高考物理一輪基礎(chǔ)復習：8.3動能和動能定理

高考物理一輪基礎(chǔ)復習：8.3動能和動能定理一、動能的表達式1．定義物體由于運動而具有的能量．2．表達式Ek＝eq\f(1,2)mv2.3．單位與功的單位相同，國際單位為焦耳．1J＝1kg·m2·s－2.4．物理量特點(1)具有瞬時性，是狀態(tài)量．(2)具有相對性，選取不同的參考系，同一物體的動能一般不同，通常是指物體相對于地面的動能．(3)是標量，沒有方向，Ek≥0.二、動能定理1．動能定理的內(nèi)容力在一個過程中對物體做的功，等于物體在這個過程中動能的變化．2．動能定理的表達式(1)W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1).(2)W＝Ek2－Ek1.說明：式中W為合外力做的功，它等于各力做功的代數(shù)和．3．動能定理的適用范圍不僅適用于恒力做功和直線運動，也適用于變力做功和曲線運動情況．1．思考判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)速度大的物體動能也大． (×)(2)某物體的速度加倍，它的動能也加倍． (×)(3)合外力做功不等于零，物體的動能一定變化． (√)(4)物體的速度發(fā)生變化，合外力做功一定不等于零． (×)(5)物體的動能增加，合外力做正功． (√)2．在水平路面上，有一輛以36km/h行駛的客車，在車廂后座有一位乘客甲，把一個質(zhì)量為4kg的行李以相對客車5m/s的速度拋給前方座位的另一位乘客乙，則行李的動能是()A．500J B．200JC．450J D．900JC[行李相對地面的速度v＝v車＋v相對＝15m/s，所以行李的動能Ek＝eq\f(1,2)mv2＝450J，選項C正確．]3．(多選)一物體在運動過程中，重力做了－2J的功，合力做了4J的功，則()A．該物體動能減少，減少量等于4JB．該物體動能增加，增加量等于4JC．該物體重力勢能減少，減少量等于2JD．該物體重力勢能增加，增加量等于2JBD[重力做負功，重力勢能增加，增加量等于克服重力做的功，選項C錯誤，選項D正確；根據(jù)動能定理得該物體動能增加，增加量為4J，選項A錯誤，選項B正確．]動能、動能定理的理解[觀察探究]如圖所示，一輛汽車正在上坡路上加速行駛．(1)汽車上坡過程受哪些力作用？各個力做什么功？(2)汽車的動能怎樣變化？其動能的變化與各個力做功有什么關(guān)系？提示：(1)汽車受重力、支持力、牽引力及路面的阻力作用，上坡過程中牽引力做正功，重力、阻力做負功，支持力不做功．(2)由于汽車加速上坡，其動能增大，汽車動能的變化等于重力、牽引力及路面的阻力三個力做功的代數(shù)和．[探究歸納]1．動能的特征(1)是狀態(tài)量：與物體的運動狀態(tài)(或某一時刻的速度)相對應(yīng)．(2)具有相對性：選取不同的參考系，物體的速度不同，動能也不同，一般以地面為參考系．(3)是標量：只有大小，沒有方向；只有正值，沒有負值．2．動能的變化(1)ΔEk＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)為物體動能的變化量，也稱作物體動能的增量，表示物體動能變化的大?。?2)動能變化的原因合力對物體做功是引起物體動能變化的原因，合力做功的過程實質(zhì)上是其他形式的能與動能相互轉(zhuǎn)化的過程，轉(zhuǎn)化了多少由合力做了多少功來度量．3．對動能定理的理解(1)表達式W＝ΔEk中的W為外力對物體做的總功．(2)動能定理描述了做功和動能變化的兩種關(guān)系．①等值關(guān)系：物體動能的變化量等于合力對它做的功．②因果關(guān)系：合力對物體做功是引起物體動能變化的原因，做功的過程實質(zhì)上是其他形式的能與動能相互轉(zhuǎn)化的過程，轉(zhuǎn)化了多少由合力做的功來度量．【例1】下列關(guān)于運動物體所受合力做功和動能變化的關(guān)系正確的是()A．如果物體所受合力為0，則合力對物體做的功一定為0B．如果合力對物體所做的功為0，則合力一定為0C．物體在合力作用下做變速運動，動能一定發(fā)生變化D．物體的動能不變，所受合力一定為0A[由功的定義可知，選項A正確；如果合力做的功為0，但合力不一定為0，例如物體的合力和運動方向垂直而不做功，選項B錯誤；物體做變速運動可能是速度方向變化而速度大小不變，所以，做變速運動的物體，動能可能不變，選項C錯誤；物體動能不變，只能說合力不做功，但合力不一定為0，選項D錯誤．]