2020年高考真題數(shù)學（文）（理）（全國卷Ⅰ）含答案

2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

文科數(shù)學

、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

1.已知集合A={X|X2—3X—4<0},B={-4,1,3,5},則AC1B=

A.{-4,1}B.{1,5}C.{3,5}D.{1,3}

2.若z=l+2i+i3,則|z|=

A.OB.lC，V2D.2

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐。以該四棱錐的高

為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底

面正方形的邊長的比值為

4.設O為正方形ABCD的中心，在O,A,B,C,D中任取3點，則取到的3點共線的概率

為

-1-

5.某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關系，在20個不

同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，電郵實驗數(shù)(卻yi)(i=l,2,…，20)得到下面的散點圖：

100%

80%?????????*

發(fā)?????

'乂60%?

牙??

1.40%?

-T-

20%

0%

010203040溫度/C

由此散點圖，在10°C至40°C之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度

x的回歸方程類型的是

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+bexD.y=a+blnx

6.已知圓x?+y2-6x=0,過點(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為

A.lB.2C.3D.4

7?

7.設函數(shù)f(x)=cos?x+—)在［一兀，兀］的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為

6

8.設alog34=2,則4~a=

9.執(zhí)行右圖的程序框圖，則輸出的口=

-2-

C^）

入/?l?S?，

|jr?w?21[S,$/司

￡100

（I束）

A.17B.19C.21D.23

10.設｛a/是等比數(shù)列，且ai+a2+a3=l,22+23+04=2,則a6+a7+a8=

A.12B.24C.30D.32

2

11.設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2l2L」1的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且|OP|=2,則

3

△PFIF2的面積為

75

A.-B.3C.-D.2

22

12.已知A,B,C為球O的球面上的三個點，。。1為AABC的外接圓，若。Ch的面積為4兀,

AB=BC=AC=OOi,則球。的表面積為

A.64兀B.48兀C.36兀D.32兀

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

’2/y2<0

13.若x,y滿足約束條件,則z=x+7y的最大值為。

14.設向量a=(l,—1),b=(m+l,2m~4),若a_Lb,則m=。

15.曲線y=lnx+x+l的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為。

n

16.數(shù)列｛a3滿足an+2+(-l)an=3n-l,前16項和為540,則a.。

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：共60分。

17.(12分)

-3-

某廠接受了一項加工業(yè)務，加工出來的產(chǎn)品(單位：件)按標準分為A,B,C,D四個等級。

加工業(yè)務約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20

元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元。該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業(yè)務。

甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件。廠家為決定由哪個分廠承接加

工業(yè)務，在兩個分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計了這些產(chǎn)品的等級，整理如下:

甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表

等級ABCD等級ABCD

頻數(shù)40202020頻數(shù)28173421

(1)分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率;

(2)分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應選哪

個分廠承接加工業(yè)務?

18.(12分)

△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c。已知B=150。。

(1)若2=/<:,b=2后,求aABC的面積；

lJ1

⑵若sinA+j3sinC=W，求C。

19.(12分)

如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，AABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為DO

上一點，ZAPC=90°o

-4-

D

(1)證明：平面PAB_L平面PAC；

(2)設DO=JI,圓錐的側面積為陰兀，求三棱錐P—ABC的體積。

20.(12分)

已知函數(shù)f(x)=ex-a(x+2),

⑴當a=l時，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍。

21.(12分)

已知函數(shù)f(x)=ex+ax2—Xo

⑴當a=l時，討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當xNO時，f(x)》Lx3+l,求a的取值范圍。

2

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做,則按所做的第一題

計分。

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

在直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為。為參數(shù))。以坐標原點為極點,

-5-

X軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為4pcos0—16psin0+3=Oo

(1)當k=l時，Ci是什么曲線？

(2)當k=4時，求Ci與C2的公共點的直角坐標。

23.［選修4—5：不等式選講］(10分)

已知函數(shù)f(x)=|3x+l|—2|x一

(1)畫出y=f(x)的圖像；

(2)求不等式f(x)>f(x+l)的解集。

-6-

答案

ID2C3C4A5D6A7C8B9C10D11B12A

13.1

14.5

15.2x-y=0

16.7

17

【答案】（1）0,4和0.28；（2）x+y+z=l.

18

【答案】（1）（2）c=j

>-1

19

【解析】⑴如圖,連。o,延長CO交于點E

???。是正A48C外接圓的圓心

:.CO1AB

?/在圓錐中易知PO1平面/8C.

ABc平面/8C

/.PO1AB

又。O,POu平面POC

COryPO=O

/.AB1平面POC

又PCu平面POC

二AB1PC

???ZJPC=90°

PC1AP

又?.?P445u平面以8,PAcAB=A

.?.尸。，平面E48

又；PCu平面P4C

/.平面94c±平面尸49

-7-

JO

20

【答案】（1）/（X）在（-8.0）上單調(diào)遞減.在（0,+8）上單調(diào)遞增；（2）（，',+8）.

