2024屆福建省三明市A片區(qū)高中聯(lián)盟校數(shù)學高一下期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆福建省三明市A片區(qū)高中聯(lián)盟校數(shù)學高一下期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．中，下列結論：①若，則，②，③，④若是銳角三角形，則，其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．在中，分別為角的對邊，若，且,則邊=()A． B． C． D．3．設，若關于的不等式在區(qū)間上有解，則（）A． B． C． D．4．設為等差數(shù)列的前n項和，若，則使成立的最小正整數(shù)n為（）A．6 B．7 C．8 D．95．點，，直線與線段相交，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．或C． D．或6．已知函數(shù)的圖像關于直線對稱，則可能取值是().A． B． C． D．7．等差數(shù)列中，則（）A．8 B．6 C．4 D．38．已知、是球的球面上的兩點，，點為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為()A． B． C． D．9．如圖，是圓的直徑，，假設你往圓內隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為（）A． B． C． D．10．下列命題中正確的是（）A．如果兩條直線都平行于同一個平面，那么這兩條直線互相平行B．過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直C．如果一條直線平行于一個平面內的一條直線，那么這條直線平行于這個平面D．如果兩條直線都垂直于同一平面，那么這兩條直線共面二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．如圖，在正方體中，點P是上底面（含邊界）內一動點，則三棱錐的主視圖與俯視圖的面積之比的最小值為______.12．在空間直角坐標系中，點關于原點的對稱點的坐標為______．13．已知圓錐的高為，體積為，用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的圓臺體積是，則該圓臺的高為_______.14．在ΔABC中，角A,B,C所對的對邊分別為a,b,c，若A=30°，a=7，b=215．化簡：______.（要求將結果寫成最簡形式）16．數(shù)列中，，則____________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，成等差數(shù)列，分別為的對邊，并且，，求.18．（1）已知圓經過和兩點，若圓心在直線上，求圓的方程；（2）求過點、和的圓的方程.19．已知圓,直線（1）求證：直線過定點；（2）求直線被圓所截得的弦長最短時的值；（3）已知點，在直線MC上（C為圓心），存在定點N（異于點M），滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)，試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數(shù)．20．如圖，四面體中，分別是的中點，，.（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．21．如圖，三棱錐中，，、、、分別是、、、的中點.（1）證明：平面；（2）證明：四邊形是菱形

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

根據正弦定理與誘導公式，以及正弦函數(shù)的性質，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】①在中，因為，所以，所以，故①正確；②，故②正確；③，故③錯誤；④若是銳角三角形，則，均為銳角，因為正弦函數(shù)在上單調遞增，所以，故④正確；故選C【點睛】本題主要考查命題真假的判定，熟記正弦定理，誘導公式等即可，屬于?？碱}型.2、B【解析】

由利用正弦定理化簡，再利用余弦定理表示出cosA，整理化簡得a2b2+c2，與，聯(lián)立即可求出b的值．【詳解】由sinB＝8cosAsinC，利用正弦定理化簡得：b＝8c?cosA，將cosA代入得：b＝8c?，整理得：a2b2+c2，即a2﹣c2b2，∵a2﹣c2＝3b，∴b2＝3b，解得：b＝1或b＝0（舍去），則b＝1．故選B【點睛】此題考查了正弦、余弦定理，熟練掌握定理,準確計算是解本題的關鍵，是中檔題3、D【解析】

根據題意得不等式對應的二次函數(shù)開口向上，分別討論三種情況即可．【詳解】由題意得：當當當綜上所述：,選D.【點睛】本題主要考查了含參一元二次不等式中參數(shù)的取值范圍．解這類題通常分三種情況：．有時還需要結合韋達定理進行解決．4、C【解析】

利用等差數(shù)列下標和的性質可確定，，，由此可確定最小正整數(shù).【詳解】且，使得成立的最小正整數(shù)故選：【點睛】本題考查等差數(shù)列性質的應用問題，關鍵是能夠熟練應用等差數(shù)列下標和性質化簡前項和公式.5、B【解析】

根據，在直線異側或其中一點在直線上列不等式求解即可.【詳解】因為直線與線段相交，所以，，在直線異側或其中一點在直線上，所以，解得或，故選B.【點睛】本題主要考查點與直線的位置關系，考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎題.6、D【解析】

根據正弦型函數(shù)的對稱性，可以得到一個等式，結合四個選項選出正確答案.【詳解】因為函數(shù)的圖像關于直線對稱，所以有，當時，，故本題選D.【點睛】本題考查了正弦型函數(shù)的對稱性，考查了數(shù)學運算能力.7、D【解析】

設等差數(shù)列的公差為，根據題意，求解，進而可求得，即可得到答案.【詳解】由題意，設等差數(shù)列的公差為，則，即，又由，故選D.【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式的應用，其中解答中設等差數(shù)列的公差為，利用等差數(shù)列的通項公式化簡求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.8、A【解析】

當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，利用三棱錐體積的最大值為，求出半徑，即可求出球的表面積．【詳解】如圖所示，當點位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，.因此，球的表面積為.故選：A.【點睛】本題考查球的半徑與表面積的計算，確定點的位置是關鍵，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.9、B【解析】

先根據條件計算出陰影部分的面積，然后計算出整個圓的面積，利用幾何概型中的面積模型即可計算出對應的概率.【詳解】設圓的半徑為，因為，所以，又因為，所以落到陰影部分的概率為.故選：B.【點睛】本題考查幾何概型中的面積模型的簡單應用，難度較易.注意幾何概型的常見概率公式：.10、D【解析】