1動能與速度的變化關(guān)系：動能是標量，速度是矢量，當動能發(fā)生變化時，物體的速度大小一定發(fā)生了變化，當速度發(fā)生變化時，可能僅是速度方向的變化，物體的動能可能不變.2合力的功與動能變化的關(guān)系：合力做功不為零，合力一定不為零，物體的動能一定發(fā)生變化，速度大小一定變化；合力做功為零，物體的動能一定不發(fā)生變化，但速度大小不變，方向可發(fā)生變化.1．有一質(zhì)量為m的木塊，從半徑為r的圓弧曲面上的a點滑向b點，如圖所示．如果由于摩擦使木塊的運動速率保持不變，則以下敘述正確的是()A．木塊所受的合力為零B．因木塊所受的力對其都不做功，所以合力做功為零C．重力和摩擦力的合力做的功為零D．重力和摩擦力的合力為零C[物體做曲線運動，速度方向變化，加速度不為零，故合力不為零，A錯誤；速率不變，動能不變，由動能定理知，合力做的功為零，而支持力始終不做功，重力做正功，所以重力做的功與摩擦力做的功的代數(shù)和為零，但重力和摩擦力的合力不為零，C正確，B、D錯誤．]2.如圖所示，某同學用繩子拉動木箱，使它從靜止開始沿粗糙水平路面運動至具有某一速度，木箱獲得的動能一定()A．小于拉力所做的功B．等于拉力所做的功C．等于克服摩擦力所做的功D．大于克服摩擦力所做的功A[受力分析，找到能影響動能變化的是那幾個物理量，然后觀測這幾個物理量的變化即可．木箱受力如圖所示，木箱在移動的過程中有兩個力做功，拉力做正功，摩擦力做負功，根據(jù)動能定理可知即：WF－Wf＝eq\f(1,2)mv2－0，所以動能小于拉力做的功，故A正確，B錯誤；無法比較動能與摩擦力做功的大小，C、D錯誤．故選A.]動能定理的應(yīng)用[要點歸納]1．應(yīng)用動能定理解題的步驟(1)確定研究對象和研究過程(研究對象一般為單個物體或相對靜止的物體組成的系統(tǒng))．(2)對研究對象進行受力分析(注意哪些力做功或不做功)．(3)確定合外力對物體做的功(注意功的正負)．(4)確定物體的初、末動能(注意動能增量是末動能減初動能)．(5)根據(jù)動能定理列式、求解．2．動力學問題兩種解法的比較牛頓運動定律運動學公式結(jié)合法動能定理適用條件只能研究在恒力作用下物體做直線運動的情況對于物體在恒力或變力作用下，物體做直線運動或曲線運動均適用應(yīng)用方法要考慮運動過程的每一個細節(jié)只考慮各力的做功情況及初、末狀態(tài)的動能運算方法矢量運算代數(shù)運算相同點確定研究對象，對物體進行受力分析和運動過程分析【例2】質(zhì)量M＝6.0×103kg的客機，從靜止開始沿平直的跑道勻加速滑行，當滑行距離l＝7.2×102m時，達到起飛速度v＝60m/s.求：(1)起飛時飛機的動能多大？(2)若不計滑行過程中所受的阻力，則飛機受到的牽引力為多大？(3)若滑行過程中受到的平均阻力大小為F＝3.0×103N，牽引力與第(2)問中求得的值相等，則要達到上述起飛速度，飛機的滑行距離應(yīng)為多大？[解析](1)飛機起飛時的動能Ek＝eq\f(1,2)Mv2代入數(shù)值得Ek＝1.08×107J.(2)設(shè)牽引力為F1，由動能定理得F1l＝Ek－0代入數(shù)值得F1＝1.5×104N.(3)設(shè)滑行距離為l′，由動能定理得F1l′－Fl′＝Ek－0整理得l′＝eq\f(Ek,F1－F)代入數(shù)值，得l′＝9.0×102m.[答案](1)1.08×107J(2)1.5×104N(3)9.0×102m應(yīng)用動能定理時注意的四個問題(1)動能定理中各量是針對同一慣性參考系而言的(一般選取地面為參考系)．(2)若物體運動的過程包含幾個不同的階段，應(yīng)用動能定理時，可以分段考慮，也可以將全過程作為一個整體來處理．(3)在求總功時，若各力不同時對物體做功，W應(yīng)為各階段各力做功的代數(shù)和．在利用動能定理列方程時，還應(yīng)注意各力做功的正、負或合力做功的正、負．(4)對于受力情況復雜的問題要避免把某個力的功當作合力的功，對于多過程問題要防止“漏功”或“添功”．3．某人把質(zhì)量為0.1kg的一塊小石頭，從距地面為5m的高處以60°角斜向上拋出，拋出時的初速度大小為10m/s，則當石頭著地時，其速度大小約為(g取10m/s2，不計空氣阻力)()A．14m/s B．12m/sC．28m/s D．20m/sA[由動能定理，重力對石頭所做的功等于石頭動能的變化，則mgh＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，v2＝eq\r(v\o\al(2,1)＋2gh)＝10eq\r(2)m/s≈14m/s，A正確．]4．