2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年北京市大興區(qū)高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共10小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.空間向量萬5-而+前=（）

A.ABB.CBC.OCD.BC

2.圓/+y212y-3=0的半徑是（）

A.1B.2C.3D.4

3.拋物線/=8y的焦點到準(zhǔn)線的距離是（）

A.1B.2C.4D.8

4.已知數(shù)列｛a.｝的前n項和又=層，則a?=（）

A.1B.2C.3D.4

5.若等差數(shù)列｛冊｝滿足。3=-1，。4=1，則其前兀項和的最小值為（）

A.—9B.—8C.—7D.—6

n

6.設(shè)｛即｝是各項不為0的無窮數(shù)列，"VnGAT,成+i=anan+2是“｛勾｝為等比數(shù)列”的

()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.設(shè)尸1，尸2是橢圓C；曾+白1的兩個焦點，點P在橢圓C上，仍&|=4,則仍尸2|=（）

A.1B.2C.3D.4

8.如圖，在三棱柱4BC-41B1G中，CQJ■平面ABC,AB=

BC=V5,AC=AAt=2.D,E,F分別為A^,BB1的

中點，則直線EF與平面BCD的位置關(guān)系是（）

A.平行

B.垂直

C.直線在平面內(nèi)

D.相交且不垂直

9.記％為等比數(shù)列｛總的前n項和.已知的=-4,a4=p則數(shù)列圖｝（）

A.無最大項，有最小項B.有最大項，無最小項

C.無最大項，無最小項D.有最大項，有最小項

10.已知M是圓(x—l)2+y2=1上的動點，則M到直線y=kx+l(keR)距離的最大值為

()

A.2B.V2+1C.3D.2V2+1

二、填空題(本大題共5小題，共25.0分)

11.3與7的等差中項為.

12.直線y=x+1關(guān)于y軸對稱的直線的方程為.

2

13.己知雙曲線a一丫2=19>0)的一條漸近線方程為％+2、=0,則。=.

14.能說明“若等比數(shù)列｛在｝滿足的<a2,則等比數(shù)列｛5｝是遞增數(shù)列”是假命題的一個等

比數(shù)列｛即｝的通項公式可以是.

15.平面內(nèi)，動點M與點F(l,0)的距離和M到直線x=-1的距離的乘積等于2,動點M的軌跡

為曲線C.給出下列四個結(jié)論：

①曲線C過坐標(biāo)原點；

②曲線C關(guān)于x軸對稱；

③曲線C與x軸有2個交點；

④點M與點F(l,0)的距離都不小于e一1.

其中所有正確結(jié)論的序號為.

三、解答題(本大題共6小題，共85.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

16.(本小題14.0分)

己知點4(0,1)和點8(2,3)是圓C直徑的兩個端點.

(I)求線段AB的中點坐標(biāo)和圓C的方程；

(11)過點4作圓。的切線/,求切線/的方程.

17.(本小題14.0分)

已知等差數(shù)列｛冊｝滿足的=1,a2+a3=5.

(I)求｛%3的通項公式；

(H)設(shè)｛bn｝是等比數(shù)列，瓦=2,b3=2b2,求數(shù)列｛冊+%｝的前幾項和％.

18.(本小題14.0分)

已知拋物線C：y2=4x的焦點為尸.

(I)求尸的坐標(biāo)和拋物線c的準(zhǔn)線方程；

(n)過點F的直線/與拋物線C交于兩個不同點4B,再從條件①、條件②這兩個條件中選擇

一個作為已知，求|4B|的長.

條件①：直線I的斜率為1；

條件②：線段AB的中點為M(3,2).

注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分.

19.(本小題14.0分)

如圖，在長方體48。。-418道1。1中，AB=AD=1,AAX=2,E是棱。。1的中點.

(I)求證：〃平面48隹；

(H)求平面與平面為B1GD1夾角的余弦值；

(DI)求點G到平面ZBiE的距離.

20.(本小題15.0分)

已知橢圓C；，+，=1(。>0,6>0)過點P(2,1),月。=2兒

(I)求橢圓C的方程和離心率；

(II)設(shè)。為原點，直線。尸與直線，平行，直線I與橢圓C交于不同的兩點M,N,直線PM,PN分

別與x軸交于點E,F.當(dāng)E,F都在y軸右側(cè)時，求證:|OE|+|。用為定值.

21.(本小題14.0分)

已知｛廝｝為無窮遞增數(shù)列，且對于給定的正整數(shù)鼠總存在i，j，使得七<k,aj>k,其中i<j.

令瓦為滿足為<k的所有i中的最大值，以為滿足q>k的所有/中的最小值.

