一1一一一1一一一

3AGMB=3x-AN(-BM)=-2(BN-BA)-(BC+BA)=(BA--BC)(BC+BA)

---212111

=BA——BC+-BABC=5——+-BABC

2222

2.2---------2---------2-------

CA+CB={BA-BCf+l=BA-2BABC+BC+1==5-2BA-BC+1+1，

91-------------------------------------------

：.—+-BABC=rl-2BABC,BA-BC=1，

22

2-----------21————21—23................-22138

:.AGAC=-ANAC=-(-BC-BA)(BC-BA)=-(-BC——BCBA+BA)=-(------+5)=—,

3323223223

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積，解題關(guān)鍵是選取兩個(gè)不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運(yùn)算，這樣做目標(biāo)明

確，易于操作.

2、B

【解析】

根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系，結(jié)合各線段比例可先求得第一展望臺(tái)和第二展望臺(tái)的距離，進(jìn)而由比例即可求得該塔的實(shí)

際高度.

【詳解】

設(shè)第一展望臺(tái)到塔底的高度為x米，塔的實(shí)際高度為y米，幾何關(guān)系如下圖所示：

y700

X

由題意可得出寧=0,解得x=100(應(yīng)+1)；

且滿足一^=拒，

%+100

故解得塔高y=(x+100)行=200(行+11480米，即塔高約為480米.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了對(duì)中國文化的理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】

先求出滿足cos2。=-4的&值，然后根據(jù)充分必要條件的定義判斷.

2

【詳解】

I27r71171

由cos2a=——得2tz=2左左土——,即0=左乃土一，keZ,因此“cos2a=—”是=■—,keZ”的必要

23323

不充分條件.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查充分必要條件，掌握充分必要條件的定義是解題基礎(chǔ).解題時(shí)可根據(jù)條件與結(jié)論中參數(shù)的取值范圍進(jìn)行判斷.

4、A

【解析】

2222

設(shè)事件A為“方程L+匕=1表示雙曲線”，事件8為“方程L+匕=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線*分別計(jì)算出

mnmn

P(AB}

P(A),P(AB),再利用公式P(B/A)=噎一計(jì)算即可.

【詳解】

2222

設(shè)事件A為“方程—+^=i表示雙曲線”，事件B為“方程土+匕=1表示焦點(diǎn)在y軸上

mnmn

的雙曲線”，由題意，P（A）=-——--,P（AB）===弓，則所求的概率為

7x5357x535

P(AB)9

P(B/A)=

P(A)17

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用定義計(jì)算條件概率的問題，涉及到雙曲線的定義，是一道容易題.

5、B

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)4+%=%+%并結(jié)合已知可求出肉，再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得Si=7（4廣）=7%，即可求

出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?+%=%+%，所以2+%=%+。5，所以。4=2,

所以S7=7（。；%）=7%=14,

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前幾項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

令圓的半徑為1,則尸=?=乃—2（〉—2）=4_],故選c

S7171

7、D

【解析】

分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.

詳解：因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為咫，

所以

an=啦a『i（n>2,weN+），

又a、=f，則為=常=/（啦了=?療/

故選D.

點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下

兩種：

(1)定義法，若&旦=4(qwO,〃eN*)或'=4Qq*0,nN2,neN*),數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列；

anan-i

(2)等比中項(xiàng)公式法，若數(shù)列｛4｝中，q產(chǎn)0且。3=。/4.2"23,"eN*),則數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列.

8、B

【解析】

由。，(。一回，|:|=百，|勿=2=。0=3,再由向量在向量6方向的投影為絲擔(dān)?化簡(jiǎn)運(yùn)算即可

網(wǎng)

【詳解】

aJ_(a-Z?).，.a.(a—〃)=a—ci-b—3—ct-b—Q,:?a,b=3，

................2

向量a+6在向量5方向的投影為|a+b\cos(a+b,b)=("=:?

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量投影的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題

9、A

【解析】

41

根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過的定點(diǎn)，確定上=1力=2,再根據(jù)條件加+〃=2,利用基本不等式求一+―的最小值.

mn

【詳解】

定點(diǎn)為(1,2),

k=1,b-2,

m+n=2

rn4勿

當(dāng)且僅當(dāng)一=一時(shí)等號(hào)成立,

nm

—429

即機(jī)=—，"=—時(shí)取得最小值一.

332

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，基本計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.

10、A

【解析】

2427r{Jr1

依題意有了(%)的周期為7=——=w，69=3"(x)=Asin3%+1.而

jr

g(x)=Asin,故應(yīng)左移一r.