如圖所示，AB為固定在豎直平面內(nèi)的eq\f(1,4)光滑圓弧軌道，軌道的B點與水平地面相切，其半徑為R.質(zhì)量為m的小球由A點靜止釋放，求：(1)小球滑到最低點B時，小球速度v的大?。?2)小球通過光滑的水平面BC滑上固定曲面，恰到達最高點D，D到地面的高度為h(已知h＜R)，則小球在曲面上克服摩擦力所做的功Wf.[解析](1)小球從A滑到B的過程中，由動能定理得：mgR＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,B)－0解得：vB＝eq\r(2gR).(2)從A到D的過程，由動能定理可得：mg(R－h(huán))－Wf＝0－0，解得克服摩擦力做的功Wf＝mg(R－h(huán))．[答案](1)eq\r(2gR)(2)mg(R－h(huán))課堂小結(jié)知識脈絡(luò)1.物體由于運動而具有的能量叫作動能，表達式為Ek＝eq\f(1,2)mv2.動能是標量，具有相對性．2．力在一個過程中對物體做的功，等于物體在這個過程中動能的變化，這個結(jié)論叫動能定理，表達式為W＝Ek2－Ek1.3．如果物體同時受到幾個力的共同作用，則W為合力做的功，它等于各個力做功的代數(shù)和．4．動能定理既適用于恒力做功，也適用于變力做功，既適用于直線運動，也適用于曲線運動.【課堂同步練習】1．(多選)關(guān)于動能的理解，下列說法正確的是()A．一般情況下，Ek＝eq\f(1,2)mv2中的v是相對于地面的速度B．動能的大小由物體的質(zhì)量和速率決定，與物體的運動方向無關(guān)C．物體以相同的速率向東和向西運動，動能的大小相等、方向相反D．當物體以不變的速率做曲線運動時其動能不斷變化AB[動能是標量，由物體的質(zhì)量和速率決定，與物體的運動方向無關(guān)．動能具有相對性，無特別說明，一般指相對于地面的動能．選A、B.]2．(多選)甲、乙兩個質(zhì)量相同的物體，用大小相等的力F分別拉它們在水平面上從靜止開始運動相同的距離s.如圖所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，則下列關(guān)于力F對甲、乙兩物體做的功和甲、乙兩物體獲得的動能的說法中正確的是()A．力F對甲物體做功多B．力F對甲、乙兩個物體做的功一樣多C．甲物體獲得的動能比乙大D．甲、乙兩個物體獲得的動能相同BC[由功的公式W＝Flcosα＝F·s可知，兩種情況下力F對甲、乙兩個物體做的功一樣多，A錯誤，B正確；根據(jù)動能定理，對甲有Fs＝Ek1，對乙有Fs－Ffs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，即甲物體獲得的動能比乙大，C正確，D錯誤．]3．一人用力踢質(zhì)量為1kg的靜止足球，使足球以10m/s的水平速度飛出，設(shè)人踢足球的平均作用力為200N，足球在水平方向滾動的距離為20m，則人對足球做的功為(g取10m/s2)()A．50J B．200JC．4000J D．6000JA[人對足球做功的過程只是在踢球的瞬間，球在空中飛行以及在地面上滾動的過程中，都不是人在做功，所以人對足球做功的過程就是足球獲得動能的過程．根據(jù)動能定義Ek＝eq\f(1,2)mv2得，人對足球做的功為50J．]4．甲、乙兩車汽車的質(zhì)量之比m1∶m2＝2∶1，它們剎車時的初動能相同，若它們與水平地面之間的動摩擦因數(shù)相同，則它們滑行的距離之比s1∶s2等于()A．1∶1 B．1∶2C．1∶4 D．4∶1B[對兩輛汽車由動能定理得：－μm1gs1＝0－Ek，－μm2gs2＝0－Ek，s1∶s2＝m2∶m1＝1∶2，B正確．]專題：動能定理的綜合應(yīng)用利用動能定理求力的功[要點歸納]1．動能定理不僅適用于求恒力做功，也適用于求變力做功，同時因為不涉及變力作用的過程分析，應(yīng)用非常方便．2．利用動能定理求變力的功是最常用的方法，當物體受到一個變力和幾個恒力作用時，可以用動能定理間接求變力做的功，即W變＋W其他＝ΔEk.【例1】如圖所示，某人利用跨過定滑輪的輕繩拉質(zhì)量為10kg的物體．定滑輪的位置比A點高3m．若此人緩慢地將繩從A點拉到同一水平高度的B點，且A、B兩點處繩與水平方向的夾角分別為37°和30°，則此人拉繩的力做了多少功？(g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不計滑輪的摩擦)[解析]取物體為研究對象，設(shè)繩的拉力對物體做的功為W.