2021年河南省鄭州市高考數(shù)學(xué)第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)試卷(理科)(二模)(解析版)

2021年河南省鄭州市高考數(shù)學(xué)第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)試卷（理科）（二

模）

一、選擇題（每小題5分）.

1.設(shè)集合A={xeN12Vx<6},B={x|log2（x-1）<2},則AC8=（）

A.{尤|3Wx<5}B.{x|2<x<5}C.{3,4}D.{3,4,5）

2.若復(fù)數(shù)景（aeR,i為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則a的值為（）

A.-2B.—C.--D.2

22

3.如圖是某統(tǒng)計(jì)部門網(wǎng)站發(fā)布的《某市2020年2?12月國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》中

居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CP/）月度漲跌幅度折線圖（注：同比是今年第〃個(gè)月與去年第〃個(gè)

月相比，環(huán)比是現(xiàn)在的統(tǒng)計(jì)周期和上一個(gè)統(tǒng)計(jì)周期相比）

2020年居民消費(fèi)僑格月度淮跌幅度

2月3月4月S月6月7月8月9月10月11月12月

一月度同比一月度環(huán)比

下列說法錯(cuò)誤的是（）

①2020年9月CP/環(huán)比上升0.5%,同比上漲2.1%

@2020年9月CP1環(huán)比上升0.2%,同比無變化

③2020年3月CP/環(huán)比下降1.1%,同比上漲0.2%

④2020年3月CP/環(huán)比下降0.2%,同比上漲1.7%

A.①③B.①④C.②④D.②③

4.函數(shù)/（尤）=sinx/〃，，在（-Tt,TT）的圖象大致為（）

兀+x

s

5.S,是公比不為1的等比數(shù)列｛跖,｝的前〃項(xiàng)和，S9是S3和S6的等差中項(xiàng)，則鏟=()

A.—B.—C.—D.

4432

x+y-2》0

6.已知x,y滿足(x+2y-3<0，貝Uz=2x+4y的取值范圍是(

)

y》0

A.[0,4]B.[4,6]C.[0,6]D.

7.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足/9=於=2，則下列不等式中不可能成立的是()

C

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

8.關(guān)于函數(shù)/(%)=|sin(2x-：)+cos(2x-f~)|,下列判斷正確的是()

A.f(x)的值域?yàn)閇0,

B.f(x)是以Tt為最小正周期的周期函數(shù)

c./（x）在［0,TT］上有兩個(gè)零點(diǎn)

D./（無）在區(qū)間［三，等］上單調(diào)遞減

OO

9.元宵節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)佳節(jié)，放煙花、吃湯圓、觀花燈是常見的元宵活動(dòng).某社區(qū)計(jì)劃舉辦

元宵節(jié)找花燈活動(dòng)，準(zhǔn)備在3個(gè)不同的地方懸掛5盞不同的花燈，其中2盞是人物燈.現(xiàn)

要求這3個(gè)地方都有燈（同一地方的花燈不考慮位置的差別），且人物燈不能掛在同一

個(gè)地方，則不同的懸掛方法種數(shù)有（）

A.114B.92C.72D.42

10.已知函數(shù)/（x）=2x4+er+e-v-1,若不等式/（1+辦）＜f（2+x2）對(duì)任意x€R恒成立，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（-273，2）B.（-2加，2次）C.（-2,2?）D.（-2,2）

11.已知三棱錐P-ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，底面ABC,ABLAC,AB=6,

AC=8,。是線段A8上一點(diǎn)，且過點(diǎn)。作球。的截面，若所得截面圓面積

的最大值與最小值之差為28it,則球。的表面積為（）

A.128nB.132nC.144nD.156Tl

12.已知梯形ABCD中，以AB中點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.\AB\

=2|C。，點(diǎn)E在線段AC上，且標(biāo)■應(yīng)，若以48為焦點(diǎn)的雙曲線過C、D、E三

點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（）

A.V10B.V?C.巫D.近

二、填空題（每小題5分）.

13.函數(shù)/（%）=/〃（x+1）+爐產(chǎn)的圖象在點(diǎn)（0,/（0））處的切線方程為.