(I)若無窮遞增數(shù)列｛aj的前四項是1，2,3,5,求兒和C4的值；

(II)若｛即｝是無窮等比數(shù)列，%=1,公比q是大于1的整數(shù)，b3<b4=b3,c3=c4,求q的

值；

（皿）若｛廝｝是無窮等差數(shù)列，的=1,公差為'，其中m為常數(shù)，且m>1,meN*,求證：&,

b2,尻，…和R,C2,…，恁，…都是等差數(shù)列，并寫出這兩個數(shù)列的通項公式.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：空間向量65—赤+配=瓦？+元=5■乙

故選：D.

利用向量線性運算法則直接求解.

本題考查向量線性運算法則等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析】解：圓/+y2一2y-3=0,即/+(y-l)2=4,

故它的半徑為2,

故選：B.

由題意，把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到它的半徑.

本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】

【分析】

本題考查拋物線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.

直接利用拋物線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程，可得p=4,寫出結(jié)果即可.

【解答】

解：拋物線/=8y,所以p=4,拋物線M=8y的焦點到準(zhǔn)線的距離是4.

故選：C.

4.【答案】C

2

【解析】解：Sn=n,

二當(dāng)？1=1時，Qi=Si=l,

當(dāng)？I=2時，$2=Qi+與=2?,解得g=3,

故選：C.

根據(jù)題意，分別令n=l,求出，n=2,即可得出答案.

本題考查數(shù)列的前n項和求數(shù)列的通項，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

5.【答案】A

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列｛一｝的公差為d,

—

則d=a4—?3=1(-1)=2,

故a2=a3—d=—l—2=—3,=a2—d=—3—2=—5,

va3<0,a4>0,

其前n項和的最小值為的+a2+a3=-5-3-l=-9.

故選：A.

根據(jù)已知條件，先求出等差數(shù)列｛斯｝的公差為d,再結(jié)合a3<0,a4>0,即可求解.

本題主要考查等差數(shù)列的前n項和，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：｛%?｝是各項不為0的無窮數(shù)列，

Vn6N*,成+i=anan+2,

則｛an｝為等比數(shù)列，充分性成立，

｛斯｝為等比數(shù)列，

則VnGN*,成+i=anan+2.必要性成立，

綜上所述，“VneN*,a"1=即即+2”是“｛。工為等比數(shù)列”的充分必要條件.

故選：C.

根據(jù)已知條件，結(jié)合充分條件與必要條件的定義，即可求解.

本題主要考查充分條件與必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：???橢圓方程為《+。=1，點P在橢圓上，

94

/.|PF1|+|PF2|=2a=6,

|PFi|=4,

??|PF2I=2,

故選：B.

根據(jù)橢圓的定義可知|PFi|+\PF2\=2a=6,代入|PFI|的值可得IPF2I的值.

本題主要考查了橢圓的定義，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：如圖，取4C中點M,連接EM,BM,

vAB=BC=V5.D,E,尸分別為力&,4如，BB】的中點，

:.MB1AC,

???在三棱柱中，CG1平

???EM/fCCi，

EMiTffiXBC,vAC,MBu平面ABC,EM_L4C,EM1MB,

22

vAC=AAr=2,???AM=^AC=1,MB=>/AB+AM=2,

???以M為坐標(biāo)原點，MA,MB,ME所成直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則8(0,2,0),C(-l,0,0),0(1,0,1),E(0,0,2),F(0,2,l),

設(shè)平面BCD的法向量為元=(x,y,z),

則E藝=x+2y=0令，得記=(2,一1，一4),

(n-BD=x-2y+z=0

vn-EF=2#：0.~EFDC=10,

???直線EF與平面BCD相交，且不垂直于平面BCD.

故選：D.

根據(jù)圖形位置關(guān)系證明線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，通過計算平面BCO的法向量，直線EF的

方向向量，判斷平面BCD的法向量是否與直線EF的法向量垂直，判斷直線“與直線C。是否垂直，

能得到直線與平面的位置關(guān)系.

本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間

思維能力，是中檔題.

9.【答案】D

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q.

因為由——4,所以q3=州=-2—=-1,所以q=-：,

8,81

所以％-3+3X（-2）nEN

1-Q-1-（-1）

若n為奇數(shù)，則方=-|-|x(y,

此時Si<53<..<Sn,Si=-4,

若n為偶數(shù),貝％=—g+|x（扔,

O

此時S2>>..>Sn>——>

所以S1最小，S2最大.

故選：D.

由%=—4,a4=1,求出公比q,然后根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式求出右，再分n為奇數(shù)和n為

偶數(shù)兩種情況求出土的最值.

