2024屆陜西省西安市西咸新區(qū)高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2陜西省西安市西咸新區(qū)2024屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.已知，是虛數(shù)單位，若，，則（）A.1或-1 B. C. D.或〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，，所以.故選：D.2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得：，而，所以.故選：C3.已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，，，且，則的值為（）A.-17 B.-15 C.17 D.15〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閿?shù)列，都是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列，的公差分別為，又，，且，則，即，所以，故選：D.4.已知變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：681012632據(jù)此得到變量，之間的線性回歸方程為，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.變量，之間成負(fù)相關(guān)關(guān)系 B.可以預(yù)測(cè)，當(dāng)時(shí)，C. D.該回歸直線必過(guò)點(diǎn)〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A中，由，可得變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)，可得，所以B正確；對(duì)于C中，由表格中的數(shù)據(jù)，可得，則，解得，所以C不正確；對(duì)于D中，由，可得，所以該回歸直線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以D正確.故選：C.5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)家很早就對(duì)空間幾何體進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，中國(guó)傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問(wèn)題為主的各種形體體積的計(jì)算公式，例如在推導(dǎo)正四棱臺(tái)（古人稱方臺(tái)）體積公式時(shí)，將正四棱臺(tái)切割成九部分進(jìn)行求解．右圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖．對(duì)應(yīng)的是正四棱臺(tái)中間位置的長(zhǎng)方體，、、、對(duì)應(yīng)四個(gè)三棱柱，、、、對(duì)應(yīng)四個(gè)四棱錐．若這四個(gè)三棱柱的體積之和等于長(zhǎng)方體的體積，則四棱錐與三棱柱的體積之比為（）A.3:1 B.1:3 C.2:3 D.1:6〖答案〗B〖解析〗如圖，令四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，三棱柱的高為，所以三棱柱的體積為，長(zhǎng)方體的體積為，因?yàn)樗膫€(gè)三棱柱的體積之和等于長(zhǎng)方體的體積，所以，所以，因?yàn)樗睦忮F的體積為，所以四棱錐與三棱柱的體積之比為.故選：B.6.已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則滿足的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故越靠近軸，函數(shù)值越小，因?yàn)?，所以，解得：．故選：A.7.將5個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0相鄰的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗將5個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，總的排放方法有種，要使2個(gè)0相鄰，利用插空法，5個(gè)1有6個(gè)位置可以放兩個(gè)0，故排放方法有種，所以所求概率為，故選：D.8.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱的長(zhǎng)為2，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示，取棱的中點(diǎn)分別為，易知，所以異面直線與所成角的余弦值即，由正三棱柱的特征可知底面，而底面，所以，易知，由余弦定理知，故A正確.故選：A9.記函數(shù)()的最小正周期為,且，將的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.5〖答案〗D〖解析〗由函數(shù)的最小正周期為，且，所以，因?yàn)椋傻?，所以的圖象向右平移個(gè)單位后得到，因?yàn)樗煤瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，可得，因?yàn)?，所以的最小值?故選：D.10.已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線的右支上一點(diǎn)，且，與軸交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由橢圓可知，，則，由，則，則，根據(jù)，有，整理為，即，得或（舍），所以雙曲線的離心率為.故選：C11.已知圓的方程為：，點(diǎn)，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，現(xiàn)有以下四種說(shuō)法：①四邊形的面積的最小值為1；②四邊形的面積的最大值為；③的最小值為;④的最大值為．其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)為（）A.①③④ B.①②④ C.②③④ D.①④〖答案〗B〖解析〗如圖，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，最短，最小值為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)最長(zhǎng)，最大值為2，因?yàn)槭菆A的切線，所以，，則四邊形的面積為，所以四邊形的面積的最小值為，最大值為，故①②正確；,，，，設(shè)，函數(shù)單調(diào)遞增，最小值為0，最大值為，故③錯(cuò)誤，④正確.故選：B12.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，構(gòu)造函數(shù)，則.由可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值.由在單調(diào)遞增可知：，即.由在單調(diào)遞減區(qū)間，令有兩個(gè)解，且，則，可得①，得②，令，則，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，.若，即，結(jié)合①②，得，則有.又當(dāng)時(shí)，，故，由在單調(diào)遞減知：，即.故.故選：C.二、填空題13.已知向量，，則__________．〖答案〗5〖解析〗因，則.故〖答案〗為：5.14.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)________．〖答案〗〖解析〗畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，設(shè)，可得，結(jié)合圖象可得，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，即取得最小值，即目標(biāo)函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以.故〖答案〗為：.15.如圖，過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，且，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，，，拋物線準(zhǔn)線與交與點(diǎn)，若，作，可得//，故，故，解得，得，將代入拋物線方程，得到，解得(正根舍去)，故，易知，故的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，，解得，故得，由焦半徑公式得，解得，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故〖答案〗為：16.