14.已知向量Z與芯的夾角為60°,|胃=3,后1=6,則21-E在E方向上的投影為-

15.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,ZABC=90°,/ABC的平分線

交AC于點(diǎn)D若a+4c的最小值為9,則.

16.已知。＞0,不等式（x+1）i'aex+i-aln（x+1）20對(duì)任意的xE（0,+°0）恒成立，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:

共60分.

17.已知數(shù)列｛a“｝滿足ai=l,S"=1)?.

2

(I)求數(shù)列｛跖,｝的通項(xiàng)公式；

2an+l

(H)若瓦=(-1)?+|一數(shù)列｛仇｝的前"項(xiàng)和為求為021.

anard-l

18.在四棱錐P-ABC。中，AP=PD=OC=CB=1,AB=2,ZAPD=ZDCB=ZCBA=90°,

平面平面ABCD.

(I)求證：PB=PC；

(II)求直線PA與平面PCD所成角的正弦值.

19.已知橢圓C：三，\=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為B,F2,左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)。

bZ

(1,g)是橢圓C上一點(diǎn)，離心率為!.

22

(I)求橢圓c的方程；

(II)若直線/過橢圓右焦點(diǎn)丑且與橢圓交于尸、Q兩點(diǎn)，直線AP、A。與直線X=4分

別交于M,N.

(i)求證：M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；

(ii)求△AMN面積的最小值.

20.己知某生產(chǎn)線的生產(chǎn)設(shè)備在正常運(yùn)行的情況下，生產(chǎn)的零件尺寸X(單位：相相)服從

正態(tài)分布N(280,25).

(I)從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取10個(gè)，求至少有一個(gè)尺寸小于265加%的概率；

(II)為了保證生產(chǎn)線正常運(yùn)行，需要對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，包括日常維護(hù)和故障維修，

假設(shè)該生產(chǎn)設(shè)備使用期限為四年，每一年為一個(gè)維護(hù)周期，每個(gè)周期內(nèi)日常維護(hù)費(fèi)為5000

元，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運(yùn)行，則不會(huì)產(chǎn)生故障維修費(fèi)；若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行，則除

了日常維護(hù)費(fèi)外，還會(huì)產(chǎn)生一次故障維修費(fèi).已知故障維修費(fèi)第一次為2000元，此后每

增加一次則故障維修費(fèi)增加2000元.假設(shè)每個(gè)維護(hù)周期互相獨(dú)立，每個(gè)周期內(nèi)設(shè)備不能

連續(xù)運(yùn)行的概率為二.求該生產(chǎn)設(shè)備運(yùn)行的四年內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用總和y的分布列與數(shù)學(xué)

4

期望.

參考數(shù)據(jù)：若Z?N(H，。2),貝I］尸(p-。<Z<n+o)=0.6827,P⑺-2。<Z<［i+2

o)=0.9545,P-3o<Z<n+3o)=0.9974,0.998710?=0.9871.

21.已知函數(shù)無)—xex-alnx-e.

(I)當(dāng)a=2e時(shí)，不等式/(x)-機(jī)在［1,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(II)若。>0,f(x)最小值為g(a),求g(a)的最大值以及此時(shí)。的值.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.在答題卷上將所選題號(hào)涂

黑，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程是［'Teos°(/是參數(shù),aG［0,衛(wèi))),

ly=5+tsinCl2

以原點(diǎn)。為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是p=4j，sin

71

(Q4-^-)-2cos0.

(I)寫出曲線。2的直角坐標(biāo)方程；

(II)若曲線Ci與。2有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求sin2a-sinacosa的值.

［選修4?5：不等式選講］

23.已知函數(shù)/(%)=\2x-4|+|x+?|(a>0).

(I)若〃=1,求不等式/(x)25的解集；

(II)若/(%)2。2-2〃+4恒成立，求實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

參考答案

一、選擇題（每小題5分）.

1.設(shè)集合A={XEN|2VxV6},B={x|log2(x-1)<2},則AG3=()

A.{R3WxV5}B.{x|2<x<5}C.{3,4}D.{3,4,5)

解：VA={3,4,5},B={x|O<x-l<4}={x|l<x<5},

???AnB={3,4}.