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了分類討論思想，方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

10.【答案】B

【解析】解：直線y=kx+l(keR)經(jīng)過定點P(0,l),

由圓(%—1)2+y2=1,可得圓心C(l,0),半徑r=l.

則圓心C到直線的距離取得最大值時，CP與直線垂直，

M到直線y=kx+l(kGR)距離的最大值=^/l2+(-1)2+r=V2+1.

故選：B.

直線y=kx+l(keR)經(jīng)過定點P(O,1),由圓(x-+產(chǎn)=1,可得圓心C(1,O),半徑r=1.可

得圓心C到直線的距離取得最大值時，CP與直線垂直，進(jìn)而得出結(jié)論.

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系、點到直線距離公式、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，

屬于中檔題.

11.【答案】5

【解析】解：3與7的等差中項為岑=5.

故答案為：5.

根據(jù)已知條件，結(jié)合等差中項的定義，即可求解.

本題主要考查等差中項的定義，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】y=-x+l

【解析】解：直線y=x+1關(guān)于y軸對稱的直線的方程為y=-x+l.

故答案為：y=-x+l.

由已知結(jié)合直線關(guān)于直線對稱的特點可求.

本題主要考查了直線關(guān)于直線的對稱，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】2

2

【解析】解：雙曲線a一、2=19>0)的一條漸近線方程為》+2丫=0,

則a=2.

故答案為：2.

利用雙曲線的漸近線方程求解即可.

本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】an=(一1尸(答案不唯一)

【解析】解：例如等比數(shù)列廝=(-1尸滿足的<。2,但等比數(shù)列｛即｝不是遞增數(shù)列.

故答案為：an=(―1嚴(yán)(答案不唯一).

由已知結(jié)合等比數(shù)列的通項公式及數(shù)列單調(diào)性的性質(zhì)即可求解.

本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)列的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】②③④

【解析】解：設(shè)動點的坐標(biāo)為

因為曲線C是平面內(nèi)與定點F(1,O)和定直線x=-1的距離的積等于2的點的軌跡，

所以J(x-l)2+y2..+1|=2，

因為當(dāng)x=0時，y=0,7(0-l)2+02-|0+1|^2,所以曲線C不過坐標(biāo)原點，故①錯誤；

因為將J(x—1尸+y2.|x+1|=2中的y用一y代入,該等式不變，所以曲線C關(guān)于x軸對稱，故②

正確；

令y=0時，^x-iy+y2-|x+l|=2=>|x-l||x+l|=2=>%=±V3,故曲線。與％軸有2個

交點，故③正確；

因為—1)2+y2.氏+1|=2,所以f=廠三一(x-20,解得一

所以若點M在曲線C上，則|“用=J0-+y2=高2品=再一1,故④正確.

故答案為：②③④.

將所求點用(x,y)直接表示出來，然后根據(jù)條件列出方程即可求出軌跡方程，令x=0,y=0可判

斷①；根據(jù)-y代入可判斷②；令y=0可解x的值，進(jìn)而可判斷③；利用消元法，然后利用函數(shù)

的單調(diào)性求最值可判斷④.

本題主要考查軌跡方程，考查運算求解能力，屬于中檔題.

16.【答案】解：(I)由題意可得4B的中點C(l,2),且圓心C(l,2),半徑r=\AC\=y/l2+(_2-iy=

V2.

所以圓C的方程為:(x-l)2+(y-2)2=2；

(n)因為％0=言=1，所以過4定點的切線方程為y=—x+i，

即切線，的方程為：y=-x+l.

【解析】(I)由4B的坐標(biāo)可得中點C的坐標(biāo)，進(jìn)而可得以4B為直徑的圓的半徑7?的大小，求出圓

的方程；

(n)由(I)可得直線AC的斜率，進(jìn)而可得過4點的切線的斜率，求出過4點的切線方程.

本題考查圓的方程的求法及過一點與圓相切的直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】解：(I)?.?等差數(shù)列｛%｝滿足的=1,a2+a3=5,

2%+3d=5,解得d=1,

???an=1+(n—1)?1=n；

(II)?.?｛%｝是等比數(shù)列，瓦=2,b3=2b2,

???2q2—2-2q,解得q=2,

1n

bn=2-2"-=2,

???an+bn=n+2”,

；?〃=(1+2+3+…+n)+(2+22+…+2n)

_n(l+n)2(l-2n)

——2~+1-2

=等3+2"1一2.

【解析】(I)由題意解得d=l,代入等差數(shù)列的通項公式即可求解；

(11)由題意解得勺=2,代入等比數(shù)列的通項公式求得%=2%利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和

公式即可求解.

