高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷-含有參考答案與解析

第頁高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷-含有參考答案與解析考試時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本題共8小題每小題5分共40分．在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的．）1.曲線：在點處的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率運用點斜式方程可得切線的方程．【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為所以曲線在點處的切線斜率為

即曲線：在點處的切線方程為即為．

故選：A.2.僅有甲乙丙三人參加四項比賽所有比賽均無并列名次，則不同的奪冠情況共有（）種.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】每個冠軍都有3種可能因為有四項比賽根據(jù)乘法原理可得冠軍獲獎?wù)叩目赡芮闆r．【詳解】解：由題意每項比賽的冠軍都有3種可能因為有四項比賽所以冠軍獲獎?wù)吖灿蟹N可能故選：C．3.已知點，則點到直線的距離是（）A. B. C. D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點到直線的距離的向量法求解公式計算即可.【詳解】設(shè)可求得所以．故選：B4.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和給出下列4個條件：①a1=1②a4=4③S3=9④S5=25若只有一個條件不成立，則該條件為（）A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項公式及求和公式的基本量計算對比即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為即即.當(dāng)時①③④均成立②不成立.故選：B5.德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨是世界上第一個提出二進(jìn)制記數(shù)法的人.二進(jìn)制數(shù)被廣泛應(yīng)用于電子電路?計算機等領(lǐng)域.某電子電路每運行一次都隨機出現(xiàn)一個四位二進(jìn)制數(shù)其中出現(xiàn)0的概率為出現(xiàn)1的概率為記當(dāng)電路運行一次時的數(shù)學(xué)期望（）A B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項分布求期望.【詳解】由題意故故選:C.6.“送出一本書共圓讀書夢”某校組織為偏遠(yuǎn)鄉(xiāng)村小學(xué)送書籍的志愿活動運送的卡車共裝有10個紙箱其中5箱英語書2箱數(shù)學(xué)書3箱語文書．到目的地時發(fā)現(xiàn)丟失一箱但不知丟失哪一箱．現(xiàn)從剩下9箱中任意打開2箱都是英語書的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】剩下9箱中任意打開2箱都是英語書的情況整體分為三種情況：丟失的英語書數(shù)學(xué)書和語文書計算出每種情況的概率即可.【詳解】設(shè)事件A表示丟失一箱后任取兩箱是英語書事件表示丟失的一箱為分別表示英語書數(shù)學(xué)書語文書．由全概率公式得．故選：A7.已知函數(shù)若存在使不等式成立，則實數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由定義知為奇函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為上求的取值范圍.【詳解】由題設(shè)即在R上為奇函數(shù)在上故在上遞增易知：在R上遞增又，則即上令，則故上遞增上遞減而此時綜上的最小值為.故選：A8.如圖在楊輝三角形中斜線的上方從1按箭頭所示方向可以構(gòu)成一個“鋸齒形”的數(shù)列：…記此數(shù)列的前n項之和為，則的值為（）．A.452 B.848 C.984 D.1003【答案】C【解析】【分析】觀察楊輝三角結(jié)合其中數(shù)的來源可得到這個數(shù)列的奇數(shù)項的通項公式和偶數(shù)項的通項公式分別求奇數(shù)項和與偶數(shù)項和從而得到前n項和.【詳解】設(shè)數(shù)列為前32項里面有偶數(shù)項16項奇數(shù)項16項當(dāng)為偶數(shù)時易知且所以所以偶數(shù)項之和為當(dāng)為奇數(shù)時…所以，則所以前32項里面奇數(shù)項和為：又由組合數(shù)性質(zhì)所以所以.故選：C.二多項選擇題（本題共4小題每小題5分共20分．在每小題給出的選項中有多項符合題目要求．全部選對的得5分部分選對的得2分有選錯的得0分．）9.在等比數(shù)列中若對正整數(shù)n都有那么公比的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)判斷出即且.進(jìn)而根據(jù)推知則最后可得的范圍.