強化訓練二：導數(shù)應用的經(jīng)典題型歸納（單調(diào)性、不等式、零點、恒成立） -高二數(shù)學精講與精練高分突破（蘇教版2019選擇性必修第一冊）（解析版）

第第頁強化訓練二：導數(shù)應用的經(jīng)典題型歸納（單調(diào)性、不等式、零點、恒成立）【題型歸納】題型一、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題1．（2023下·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】函數(shù)定義域為，且，依題意在上恒成立，所以在上恒成立，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，且當時，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D2．（2022下·重慶璧山·高二重慶市璧山來鳳中學校?？茧A段練習）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；【答案】(1)(2)答案見解析【分析】(1)代入，求出即可求得切線方程；(2)函數(shù)求導，對分類討論，進而求得單調(diào)性.【詳解】（1）當時，，，所以，曲線在處的切線方程為.（2），①當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當時，令，則(舍)或，，當時，函數(shù)單調(diào)遞減；，當時，函數(shù)單調(diào)遞增.③當時，令，則或(舍)，，當時，函數(shù)單調(diào)遞減；，當時，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當時，函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當時，當時，函數(shù)單調(diào)遞減

當時，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，當時，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，函數(shù)單調(diào)遞增3．（2023下·山東淄博·高二校考階段練習）（1）已知函數(shù)，.在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍；（2）已知函數(shù).討論的單調(diào)性.【答案】（1）；（2）當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【分析】（1）求導后利用分離參數(shù)法即可求出的取值范圍；（2）對函數(shù)求導，分類討論不同情況時的導函數(shù)情況，即可得出的單調(diào)性.【詳解】（1）由題意，，在中，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),∴當時,恒成立,即當時,恒成立,故當時,恒成立，設(shè)，根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，則，∴當時,，解得：.∴的取值范圍是.（2）由題意，在中，當時,則,在上單調(diào)遞減.當時,由，解得.當時,；當時,.∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增，綜上，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.題型二、利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值問題4．（2022上·貴州黔東南·高二?？计谀┮阎瘮?shù)，其中．(1)若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)a；(2)若函數(shù)在上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求導得，由條件可得，求得，然后代入檢驗即可；（2）根據(jù)題意，由條件可得在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求得其最大值，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）因為函數(shù)，定義域為，且，由函數(shù)在處取得極值，可得，所以，當時，，當時，，則單調(diào)遞減，當時，，則單調(diào)遞增，所以當時，取得極小值，綜上所述，.（2）函數(shù)在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，即，又，當時，，所以在單調(diào)遞減，則，所以，則實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵.5．（2022上·陜西延安·高二?？计谀┮阎瘮?shù)在處取得極值．(1)求實數(shù)的值；(2)當時，求函數(shù)的最值．【答案】(1)(2)最小值為；最大值1【分析】（1）由題意得，代入求值即可得答案；（2）根據(jù)導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，求端點函數(shù)值，從而求出函數(shù)的最值．【詳解】（1）函數(shù)，又函數(shù)在處取得極值，所以有；所以實數(shù)的值為1.（2）由（1）可知：，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故函數(shù)在處取得極大值，因此，，，故函數(shù)的最小值為；最大值1.6．（2023下·遼寧沈陽·高二東北育才學校?？