【解析】

由三視圖判斷出原圖，將幾何體補(bǔ)形為長方體，由此計(jì)算出幾何體外接球的直徑，進(jìn)而求得球的表面積.

【詳解】

根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個(gè)底面為直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜邊為2,側(cè)棱長為2且與底面

垂直，因?yàn)橹比庵梢詮?fù)原成一個(gè)長方體，該長方體外接球就是該三棱柱的外接球，長方體對(duì)角線就是外接球直徑,

則(27?)2=47?2=22+22=8,那么S外接球=4萬后=防.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三視圖還原原圖，考查幾何體外接球的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】

取。=6=1,可排除AB；由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列｛4｝的單調(diào)情況，進(jìn)而得到要使只需2<1+'1-4"、，由此

可得到答案.

【詳解】

取=a“+i=d+l,數(shù)列｛aj恒單調(diào)遞增，且不存在最大值，故排除AB選項(xiàng);

由蛛網(wǎng)圖可知，or?+b=x存在兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且％=171-也,叱

因?yàn)楫?dāng)0<4<%時(shí)，數(shù)列｛4｝單調(diào)遞增，則見(石；

當(dāng)看<%<々時(shí)，數(shù)歹!]{??}單調(diào)遞減，貝!J石<an<ax；

所以要使?！?lt;〃，只需要0<q</，故—4"”,化簡(jiǎn)得2—4。且6>0.

2a

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查遞推數(shù)列的綜合運(yùn)用，考查邏輯推理能力，屬于難題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、

24

【解析】

畫圖分析可得函數(shù)是偶函數(shù)，且在(0,+8)上單調(diào)遞減，利用偶函數(shù)性質(zhì)/(x)=/(W)和單調(diào)性可解.

【詳解】

作出函數(shù)/(%)的圖如下所示，

觀察可知，函數(shù)/("為偶函數(shù)，且在(-8,0)上單調(diào)遞增，

在(0,+00)上單調(diào)遞減，f(3m-1)>/(2-m)3m-1|<j2-m|<?

,13

8m-2m-3<00——<m<—,

24

13

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為(-不丁).

24

13

故答案為：

24

【點(diǎn)睛】

本題考查利用函數(shù)奇偶性及單調(diào)性解不等式.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

⑴如果函數(shù)/Xx)是偶函數(shù)，那么/(x)=/(H).

⑵奇函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個(gè)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

14、2石-3

【解析】

設(shè)4W=x,ZAMN=a,在AAW中利用正弦定理得出x關(guān)于c的函數(shù)，從而可得x的最小值.

【詳解】

解：設(shè)=ZAMN=a,則曲/=1—九，ZAMB=lS00-2a,：.ZBAM=2a-60°f

AMBM

在中，由正弦定理可得

sinZABM~sinZBAM，

尤l-x

2

即A/3sin（2a-60°）,；?％=

2+sin（2a-60。）

2

...當(dāng)2夕一60。=90。即。=75°時(shí)，x取得最小值

故答案為2百-3.

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦定理解三角形的應(yīng)用，屬中檔題.

15、20萬

【解析】

由三視圖知該幾何體是一個(gè)圓柱與一個(gè)半球的四分之三的組合，利用球體體積公式、圓柱體積公式計(jì)算即可.

【詳解】

由三視圖知，該幾何體是由一個(gè)半徑為2的半球的四分之三和一個(gè)底面半徑2、高為4的圓

34

柱組合而成，其體積為〃x22x4+-x—?x23=20%.

83

故答案為：20

【點(diǎn)睛】

本題考查三視圖以及幾何體體積，考查學(xué)生空間想象能力以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.

16、［3,+8）

【解析】

利用配方法化簡(jiǎn)式子，可得/（X）=2（、&-3,然后根據(jù)觀察法，可得結(jié)果.

【詳解】

函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+8）

/(x)=-4j+x-l=2X-4A/X-1

/(X)=2(V^-1)2-3>-3

所以函數(shù)的值域?yàn)椋?,+8)

故答案為：［3,內(nèi))

【點(diǎn)睛】

本題考查的是用配方法求函數(shù)的值域問題，屬基礎(chǔ)題。

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析(2)45°

【解析】

(1)設(shè)AC的中點(diǎn)為G,連接尸G,設(shè)BC'的中點(diǎn)為連接G”，EH,從而N5EC即為二面角C'—防―3的

平面角，ZBEC=60，推導(dǎo)出即，BC',從而所，平面BEC',則ABLEH,即進(jìn)而以平

面ABC',推導(dǎo)四邊形EHGb為平行四邊形，從而FG〃EH,FGL平面ABC',由此即可得證.