故選：C.

2.若復(fù)數(shù)奈(aeR,i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則°的值為()

A.-2B.—C.--D.2

22

解：復(fù)數(shù)舒=/&等=2a-l[2+a)i,它是純虛數(shù)，所以為-1=0,

故選：B.

3.如圖是某統(tǒng)計(jì)部門網(wǎng)站發(fā)布的《某市2020年2?12月國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》中

居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CP/）月度漲跌幅度折線圖（注：同比是今年第〃個(gè)月與去年第"個(gè)

月相比，環(huán)比是現(xiàn)在的統(tǒng)計(jì)周期和上一個(gè)統(tǒng)計(jì)周期相比）

2020年居民消費(fèi)彷格月度旅跌幅度

%

2月3月4月$月6月7月8月9月10月11月12月

一月度同比一月度環(huán)比

下列說法錯(cuò)誤的是（）

①2020年9月CP/環(huán)比上升0.5%,同比上漲2.1%

②2020年9月CP1環(huán)比上升0.2%,同比無變化

③2020年3月CP/環(huán)比下降1.1%,同比上漲0.2%

④2020年3月CP/環(huán)比下降0.2%,同比上漲1.7%

A.①③B.①④C.②④D.②③

解：根據(jù)折線圖（下圖）可得，其中上一條折線為月度同比折線圖，下一條為月度環(huán)比

折線圖，

2020年居民消費(fèi)價(jià)格月度米趺幅度

所以根據(jù)數(shù)據(jù)可得，9月份月度環(huán)比比上年上漲0.5%,同比比上年上漲2.1%,故①正確;

根據(jù)數(shù)據(jù)可得，3月份月度環(huán)比比上年下降0.2%,同比比上年上漲1.7%,故④正確；

因此②③錯(cuò)誤.

故選:B.

4.函數(shù)/（尤）=sinx/w:''在（-n,it）的圖象大致為（）

兀+x

h

B

,XG(-Tl,7T),

壬曳=sinx歷生2

/(-x)=sin(-x)In-=f（X）,則/（X）在區(qū)間（-11,71）上為偶

兀-X兀+x

函數(shù)，排除5C,

7T

又由/《)=sinH-/〃---=/n—<0,排除

2^2L3

~T~

故選：A.

s

5.S“是公比不為1的等比數(shù)列｛3｝的前"項(xiàng)和，％是S3和￡的等差中項(xiàng)，則$=（）

S6

A口D.一3CD

-144-i

解：?二曲是S3和516的等差中項(xiàng),

.*.S3+S6=259,

???s〃是公比不為1的等比數(shù)列｛斯｝的前〃項(xiàng)和,

369

?a1(1-q)aj(1-q)a1(1-Q)

1-Q1-q1-q

整理得,爐(2g6_g3—l)=0,

,.,qWO,?\2q6-q3-1=0,貝|(2^3+1)(^3-1)=0,

又,:q半1,?-2^3+1=0,解得J

61

qn

匹=ai（l-qg—=可二

6

S61-qai（lV）1-q

故選：A.

'x+y-2》0

6.已知x,y滿足<x+2y-3<0，則z=2x+4y的取值范圍是（）

y》0

A.[0,4]B.[4,6]C.[0,6]D.[6,8]

解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由z=2x+4y得產(chǎn)-%

平移直線>=-%+3,由圖象知當(dāng)直線經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)z最大,

24

止匕時(shí)x+2y=3f即z=2x+4y=6,

經(jīng)過點(diǎn)C（2,0）時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最小，z=2x+4y=4+0=4,

即4WzW6,

即z的取值范圍是[4,6],

故選：B.

7.已知實(shí)數(shù)。，b,c滿足/w=a=上，則下列不等式中不可能成立的是（）

C

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

解：?.?實(shí)數(shù)〃，b,c滿足防〃=a=」，

c

">0,：.a>\,c>0,

當(dāng)。=e時(shí)，6=0,c=\,止匕時(shí)〃>c>b,故3可能成立;

當(dāng)。=廬時(shí)，Z?=/n3e(1,2),c———e(0.5,1),止匕時(shí)〃故A可能成立;

ln3

當(dāng)/?=-1時(shí)，c=e,a=此時(shí)，c>a>b,故?？赡艹闪?

e

???由排除法得。不可能成立.