茧A段練習）已知函數(shù)，(1)討論的單調(diào)性：(2)若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求定義域，求導，分與兩種情況，進行求解；（2）參變分離，得到在上恒成立，令，，求導后再對導函數(shù)的分子求導，從而判斷出的單調(diào)性，得到的最大值，從而得到實數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）定義域為，又，當時，恒成立，故在上單調(diào)遞增，當時，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上：當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）由題意得，，變形得到在上恒成立，令，，則，令，則在上恒成立，故在單調(diào)遞減，又，故當時，，則，在上單調(diào)遞增，當時，，則，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，且，所以，故實數(shù)a的取值范圍是題型三、利用導數(shù)研究恒成立問題7．（2021下·湖北·高三校聯(lián)考階段練習）設(shè)實數(shù)，若不等式對恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把不等式進行同構(gòu)變形：，引入函數(shù)，由導數(shù)確定單調(diào)性，不等式化為，分離參數(shù)為，再引誘函數(shù)，由導數(shù)求出其最大值后可得結(jié)論．【詳解】由題意，，，設(shè)，則不等式為，∵，∴在上是增函數(shù)，∴，即，令，則，當時，遞增，時，遞減，∴，∴，故選：B．【點睛】方法點睛：有些函數(shù)不等式是混合不等式，如不等式中既有自然對數(shù)，又有以為底的指數(shù)時，我們可以把不等式變形為形式，利用的單調(diào)性化簡不等式為（或），這類方法稱為同構(gòu)，函數(shù)可稱為母函數(shù)，如，，等等，注意掌握常見的指對同構(gòu)關(guān)系：，，．8．（2023下·四川宜賓·高二?？计谥校┮阎瘮?shù)，，對任意的，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，將原問題轉(zhuǎn)化為，再利用導數(shù)研究函數(shù)、的極值、最值，即可求解.【詳解】，則，令，解得或；令，解得，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，故，任意的，都有成立，則，因為，則，當時，在單調(diào)遞增，所以，故，即(舍去)；當時，令，解得；令，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：A【點睛】不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③分類討論參數(shù).9．（2022上·云南曲靖·高二校考期末）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可得出切線方程；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為即可，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性求出其最值，即可求得的取值范圍為.【詳解】（1）易知函數(shù)的定義域為則可得切線斜率所以曲線在點處的切線方程為；（2）易知，由，得令，則由得，由得所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且函數(shù)定義域內(nèi)只有一個極值點即在處取得極大值，也是最大值，即依題意可得即可，所以；所以的取值范圍為.題型四：利用導數(shù)研究能成立問題10．（2023·四川樂山·統(tǒng)考二模）若存在，使不等式成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】等價變形給定的不等式，并令，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為存在，使得成立，再借助導數(shù)求解即得.【詳解】依題意，，令，即，由，得，令，則原問題等價于存在，使得成立，求導得，由，得，由，得，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，又，則當時，，若存在，使得成立，只需且，解得且，即，所以的取值范圍為.故選：D【點睛】思路點睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，以及數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.11．（2023下·北京·高二北京市第十二中學?？计谀┮阎瘮?shù)，若存在，使，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將題意轉(zhuǎn)化為，，令，即，對求導，求出在的最大值即可得出答案.【詳解】若存在，使，即，所以，令，，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以所以.故選：C.12．（2023上·浙江寧波·高二余姚中學?？计谥校┮阎瘮?shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)證明：當時，，使得．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用導數(shù)與極值的關(guān)系求解；（2）利用導數(shù)與單調(diào)性最值得關(guān)系證明不等式能成立問題.【詳解】（1）易知，,當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）可知，當時，在處取得最小值，若，使得，只需，令，由，可得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故當時，，所以，，使得．題型五：利用導數(shù)研究零點問題13．（2022上·江蘇揚州·高二江蘇省邗江中學校考期末）設(shè)函數(shù)，，函數(shù)有兩個零點的m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】對求導，得到的解析式，令，分參得到，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有兩個交點，求m范圍.