(2)以3為原點(diǎn)，在平面BEC'中過3作3E的垂線為x軸，5E為y軸，A4為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量

法求出平面AFC與平面BEC所成二面角的大小.

【詳解】

(1)???F是AC的中點(diǎn)，.??AE=C'E.

設(shè)AC的中點(diǎn)為G,連接尸G.

設(shè)BC'的中點(diǎn)為H,連接G”，EH.

易證：C'E工EF,BE±EF,

N3EC即為二面角C-EF-B的平面角.

/.ZBEC=60，而E為的中點(diǎn).

易知BE=EC',；.ABEC'為等邊三角形，；.EHLBC'.①

VEF±C'E,EF上BE,C'E\BE=E,；.EF上平面BEC'.

而所〃AB,平面即EHLAB.②

由①②，BC'AB=5,.?.石平面ABC.

?：G,H分別為AC',5C的中點(diǎn).

二四邊形EHG歹為平行四邊形.

AFG//EH,尸GJ_平面ABC',又FGu平面AFC'.

平面AFC_1_平面ABC'.

A

(2)如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=2.

則A（0,0,2）,6（0,0,0）,F（2,0,l）,E（2,0,0）,C（1的0）

顯然平面BEC的法向量m=(0,0,1),

設(shè)平面AFC的法向量為n=(九,y,z）,AC=（1，G，-2）,AF=（2,0,-1）,

2x-z=0/f-、

x+y/3y-2z=0、'

m-n^2

cosm,n=

m:;\小-同2'

由圖形觀察可知，平面AFC與平面BEC所成的二面角的平面角為銳角.

平面AFC與平面所成的二面角大小為45°.

本題主要考查立體幾何中面面垂直的證明以及求解二面角大小，難度一般，通?？刹捎脦缀畏椒ê拖蛄糠椒▋煞N進(jìn)行

求解.

18、(1)見解析(2)巨

7

【解析】

⑴根據(jù)中位線證明平面平面R45,即可證明MH〃平面A5P；(2)以QM,QC,。尸為x,y,z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，找到點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式即可計(jì)算二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：連接QM,

'：M，N,。分別為BC,CD,AC的中點(diǎn)，

QMAB,

又?；QM<z平面RIB,ABi平面

：.QM平面RIB,

同理，QN〃平面R43,

?.?QMu平面MAQ,QNu平面政VQ,QMQN=Q,

平面"NQ平面P4B,

；Wu平面MNQ,

MH〃平面ABP.

(2)連接PQ,在ABC和一ACO中，由余弦定理可得，

AC2=AB~+BC2-2AB-BCcosZABC

AC~=AD"+CD2-2ADCDcosZADC'

由NABC與NA￡>C互補(bǔ)，AD=AB^CD=2,BC=4,可解得AC=2退,

BC2=AB2+AC2，

：.AB±AC,QMLAC,

TT

■:QMAB,直線AB與直線MN所成角為一，

4

jr

：./QMN=—,又QM=QN=\,

4

7T

：.ZMQN=~,即QMLQN,

QAf，平面APC,

**.平面ABC_L平面APC,

?.?。為AC中點(diǎn)，PQ^AC,

：.PQ，平面ABC,

如圖所示，分別以QW,QC,QP為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則8(2,-G,0),C(0,AO),TO0,1),

PB=(2,-A-1)?PC=(O,g,—1).

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

n-PB=O2x--j3y-z=0

,即

n-PC=O-z=0

令y=l,則％=豆，z=6,可得平面尸5c的一個(gè)法向量為〃=(百,1,百).

又平面APC的一個(gè)法向量為根=(1,0,0),

m-n^21

??cos<m,n>=----------=------,

\m\-\n\7

二面角A-PC-B的余弦值為叵.

7

【點(diǎn)睛】

此題考查線面平行，建系通過坐標(biāo)求二面角等知識(shí)點(diǎn)，屬于一般性題目.

19、(1)。=0.2力=0.3,。=10,頻率分布直方圖見解析；(2)分布列見解析，E(X)=［；(3)來自［65,75)的可能

性最大.

【解析】

(1)由頻率和為1可知a+6=0.5,根據(jù)5=||求得。力，從而計(jì)算得到頻數(shù)。，補(bǔ)全頻率分布表后可畫出頻率分布

直方圖；

(2)首先確定X的所有可能取值，由超幾何分布概率公式可計(jì)算求得每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此得到分布列；根據(jù)

數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可求得期望；

(3)根據(jù)［65,75)中不贊成比例最大可知來自［65,75)的可能性最大.

【詳解】

(1)由頻率分布表得：0.1+a+Z?+0.2+0.1+0.1=l,即a+6=0.5.