根據(jù)題意有h＝3m物體升高的高度Δh＝eq\f(h,sin30°)－eq\f(h,sin37°) ①對全過程應(yīng)用動能定理W－mgΔh＝0 ②由①②兩式聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得W＝100J則人拉繩的力所做的功W人＝W＝100J.[答案]100J1．一質(zhì)量為m的小球，用長為l的輕繩懸掛于O點．小球在水平力F作用下，從平衡位置P點很緩慢地移動到Q點，如圖所示，則力F所做的功為()A．mglcosθ B．FlsinθC．mgl(1－cosθ) D．FlcosθC[小球的運動過程是緩慢的，因而任一時刻都可看成是平衡狀態(tài)，因此F的大小不斷變大，F(xiàn)做的功是變力功．小球上升過程只有重力mg和F這兩個力做功，由動能定理得WF－mgl(1－cosθ)＝0.所以WF＝mgl(1－cosθ)．]利用動能定理分析多過程問題[要點歸納]一個物體的運動如果包含多個運動階段，可以選擇分段或全程應(yīng)用動能定理．1．分段應(yīng)用動能定理時，將復雜的過程分割成一個個子過程，對每個子過程的做功情況和初、末動能進行分析，然后針對每個子過程應(yīng)用動能定理列式，然后聯(lián)立求解．2．全程應(yīng)用動能定理時，分析整個過程中出現(xiàn)過的各力的做功情況，分析每個力做的功，確定整個過程中合外力做的總功，然后確定整個過程的初、末動能，針對整個過程利用動能定理列式求解．當題目不涉及中間量時，選擇全程應(yīng)用動能定理更簡單，更方便．【例2】如圖所示，ABCD為一豎直平面內(nèi)的軌道，其中BC水平，A點比BC高出10m，BC長1m，AB和CD軌道光滑．一質(zhì)量為1kg的物體，從A點以4m/s的速度開始運動，經(jīng)過BC后滑到高出C點10.3m的D點速度為0.求：(取g＝10m/s2)(1)物體與BC軌道間的動摩擦因數(shù)；(2)物體第5次經(jīng)過B點時的速度；(3)物體最后停止的位置(距B點多少米)．思路點撥：①重力做功與物體運動路徑無關(guān)，其大小為mgΔh，但應(yīng)注意做功的正、負．②物體第5次經(jīng)過B點時在水平面BC上的路徑為4sBC.[解析](1)由動能定理得－mg(h－H)－μmgsBC＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，解得μ＝0.5.(2)物體第5次經(jīng)過B點時，物體在BC上滑動了4次，由動能定理得mgH－μmg·4sBC＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，解得v2＝4eq\r(11)m/s≈13.3m/s.(3)分析整個過程，由動能定理得mgH－μmgs＝0－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1)，解得s＝21.6m.所以物體在軌道上來回運動了10次后，還有1.6m，故距B點的距離為2m－1.6m＝0.4m.[答案](1)0.5(2)13.3m/s(3)距B點0.4m1當物體運動過程中涉及多個力做功時，各力對應(yīng)的位移可能不相同，計算各力做功時，應(yīng)注意各力對應(yīng)的位移.計算總功時，應(yīng)計算整個過程中出現(xiàn)過的各力做功的代數(shù)和.2研究初、末動能時，只需關(guān)注初、末狀態(tài)，不必關(guān)心中間運動的細節(jié).2．如圖所示，右端連有一個光滑弧形槽的水平桌面AB長L＝1.5m，一個質(zhì)量為m＝0.5kg的木塊在F＝1.5N的水平拉力作用下，從桌面上的A端由靜止開始向右運動，木塊到達B端時撤去拉力F，木塊與水平桌面間的動摩擦因數(shù)μ＝0.2，取g＝10m/s2.求：(1)木塊沿弧形槽上升的最大高度(木塊未離開弧形槽)；(2)木塊沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑動的最大距離．[解析](1)設(shè)木塊沿弧形槽上升的最大高度為h，木塊在最高點時的速度為零．從木塊開始運動到弧形槽最高點，由動能定理得：FL－FfL－mgh＝0其中Ff＝μFN＝μmg＝0.2×0.5×10N＝1.0N所以h＝eq\f(FL－FfL,mg)＝eq\f(1.5－1.0×1.5,0.5×10)m＝0.15m.(2)設(shè)木塊離開B點后沿桌面滑動的最大距離為x.由動能定理得：mgh－Ffx＝0所以：x＝eq\f(mgh,Ff)＝eq\f(0.5×10×0.15,1.0)m＝0.75m.