【詳解】因為，所以，，所以，因為有兩個零點，所以有兩個大于0的根，化簡得：，令函數(shù)，，所以，當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，因為，，所以函數(shù)與的圖象有兩個交點，所以.故選：B.14．（2023下·安徽池州·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰好有6個不同實根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，令可得，再求導分和兩種情況，數(shù)形結(jié)合分析極值滿足的區(qū)間范圍，進而列式求解即可.【詳解】設(shè)，則時，，解得，要滿足題意則，且方程分別應有3個不同實根.又，①當時，單調(diào)遞增，方程不可能有3個不同實根；②當時，可得在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，則.要使原方程有6個不同實根，則；（?。┊敃r，因，故只需，解得滿足；（ⅱ）當時，只需，設(shè)，原不等式等價為，即，即.綜上得滿足條件的的取值范圍是.故選：D.15．（2022上·陜西安康·高二?？计谀┰O(shè)函數(shù)，(1)討論的單調(diào)性(2)當時，證明：若存在零點，則在區(qū)間上僅有一個零點．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）由解析式求出定義域和，化簡后對進行分類討論，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分別求出函數(shù)的增區(qū)間、減區(qū)間；（2）由（1）求函數(shù)的最小值，由條件列出不等式求出的范圍，對進行分類討論，并分別判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，求出和、判斷出符號，即可證明結(jié)論．【詳解】（1）由得，函數(shù)的定義域是，；①當時，，所以在上單調(diào)遞增，此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；②當時，由得或（舍去），當時，，當時，令，所以的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的遞減區(qū)間是，遞增區(qū)間是；（2）證明：由（1）知，當時，在上的最小值為．因為存在零點，所以，解得．當時，在上遞減，且，所以是在,上的唯一零點．當時，在上單調(diào)遞減，且，，所以在區(qū)間,上僅有一個零點．綜上可知，若存在零點，則在,僅有一個零點.題型六：利用導數(shù)研究方程的根問題16．（2021·陜西寶雞·校考二模）已知是方程的一個根，則的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】化簡方程，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導數(shù)求得，由此求得的值.【詳解】依題意，，由，得，，設(shè)單調(diào)遞增，由得，即，即，所以，所以.故選：B17．（2023下·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．|【答案】B【分析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與直線有3個不同的交點，然后對求導，求出單調(diào)區(qū)間和極值，畫出圖象可得答案.【詳解】因為關(guān)于x的方程有三個不同的實數(shù)解，所以函數(shù)的圖象與直線有3個不同的交點，由，得，當或時，，當時，，所以在和上遞增，在上遞減，所以當時，取得極小值，函數(shù)圖象如圖所示

由圖象可知當時，兩圖象有3個不同的交點，所以實數(shù)m的取值范圍是，故選：B18．（2023·四川成都·石室中學?？寄M預測）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】題設(shè)中的不等式等價于，令，結(jié)合導數(shù)可得該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得的解，從而可求實數(shù)的取值范圍.【詳解】由有意義可知，.由，得.令，即有.因為，所以，令，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得.因為，令，即，解得；令，即，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以當時，.因為存在，使得成立，所以只需且，解得.故選：.題型七：利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和圖像問題19．（2023下·浙江杭州·高二學軍中學?？茧A段練習）若關(guān)于的不等式的解集中恰有個整數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)建，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合，列式求解即可.【詳解】因為，且，可得，構(gòu)建，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，且，由題意可得，解得，所以的取值范圍是.故選：C.

20．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預測）已知函數(shù)，若方程恰有四個不等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】運用導數(shù)研究單調(diào)性及圖象趨近，進而畫出其圖象觀察即可.【詳解】因為當時，，則，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞增，，當時，，綜上，的圖象如圖所示，

