湖南省株洲市醴陵二中2025屆高一數學第二學期期末達標檢測試題含解析

湖南省株洲市醴陵二中2025屆高一數學第二學期期末達標檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若向量，，則在方向上的投影為（）A．-2 B．2 C． D．2．數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，那么a4的值為()．A．4 B．8 C．15 D．313．過點且與直線垂直的直線方程是．A． B． C． D．4．《五曹算經》是我國南北朝時期數學家甄鸞為各級政府的行政人員編撰的一部實用算術書.其第四卷第九題如下：“今有平地聚粟，下周三丈高四尺，問粟幾何？”其意思為“場院內有圓錐形稻谷堆，底面周長3丈，高4尺，那么這堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斜稻谷的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的稻谷約有（）A．57.08斜 B．171.24斛 C．61.73斛 D．185.19斛5．已知角以坐標系中為始邊，終邊與單位圓交于點，則的值為（）A． B． C． D．6．某次運動會甲、乙兩名射擊運動員成績如右圖所示，甲、乙的平均數分別為為、，方差分別為，，則（）A． B．C． D．7．在等差數列中，若，則（）A．8 B．12 C．14 D．108．已知向量是單位向量，＝(3，4)，且在方向上的投影為，則A．36 B．21 C．9 D．69．某公司的班車在和三個時間點發(fā)車.小明在至之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過分鐘的概率是（）A． B． C． D．10．若直線過兩點，，則的斜率為（）A． B． C．2 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知為數列{an}的前n項和，且，，則{an}的首項的所有可能值為______12．異面直線，所成角為，過空間一點的直線與直線，所成角均為，若這樣的直線有且只有兩條，則的取值范圍為___________________.13．已知方程的兩根分別為、、且，且__________．14．若函數，則__________．15．已知數列，，若該數列是減數列，則實數的取值范圍是__________．16．已知向量，且，則_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列的前項和為，點在函數的圖像上.（1）求數列的通項；（2）設數列，求數列的前項和.18．某體育老師隨機調查了100名同學，詢問他們最喜歡的球類運動，統計數據如表所示.已知最喜歡足球的人數等于最喜歡排球和最喜歡羽毛球的人數之和.最喜歡的球類運動足球籃球排球乒乓球羽毛球網球人數a201015b5（1）求的值；（2）將足球、籃球、排球統稱為“大球”，將乒乓球、羽毛球、網球統稱為“小球”.現按照喜歡大、小球的人數用分層抽樣的方式從調查的同學中抽取5人，再從這5人中任選2人，求這2人中至少有一人喜歡小球的概率.19．某企業(yè)生產的某種產品，生產總成本（元）與產量（噸）（）函數關系為，且函數是上的連續(xù)函數（1）求的值；（2）當產量為多少噸時，平均生產成本最低？20．如圖是某設計師設計的型飾品的平面圖，其中支架，，兩兩成，，，且．現設計師在支架上裝點普通珠寶，普通珠寶的價值為，且與長成正比，比例系數為（為正常數）；在區(qū)域（陰影區(qū)域）內鑲嵌名貴珠寶，名貴珠寶的價值為，且與的面積成正比，比例系數為．設，．（1）求關于的函數解析式，并寫出的取值范圍；（2）求的最大值及相應的的值．21．已知向量.（1）求的值；（2）若，且，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】向量，，所以，||=5，所以在方向上的投影為=-2故選A2、C【解析】試題分析：，，，故選C.考點：數列的遞推公式3、A【解析】

根據與已知直線垂直的直線系方程可假設直線為，代入點解得直線方程.【詳解】設與直線垂直的直線為：代入可得：，解得：所求直線方程為：，即本題正確選項：【點睛】本題考查利用兩條直線的垂直關系求解直線方程的問題，屬于基礎題.4、C【解析】

根據圓錐的周長求出底面半徑，再計算圓錐的體積，從而估算堆放的稻谷數．【詳解】設圓錐形稻谷堆的底面半徑為尺，則底面周長為尺，解得尺，又高為尺，所以圓錐的體積為（立方尺）；又（斛，所以估算堆放的稻谷約有61.73（斛．故選：．【點睛】本題考查了椎體的體積計算問題，也考查了實際應用問題，是基礎題．5、A【解析】

根據題意可知的值，從而可求的值.【詳解】因為，，則.故選A.【點睛】本題考查任意角的三角函數的基本計算，難度較易.若終邊與單位圓交于點，則.6、C【解析】試題分析：,;,,故選C.考點：莖葉圖.【易錯點晴】本題考查學生的是由莖葉圖中的數據求平均數和方差,屬于中檔題目.由莖葉圖觀察數據,用莖表示成績的整數環(huán)數,葉表示小數點后的數字,利用平均值公式及標準差公式求出兩個樣本的平均數和方差,一般平均數反映的是一組數據的平均水平,平均數越大,則該名運動員的平均成績越高;方差式用來描述一組數據的波動大小的指標,方差越小,說明數據波動越小,即該名運動員的成績越穩(wěn)定.7、C【解析】

將，分別用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【詳解】設等差數列的首項為，公差為，則由，，得解得，，所以．故選C．【點睛】本題考查等差數列的基本量的求解，難度較易.已知等差數列的任意兩項的值，可通過構建和的方程組求通項公式.8、D【解析】

根據公式把模轉化為數量積，展開后再根據和已知條件計算.【詳解】因為在方向上的投影為，所以，.故選D.【點睛】本題主要考查向量模有關的計算，常用公式有，.9、A【解析】