[答案](1)0.15m(2)0.75m動能定理在平拋、圓周運動中的應(yīng)用[要點歸納]動能定理常與平拋運動、圓周運動相結(jié)合，解決這類問題要特別注意：1．與平拋運動相結(jié)合時，要注意應(yīng)用運動的合成與分解的方法，如分解位移或分解速度求平拋運動的有關(guān)物理量．2．與豎直平面內(nèi)的圓周運動相結(jié)合時，應(yīng)特別注意隱藏的臨界條件：(1)有支撐效果的豎直平面內(nèi)的圓周運動，物體能通過最高點的臨界條件為vmin＝0.(2)沒有支撐效果的豎直平面內(nèi)的圓周運動，物體能通過最高點的臨界條件為vmin＝eq\r(gR).【例3】如圖所示，一個質(zhì)量為m＝0.6kg的小球以初速度v0＝2m/s從P點水平拋出，從粗糙圓弧ABC的A點沿切線方向進入(不計空氣阻力，進入圓弧時無動能損失)且恰好沿圓弧通過最高點C，已知圓弧的圓心為O，半徑R＝0.3m，θ＝60°，g＝10m/s2.求：(1)小球到達A點的速度vA的大??；(2)P點到A點的豎直高度H；(3)小球從圓弧A點運動到最高點C的過程中克服摩擦力所做的功W.[解析](1)在A點由速度的合成得vA＝eq\f(v0,cosθ)，代入數(shù)據(jù)解得vA＝4m/s(2)從P點到A點小球做平拋運動，豎直分速度vy＝v0tanθ ①由運動學規(guī)律有veq\o\al(2,y)＝2gH ②聯(lián)立①②解得H＝0.6m(3)恰好過C點滿足mg＝eq\f(mv\o\al(2,C),R)由A點到C點由動能定理得－mgR(1＋cosθ)－W＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)代入數(shù)據(jù)解得W＝1.2J.[答案](1)4m/s(2)0.6m(3)1.2J3．如圖所示，一可以看成質(zhì)點的質(zhì)量m＝2kg的小球以初速度v0沿光滑的水平桌面飛出后，恰好從A點沿切線方向進入圓弧軌道，其中B為軌道的最低點，C為最高點且與水平桌面等高，圓弧AB對應(yīng)的圓心角θ＝53°，軌道半徑R＝0.5m．已知sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，不計空氣阻力，g取10m/s2.(1)求小球的初速度v0的大?。?2)若小球恰好能通過最高點C，求在圓弧軌道上摩擦力對小球做的功．[解析](1)在A點由平拋運動規(guī)律得：vA＝eq\f(v0,cos53°)＝eq\f(5,3)v0. ①小球由桌面到A點的過程中，由動能定理得mg(R＋Rcosθ)＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,A)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0) ②由①②得：v0＝3m/s.(2)在最高點C處有mg＝eq\f(mv\o\al(2,C),R)，小球從桌面到C點，由動能定理得Wf＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)，代入數(shù)據(jù)解得Wf＝－4J.[答案](1)3m/s(2)－4J【課堂同步練習】1．如圖所示，AB為eq\f(1,4)圓弧軌道，BC為水平直軌道，在B點兩軌道相切，圓弧的半徑為R，BC的長度也是R.一質(zhì)量為m的物體，與兩個軌道間的動摩擦因數(shù)都為μ，當它由軌道頂端A從靜止開始下滑時，恰好運動到C處停止，那么物體在AB段克服摩擦力所做的功為()A.eq\f(μmgR,2) B.eq\f(mgR,2)C．mgR D．(1－μ)mgRD[設(shè)物體在AB段克服摩擦力所做的功為WAB，BC段摩擦力做功為－μmgR.故物體從A運動到C的全過程，由動能定理得：mgR－WAB－μmgR＝0解得：WAB＝mgR－μmgR＝(1－μ)mgR，故D正確．]2．如圖所示，假設(shè)在某次比賽中運動員從10m高處的跳臺跳下，設(shè)水的平均阻力約為其體重的3倍，在粗略估算中，把運動員當作質(zhì)點處理，為了保證運動員的人身安全，池水深度至少為(不計空氣阻力)()A．5m B．3mC．7m D．1mA[設(shè)水深h，對全程運用動能定理mg(H＋h)－fh＝0，f＝3mg，即mg(H＋h)＝3mgh.所以h＝5m．]3．如圖所示，在半徑為0.2m的固定半球形容器中，一質(zhì)量為1kg的小球(可視為質(zhì)點)自邊緣上的A點由靜止開始下滑，到達最低點B時，它對容器的正壓力大小為15N．