因為，所以或，又因為恰有4個不等的實根，且，所以恰有3個不等的實根，即恰有3個不同的交點，所以由圖象可知，.故選：A.21．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預測）函數(shù)在區(qū)間的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)的奇偶性，發(fā)現(xiàn)是奇函數(shù)，排除C、D；觀察A、B兩項，發(fā)現(xiàn)圖像在處的增減趨勢不同，所以對函數(shù)進行求導，再把特殊值代入導函數(shù)中判斷即可.【詳解】因為，所以是奇函數(shù)，排除C、D兩項；當時，，則，所以，所以在處的切線斜率為負數(shù)，故排除A項；故選：B.題型八：利用導數(shù)研究雙變量問題22．（2023下·福建福州·高二福建省福州第一中學?？计谥校┮阎瘮?shù)，若，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)、且，結(jié)合圖象得，再利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)得，結(jié)合變形、基本不等式，即可判斷各項正誤.【詳解】，則，令，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，在上，且，，，即.綜上，的圖象如下：結(jié)合，，令，如上圖，若且，則，則不一定成立，A錯誤；又，故，則不一定成立，B錯誤；令，則，當時，，得，則；當時，，得，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，所以在R上恒成立，得，即，又，所以，由，且函數(shù)在單調(diào)遞減，得，即，D正確.又，則，即，故，C錯誤.故選：D.23．（2021下·四川成都·高二四川師范大學附屬中學?？计谥校┮阎瘮?shù)有兩個零點，，則下列說法：①函數(shù)有極大值點，且；②；③；④若對任意符合條件的實數(shù)，曲線與曲線最多只有一個公共點，則實數(shù)的最大值為.其中正確說法的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】分類討論的單調(diào)性，即可得，，的范圍，根據(jù)，得到和之間關(guān)系，構(gòu)造，，可知單調(diào)遞減，由此得到，即可判斷①；對進行變形化簡，即可判斷②；根據(jù)①中，，的范圍，即可判斷③；構(gòu)造，當時，可知單調(diào)遞減，則方程最多有一個根，當時，有兩根，由時，，只需考慮極小值，根據(jù)單調(diào)性求得極小值，進而求極小值的范圍，即可求得的范圍，即可判斷④.【詳解】解：因為，所以，當時，，在上單調(diào)遞增，則最多有一個零點，故不符合題意，舍；當時，令，解得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當，取得極大值點，即，因為有兩個零點，，所以，且有，解得，設(shè)，，所以.由，所以，由，當，所以，，所以，故單調(diào)遞減，所以在時，，因為，所以，即，因為，，在單調(diào)遞減，所以，即，故①正確；由有兩個零點，且，所以，故，所以，故②正確；由①知，，所以，故③正確；因為曲線與曲線最多只有一個公共點，所以在時最多只有一根.令，則，令，即時，，單調(diào)遞減，此時方程最多有一個根，當時，，所以有兩根，令，則，，由韋達定理，可知，故，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，當時，，所以只需考慮極小值即可，根據(jù)單調(diào)性，可知為極小值點，即，即，即，所以，由，令，則，當時，，單調(diào)遞減，所以，所以，即實數(shù)的最大值為，故④正確.故選：D．24．（2022·浙江·模擬預測）已知函數(shù)，對于任意的、，當時，總有成立，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，可知函數(shù)為上的增函數(shù)，即對任意的，，利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)，由可得出，即，令，其中，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，則，則，令，其中，，令，其中，所以，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，所以，存在，使得，則，令，其中，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因為，，所以，，由可得，所以，，可得，且當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，.故選：A.題型九：利用導數(shù)研究實際問題25．（2023下·四川遂寧·高二射洪中學校考階段練習）已知一長方體紙箱（有蓋），底面為邊長為的正方形，高為，表面積為12，當該紙箱的體積最大時，其底面邊長為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)長方體的表面積列方程，由此化簡長方體的體積，利用導數(shù)求得體積最大時對應的底面邊長.【詳解】依題意，，由解得，所以長方體的體積，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增；在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以當時，長方體的體積取得最大值.故選：B26．（2023下·四川綿陽·高二統(tǒng)考期中）當下，網(wǎng)校教學越來越受到廣大學生的喜愛，它已經(jīng)成為學生課外學習的一種趨勢，假設(shè)某網(wǎng)校套題的每日銷售量（單位：千套）與銷售價格（單位：元/套）滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù)．已知當銷售價格為元/套時，每日可售出千套．假設(shè)該網(wǎng)校的員工工資、辦公損耗等所有開銷折合為每套題元（只考慮售出的套數(shù)），要使得該網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大，則銷售價格應確定為（

