高中二年級(jí)下學(xué)期數(shù)學(xué)《簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高二學(xué)期春季課題《簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》教科書(shū)教學(xué)目標(biāo)1.通過(guò)具體的函數(shù)實(shí)例，理解復(fù)合函數(shù)的概念，明確函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).2.掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，能夠利用求導(dǎo)法則求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的過(guò)程。教學(xué)難點(diǎn)：記憶復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的公式結(jié)構(gòu)。教學(xué)輔助手段幾何畫板軟件和多媒體.教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、情境引入.思路探索1：如何求函數(shù)y=ln分析：①能否通過(guò)導(dǎo)數(shù)定義求解？②能否通過(guò)基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式求解？③是幾個(gè)基本初等函數(shù)和（或差、積、商）結(jié)構(gòu)嗎？能否用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求解？（學(xué)生交流互動(dòng)討論）學(xué)生：現(xiàn)有方法無(wú)法求出它的導(dǎo)數(shù).（1）用定義不能求出極限；（2）不是基本初等函數(shù)，沒(méi)有求導(dǎo)公式；（3）不是基本初等函數(shù)的和、差、積、商，不能用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則解決這個(gè)問(wèn)題.【設(shè)計(jì)意圖】：提出問(wèn)題，開(kāi)門見(jiàn)山，引導(dǎo)學(xué)生探究復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。新知探究探究1：函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).若設(shè)u=2x?1如果把y與u的關(guān)系記作y=f那么這個(gè)“復(fù)合”過(guò)程可表示為若設(shè)y=f新知1：1.復(fù)合函數(shù)的概念一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)（compositefunction)，記作y＝f(g(x))【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)函數(shù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)考查學(xué)生觀察判斷能力，使學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立思考。指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系：解：函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，解：函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，（3）解：函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)，（4）解：函數(shù)可以看作函數(shù)，和的復(fù)合函數(shù)?！驹O(shè)計(jì)意圖】：對(duì)復(fù)合關(guān)系進(jìn)行運(yùn)用、鞏固。反思小結(jié)：明確函數(shù)的復(fù)合關(guān)系的策略復(fù)合函數(shù)是因變量通過(guò)中間變量表示為自變量的函數(shù)的過(guò)程，在分析時(shí)可以從外到內(nèi)，先根據(jù)外層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)找出y=f(u)；再根據(jù)內(nèi)層的主體函數(shù)結(jié)構(gòu)找出函數(shù)u=g(x),函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成y=f(g(x)).易錯(cuò)提醒:對(duì)于復(fù)合函數(shù)，中間變量應(yīng)選擇簡(jiǎn)單初等函數(shù)，判定一個(gè)函數(shù)是簡(jiǎn)單初等函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)是存在求導(dǎo)公式，即能直接求導(dǎo).探究2如何求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？以函數(shù)y=sin猜想y=sin2x的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=sin以yx'表示y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)，yu'表示y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)，ux可以先得到y(tǒng)=sinu，yu'=可以換個(gè)角度來(lái)求yxy=2[=2[=2結(jié)論：新知2：2．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一般地，對(duì)于由函數(shù)y=fu和u=gx復(fù)合而成的函數(shù)y即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積.【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)對(duì)復(fù)合函數(shù)的概念及求導(dǎo)法則的推導(dǎo)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=(3x+5)3；（2）（1）y=解：函數(shù)可以看作y=u3和y=(=3=9（2）y=解：函數(shù)可以看作y=eu和y=(==?（3）y=解：函數(shù)可以看作y=lnu和y=思路探索2：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是什么？復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是選擇中間變量，必須正確分析復(fù)合函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)怎樣的順序復(fù)合而成的，分清其間的復(fù)合關(guān)系，要善于把一部分量或式子暫時(shí)當(dāng)成一個(gè)整體，這個(gè)暫時(shí)的整體就是中間量.追問(wèn)1：你能總結(jié)求復(fù)合函數(shù)y=分層.選擇中間變量u，寫成構(gòu)成它的內(nèi)、外層函數(shù)分別求導(dǎo).求各層函數(shù)對(duì)相應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)(3)相乘.把上述求導(dǎo)的結(jié)果相乘(4）變量回代.把中間變量u回代，轉(zhuǎn)化為自變量x的函數(shù)易錯(cuò)提醒:(1)內(nèi)、外層函數(shù)通常為基本初等函數(shù).(2)求每層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意分清是對(duì)哪個(gè)變量求導(dǎo).跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：提醒1：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)熟練后，中間步驟可以省略，即不必再寫出函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，直接運(yùn)用公式，從外層開(kāi)始由外及內(nèi)逐層求導(dǎo)．提醒2：在對(duì)函數(shù)求導(dǎo)時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察及分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，緊扣求導(dǎo)法則，聯(lián)系學(xué)過(guò)的求導(dǎo)公式，對(duì)不易用求導(dǎo)法則求導(dǎo)的函數(shù)，可適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)變形，以達(dá)到化異求同、化繁為簡(jiǎn)的目的．【設(shè)計(jì)意圖】：幫助學(xué)生熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。例3.求曲線在點(diǎn)(2/3，1)處的切線方程.解∶因?yàn)樗运郧€在點(diǎn)(2/3，1)處的切線斜率所以曲線在點(diǎn)(2/3，1)處的切線方程為y-1=1×(x-2)即例4.某個(gè)彈簧振子在振動(dòng)過(guò)程中的位移y（單位：mm）與時(shí)間t（單位：s）之間的關(guān)系為y=18求函數(shù)y在t=3時(shí)的導(dǎo)數(shù)，并解釋它的實(shí)際意義.分析：可以先求函數(shù)y=18sin再將t=3代入導(dǎo)數(shù)的解析式，求出導(dǎo)數(shù)值.解：函數(shù)y=18sin?(2π3根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，有y=(18y=18=1=1y當(dāng)t=3時(shí)，yt所以，彈簧振子在3s時(shí)的瞬時(shí)速度為0【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。課堂總結(jié)1.復(fù)合函數(shù)的概念和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.2.運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，要關(guān)注中間變量的作用.（1）運(yùn)算過(guò)程中依靠中間變量識(shí)別構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的基本初等函數(shù)的結(jié)構(gòu).（2）運(yùn)算結(jié)果應(yīng)表示為原來(lái)自變量的函數(shù).【設(shè)計(jì)意圖】：通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力。四、作業(yè)布置基礎(chǔ)訓(xùn)練：1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：2.求下列函數(shù)在給定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：