故選：D.

8.關(guān)于函數(shù)/(x)=|sin(2x--)+cos(2x--)|,下列判斷正確的是()

A.f(x)的值域?yàn)椋?,

B./(X)是以Tt為最小正周期的周期函數(shù)

C./(x)在［0,汨上有兩個(gè)零點(diǎn)

D.f(x)在區(qū)間多］上單調(diào)遞減

OO

JTJTJTIT

解：f(x)=|sin(2x------)+cos(2x-------)|=1in(2x-------)+sin2x|=|2sin(2x——)

3236

cos-^-|=|?sin(2x-|,

66

對(duì)于A,f(x)的值域?yàn)椋?,y包，不是［0,?］,所以A錯(cuò)；

對(duì)于S/(x)的最小正周期為三，不是豆，所以8錯(cuò)；

對(duì)于C,因?yàn)?(X)一個(gè)周期(0,內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)，/(0)#0,所以/(無)在［0,

汨上有兩個(gè)零點(diǎn)，所以c對(duì)；

對(duì)于。，因?yàn)閰^(qū)間;，等］長(zhǎng)度為三>得?冬所以/(X)在區(qū)間［；，2為上不

OOJ//OO

是單調(diào)函數(shù)，所以。錯(cuò).

故選：C.

9.元宵節(jié)是中國(guó)傳統(tǒng)佳節(jié)，放煙花、吃湯圓、觀花燈是常見的元宵活動(dòng).某社區(qū)計(jì)劃舉辦

元宵節(jié)找花燈活動(dòng)，準(zhǔn)備在3個(gè)不同的地方懸掛5盞不同的花燈，其中2盞是人物燈.現(xiàn)

要求這3個(gè)地方都有燈(同一地方的花燈不考慮位置的差別)，且人物燈不能掛在同一

個(gè)地方，則不同的懸掛方法種數(shù)有()

A.114B.92C.72D.42

解：根據(jù)題意，分2步分析：

①將5盞不同的燈分為3組，要求兩盞人物燈不在同一組，

若分為3、1、1的三組，有C53-C31=7種分組方法，

r2r2

若分為2、2、1的三組，有33-C32=12種分組方法，

A

則有7+12=19種分組方法，

②將分好的三組全排列，安排到3個(gè)不同的地方，有7^3=6種情況，

則有19X6=114種安排方法，

故選：A.

10.已知函數(shù)/(%)=2^ex^-e'x-1,若不等式/(1+or)<f(2+x2)對(duì)任意xER恒成立，

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.(-2?,2)B.(-2近，2?)C.(-2,2?)D.(-2,2)

解：函數(shù)/(x)=2j^+ex+e~x-1,

所以/(-x)=2(-x)4+6二+^-1=/(x),

故函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，

故當(dāng)%>0時(shí)，f(x)=813+^-"%單調(diào)遞增，

故/⑴>f(0)=0,

所以/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則不等式/(1+辦)</(2+x2)對(duì)任意xER恒成立，

等價(jià)于不等式/(|1+以|)</(|2+x2|)對(duì)任意xER恒成立，

即|1+辦|V|2+N|對(duì)任意xGR恒成立，即|l+〃x|V2+%2對(duì)任意XGR恒成立，

所以-2-NV1+辦V2+N對(duì)任意xGR恒成立，

J+ax+S〉。

則(對(duì)任意尤R恒成立，

乂2-a工+1>0

A=a2-12<0

所以《,,解得-2<a<2,

△=a2-4<0

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-2,2).

故選：D.