）A．元/套 B．元/套 C．元/套 D．元/套【答案】B【分析】根據(jù)題意確定的值，然后求出該網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤的解析式，利用導數(shù)求解最大值即可.【詳解】因為當時，，所以，解得.每日的銷售量，所以該網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤為，從而，令，得.在區(qū)間上，單調(diào)遞增；在區(qū)間上，單調(diào)遞減；在區(qū)間上，單調(diào)遞增，而，因為，所以當時，該網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大.故選：B.27．（2023下·湖北武漢·高二武漢市第十一中學校聯(lián)考期末）已知正三棱錐的高為，且，其各個頂點在同一球面上，且該球的表面積為，則該三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)底面三角形的邊長為a，在中，利用勾股定理得到h和a的關(guān)系，得到三棱錐的體積，再利用導數(shù)法求解最值.【詳解】解：因為外接球的表面積為，所以外接球的半徑為，如圖所示：

設(shè)底面三角形的邊長為a，且為等邊三角形的中心，則，在中，，解得，所以，則，令，得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值為，故選：A.題型十、利用導數(shù)研究不等式問題28．（2022上·貴州遵義·高二校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，且函數(shù)的極小值為0．(1)求函數(shù)的解析式；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）求出導數(shù)，由題意可得和1是方程的兩根，將和1代入即可求解；（2）構(gòu)造新函數(shù)，將原不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)最小值大于零，求導，通過單調(diào)性求新函數(shù)的最小值.【詳解】（1）定義域：，的減區(qū)間上為減函數(shù)，是方程的兩根，，所以，令可求單調(diào)遞增區(qū)間為和，令可求單調(diào)遞減區(qū)間為，又的極小值為，.（2）令，顯然，是的一個根，下面我們討論方程是否有其他根，令，的范圍的符號0單調(diào)性極小值方程有且只有一個根，的減區(qū)間為，增區(qū)間為，，.29．（2023下·福建·高二校聯(lián)考期中）已知函數(shù)在時取得極小值為(1)求的值；(2)令，證明：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）利用極值點和極值列方程組求解即可；（2）研究的極小值點需要滿足的關(guān)系，將的極小值用含有的式子表達后進行求解.【詳解】（1），由得，解得，經(jīng)檢驗知：當時在時取得極小值為，；（2）由（1）知，則，，記，由得，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以在上有唯一零點，即存在唯一使得，且時，即在單調(diào)遞減；時即在上單調(diào)遞增，所以極小值為：，又由得，所以，又在單調(diào)遞減，所以，即，所以.30．（2019下·廣東深圳·高二深圳市龍崗區(qū)龍城高級中學?？计谥校┮阎瘮?shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)令，若正實數(shù)滿足，求證：.【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)證明見解析.【分析】（1）先根據(jù)函數(shù)的解析式寫出定義域和；再根據(jù)導函數(shù)的正負號確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.（2）先寫出的解析式，由得到；再利用換元法、構(gòu)造函數(shù)，并求出的值域；最后建立關(guān)于的不等式求解即可.【詳解】（1）由可得：函數(shù)定義域為，.令，得；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由題意得.，整理得：，即..令（是正實數(shù)），則.令，得；令，得，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為.，即函數(shù)的值域為.，,因為是正實數(shù)，所以.【專題強化】一、單選題31．（2023下·四川眉山·高二?？茧A段練習）已知向量，，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用向量的數(shù)量積公式，利用函數(shù)的單調(diào)性的導數(shù)符號的關(guān)系，進而將問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值即可求解.【詳解】因為，，所以.，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，即，令，，則由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，即，所以的取值范圍是.故選：A.32．（2023下·廣東深圳·高二蛇口育才中學?？茧A段練習）已知函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為在上有解，然后分離參數(shù)即可求解.【詳解】因為函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以在上有解，且，所以，，令，則，當時，，則函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，則函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以當時，由最大值，即.故選：D33．