【詳解】在等比數(shù)列中若對正整數(shù)都有,則即若，則數(shù)列為正負(fù)交錯數(shù)列上式顯然不成立若，則,故因此.所以公比的取值可以是故選：BD.10.已知分別為隨機事件的對立事件，則下列說法正確的是（）．A. B.C.若獨立，則 D.若互斥，則【答案】BCD【解析】【分析】結(jié)合互斥事件對立事件的定義根據(jù)條件概率公式判斷．【詳解】選項A中：故選項A錯誤選項B正確選項C中：獨立，則，則故選項C正確選項D中：互斥，則根據(jù)條件概率公式故選項D正確故選：BCD11.如圖在四棱錐中底面為平行四邊形底面，則（）．A. B.與平面所成角為C.異面直線與所成角的余弦值為 D.二面角的正弦值為【答案】ABD【解析】【分析】連接由已知結(jié)合余弦定理與勾股定理逆定理可得于是可建立空間直角坐標(biāo)系根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運算逐項判斷即可.【詳解】連接因為設(shè)由余弦定理得所以，則則即又底面底面所以如圖以為原點分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系則對于A所以，則所以故A正確對于B又因為底面所以是平面的一個法向量所以則與平面所成角正弦值為即與平面所成角為故B正確對于C則則異面直線與所成角的余弦值為故C錯誤對于D設(shè)平面的法向量為，則令，則設(shè)平面的法向量為，則令，則所以令二面角所成角為，則則平面與平面的夾角的余弦值為所以故D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則B.當(dāng)時函數(shù)的極值點為－1C.當(dāng)時函數(shù)有一個大于2的極值點D.當(dāng)時若函數(shù)有三個零點，則【答案】ACD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可判斷A利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點之間的關(guān)系判斷BC對于D作出函數(shù)大致圖象判斷的范圍進(jìn)而根據(jù)可得到由此采用換元法并構(gòu)造函數(shù)從而證明判斷D.【詳解】對于A由可得若函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則恒成立即恒成立故故經(jīng)驗證時僅在時取等號適合題意故函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則A正確對于B當(dāng)時僅在時取等號在R上單調(diào)遞增函數(shù)無極值點B錯誤對于C由于當(dāng)時，則不妨取且或時函數(shù)當(dāng)時函數(shù)故是的極小值點且由于，則，則C正確對于D當(dāng)時,,當(dāng)或時當(dāng)時函數(shù)則在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減且故可作出其大致圖像如圖：函數(shù)有三個零點即函數(shù)的圖象與直線有三個交點不妨設(shè)由于而且故由圖象可知考慮到當(dāng)m趨近于0時會趨近于無限小趨近于0故猜測下面給以證明：由題意可知故設(shè)，則故則要證明即證即設(shè)故故在上單調(diào)遞增故即成立故而故成立D正確故選：ACD【點睛】難點點睛：解答本題要綜合應(yīng)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性以及極值點之間的關(guān)系等知識同時注意數(shù)形結(jié)合以及構(gòu)造函數(shù)等方法難點在于判斷時要首先判斷出三者的范圍進(jìn)而數(shù)形結(jié)合合理猜測進(jìn)而利用構(gòu)造函數(shù)的方法加以證明.三填空題（本題共4小題每小題5分共20分．）13.若的展開式中第5項的二項式系數(shù)最大寫出一個符合條件的n的值是_________．（寫出一個滿足條件的n的值即可）【答案】7（答案不唯一：789均可）【解析】【分析】分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情形結(jié)合二項式系數(shù)的特征即可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時若第5項二次項系數(shù)最大當(dāng)為奇數(shù)時若第45項二次項系數(shù)最大合乎題意若第56項二次項系數(shù)最大合乎題意故的值為：789故答案為：7（答案不唯一：789均可）14.某人投籃命中的概率為0.6投籃14次最有可能命中_______次．【答案】8或9【解析】【分析】易知投籃命中次數(shù)服從二項分布設(shè)最有可能命中m次于是解出不等式即可得到答案.【詳解】投籃命中次數(shù)設(shè)最有可能命中次，則或．最有可能命中8或9次．故答案為：8或9.15.已知數(shù)列的項數(shù)為且，則的前n項和為_______．【答案】【解析】分析】根據(jù)倒序相加法求得再根據(jù)二項式系數(shù)和公式即可求解.【詳解】因為又所以又因為所以即.故答案為：.16.