本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和求和公式，屬于中檔題.

18.【答案】解：(I)由拋物線C：y2=以的方程可得焦點尸(1,0),準(zhǔn)線方程為％=-1；

(口)由(1)可得?(1,0),

若選條件①：直線I的斜率為1,則直線I的方程為y=%-1,設(shè)4(x1,yi)，8。2,%)，

聯(lián)立整理可得：x2-6x-l=0,

顯然/>0成立，且與+外=6,

由拋物線的性質(zhì)可得=XI+%2+P=6+2=8；

若選條件②：線段AB的中點為M(3,2),設(shè)A(%i，%),8(%2，%)，

則”建=3,=2,即％1+冷=6,

因為直線2過焦點F的弦長|4B|=%i+%2+p=6+2=8,

所以弦長|4B|=8.

【解析】(I)由拋物線的方程可得焦點坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；

(□)若選條件①，可得直線I的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可得兩根之和，由拋物線的性質(zhì)可得

弦長|4B|的值；若選條件②，由中點坐標(biāo)，可得4B的橫坐標(biāo)之和，由拋物線的性質(zhì)可得|4B|的

值.

本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用及直線與平溫馨的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

19.【答案】(I)證明：因為4BCD-&8傳1。1是長方體，

所以為的=BC且BiQ〃BC,

可得四邊形&C1BC是平行四邊形，

所以GD〃2Bi，

又CiDC平面4B1E,

ABiu平面

所以GO〃平面

(口)解:建系如圖，71(0,0,0),E(0,U),當(dāng)(1,0,2),

AE=(0,1,1).福=(1,0,2),

令記=

因為荏?記=0,福?布=0，所以記是平面4/E的法向量，

平面為B1CW1的法向量是元=(0,0,1),

所以平面明芯與平面&BCD1夾角的余弦值為|韶|=4=容

(五)解：G(l,l,2),宿=(1,1,2),

點G到平面4B1E的距離d=且鬻=缺薩1=號

所以點G到平面ABiE的距離”

6

【解析】(I)利用線面平行的判定定理即可證明；

(n)用向量數(shù)量積計算兩平面所成角余弦值；

(m)用向量數(shù)量積點G到平面力的距離.

本題考查了直線與平面的位置關(guān)系，考查了兩平面夾角計算問題，考查了直線與平面成角問題,

屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）由橢圓。：★+胃=1（（1>0/>0）以及。=2匕，

.?.磊+，=1,又橢圓過點P（2,l）,

41

???777+77=1,解得/=2,???M=8,???Q=2&,c=V6

4bb

橢圓C的方程為1+4=1，離心率e=多

822

（II）vk0P=又直線OP與直線［平行，.,.設(shè)直線，的方程為y=gx+m,例（勺,乃），2（上,力），

由丫一/+771,消去y得2/+4mx+4m2—8=0,

x2+4y2=8

??.%i+x2=_2m,Axrx2=27n2-4,直線MP的方程為y-1=一2），

令y=0得T=2-

故點E（2一片,0）,同理可得F（2-冷,0）,

???E,尸都在y軸右側(cè)，

??.|四+|。尸|=|2-言|+|2—言|=2-需+2—言

__（2一巧）（1一、2）+（2-%2）（1-yp—A_（2_%］）（1一血一?2）+（2-%2）（1-血一扛1）

=（l-yi）（l-y2）=（l-yi）（l-y2）

_A_4（1_m）_（1_771）（勺+%2）-（%］+%2）+%1工2—A—4（1一7幾）一（1一7九）（一2血）-2772+262-4一“?！抗?、

一（1-力）（1-丫2）—4（1-%）（1-為）一世正值）.

【解析】（I）由已知可得磊+/=1,橢圓過點P（2,l）,可求b,進(jìn)而可求橢圓C的方程和離心率；

（II）設(shè)直線2的方程為y=|x+zn,M（xi，yi）,做&方），聯(lián)立方程組可得與+x2=-2m,■-x1x2=

2m2-4,直線MP的方程為y—1=蕓（％-2）,可得E點的坐標(biāo)，同理可得F的坐標(biāo)，進(jìn)而計算

可得|0E|+|0F|為定值.

本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬

中檔題.

21.【答案】解：（I）若無窮遞增數(shù)列｛冊｝的前四項是1,2,3,5,

由<4,a；>4,其中1<i<j<4,a3=3<4,a4=5>4,

則%-3,c4—4；

（口）若｛即｝是無窮等比數(shù)列，%=1，公比q是大于1的整數(shù),

若q=2,則｛an｝：1,2,4,8,16,32,%為滿足心<3的所有i中的最大值，即為壇=2,

同理可得/