（2023下·江蘇蘇州·高二江蘇省蘇州第一中學校校考階段練習）已知函數(shù)有3個不同的零點，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】求得，得出函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合有3個不同的零點，列出不等式，即可求解．【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得或，令，解得或；令，解得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又由，，要使有3個不同的零點，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：D．34．（2023下·四川廣元·高二廣元中學校考期中）已知函數(shù)，對于任意，，，有，則實數(shù)的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得對于任意，，，有，令，則對于任意，，，有在上單調(diào)遞增，即對于任意，，進而可得答案．【詳解】因為對于任意，，，有，所以對于任意，，，有，令，對于任意，，，有在上單調(diào)遞增，所以對于任意，，，令，當，即時，，所以要使得在上恒成立，需要，即，，無解，當，即時，，所以要使得在上恒成立，需要，即，化簡得，解得，又a>1綜上所述，實數(shù)的取值范圍為．故選：A【點睛】利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，可先化簡要研究的不等式，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的范圍，由此來求得結(jié)果.當導函數(shù)含有參數(shù)時，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論要做到不重不漏.35．（2023下·河南許昌·高二?？计谥校┮阎獙θ我獾模坏仁胶愠闪?，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對已知不等式進行變形，通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導數(shù)的性質(zhì)、常變量分離法進行求解即可.【詳解】因為，所以①，令，則，設(shè)，所以，當時，，當x>1時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以在單調(diào)遞增，因為①式可化為，所以，所以，令，則，當時，，當時，，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以，故選：C.36．（2023下·河北石家莊·高二?？茧A段練習）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合的圖象，通過求切線方程的方法來求得的取值范圍.【詳解】畫出的圖象如下圖所示，（1）設(shè)直線與的圖象相切于點，如圖，當時，由解得，即，即切點，則，切線方程為.（2）設(shè)直線與的圖象相切于點，如圖，當時，由解得，即，即切點，則，切線方程為.綜上所述，結(jié)合圖象可知的取值范圍是.故選：D

【點睛】方法點睛：利用導數(shù)求解曲線的切線方程，情況有兩種，一種是已知切點的，另一種是已知斜率的，不管是哪種情況，關(guān)鍵點都是兩個，一個是切點，一個是斜率，切點既在切線上，也在曲線上，斜率可由切線方程得到，也可以由導數(shù)得到.37．（2023下·上海浦東新·高二?？计谥校╆P(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）①是的極大值點；②函數(shù)有且只有1個零點；③存在正實數(shù)k，使得成立；④對任意兩個正實數(shù)，且，若，則．A．①④ B．②④ C．②③ D．③④【答案】B【分析】對于①：求導，利用導數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而可得極值點；對于②：構(gòu)建，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理分析判斷；對于③：整理得，構(gòu)建，利用導數(shù)分析其單調(diào)性，進而可得結(jié)果；對于④：分析可得原題意等價于即證，令，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，進而分析判斷.【詳解】對于①：由題意可得：函數(shù)的定義域為，且，當時，0；當時，；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以是的極小值點，故①錯誤；對于②：令，則函數(shù)的定義域為，且恒成立，可知在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)有且只有1個零點，故②正確；對于③：若，整理得，令，則，令，則，令，解得；令，解得；則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，即，所以在上單調(diào)遞減，且當趨近于時，趨近于，所以不存在正實數(shù)，使得恒成立，故③錯誤；對于④：由①可知：若，則，要證，即證，且在上單調(diào)遞增，即證，又因為，所以證，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，④正確；故選：B.【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．38．（2023下·福建廈門·高二廈門外國語學校?？计谀┮阎瘮?shù)，若，且，則·c的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象得到且，進而求得的取值范圍.【詳解】由函數(shù)，當時，可得，可得，所以在上單調(diào)遞減，且；當時，可得，可得，所以在上單調(diào)遞增，且；當時，在單調(diào)遞減，且，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：若，且，則且，所以.故選：B.