根據題意得小明等車時間不超過分鐘的總的時間段，再由比值求得.【詳解】小明等車時間不超過分鐘，則他需在至到，或至到，共計分鐘，所以概率故選A.【點睛】本題考查幾何概型，關鍵找到滿足條件的時間段，屬于基礎題.10、C【解析】

直接運用斜率計算公式求解.【詳解】因為直線過兩點，，所以直線的斜率，故本題選C.【點睛】本題考查了斜率的計算公式，考查了數學運算能力、識記公式的能力.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據題意，化簡得，利用式相加，得到，進而得到，即可求解結果.【詳解】因為，所以，所以，將以上各式相加，得，又，所以，解得或.【點睛】本題主要考查了數列的遞推關系式應用，其中解答中利用數列的遞推關系式，得到關于數列首項的方程求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.12、【解析】

將直線，平移到交于點，設平移后的直線為，，如圖，過作及其外角的角平分線，根據題意可以求出的取值范圍.【詳解】將直線，平移到交于點，設平移后的直線為，，如圖，過作及其外角的角平分線，異面直線，所成角為，可知，所以，所以在方向，要使有兩條，則有：，在方向，要使不存在，則有，綜上所述，.故答案為：【點睛】本題考查了異面直線的所成角的有關性質，考查了空間想象能力.13、【解析】

由韋達定理和兩角和的正切公式可得，進一步縮小角的范圍可得，進而可求．【詳解】方程兩根、，，，，又，，，，，，，結合，，故答案為．【點睛】本題考查兩角和與差的正切函數，涉及韋達定理，屬中檔題．14、【解析】

根據分段函數的解析式先求，再求即可.【詳解】因為，所以.【點睛】本題主要考查了分段函數求值問題，解題的關鍵是將自變量代入相應范圍的解析式中，屬于基礎題.15、【解析】

本題可以先通過得出的解析式，再得出的解析式，最后通過數列是遞減數列得出實數的取值范圍．【詳解】，因為該數列是遞減數列，所以即因為所以實數的取值范圍是．【點睛】本題考察的是遞減數列的性質，遞減數列的后一項減去前一項的值一定是一個負值．16、【解析】

先由向量共線，求出，再由向量模的坐標表示，即可得出結果.【詳解】因為，且，所以，解得，所以，因此.故答案為【點睛】本題主要考查求向量的模，熟記向量共線的坐標表示，以及向量模的坐標表示即可，屬于基礎題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】

（1）把點帶入即可（2）根據（1）的結果利用錯位相減即可?！驹斀狻浚?）把點帶入得，則時，時，經驗證，也滿足，所以（2）由（1）得，所以則①②①②得【點睛】本題主要考查了數列通項的求法，以及數列前項和的方法。求數列通項常用的方法有：累加法、累乘法、定義法、配湊法等。求數列前項和常用的方法有：錯位相減、裂項相消、公式法、分組求和等。屬于中等題。18、（1）；（2）【解析】

（1）根據最喜歡足球的人數等于最喜歡排球和最喜歡羽毛球的人數之和，以及總人數列方程組求解；（2）利用分層抽樣，抽取的5人中，3人喜歡大球，2人喜歡小球，根據古典概型求解概率.【詳解】（1）由題最喜歡足球的人數等于最喜歡排球和最喜歡羽毛球的人數之和，所以，解得：，所以；（2）由題可得：喜歡大球的60人，喜歡小球的40人，按照分層抽樣抽取5人，其中喜歡大球的3人記為，喜歡小球的2人記為，從中任取2人，情況為:共10種，這兩人中，至少一人喜歡小球的情況:共7種，所以所求概率為；【點睛】此題考查統計與概率相關知識，涉及分層抽樣和求古典概型，關鍵在于弄清基本事件總數和某一事件包含的基本事件個數.19、(1)；(2)當產量噸，平均生產成本最低.【解析】

（1）根據函數連續(xù)性的定義，可得在分段處兩邊的函數值相等，可得a的值；（2）求出平均成本的表達式，結合二次函數和基本不等式，可得平均生產成本的最小值點．【詳解】（1）設，由函數是上的連續(xù)函數.即，代入得（2）設平均生產成本為，則當中，，函數連續(xù)且在單調遞減，單調遞增即當，元當，，由，當且僅當取等號，即當，元綜上所述，當產量噸，平均生產成本最低.【點睛】本題考查的知識點是分段函數的應用，二次函數的圖象和性質，基本不等式求最值，屬于中檔題.20、（1）（）；（2），的最大值是.【解析】試題分析：（1）運用題設和實際建立函數關系并確定定義域；（2）運用基本不等式求函數的最值和取得最值的條件.試題解析：（1）因為，，，由余弦定理，，解得，由，得．又，得，解得，所以的取值范圍是．（2），，則，設，則．當且僅當即取等號，此時取等號，所以當時，的最大值是．考點：閱讀理解能力和數學建模能力、基本不等式及在解決實際問題中的靈活運用.【易錯點晴】應用題是江蘇高考每年必考的重要題型之一，也是歷屆高考失分較多的題型.解答這類問題的關鍵是提高考生的閱讀理解能力和數學建模能力，以及抽象概括能力.解答好這類問題要過:“審題、理解題意、建立數學模型、求解數學模型、作答”這五個重要環(huán)節(jié)，其中審題關要求反復閱讀問題中提供的一些信息，并將其與學過的數學模型進行聯系，為建構數學模型打下基礎，最后的作答也是必不可少的重要環(huán)節(jié)之一，應用題的解答最后一定要依據題設中提供的問題做出合理的回答，這也是失分較多一個環(huán)節(jié).21、（1）