利用定理及特例法逐一判斷即可?！驹斀狻拷猓喝绻麅蓷l直線都平行于同一個平面，那么這兩條直線相交、平行或異面，故A不正確；過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直，不正確．反例：如果該直線本身就垂直于已知平面的話，那么可以找到無數(shù)個平面與已知平面垂直，故B不正確；如果這兩條直線都在平面內且平行，那么這直線不平行于這個平面，故C不正確；如果兩條直線都垂直于同一平面，則這兩條直線平行，所以這兩條直線共面，故D正確．故選：D．【點睛】本題主要考查了線線平行的判定，面面垂直的判定，線面平行的判定，線面垂直的性質，考查空間思維能力，屬于中檔題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

設正方體的棱長為，求出三棱錐的主視圖面積為定值，當與重合時，三棱錐的俯視圖面積最大，此時主視圖與俯視圖面積比值最小.【詳解】設正方體的棱長為，則三棱錐的主視圖是底面邊為，高為的三角形，其面積為，當與重合時，三棱錐的俯視圖為正方形，其面積最大，最大值為，所以，三棱錐的主視圖與俯視圖面積比的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查了空間幾何體的三視圖面積計算應用問題，屬于基礎題.12、【解析】

利用空間直角坐標系中，關于原點對稱的點的坐標特征解答即可.【詳解】在空間直角坐標系中，關于原點對稱的點的坐標對應互為相反數(shù)，所以點關于原點的對稱點的坐標為.故答案為：【點睛】本題主要考查空間直角坐標系中對稱點的特點，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.13、【解析】設該圓臺的高為，由題意，得用平行于圓錐底面的平面截圓錐，得到的小圓錐體積是，則，解得，即該圓臺的高為3.點睛：本題考查圓錐的結構特征；在處理圓錐的結構特征時可記住常見結論，如本題中用平行于圓錐底面的平面截圓錐，截面與底面的面積之比是兩個圓錐高的比值的平方，所得兩個圓錐的體積之比是兩個圓錐高的比值的立方．14、32或【解析】

由余弦定理求出c，再利用面積公式即可得到答案?！驹斀狻坑捎谠讦BC中，A=30°，a=7，b=23，根據余弦定理可得：a2=b所以當c=1時，ΔABC的面積S=12bcsinA=32故ΔABC的面積等于32或【點睛】本題考查余弦定理與面積公式在三角形中的應用，屬于中檔題。15、【解析】

結合誘導公式化簡，再結合兩角差正弦公式分析即可【詳解】故答案為：【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡，誘導公式的使用，屬于基礎題16、1【解析】

利用極限運算法則求解即可【詳解】故答案為：1【點睛】本題考查數(shù)列的極限，是基礎題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、或.【解析】

先算出，從而得到，也就是，結合面積得到，再根據余弦定理可得，故可解得的大小.【詳解】∵成等差數(shù)列，∴，又，∴，∴.所以，所以，①又，∴.②由①②，得，，而由余弦定理可知∴即.③聯(lián)立③與②解得或，綜上，或.【點睛】三角形中共有七個幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道其中的三個量（除三個角外），可以求得其余的四個量.（1）如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；（2）如果知道兩邊即一邊所對的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三條邊）；（3）如果知道兩角及一邊，用正弦定理.18、（1）；（2）【解析】

（1）由直線AB的斜率，中點坐標，寫出線段AB中垂線的直線方程，與直線x-2y-3=0聯(lián)立即可求出交點的坐標即為圓心的坐標，再根據兩點間的距離公式求出圓心到點A的距離即為圓的半徑，根據圓心坐標與半徑寫出圓的標準方程即可；（2）設圓的方程為，代入題中三點坐標，列方程組求解即可【詳解】（1）由點和點可得，線段的中垂線方程為．∵圓經過和兩點，圓心在直線上，∴，解得，即所求圓的圓心，∴半徑，所求圓的方程為；（2）設圓的方程為，∵圓過點、和，∴列方程組得解得，∴圓的方程為．【點睛】本題考查了圓的方程求解，考查了待定系數(shù)法及運算能力，屬于中檔題．19、（1）直線過定點（2）.（3）在直線上存在定點，使得為常數(shù).【解析】分析：（Ⅰ）利用直線系方程的特征，直接求解直線l過定點A的坐標．（Ⅱ）當AC⊥l時，所截得弦長最短，由題知，r=2，求出AC的斜率，利用點到直線的距離，轉化求解即可．（Ⅲ）由題知，直線MC的方程為，假設存在定點N滿足題意，則設P（x，y），，得，且，求出λ，然后求解比值．詳解：（Ⅰ）依題意得，令且，得直線過定點（Ⅱ）當時，所截得弦長最短，由題知，，得，由得（Ⅲ）法一：由題知，直線的方程為，假設存在定點滿足題意，則設，，得，且整理得，上式對任意恒成立，且解得,說以（舍去，與重合），綜上可知，在直線上存在定點，使得為常數(shù)點睛：過定點的直線系A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0表示通過兩直線l1∶A1x＋B1y＋C1=0與l2∶A2x＋B2y＋C2＝0交點的直線系，而這交點即為直線系所通過的定點．20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）連接，由等腰三角形三線合一，可得，，再勾股定理可得，進而根據線面垂直的判定定理得到平面；（2）根據等積法可得，結合（1）中結論，可得即為棱錐的高，代入棱錐的體積公式，可得答案．【詳解】證明：（1）連接．，，．，為中點，，，為中點，，,在中，，，，，，即．又，，平面平面.（2）等邊的面積為,為中點而，.【點睛】本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積公式，熟練掌握空間直線與直線垂直、直線與平面垂直之間的轉化關系是解答的關鍵，屬于中檔題.2