二、多選題39．（2023下·重慶榮昌·高二重慶市榮昌中學校?？计谥校τ诤瘮?shù)，下列說法正確的有（）A．的單調(diào)遞增區(qū)間為 B．在處取得最大值C．有兩個不同零點 D．【答案】BD【分析】利用導數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間、最值、零點以及比較函數(shù)值的大小.【詳解】的定義域是，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A選項錯誤，在處取得最大值，B選項正確，在上單調(diào)遞增，當時，，所以沒有兩個零點，C選項錯誤，在上單調(diào)遞減，所以，，，所以，所以，，所以，所以，所以D選項正確.故選：BD40．（2023下·河南鄭州·高二?？茧A段練習）對于函數(shù)的描述，下列說法不正確的是（

）A．函數(shù)存在唯一的零點 B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增 D．函數(shù)的值域為R【答案】ABD【分析】求出函數(shù)的定義域，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)的零點及單調(diào)性即可判斷選項A，B，C選項，利用最值以及函數(shù)值即可判斷選項D．【詳解】對于A，由題意函數(shù)，定義域為，無解,A錯誤；又，當或時，，故函數(shù)在和上單調(diào)遞減，當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，B錯誤，C正確；當時，，又,，當時，，所以，故函數(shù)的值域不為R，故D錯誤.故選：ABD．41．（2023下·吉林長春·高二長春外國語學校校考期中）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．函數(shù)有極小值B．函數(shù)在處切線的斜率為4C．當時，恰有三個實根D．若時，，則的最小值為2【答案】AD【分析】求導，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象判斷ACD，利用導數(shù)的幾何意義判斷B.【詳解】由題意可得：，令，解得；令，解得或；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可知的極大值為，極小值為，且當x趨近于，趨近于，當x趨近于，趨近于，可得的圖象如下：

對于選項A：可知的極小值為，故A正確；對于選項B：因為，所以函數(shù)在處切線的斜率為，故B錯誤；對于選項C：對于方程根的個數(shù)，等價于函數(shù)與的交點個數(shù)，由圖象可知：時，恰有三個實根，故C錯誤；對于選項D：若時，，則，所以的最小值為2，故D正確；故選：AD.42．（2023下·黑龍江牡丹江·高二牡丹江市第二高級中學校考階段練習）在函數(shù)的圖象上存在兩個不同點，使得關(guān)于直線的對稱點在函數(shù)的圖象上，則實數(shù)的取值可以是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】BC【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個不同交點，轉(zhuǎn)化為有兩個實數(shù)解，設(shè)，求得，得到函數(shù)的單調(diào)性與最值，根據(jù)函數(shù)圖象，求得的范圍，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由函數(shù)關(guān)于對稱的函數(shù)為，要使得函數(shù)的圖象上存在兩個不同點，使得關(guān)于直線的對稱點在函數(shù)的圖象上，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個不同交點，當時，兩函數(shù)只有一個交點，不合題意；當時，由方程有個實數(shù)解，即有兩個實數(shù)解，設(shè)函數(shù)，可得，令，解得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，可得，且時，，時，，結(jié)合圖象，可得，結(jié)合選項，可得可以是或.故選：BC.

43．（2023下·安徽合肥·高二合肥一中?？计谀┒x在上的函數(shù)的導函數(shù)為，對于任意實數(shù)x，都有，且滿足，則（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．C．D．不等式的解集為【答案】ABD【分析】令，結(jié)合已知及函數(shù)奇偶性的定義即可判斷A；由已知可得的解析式即可判斷B，C；將不等式進行轉(zhuǎn)化，即可求解不等式的解集，從而判斷D．【詳解】，函數(shù)定義域為R，由，有，即，函數(shù)為偶函數(shù)，故選項A正確；由，得，即，，有，得，，得，，故選項B正確；C選項錯誤；，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞遞減，且當時，，又，則不等式即為且，所以，即的解集為，故D正確．故選：ABD.三、填空題44．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高二?？茧A段練習）已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】.【分析】利用奇偶性及單調(diào)性去函數(shù)符號解一元二次不等式即可.【詳解】易知，且，即為奇函數(shù)，又，當且僅當時取得等號，故為增函數(shù)，對于，所以，故答案為：.45．（2023下·吉林長春·高二長春外國語學校?？计谥校┮阎瘮?shù)的導數(shù)為，若，，則不等式的解集為.【答案】【分析】先將不等式變形為，再構(gòu)造函數(shù)，討論出函數(shù)的單調(diào)性，即可求解．【詳解】不等式變形為，設(shè)函數(shù)，則，因為，所以在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，則，所以不等式即為，由在上單調(diào)遞增，可得，即不等式的解集為．故答案為：．【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解不等式的基本步驟(1)作差或變形；(2)構(gòu)造新的函數(shù)；(3)利用導數(shù)研究的單調(diào)性或最值；(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．46．（2023下·重慶江北·高二重慶十八中?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】因為，，結(jié)合的單調(diào)性分析可知：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點，利用切線法結(jié)合圖象分析求解.【詳解】因為，，且在上單調(diào)遞增，可知在上單調(diào)遞增，由題意可知：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點，又因為，設(shè)切點坐標為，則切線斜率，切線方程為，若切線過原點，則，解得，結(jié)合圖象可知：若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個交點，則，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.