設(shè)函數(shù)若有且僅有兩個整數(shù)滿足，則實數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間即可求出其最大值依題意有且僅有兩個整數(shù)滿足即可得到且從而求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，則在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減時函數(shù)取極大值即最大值又直線恒過定點且斜率為要使有且僅有兩個整數(shù)滿足即有且僅有兩個整數(shù)滿足且解得即.故答案為：．四解答題（本題共6小題共70分．解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟．）17.已知等式．（1）求的值（2）求的值（3）求【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令將式子轉(zhuǎn)化為再寫出展開式的通項即可求出（2）令計算可得（3）將兩邊對求導(dǎo)再令計算可得.【小問1詳解】因為令，則所以又展開式的通項為令解得所以.【小問2詳解】因為展開式的通項為所以所以令可得所以.【小問3詳解】對兩邊同時對求導(dǎo)可得令可得.18.已知數(shù)列的前n項和為且滿足．（1）求數(shù)列的通項公式（2）設(shè)的前n項和為求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先用替換原式中的然后兩式作差結(jié)合與的關(guān)系即可得到為等差數(shù)列從而得到其通項（2）由（1）的結(jié)論求得及代入化簡得到的式子再裂項相消即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因為當(dāng)時兩式作差得即又所以當(dāng)時又當(dāng)時解得可知數(shù)列是以首項為1公差為2的等差數(shù)列所以即【小問2詳解】由（1）知所以.19.設(shè)函數(shù)．（1）若求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）若函數(shù)恰有一個零點求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）遞增區(qū)間為遞減區(qū)間為（2）.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的符號即可得的單調(diào)區(qū)間.（2）討論結(jié)合的極值要使恰有一個零點有極大值小于0或極小值大于0即可求參數(shù)范圍.【小問1詳解】由題設(shè)而，則由于的關(guān)系為：極大值極小值遞增遞減遞增所以的遞增區(qū)間為遞減區(qū)間為【小問2詳解】當(dāng)時由（1）極大值極小值要使有且僅有一個零點所以或解得所以當(dāng)時單調(diào)遞增顯然有且只有一個零點符合題意當(dāng)時遞增區(qū)間為遞減區(qū)間為極大值極小值要使有且僅有一個零點所以或解得所以綜上：.20.如圖四面體中為的中點．（1）證明：平面（2）設(shè)點在上若與平面所成的角的正弦值為求此時點的位置．【答案】（1）證明見解析（2）為的四等分點且靠近點位置【解析】【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系有得到結(jié)合等腰三角形性質(zhì)得到垂直關(guān)系結(jié)合線面垂直的判定即可證明（2）根據(jù)已知求證兩兩垂直從而建立空間直角坐標(biāo)系結(jié)合線面角的運算法則進(jìn)行計算即可.【小問1詳解】因為為的中點所以在和中所以所以又為中點所以又平面所以平面.【小問2詳解】因，則由且所以是等邊三角形由且為的中點所以在等腰直角中，則故又且以為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則所以設(shè)面的一個法向量為，則取，則又設(shè)所以設(shè)與平面所成的角的正弦值為因為所以所以解得所以為的四等分點且靠近點位置.21.甲乙兩隊進(jìn)行排球比賽每場比賽采用“5局3勝制”（即有一支球隊先勝3局即獲勝比賽結(jié)束）比賽排名采用積分制積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的球隊積3分負(fù)隊積0分以取勝的球隊積2分負(fù)隊積1分已知甲乙兩隊比賽甲每局獲勝的概率為乙每局獲勝的概率為．（1）甲乙兩隊比賽1場后求乙隊積3分的概率（2）甲乙兩隊比賽2場后求兩隊積分相等的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意可知乙隊以3：0或3：1取勝分別求出其概率進(jìn)而可求出結(jié)果（2）設(shè)第場甲乙兩隊積分分別為，則2由兩隊積分相等可推出再分四種情況并結(jié)合獨立事件的概率公式即可得解．【小問1詳解】（1）由題意可知乙隊以3：0或3：1取勝當(dāng)乙隊以3：0獲勝時當(dāng)乙隊以3：1獲勝時所以甲乙兩隊比賽1場后乙隊積3分的概率為.【小問2詳解】記“甲乙比賽兩場后兩隊積分相等”為事件設(shè)第場甲乙兩隊積分分別為，則2因兩隊積分相等所以即，則而所以．22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時求的最值（2）當(dāng)時記函數(shù)的兩個極值點為且求的最大值.【答案】（1）無最大值.（2）