11.已知三棱錐P-ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，24,底面ABC,AB±AC,AB=6,

AC=8,。是線段A8上一點(diǎn)，且&過點(diǎn)。作球。的截面，若所得截面圓面積

的最大值與最小值之差為28ir,則球。的表面積為()

A.128nB.132nC.144TTD.156TT

解：因?yàn)锳B_LAC,AB=6,AC=8,

所以BC=VAB2+AC2=IO，

設(shè)面ABC所截的截面圓的圓心為O，，外接球的球心為O,

則。，為BC的中點(diǎn)，且。。工平面ABC,

則有O&=OB=OC=/BC=5，

取A8的中點(diǎn)E,連結(jié)OE,O'O,則。'￡=&￡=4，

因?yàn)锳O=5O8,AB=8,E為AB的中點(diǎn)，所以。E=2,

所以O(shè)'DRO，E2+DE2T42+22=2粕'

設(shè)0。'=尤，則有0》=。7)2+。0,2=20+/，

則球的半徑R2=O'A2+X2=:52+X2—25+X2,

2222,

故與OD垂直的截面圓的半徑r=7R-OD=V25+X-(20+X)=V5

所以截面圓面積的最小值為nt2=5n,

截面圓面積的最大值為TTR2,

由題意可得-5it=28Ti,解得R2=33TT,

所以球的表面積為5=471k=13271.

故選：B.

12.已知梯形ABCD中，以AB中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.\AB\

=2|C￡>|,點(diǎn)“在線段AC上，且標(biāo)=?!■而若以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線過c、D、E三

O

點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為()

A.-/ioB.V7C.4D.近

解：設(shè)雙曲線方程為g-《=l，由題中的條件可知|C￡?|=c,且C。所在直線平行x軸,

設(shè)C(三>y),A(-c,0),￡(x,y),/.AE=(X+C,y),EC=(-|--x,y-y)，

20Q

92

J工=1，…①

4a2b2

2

X=+C

由標(biāo)=反而可得，b

o2

y=Tyo

242

點(diǎn)￡的坐標(biāo)滿足雙曲線方程，所以梃泣=],…②

25a225b2

聯(lián)立①②可得8=^7,

故選:B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)/(x)=ln(x+1)的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為x-y=0.

解：V/(x)=ln(x+1)+N巴

:(x)=——+2xex+x2ex則，(0)=1,

x+1f

又/(0)=0,

，函數(shù)(%)圖象在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為：y-0=x,

即函數(shù)了=/(x)圖象在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為〉=木

故答案為：x-y=0.

14.已知向量二與三的夾角為60。，|』=3,后|=6,則2；-三在三方向上的投影為-3

解：向量Z與E的夾角為6。。，1』=3,|卞=6，

可得2a-E在％方向上的投影為：(2aJ>)?b=2；，￡-3.

lbI6$

故答案為:-3.

15.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,ZABC=9Q°,/ABC的平分線

交AC于點(diǎn)D若a+4c的最小值為9,則

解：如圖，/ABC的平分線交AC于點(diǎn)。，

所以/ABD=NC2D=45°,

所以SAA8C=」〃csin90。c*B￡)*sin45°+工〃?8￡)?sin45°，

222

可得2ac=BD,

可得加BD(a+c)=i,

2ac

r-r(a+4c)?我(a+c)

所以rI〃+4c=--------------------------BD,

2ac

a+4c=?BD(—+5+—)與返BD.(5+2、但良)=也反瓦)=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=2c

2ca2Vca2

時(shí)取等號(hào)，

所以3。=亞.

故答案為：y/~2.

16.已知〃>0,不等式(x+1)1--&仇(x+1)20對(duì)任意的xE(0,+°°)恒成立，則

實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,e].

解：不等式(X+1)1-^+1-aln(x+1)20對(duì)任意的詫(0,+°°)恒成立，

令￡=%+1,貝！J/>1,所以不等式等價(jià)于P920對(duì)>1恒成立，

變形可得不等式期》產(chǎn)仇產(chǎn)對(duì)/>1恒成立，

l

令/(力=te9t>l,則不等式等價(jià)于/(力三/(/九產(chǎn))對(duì)/>1恒成立，

f(力=(什1)0,當(dāng)/>1時(shí)，f(力>0,故/(/)單調(diào)遞增，

所以不等式轉(zhuǎn)化為序/它對(duì)恒成立，即-對(duì)>1恒成立，

lnt

令g(t)二J—，所以g'(t)="IJ,令g⑺=0,解得/=e,

lnt(lnt)

當(dāng)1</Ve時(shí)，g'(0<0,則g(0單調(diào)遞減，

當(dāng)/〉e時(shí)，g1(0>0,則g(力單調(diào)遞增，

所以當(dāng)/=e時(shí)，g(力取得最小值g(e)=e,

所以aWe,又a>0,

所以實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(0,e].