在數(shù)列中，，．記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則______．〖答案〗〖解析〗由題知，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以所以故〖答案〗：三、解答題（一）必考題17.近年來(lái)“天宮課堂”受到廣大中小學(xué)生歡迎，激發(fā)了同學(xué)們對(duì)科學(xué)知識(shí)的探索欲望和對(duì)我國(guó)航天事業(yè)成就的自豪．為領(lǐng)悟航天精神，感受中國(guó)夢(mèng)想，某校組織了一次“尋夢(mèng)天宮”航天知識(shí)競(jìng)賽（滿分100分），各年級(jí)學(xué)生踴躍參加．校團(tuán)委為了比較高一、高二學(xué)生這次競(jìng)賽的成績(jī)，從兩個(gè)年級(jí)的答卷中各隨機(jī)選取了50份，將成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到以下頻數(shù)分布表：成績(jī)高一學(xué)生人數(shù)1551515高二學(xué)生人數(shù)10102010試?yán)脴颖竟烙?jì)總體的思想，解決下列問(wèn)題：（1）從平均數(shù)與方差的角度分析哪個(gè)年級(jí)學(xué)生這次競(jìng)賽成績(jī)更好（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）？（2）校后勤部決定對(duì)參與這次競(jìng)賽的學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案有以下兩種：方案一：記學(xué)生得分為，當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生10元食堂代金券；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生25元食堂代金券；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生35元食堂代金券；方案二：得分低于樣本中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)10元食堂代金券；得分不低于中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)30元食堂代金券．若高一年級(jí)組長(zhǎng)希望本年級(jí)學(xué)生獲得多于高二年級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)，則他應(yīng)該選擇哪種方案？解：（1）設(shè)高一年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，方差為.高二年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，方差為.則，，因，故高一年級(jí)學(xué)生這次競(jìng)賽成績(jī)比較穩(wěn)定集中，成績(jī)更好；（2）按照方案一，高一年級(jí)學(xué)生獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元，而高二年級(jí)學(xué)生獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元，即按照方案一，高一年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)少于高二；按照方案二，依題意，所抽取的100名參加競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)中位數(shù)為，則樣本中，高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)低于中位數(shù)的人數(shù)約為人，則高一年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元；高二年級(jí)學(xué)生成績(jī)低于中位數(shù)的人數(shù)約為人，則高二年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元.因，即按照方案二，高一年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)多于高二.故若高一年級(jí)組長(zhǎng)希望本年級(jí)學(xué)生獲得多于高二年級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)，則他應(yīng)該選擇方案二.18.在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足．（1）求角的大??；（2）若，，線段的中垂線交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).解：（1）在△ABC中，∵bcosC+csinB＝0，∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB＝0∵0＜B＜π，∴sinB＞0，于是cosC+sinC＝0，即tanC＝﹣1∵0＜C＜π∴．（2）由（1）和余弦定理知，，∴c＝5，∴，設(shè)BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，∵在Rt△BCD中，，∴．19.如圖，四棱錐中，平面平面，，，，且，.（1）求證：平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.（1）證明：由，，可得，由，且，可得，在中，，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面；?）解：取的中點(diǎn)為，連接，易得，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面；以為坐?biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，因?yàn)椋?，所以，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，令x=1，則，所以平面的一個(gè)法向量是，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，故直線和平面所成角的正弦值為.20.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，且，與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，點(diǎn)在橢圓，過(guò)點(diǎn)作互相垂直且與軸不重合的兩直線，分別交橢圓于，和點(diǎn)，，且點(diǎn)，分別是弦，的中點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求以為直徑的圓的方程；（3）直線是否過(guò)軸上的一個(gè)定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由．（1）解：因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形，可得，則，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)分別為.（2）解：由（1）得，所以直線的方程為，聯(lián)立方程組，解得或，所以，則CD的中點(diǎn)為且，故以為直徑的圓的方程為.（3）解：設(shè)直線的方程為，且，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)，則且，所以，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，將的坐標(biāo)中的用代換，可得的中點(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，即，則直線過(guò)定點(diǎn).21.已知函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．（1）解：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由，得，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．