收入在［35,45)的有15名，,5="=0.3,二。=0.2,;.0=0.2乂50=10,

則頻率分布直方圖如下:

（2）收入在[55,65）中贊成人數(shù)為2,不贊成人數(shù)為3,

?.X可能取值為0』,2,

d2C21

則尸(X=0)=e=—；P(X=l)=^-^=-p(X=2)=W=—,

I7Cl10l7Cl5;l7C；10

X的分布列為:

X012

331

P

W510

/、3314

/.E(X)=0x-+lx—+2x—=一

v7105105

(3)來自［65,75)的可能性更大.

【點(diǎn)睛】

本題考查概率與統(tǒng)計(jì)部分知識(shí)的綜合應(yīng)用，涉及到頻數(shù)、頻率的計(jì)算、頻率分布直方圖的繪制、服從于超幾何分布的

隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的求解、統(tǒng)計(jì)估計(jì)等知識(shí)；考查學(xué)生的運(yùn)算和求解能力.

In2

20、（1）a?2；（2）----

3

【解析】

（1）求導(dǎo)r（x）=-與-1+q=-三二手已根據(jù)“%）單調(diào)，轉(zhuǎn)化為％2-改+1?0對(duì)%＞。恒成立求解

XXX

，—石_1a2-4_4

（2）由（1）知須，/是/一改+1=0的兩個(gè)根，不妨設(shè)再＜%，令/=+=（根據(jù)

整確定將/（'）—/（*）轉(zhuǎn)化為/（%）―/（&）=_2+⑴In/.令力（。=_2+匚口山，,

2242X]-%%x,t—\—1

用導(dǎo)數(shù)法研究其單調(diào)性求最值.

【詳解】

（1）/（%）的定義域?yàn)椋╫,+8）,

11a%2—ax+I

~2'一]"*--

XX

因?yàn)?（九）單調(diào)，所以/一依+/0對(duì)%〉。恒成立,

所以a<x+^,x〉0,恒成立，

X

因?yàn)閤+^22,當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取等號(hào)，

X

所以aW2；

（2）由⑴知再，與是￡—依+1=0的兩個(gè)根.

從而xx+x2=a,%1%2=1,不妨設(shè)xv<x2,

因?yàn)樗詅為關(guān)于“的減函數(shù)，所以,

2242

/(七)—/(%)_1-In^-lnx,

玉一%2再入2X1-X2

=-2+&+々)1呻―”=_2+小時(shí)

%一九21—]

1?

/、t+\t------21n%

令"”)=一2+口Inf,則〃("=j疔

因?yàn)楫?dāng)a=2時(shí)，/（力=工—x+21nx在（0,+”）上為減函數(shù).

X

所以當(dāng)1<1時(shí)，m（x）=--t+2lnt>m（l）=0.

從而〃（，）<0,所以人⑺在（0,1）上為減函數(shù).

所以當(dāng)時(shí)，機(jī)=%[；]一%[3]=?.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于難題.

21、（1）p=2；（2）見解析（3）見解析

【解析】

(1)取"=1時(shí)，由］=4—(1—P)得［=()或2,計(jì)算排除0=0的情況得到答案.

3

41411

92i=§—S,+i)2,24+1，

(2)Tn=---(2-Sn),則&］(2—相減得到3a“+i=4-S“+i-S“，再化簡(jiǎn)得到口=萬得

到證明.

(3)分別證明充分性和必要性，假設(shè)斯，22“+1,a曲+2成等差數(shù)列，其中x、y均為整數(shù)，計(jì)算化簡(jiǎn)得2，-萬一2=1,

設(shè)兀=x-(j-2),計(jì)算得到兀=1,得到答案.

【詳解】

45>,

時(shí)，由1=4—(1—P)得°=0或2,若p=0時(shí)，Tt=~>

33

當(dāng)W=2時(shí)，1+0,=4(1+生)，解得02=0或③=一,，

32

而。〃>0,所以p=0不符合題意，故p=2；

41.41

(2)當(dāng)p=2時(shí)，4=§—§(2—S.)①，貝！)7；+|=§—§(2—S用產(chǎn)9②，

②-①并化簡(jiǎn)得3詼+1=4-Sn+l-Sn?9則3?！?2=4-Sn+2~Sn+1@>

④-③得*=；*(〃￡")，

又因?yàn)樗詳?shù)列｛“"｝是等比數(shù)列，且見=擊；

1124

(3)充分性：若x=Ly=2,由a=工知a，2xa+i>2y。n+2依次為1，~~r,,

n_1nnG及_1nn-+r1i

214

滿足=不