47．（2023上·河北·高三統(tǒng)考階段練習）在同一直角坐標系中，分別是函數(shù)和圖象上的動點，若對于任意.都有恒成立.則實數(shù)的最大值為.【答案】【分析】根據(jù)題意分析可得，整理得，分析可知值域為，構(gòu)建，，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，結(jié)合恒成立問題分析求解.【詳解】因為圖象即為直線，則到直線的距離，可知：，又因為，由，可知在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且當x趨近于0時，趨近于，當x趨近于時，趨近于，所以值域為，構(gòu)建，，則，令，解得；令，解得；可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在處取得極小值，也是最小值，即，可知，可得，所以實數(shù)的最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：導函數(shù)求解取值范圍時，當函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進行求解，本題變形得到，從而構(gòu)造進行求解.四、解答題48．（2023上·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學校考期中）已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的最小值；(2)若對任意的恒成立，求整數(shù)的最大值【答案】(1)(2)【分析】（1）當時，，對求導，比較與的大小，即可得出的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的最小值；（2）由可得，令，分類討論和，結(jié)合恒成立可得答案.【詳解】（1）當時，，，令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.（2）由可得：，即，記，，若，即，，則在上單調(diào)遞增，又時，，不合題意；若，即，令，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，，則令，解得：，令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，故整數(shù)的最大值為.49．（2023上·北京·高二清華附中?？计谥校┮阎瘮?shù)，曲線在處的切線方程為．(1)求的值；(2)求函數(shù)的定義域及單調(diào)區(qū)間；(3)求函數(shù)的零點的個數(shù)．【答案】(1)(2)；遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為,；(3)1【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義列出相應的等式，即可求得答案；（2）根據(jù)函數(shù)解析式可求得其定義域；結(jié)合（1）的結(jié)果，可得函數(shù)的導數(shù)的表達式，判斷導數(shù)的正負，即可求得單調(diào)區(qū)間；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論以及零點存在定理，即可判斷函數(shù)零點個數(shù).，【詳解】（1）由函數(shù)可知其定義域為，則，故，，因為曲線在處的切線方程為，故，，解得；（2）由（1）可知，需滿足，則其定義域為；而，由于，令，解得，令，解得且，即的遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為,；（3）由（2）可知時，取得極大值，當且x無限趨近于0時，的值趨向于負無窮大，即在區(qū)間內(nèi)無零點；當且x無限趨近于0時，的值趨向于正無窮大，當且x無限趨近于1時，的值趨向于負無窮大，由此可作出函數(shù)的圖象：

結(jié)合，，可知在內(nèi)的零點個數(shù)為1.【點睛】難點點睛：解答本題的難點是判斷函數(shù)的零點個數(shù)時，要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性以及零點存在定理去判斷，特別是特殊值的選取以及正負判斷，計算比較復雜.50．（2023·山東德州·德州市第一中學校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)若在區(qū)間有2個零點，求的取值范圍．【答案】(1)當時，在處取極大值(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求導得，然后分與討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為與在區(qū)間有2個交點，求得函數(shù)的值域，即可得到結(jié)