故答案為：(0,e].

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考

題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.(一)必考題:

共60分.

17.已知數(shù)列｛斯｝滿足防=1,S"='n1)%.

2

(I)求數(shù)列｛?｝的通項(xiàng)公式；

2a_+l

(II)若瓦=(-1)"+1——--,數(shù)列｛瓦｝的前“項(xiàng)和為北,求4021.

anarH-l

解：(I)由ai=l,L①

2

可得〃22時(shí)，Sn-1=^±,②

2

,「z-x-(n+1)na.

由①-②可得an=Sn-S聯(lián)i=-------------——S-,

22

化為(n-1)an=nan-\,

艮[1=.??=&1=],

nn-l1

可得an=n,

上式對(duì)n=l也成立，

則數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式為〃〃=九，成N*；

2a+1加+111

(II)bn=(-1)/1---=(-1)-廣晨=(-1)〃+i(―+^),

anarr+-ln(n+l)nn+1

所以72021=(1+*)-^+―)—+(--—+—--)

3420212022

—h1—2023

20222022.

18.在四棱錐尸-A8CO中，AP=PO=OC=C8=1,A8=2,NAPD=NDCB=NCBA=90°,

平面平面ABCD.

(I)求證：PB=PC；

(II)求直線PA與平面PC。所成角的正弦值.

【解答】（I）證明：設(shè)A。，的中點(diǎn)分別為。，E,連結(jié)尸。，OE,EP,

則0E為直角梯形ABCD的中位線，故BC±0E,

又平面PAD_L平面48CD,平面抬。0平面48。￡（=4。,尸。_14。,所以POJ_平面ABCZ）,

又BCu平面4BC。，所以尸0_L3C,

又POnOE=。，PO,OEu平面PEO,所以BC_L平面PEO,

又PEu平面PEO,所以BC_LPE,

又E為8c的中點(diǎn)，所以P8=PC；

（II）解：在上取一點(diǎn)尸，使得則。EOE,OP兩兩垂直，

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則P（0,0,等），A弓，0）,C（［,看0）,D0,之，0），

乙乙乙乙乙乙乙

所以同=晝，］，~^），PC=（-y）,，-^y-）（DC=（O,1,0），

乙乙乙乙乙乙

設(shè)平面PCD的法向量為左（x,y,z）,

/云=」x總廠也z=0

則有《2272,

1n,DC=y=0

令z=-l,則y=0,%=亞，故W=（我,0,-1）＞

所以|cos＜溫，血|-畫回與

IPAIInI3

故直線PA與平面PCD所成角的正弦值為逅.

3

3.

B

22

19.已知橢圓C七三=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸2,左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)。

a,是橢圓c上一點(diǎn)，離心率為5.

22

(I)求橢圓c的方程；

(II)若直線/過橢圓右焦點(diǎn)仍且與橢圓交于尸、Q兩點(diǎn)，直線AP、AQ與直線尤=4分

別交于M，N.

(i)求證：M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值；

(ii)求△AMN面積的最小值.

解：(I)由題竟可知1119=■,,解得4=4,扶=3,

-i

a24,,b2

22

所以橢圓。的方程為—+工-=1.

43

(II)(i)設(shè)直線/的方程為x=my+l,

\=iny+l

聯(lián)立＜22，得(3m2+4)y2+6my-9=0,

-=1

[43

設(shè)尸(xi,yi),Q(%2,四)，

所以州+丁2=5，"X2=5

3m+43m+4

直線AP的方程為＞=一口二(尤+2),

X]+2

6yl6y

令x=4得加=-----,同理可得刈=----—,

x]+2x2+2

,36yly236yly2

所以yMyN=-7-------TT7---------K-=1-------------

(x.2)(X2+2)(myI+3)(my2+3)

-9

_36yly2_36%m2+4

22

myiy2+3m(y1+y2)+9m

36+43m,4

(ii)S^AMN=-^*6*\yM-yM=3lyM+^~l^3*2^yK*-^-=18.

