2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè) 期末復(fù)習(xí)綜合題

期末綜合題一、單選題1．平面上三個(gè)力，，作用于一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，，，與的夾角為，則大小為（

）A． B．4N C． D．2．在中，若，，，則可能是（

）A．135° B．105°或15° C．45°或135° D．15°3．在中，，，，則的面積為（）A． B． C． D．4．若，則（

）A． B．C． D．5．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)和表示的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則復(fù)數(shù)z＝（

）A． B． C． D．6．已知，其中，i為虛數(shù)單位，則以為根的一個(gè)一元二次方程是（

）A． B． C． D．7．如圖，四邊形的斜二測(cè)畫法直觀圖為等腰梯形．已知，，則下列說法正確的是（）A． B．C．四邊形的周長(zhǎng)為 D．四邊形的面積為8．已知是球O表面上不同的點(diǎn)，平面，，，，若球的體積為，則（

）A． B．1 C． D．9．如圖1，水平放置的直三棱柱容器中，，，現(xiàn)往內(nèi)灌進(jìn)一些水，水深為2．將容器底面的一邊AB固定于地面上，再將容器傾斜，當(dāng)傾斜到某一位置時(shí)，水面形狀恰好為三角形，如圖2，則容器的高h(yuǎn)為（

）

A．3 B．4 C． D．610．如圖，在直三棱柱中，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，N為棱上的中點(diǎn)，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，過N作平面ABM的垂線段，垂足為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)O的軌跡長(zhǎng)度為（

）

A． B．C． D．11．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米2020石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得255粒內(nèi)夾谷29粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（

）A．222石 B．220石 C．230石 D．232石12．某地發(fā)起“尋找綠色合伙人——低碳生活知識(shí)競(jìng)賽”活動(dòng)，選取了人參與問卷調(diào)查，將他們的成績(jī)進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組為左閉右開的區(qū)間），得到如圖所示的頻率分布直方圖，且成績(jī)落在的人數(shù)為10，則（

）

A．60 B．80 C．100 D．12013．從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中，任取2個(gè)數(shù)求和，若“這2個(gè)數(shù)的和大于4”為事件，“這2個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)”為事件，則和包含的樣本點(diǎn)數(shù)分別為（

）A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，114．口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，事件“取出的2球至少有一個(gè)白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷中正確的是（

）A． B．C． D．二、填空題15．化簡(jiǎn).16．若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，則.17．已知x、，若，則．18．如果都是實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程有一個(gè)根，則19．在正方體中，和分別是棱和棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是．20．如圖，在幾何體ABCFED中，，，，側(cè)棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，，，，則該幾何體的體積為.21．在對(duì)北師大貴陽(yáng)附中高一學(xué)生體重的調(diào)查中，采用按樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生30人，其平均數(shù)和方差分別為55和15，抽取了女生20人，其平均數(shù)和方差分別為45和20．則總樣本的平均數(shù)為，總樣本的方差為．22．某校辯論賽小組共有5名成員，其中女生比男生多，現(xiàn)要從中隨機(jī)抽取2名成員去參加外校交流活動(dòng)，若抽到一男一女的概率為，則抽到2名男生的概率為.三、解答題23．如圖，在中，，E是AD的中點(diǎn)，設(shè)，．

(1)試用，表示，；(2)若，與的夾角為，求．24．設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為，且A，E，C三點(diǎn)共線.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)，若A，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo).25．如圖，在三棱柱中，側(cè)面均為正方形，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為與交點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.26．已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，軸截面等腰三角形的頂角為，若的面積為．(1)求該圓錐的側(cè)面積；(2)求該圓錐的內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值；(3)求圓錐的內(nèi)切球體積．27．某城市戶居民的月平均用電量單位：度，以，，，分組的頻率分布直方圖如圖．(1)求直方圖中的值；(2)在這戶居民中，月平均用電量不低于度的有多少戶？(3)在月平均用電量為，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，則月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取多少戶？28．某校對(duì)2023年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取100名學(xué)生，將分?jǐn)?shù)按照，，，，，分成6組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求頻率分布直方圖中的值；(2)估計(jì)該校高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)考試成績(jī)的中位數(shù)；(3)為了進(jìn)一步了解學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情況，在成績(jī)位于和的兩組中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再?gòu)倪@5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生至少有1人成績(jī)?cè)趦?nèi)的概率.參考答案：1．C由題意得，所以.2．B由正弦定理可得，故，故，而，故或，故或，3．B在中，因?yàn)?，，，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，則.4．C由題得，所以．5．B由題意可得對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以.6．A因?yàn)椋?，所以，所以，因此所選方程的兩根為，僅有符合要求，7．D對(duì)于B：如圖過作交于點(diǎn)，由等腰梯形且，又，，可得是等腰直角三角形，即，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A：還原平面圖如下圖，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C：過作交于點(diǎn)，則，由勾股定理得，故四邊形的周長(zhǎng)為：，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D：四邊形的面積為：，即D正確.8．B因?yàn)槠矫?，，所以四面體的外接球半徑等于以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)的外接球，又球的體積為，即，所以，所以，所以.9．A在圖1中水的體積，在圖2中水的體積，所以．10．A取AB中點(diǎn)P，連接PC，，如圖：