（2）證明：要證，即證，即證，設(shè)，故在上單調(diào)遞增，又，所以，又因?yàn)?，所以，所以，①?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以；②?dāng)時(shí)，令，則，設(shè)，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，所以即在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，，即．綜上可知，當(dāng)時(shí)，，即．（二）選考題【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程及直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，射線的極坐標(biāo)方程為（），射線與曲線和直線分別交于兩點(diǎn)，求的面積解：（1）由，即，把代入上式得C的極坐標(biāo)方程為：，由，把代入上式得（2）把代入得，代入得，所以，由點(diǎn)的極坐標(biāo)為易知其直角坐標(biāo)為，所以P到直線距離，所以的面積為.【選修4-5：不等式選講】23.設(shè)函數(shù).（1）解不等式，（2）若關(guān)于的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（1）當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，不成立.綜上，原不等式的解集為；（2）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即沒(méi)有實(shí)數(shù)根，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，即值域?yàn)椋魶](méi)有實(shí)數(shù)根，則，即，所以實(shí)數(shù)取值范圍為.

陜西省西安市西咸新區(qū)2024屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題（理）一、選擇題1.已知，是虛數(shù)單位，若，，則（）A.1或-1 B. C. D.或〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，，所以.故選：D.2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得：，而，所以.故選：C3.已知數(shù)列，都是等差數(shù)列，，，且，則的值為（）A.-17 B.-15 C.17 D.15〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閿?shù)列，都是等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列，的公差分別為，又，，且，則，即，所以，故選：D.4.已知變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：681012632據(jù)此得到變量，之間的線性回歸方程為，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.變量，之間成負(fù)相關(guān)關(guān)系 B.可以預(yù)測(cè)，當(dāng)時(shí)，C. D.該回歸直線必過(guò)點(diǎn)〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A中，由，可得變量之間呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)，可得，所以B正確；對(duì)于C中，由表格中的數(shù)據(jù)，可得，則，解得，所以C不正確；對(duì)于D中，由，可得，所以該回歸直線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以D正確.故選：C.5.中國(guó)古代數(shù)學(xué)家很早就對(duì)空間幾何體進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，中國(guó)傳世數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》卷五“商功”主要講述了以立體問(wèn)題為主的各種形體體積的計(jì)算公式，例如在推導(dǎo)正四棱臺(tái)（古人稱方臺(tái)）體積公式時(shí)，將正四棱臺(tái)切割成九部分進(jìn)行求解．右圖（1）為俯視圖，圖（2）為立體切面圖．對(duì)應(yīng)的是正四棱臺(tái)中間位置的長(zhǎng)方體，、、、對(duì)應(yīng)四個(gè)三棱柱，、、、對(duì)應(yīng)四個(gè)四棱錐．若這四個(gè)三棱柱的體積之和等于長(zhǎng)方體的體積，則四棱錐與三棱柱的體積之比為（）A.3:1 B.1:3 C.2:3 D.1:6〖答案〗B〖解析〗如圖，令四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，三棱柱的高為，所以三棱柱的體積為，長(zhǎng)方體的體積為，因?yàn)樗膫€(gè)三棱柱的體積之和等于長(zhǎng)方體的體積，所以，所以，因?yàn)樗睦忮F的體積為，所以四棱錐與三棱柱的體積之比為.故選：B.6.已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，則滿足的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)榕己瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故越靠近軸，函數(shù)值越小，因?yàn)椋?，解得：．故選：A.7.將5個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0相鄰的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗將5個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，總的排放方法有種，要使2個(gè)0相鄰，利用插空法，5個(gè)1有6個(gè)位置可以放兩個(gè)0，故排放方法有種，所以所求概率為，故選：D.8.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱的長(zhǎng)為2，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示，取棱的中點(diǎn)分別為，易知，所以異面直線與所成角的余弦值即，由正三棱柱的特征可知底面，而底面，所以，易知，由余弦定理知，故A正確.故選：A9.記函數(shù)()的最小正周期為,且，將的圖象向右平移個(gè)單位，所得圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.5〖答案〗D〖解析〗由函數(shù)的最小正周期為，且，所以，因?yàn)?，可得，所以的圖象向右平移個(gè)單位后得到，因?yàn)樗煤瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，可得，因?yàn)?，所以的最小值?故選：D.10.已知雙曲線（，）的左，右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線的右支上一點(diǎn)，且，與軸交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由橢圓可知，，則，由，則，則，根據(jù)，有，整理為，即，得或（舍），所以雙曲線的離心率為.故選：C11.已知圓的方程為：，點(diǎn)，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，現(xiàn)有以下四種說(shuō)法：①四邊形的面積的最小值為1；②四邊形的面積的最大值為；③的最小值為;④的最大值為．其中所有正確說(shuō)法的序號(hào)為（）A.①③④ B.①②④ C.②③④ D.①④〖答案〗B〖解析〗如圖，當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，最短，最小值為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)最長(zhǎng)，最大值為2，因?yàn)槭菆A的切線，所以，，則四邊形的面積為，所以四邊形的面積的最小值為，最大值為，故①②正確；,，，，設(shè)，函數(shù)單調(diào)遞增，最小值為0，最大值為，故③錯(cuò)誤，④正確.故選：B12.