取重力加速度為g＝10m/s2，則球自A點滑到B點的過程中克服摩擦力做的功為()A．0.5J B．1.0JC．1.5J D．1.8JC[在B點有N－mg＝meq\f(v2,R)，得EkB＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)(N－mg)R.A滑到B的過程中運用動能定理得mgR＋Wf＝eq\f(1,2)mv2－0，得Wf＝eq\f(1,2)R(N－3mg)＝eq\f(1,2)×0.2×(15－30)J＝－1.5J，所以球自A點滑到B點的過程中克服摩擦力做的功為1.5J，C正確．]4．一個質(zhì)量為m的小球拴在繩的一端，繩另一端受大小為F1的拉力作用，小球在光滑水平面上做半徑為R1的勻速圓周運動(如圖所示)，今將力的大小變?yōu)镕2，使小球在水平面上做勻速圓周運動，但半徑變?yōu)镽2(R2＜R1)，則小球運動的半徑由R1變?yōu)镽2的過程中拉力對小球做的功為多少？[解析]小球運動的半徑由R1變?yōu)镽2時，半徑變小，繩子的拉力雖為變力，但對小球做了正功，使小球的速度增大，動能發(fā)生了變化，根據(jù)動能定理有WF＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1) ①根據(jù)牛頓第二定律有F1＝eq\f(mv\o\al(2,1),R1)故有eq\f(1,2)F1R1＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,1) ②同理有eq\f(1,2)F2R2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,2) ③由①②③得WF＝eq\f(1,2)(F2R2－F1R1)．[答案]eq\f(1,2)(F2R2－F1R1)《8.3動能和動能定理》專題訓練一、動能的表達式1.表達式：Ek＝eq\f(1,2)mv2.2.單位：與功的單位相同，國際單位為焦耳，符號為J.3.標矢性：動能是標量，只有大小，沒有方向.二、動能定理1.內(nèi)容：力在一個過程中對物體做的功，等于物體在這個過程中動能的變化.2.表達式：W＝eq\f(1,2)mv22－eq\f(1,2)mv12.如果物體受到幾個力的共同作用，W即為合力做的功，它等于各個力做功的代數(shù)和.3.適用范圍：動能定理是物體在恒力作用下，并且做直線運動的情況下得到的，當物體受到變力作用，并且做曲線運動時，可以采用把整個過程分成許多小段，也能得到動能定理.判斷下列說法的正誤.(1)某物體的速度加倍，它的動能也加倍.(×)(2)兩質(zhì)量相同的物體，動能相同，速度一定相同.(×)(3)物體的速度變化，動能一定變化.(×)(4)合外力做功不等于零，物體的動能一定變化.(√)(5)物體的速度發(fā)生變化，合外力做功一定不等于零.(×)(6)物體的動能增加，合外力做正功.(√)一、動能導學探究讓鐵球從光滑的斜面上由靜止?jié)L下，與木塊相碰，推動木塊做功.(如圖1所示)圖1(1)讓同一鐵球從不同的高度由靜止?jié)L下，可以看到：高度大時鐵球把木塊推得遠，對木塊做的功多.(2)讓質(zhì)量不同的鐵球從同一高度由靜止?jié)L下，可以看到：質(zhì)量大的鐵球把木塊推得遠，對木塊做的功多.以上兩個現(xiàn)象說明影響動能的因素有哪些？答案由于鐵球從同一光滑斜面上由靜止?jié)L下，加速度相同.同一鐵球從不同高度由靜止?jié)L下，高度大的到達水平面時的速度大，速度越大，把木塊推得越遠，對木塊做功越多，故影響動能的因素有速度；質(zhì)量不同的鐵球從同一高度由靜止?jié)L下，到達水平面時的速度相等，質(zhì)量大的鐵球把木塊推得遠，對木塊做功多，說明影響動能的因素有質(zhì)量.知識深化1.對動能的理解(1)動能是標量，沒有負值，與物體的速度方向無關(guān).(2)動能是狀態(tài)量，具有瞬時性，與物體的運動狀態(tài)(或某一時刻的速度)相對應(yīng).(3)動能面為參考系.2.動能變化量ΔEkΔEk＝eq\f(1,2)mv22－eq\f(1,2)mv12，若ΔEk>0，則表示物體的動能增加，若ΔEk<0，則表示物體的動能減少.關(guān)于物體的動能，下列說法正確的是()A.物體的質(zhì)量、速度不變，其動能一定不變B.物體的動能不變，其速度一定不變C.兩個物體中，速度大的動能也大D.某一過程中物體的速度變化越大，其動能的變化一定越大答案A解析根據(jù)Ek＝eq\f(1,2)mv2可知，如果物體的質(zhì)量、速度不變，則動能不變，故A正確；如果物體的動能不變，則說明其速度大小一定不變，方向可能變化，故B錯誤；動能由質(zhì)量和速度大小共同決定，速度大的物體動能不一定大，故C錯誤；做勻速圓周運動的物體，速度變化可能大，但動能不變，故D錯誤.