21

【答案】⑴y+/=l;（2）||，0）.

22

【答案】：（1）以原點為圓心，以1為半徑的圓；（2）（11）.

23

-8-

2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

理科數(shù)學

本試卷共5頁，23題（含選考題）。全卷滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的。

1.若z=l+i,則憶2—2z|=

A.OB.lC..x/2D.2

2.設集合A={X|X2—4W0},B={x|2x+aW0},且ACB={x|—2WxWl},則a=

A.-4B.-2C.2D.4

3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐。以該四棱錐的高

為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上的高與底

面正方形的邊長的比值為

-1-

V5-1耶+1

42

4.已知為拋物線C：y2=2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12,到y(tǒng)軸的距離為9,

則p=

A.2B.3C.6D.9

5.某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：。C)的關系，在20個不

同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，電郵實驗數(shù)(如yD(i=l,2,20)得到下面的散點圖:

由此散點圖，在10℃40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回

歸方程類型的是

A.y=a+bxB.y=a+bx2C.y=a+be'D.y=a+blnx

6.函數(shù)f(x)=x4—2x3的圖像在點(1,f(D)處的切線方程為

A.y=—2x—1B.y=—2x+lC.y=2x—3D.y=2x+1

7.設函數(shù)f(x)=C0S(3x+—)在［―兀，兀］的圖像大致如下圖，則f(x)的最小正周期為

8.(x+)-)(x+y)5的展開式中x3y3的系數(shù)為

X

A.5B.10C.15D.20

9.已知a￡(0,7i),且3cos2a—8cosa=5,則sina=

21

B.-C.-

T33

10.已知A,B,C為球O的球面上的三個點，OOi為AABC的外接圓，若。Ch的面積為4兀,

-2-

AB=BC=AC=OOi，則球O的表面積為

A.64TIB.48兀C.36兀D.32兀

1..已知。M：x2+y2—2x—2y—2=0,直線/：2x+y+2=0,P為/上的動點，過點P作。M

的切線PA,PB,切點為A,B,當|PM|?|AB|最小時，直線AB的方程為

A.2x—y—1=0B.2x+y—1=0C.2x—y+l=0D.2x+y+l=0

12.若2a+log2a=4b+210g4b,貝??！

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

2x+y-20

13.若x,y滿足約束條件x-y-10,則z=x+7y的最大值。

為y+l0

14.a,b為單位向量，且|a+b|=l,貝！J|a—b|=。

15.已知F為雙曲線C："2y

—-=l(tz0,b0)的右焦點，A為C的右項點，B為C上的點,

ab~

且BF垂直于x軸。若AB的斜率為3,則C的離心率為0

16.如圖，在三棱錐P—ABC的平面展開圖中，AC=1,AB=AD=6,ABXAC,AB±AD,

ZCAE=30°,則cos/FCB=。

-3-

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17?21題為必考題,

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(一)必考題：共60分。

17.(12分)

設｛a。｝是公比不為1的等比數(shù)列，電為a2,a3的等差中項。

(1)求｛aj的公比；

(2)若ai=l,求數(shù)列｛naQ的前n項和。

18.（12分）

如圖，D為圓錐的項點，O是圓錐底面的圓心，AE為底面直徑，AE=ADoZ\ABC是底

旦O。

面的內(nèi)接正三角形，P為DO上一點，PO=

6

(1)證明：PA_L平面PBC；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值。

19.(12分)

甲、乙、丙三位同學進行羽毛球比賽，約定賽制如下：

累計負兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空：每場比賽的勝者

與輪空者進行下一場比賽，負者下一場輪空，直至有一人被淘汰：當一人被淘汰后，剩余的

兩人繼續(xù)比賽，直至其中人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結束。

經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空。設每場比賽雙方獲勝的概率都為L。

2

⑴求甲連勝四場的概率;

-4-

(2)求需要進行第五場比賽的概率；

(3)求丙最終獲勝的概率。

20.(12分)

己知A,B分別為橢圓E：、+,2=1(。1)的左、右頂點，G為E的上頂點，AGGB

a~

=8oP為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C,PB與E的另一交點為D。

(1)求E的方程；

(2)證明：直線CD過定點。

21.(12分)

已知函數(shù)f(x)=ex+ax2—x?

⑴當a=l時，討論f(x)的單調(diào)性:

(2)當x'O時，f(x)^—x3+l,求a的取值范圍。

2

(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題

計分。

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

k

在直角坐標系xOy中，曲線Ci的參數(shù)方程為*(t為參數(shù))。以坐標原點為極點，

y=sint

x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為4pcos0-16psin0+3=Oo

(1)當k=l時，Ci是什么曲線？

(2)當k=4時，求Ci與C2的公共點的直角坐標。

-5-

23.［選