當(dāng)且僅當(dāng)y“=3,川=-3或>“=-3,加=3時(shí)等號(hào)成立.

20.已知某生產(chǎn)線的生產(chǎn)設(shè)備在正常運(yùn)行的情況下，生產(chǎn)的零件尺寸X(單位：mm)服從

正態(tài)分布N(280,25).

(I)從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取10個(gè)，求至少有一個(gè)尺寸小于265〃M7的概率;

(II)為了保證生產(chǎn)線正常運(yùn)行，需要對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行維護(hù)，包括日常維護(hù)和故障維修,

假設(shè)該生產(chǎn)設(shè)備使用期限為四年，每一年為一個(gè)維護(hù)周期，每個(gè)周期內(nèi)日常維護(hù)費(fèi)為5000

元，若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運(yùn)行，則不會(huì)產(chǎn)生故障維修費(fèi)；若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行，則除

了日常維護(hù)費(fèi)外，還會(huì)產(chǎn)生一次故障維修費(fèi).已知故障維修費(fèi)第一次為2000元，此后每

增加一次則故障維修費(fèi)增加2000元.假設(shè)每個(gè)維護(hù)周期互相獨(dú)立，每個(gè)周期內(nèi)設(shè)備不能

連續(xù)運(yùn)行的概率為二.求該生產(chǎn)設(shè)備運(yùn)行的四年內(nèi)生產(chǎn)維護(hù)費(fèi)用總和K的分布列與數(shù)學(xué)

期望.

參考數(shù)據(jù)：若z?N(u，。2),則尸(p-0<Z<u+。)=0.6827,P2o<Z<fi+2

o)=0.9545,P(^-3o<Z<\i+3o)=0.9974,0.998710^0.9871.

解：(I)因?yàn)閄?N(280,25),

則呼280,。=5,265=廠3。，

i-nQQ74.

所以尸(X<265)='5劃*=0.0013,

2

所以從該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取10個(gè)，至少有一個(gè)尺寸小于265mm的概率為：

P=1-(1-0.0013)i°=l-0.99871X0.0129.

(II)由題意可得￥的所有可能取值為20000,22000,24000,26000,28000,

懸，

p(y=2oooo)=

p(y=22000)=側(cè)乂小/人蜷,

P(7=24000)==C1X(1)2X(1)2=^

P(7=26000)==C江嘉

P(y=28000)=(4)256'

所以丫的分布列為:

Y2000022000240002600028000

P8110854121

256256256256256

=20000X-^+22000X也^+24000X至上+26000X

數(shù)學(xué)期望E(Y)12+28000X1

256256256256256

=22000.

21.已知函數(shù)/(x)=xe^-alnx-e.

(I)當(dāng)a=2e時(shí)，不等式/(x)2mx-機(jī)在［1,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍;

(II)若〃>0,f(x)最小值為g(。)，求g(。)的最大值以及此時(shí)〃的值.

解：(I)a=2e時(shí)，f(x)=x^-2elnx-e,

令u(%)=f(x)-iwc+m=xex-2elnx-e-rwc+m,

92e

則/(x)=(x+1)--P-m,u"(x)=(x+2)~-5~>0,

x/

故/(x)在［1,+°°)遞增，u'(1)=-m,u'(x)2/(1),

當(dāng)加>0時(shí)，u'(1)=-m<0,

故存在xo>l,使得"(x)在［1,xo)遞減，

w(xo)<u(1)=0,w(x)20在［1,+8)上不恒成立,

???加>0不可取，mW0可取，

???根的取值范圍是(-8,0］；

(II)/(x)=(x+1)^-包，

x

令/(x)=0,得〃(x2+x),

令用(x)="(x2+x)，則/(x)(x2+3x+l)>0,

:?h(x)在(0,+°°)遞增，(x2+x)至多1個(gè)解,

x2

設(shè)該解是xo,Bpa=e0(x0+xo),

x