因?yàn)?，，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，過N作，又平面平面，平面，所以平面，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，O點(diǎn)是以PN為直徑的圓Q（部分），當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)時(shí)，O點(diǎn)到最高點(diǎn)，此時(shí)，，，所以，從而，所以弧長(zhǎng)，即點(diǎn)O的軌跡長(zhǎng)度為.11．C根據(jù)米255粒內(nèi)夾谷29粒，則頻率為，則這批米內(nèi)夾谷約為（石）.12．C由圖可知，，解得，則成績(jī)?cè)诘念l率為，由，得.13．C從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中，任取2個(gè)數(shù)求和，則試驗(yàn)的樣本空間．其中事件包含的樣本點(diǎn)有：，，，共4個(gè)．事件包含的樣本點(diǎn)有：，共2個(gè)．所以事件包含的樣本點(diǎn)有：，，，，共5個(gè)；事件包含的樣本點(diǎn)有：共1個(gè)．14．C設(shè)紅球?yàn)椋浊驗(yàn)?，黃球?yàn)?，其中任取兩個(gè)球的所有樣本點(diǎn)包含，共15個(gè)，事件所包含的樣本點(diǎn)為，共4個(gè)，所以，故A錯(cuò)誤；表示取到的2個(gè)球，一個(gè)黃球一個(gè)白球，包含的樣本點(diǎn)有，共6個(gè)，所以，故B錯(cuò)誤；事件是含有1個(gè)白球與含有兩個(gè)白球的兩個(gè)互斥事件和，事件是含有1個(gè)白球或沒有白球的兩個(gè)互斥事件和，事件是必然事件，因此，故C正確；事件與是對(duì)立事件，所以，故D錯(cuò)誤.15．故答案為：16．2或5由題意，平面向量，，兩兩的夾角相等，包括兩種情況，可得兩兩夾角為或兩兩夾角為，當(dāng)兩兩夾角為時(shí)，可得，則；當(dāng)兩兩夾角為時(shí)，可得，則．故答案為：2或5.17．2由題意，得，所以.故答案為：2.18．因?yàn)闉殛P(guān)于的方程的一個(gè)根，所以為關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，解得，，所以.故答案為：.19．連接，如圖，

因?yàn)楹头謩e是棱和棱的中點(diǎn)，所以，故為直線與直線所成角，易得，即為正三角形，故，所以直線與直線所成角為.故答案為：.20．在上取點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使得，連接，又由已知側(cè)棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，得，即，故四邊形與四邊形都為平行四邊形，所以，，又平面，且平面，則平面，同理，平面，，平面，平面，故平面平面，且平面，則幾何體為直三棱柱.因?yàn)?，，，所以，所以是以為直角的直角三角形，，由?cè)棱AE垂直于底面ABC，得，，平面，且平面，故平面，則平面，又，，則多面體是四棱錐，且高為，又，則，四邊形為直角梯形，所以幾何體是由三棱柱和四棱錐組合而成的，，，所以該幾何體的體積為.故答案為：.21．5141總樣本的平均數(shù)為，總樣本的方差為.故答案為：51，4122．/由題可知，5名成員中有4女1男或3女2男，若5名成員中有4女1男，設(shè)4名女生分別入，1名男生為B，則隨機(jī)抽取2名成員的所有情況為：共10種情況，抽到一男一女的情況為:共4種情況，所以抽到一男一女的概率為，不符合題意；若5名成員中有3女2男，設(shè)3名女生分別為，2名男生分別為，則隨機(jī)抽取2名成員的所有情況為：共10種情況，抽到一男一女的情況為：共6種情況，此時(shí)抽到一男一女的概率為，符合題意，則抽到2名男生的情況為，只有1種情況，所以抽到2名男生的概率為.故答案為：。23．(1)，(2)（1）因?yàn)?，所以，所?因?yàn)镋是AD的中點(diǎn)，所以.（2）因?yàn)椋c的夾角為，所以，由（1）知，，，所以.24．(1)(2)(3)（1）復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量，，因?yàn)锳，E，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)k，使得，所以，解得，；（2）；（3）因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，所以，設(shè)，則，因?yàn)椋?，解得，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為.25．(1)證明見解析.(2)（1）由題意，在三棱柱中，側(cè)面均為正方形，，，若是的交點(diǎn)，又為正方形，則為的中點(diǎn)，

在中，,又面面，∥平面（2）由題意，四邊形均為正方形，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，∴，是等腰直角三角形，,,而,則,又,.由，則，又，若到平面的距離為，,可得26．(1)(2)(3)（1）設(shè)圓錐母線長(zhǎng)、底面半徑分別為、，由圓錐的軸截面為等腰三角形且頂角為，則，解得，又，所以，又因?yàn)榈拿娣e為，∴，解得（負(fù)值舍去），又，所以，∴圓錐的側(cè)面積．（2）作出軸截面如下所示：設(shè)圓柱底面半徑，即，由（1）可知，則，又圓錐的高，所以，即圓柱的高為，所以圓錐內(nèi)接圓柱的側(cè)面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以圓錐內(nèi)接圓柱的側(cè)面積的最大值為.（3）作出軸截面如圖所示：根據(jù)圓錐的性質(zhì)可知內(nèi)切球球心在上，設(shè)球心為，切于點(diǎn)，設(shè)內(nèi)切球半徑為，即，則，所以，由（1）可知，圓錐的高，，則有，解得，所以圓錐的內(nèi)切球的體積.27．(1)；(2)55；(3).（1）由頻率分布直方圖，得，解得，所以直方圖中x的值是.（2）月平均用電量為的用戶有戶，月平均用電量為的用戶有戶，月平均用電量為的用戶有戶，月平均用電量為的用戶有戶，所以月平均用電量不低于度的有戶.（3）由（2）可知，抽取比例為，所以月平均用電量在的用戶中應(yīng)抽取戶．28．(1)(2)97.5(3)（1）由，可得.（2）由（1）知樣本數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)考試成績(jī)90分以下的所占比例為，1