二、動能定理的理解和應(yīng)用導學探究如圖2所示，光滑水平面上的物體在水平恒力F的作用下向前運動了一段距離l，速度由v1增加到v2.試推導出力F對物體做功的表達式.圖2答案W＝Fl＝F·eq\f(v\o\al(2,2)－v\o\al(2,1),2a)＝F·eq\f(v\o\al(2,2)－v\o\al(2,1),2\f(F,m))＝eq\f(1,2)mv22－eq\f(1,2)mv12知識深化對動能定理的理解1.表達式：W＝Ek2－Ek1＝eq\f(1,2)mv22－eq\f(1,2)mv12(1)Ek2＝eq\f(1,2)mv22表示這個過程的末動能；Ek1＝eq\f(1,2)mv12表示這個過程的初動能.(2)W表示這個過程中合力做的功，它等于各力做功的代數(shù)和.2.物理意義：動能定理指出了合外力對物體所做的總功與物體動能變化之間的關(guān)系，即若合外力做正功，物體的動能增加，若合外力做負功，物體的動能減小，做了多少功，動能就變化多少.3.實質(zhì)：動能定理從能量變化的角度反映了力改變運動的狀態(tài)時，在空間上的累積效果.下列關(guān)于運動物體的合外力做功和動能、速度變化的關(guān)系，正確的是()A.物體做變速運動，合外力一定不為零，動能一定變化B.若合外力對物體做功為零，則合外力一定為零C.物體的合外力做功，它的速度大小一定發(fā)生變化D.物體的動能不變，所受的合外力必定為零答案C解析物體做變速運動時，合外力一定不為零，但合外力不為零時，做功可能為零，動能可能不變，A、B錯誤；物體的合外力做功，它的動能一定變化，速度大小也一定變化，C正確；物體的動能不變，所受合外力做功一定為零，但合外力不一定為零，D錯誤.如圖3所示，物體在距斜面底端5m處由靜止開始下滑，然后滑上與斜面平滑連接的水平面，若物體與斜面及水平面的動摩擦因數(shù)均為0.4，斜面傾角為37°.求物體能在水平面上滑行的距離.(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)圖3答案3.5m解析對物體在斜面上和水平面上受力分析如圖所示方法一分過程列方程：設(shè)物體滑到斜面底端時的速度為v，物體下滑階段FN1＝mgcos37°，故Ff1＝μFN1＝μmgcos37°由動能定理得：mgsin37°·l1－μmgcos37°·l1＝eq\f(1,2)mv2－0設(shè)物體在水平面上滑行的距離為l2，摩擦力Ff2＝μFN2＝μmg由動能定理得：－μmgl2＝0－eq\f(1,2)mv2聯(lián)立以上各式可得l2＝3.5m.方法二全過程由動能定理列方程：mgl1sin37°－μmgcos37°·l1－μmgl2＝0解得：l2＝3.5m.應(yīng)用動能定理解題的一般步驟：(1)選取研究對象(通常是單個物體)，明確它的運動過程.(2)對研究對象進行受力分析，明確各力做功的情況，求出外力做功的代數(shù)和.(3)明確物體在初、末狀態(tài)的動能Ek1、Ek2.(4)列出動能定理的方程W＝Ek2－Ek1，結(jié)合其他必要的輔助方程求解并驗算.(多選)在平直的公路上，汽車由靜止開始做勻加速運動.當速度達到vm后，立即關(guān)閉發(fā)動機而滑行直到停止.v－t圖線如圖4所示，汽車的牽引力大小為F1，摩擦力大小為F2，全過程中，牽引力做的功為W1，克服摩擦阻力做功為W2.以下是F1、F2及W1、W2間關(guān)系的說法，其中正確的是()圖4A.F1∶F2＝1∶3 B.F1∶F2＝4∶3C.W1∶W2＝1∶1 D.W1∶W2＝1∶3答案BC解析對全過程由動能定理可知W1－W2＝0，故W1∶W2＝1∶1，故C正確，D錯誤；W1＝F1s，W2＝F2s′，由題圖可知s∶s′＝3∶4，所以F1∶F2＝4∶3，故A錯誤，B正確.一列車的質(zhì)量是5.0×105kg，在平直的軌道上以額定功率3000kW加速行駛，當速率由10m/s加速到所能達到的最大速率30m/s時，共用了2min，設(shè)列車所受阻力恒定，則：(1)列車所受的阻力多大？(2)這段時間內(nèi)列車前進的距離是多少？答案(1)1.0×105N(2)1600m解析(1)列車以額定功率加速行駛時，其加速度在減小，當加速度減小到零時，速度最大，此時有P＝Fv＝Ffvmax，所以列車受到的阻力Ff＝eq\f(P,vmax)＝1.0×105N；(2)這段時間牽引力做功WF＝Pt，設(shè)列車前進的距離為s，則由動能定理得Pt－Ffs＝eq\f(1,2)mvmax2－eq\f(1,2)mv02代入數(shù)據(jù)解得s＝1600m.1.