已知，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由，構(gòu)造函數(shù)，則.由可知：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值.由在單調(diào)遞增可知：，即.由在單調(diào)遞減區(qū)間，令有兩個(gè)解，且，則，可得①，得②，令，則，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，.若，即，結(jié)合①②，得，則有.又當(dāng)時(shí)，，故，由在單調(diào)遞減知：，即.故.故選：C.二、填空題13.已知向量，，則__________．〖答案〗5〖解析〗因，則.故〖答案〗為：5.14.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為_(kāi)________．〖答案〗〖解析〗畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，設(shè)，可得，結(jié)合圖象可得，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最小，即取得最小值，即目標(biāo)函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以.故〖答案〗為：.15.如圖，過(guò)拋物線（）的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)，若，且，則此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗設(shè)，，，拋物線準(zhǔn)線與交與點(diǎn)，若，作，可得//，故，故，解得，得，將代入拋物線方程，得到，解得(正根舍去)，故，易知，故的方程為，設(shè)，聯(lián)立方程組，，解得，故得，由焦半徑公式得，解得，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故〖答案〗為：16.在數(shù)列中，，．記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則______．〖答案〗〖解析〗由題知，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為2，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以所以故〖答案〗：三、解答題（一）必考題17.近年來(lái)“天宮課堂”受到廣大中小學(xué)生歡迎，激發(fā)了同學(xué)們對(duì)科學(xué)知識(shí)的探索欲望和對(duì)我國(guó)航天事業(yè)成就的自豪．為領(lǐng)悟航天精神，感受中國(guó)夢(mèng)想，某校組織了一次“尋夢(mèng)天宮”航天知識(shí)競(jìng)賽（滿分100分），各年級(jí)學(xué)生踴躍參加．校團(tuán)委為了比較高一、高二學(xué)生這次競(jìng)賽的成績(jī)，從兩個(gè)年級(jí)的答卷中各隨機(jī)選取了50份，將成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到以下頻數(shù)分布表：成績(jī)高一學(xué)生人數(shù)1551515高二學(xué)生人數(shù)10102010試?yán)脴颖竟烙?jì)總體的思想，解決下列問(wèn)題：（1）從平均數(shù)與方差的角度分析哪個(gè)年級(jí)學(xué)生這次競(jìng)賽成績(jī)更好（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）？（2）校后勤部決定對(duì)參與這次競(jìng)賽的學(xué)生給予一定的獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案有以下兩種：方案一：記學(xué)生得分為，當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生10元食堂代金券；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生25元食堂代金券；當(dāng)時(shí)，獎(jiǎng)勵(lì)該學(xué)生35元食堂代金券；方案二：得分低于樣本中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)10元食堂代金券；得分不低于中位數(shù)的每位學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)30元食堂代金券．若高一年級(jí)組長(zhǎng)希望本年級(jí)學(xué)生獲得多于高二年級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)，則他應(yīng)該選擇哪種方案？解：（1）設(shè)高一年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，方差為.高二年級(jí)學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為，方差為.則，，因，故高一年級(jí)學(xué)生這次競(jìng)賽成績(jī)比較穩(wěn)定集中，成績(jī)更好；（2）按照方案一，高一年級(jí)學(xué)生獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元，而高二年級(jí)學(xué)生獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元，即按照方案一，高一年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)少于高二；按照方案二，依題意，所抽取的100名參加競(jìng)賽學(xué)生的成績(jī)中位數(shù)為，則樣本中，高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)低于中位數(shù)的人數(shù)約為人，則高一年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元；高二年級(jí)學(xué)生成績(jī)低于中位數(shù)的人數(shù)約為人，則高二年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)為：元.因，即按照方案二，高一年級(jí)獲得獎(jiǎng)勵(lì)多于高二.故若高一年級(jí)組長(zhǎng)希望本年級(jí)學(xué)生獲得多于高二年級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)，則他應(yīng)該選擇方案二.18.在中，角所對(duì)的邊分別為，且滿足．（1）求角的大??；（2）若，，線段的中垂線交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).解：（1）在△ABC中，∵bcosC+csinB＝0，∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB＝0∵0＜B＜π，∴sinB＞0，于是cosC+sinC＝0，即tanC＝﹣1∵0＜C＜π∴．（2）由（1）和余弦定理知，，∴c＝5，∴，設(shè)BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，∵在Rt△BCD中，，∴．19.如圖，四棱錐中，平面平面，，，，且，.（1）求證：平面；（2）求直線和平面所成角的正弦值.（1）證明：由，，可得，由，且，可得，在中，，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面；?）解：取的中點(diǎn)為，連接，易得，所以，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面；以為坐?biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，因?yàn)椋?，所以，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，令x=1，則，所以平面的一個(gè)法向量是，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，故直線和平面所成角的正弦值為.20.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，且，與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)