(對動能的理解)(多選)關(guān)于動能的理解，下列說法正確的是()A.一般情況下，Ek＝eq\f(1,2)mv2中的v是相對于地面的速度B.動能的大小由物體的質(zhì)量和速率決定，與物體的運動方向無關(guān)C.物體以相同的速率向東和向西運動，動能的大小相等、方向相反D.當物體以不變的速率做曲線運動時其動能不斷變化答案AB解析動能是標量，由物體的質(zhì)量和速率決定，與物體的運動方向無關(guān)；動能具有相對性，無特別說明，一般指相對于地面的動能，A、B正確，C、D錯誤.2.(對動能定理的理解)如圖5，某同學用繩子拉動木箱，使它從靜止開始沿粗糙水平路面運動至具有某一速度.木箱獲得的動能一定()圖5A.小于拉力所做的功B.等于拉力所做的功C.等于克服摩擦力所做的功D.大于克服摩擦力所做的功答案A解析由題意知，W拉－W克阻＝ΔEk，則W拉>ΔEk，A項正確，B項錯誤；W克阻與ΔEk的大小關(guān)系不確定，C、D項錯誤.3.(動能定理的應(yīng)用)一x1＝3.6m，如果以v2＝8m/s的速度行駛，在同樣的路面上急剎車后滑行的距離x2應(yīng)為()A.6.4m B.5.6mC.7.2m D.10.8m答案A解析急剎車后，車水平方向只受摩擦力的作用，且兩種情況下摩擦力的大小是相同的，汽車的末速度皆為零，由動能定理得：－Fx1＝0－eq\f(1,2)mv12①－Fx2＝0－eq\f(1,2)mv22②聯(lián)立①②式得eq\f(x2,x1)＝eq\f(v\o\al(2,2),v\o\al(2,1))x2＝eq\f(v\o\al(2,2),v\o\al(2,1))x1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,6)))2×3.6m＝6.4m，故A正確，B、C、D錯誤.4.(動能定理的應(yīng)用)一質(zhì)量為2kg的物體，在水平恒定拉力的作用下以某一速度在粗糙的水平面上做勻速直線運動，當運動一段時間后拉力逐漸減小，且當拉m/s2，則據(jù)此可以求得()圖6A.物體與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ＝0.25B.物體勻速運動時的速度為v＝4eq\r(2)m/sC.合外力對物體所做的功為W合＝32JD.摩擦力對物體所做的功為Wf＝－64J答案D解析物體做勻速運動時，受力平衡，則Ff＝8N，μ＝eq\f(Ff,FN)＝eq\f(Ff,mg)＝eq\f(8,2×10)＝0.4，故A錯誤；F－x圖像與x軸圍成的面積表示拉力做的功，則由題圖可知，WF＝eq\f(1,2)×(4＋8)×8J＝48J，滑動摩擦力做的功Wf＝－μmgx＝－0.4×2×10×8J＝－64J，所以合外力做的功為W合＝－64J＋48J＝－16J，故C錯誤，D正確；根據(jù)動能定理得W合＝0－eq\f(1,2)mv02，解得v0＝eq\r(\f(－2W合,m))＝eq\r(\f(2×16,2))m/s＝4m/s，故B錯誤.5.(動能定理的應(yīng)用)半徑R＝1m的eq\f(1,4)圓弧軌道下端與一光滑水平軌道連接，水平軌道離水平地面高度h＝1m，如圖7所示，有一質(zhì)量m＝1.0kg的小滑塊自圓軌道最高點A由靜止開始滑下，經(jīng)過水平軌道末端B時速度為4m/s，滑塊最終落在地面上，g取10m/s2，不計空氣阻力，試求：圖7(1)滑塊落在地面上時速度的大小；(2)滑塊在軌道上滑行時克服摩擦力做的功.答案(1)6m/s(2)2J解析(1)從B點到地面這一過程，只有重力做功，根據(jù)動能定理有mgh＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mvB2，代入數(shù)據(jù)解得v＝6m/s；(2)設(shè)滑塊在軌道上滑行時克服摩擦力做的功為Wf，從A到B這一過程運用動能定理有mgR－Wf＝eq\f(1,2)mvB2－0，解得Wf＝2J.考點一動能的概念及動能的表達式1.兩個物體質(zhì)量之比為1∶4，速度大小之比為4∶1，則這兩個物體的動能之比為()A.1∶1 B.1∶4C.4∶1 D.2∶1答案C2.(多選)某同學在練習足球時，將足球朝豎直的墻壁踢出.假設(shè)足球的質(zhì)量為m＝0.5kg，足球垂直撞擊墻壁前的瞬間速度大小為v＝5m/s，如果以足球撞擊墻壁前瞬間的速度方向為正，足球與墻壁碰后以等大的速度反向彈回.則足球與墻壁發(fā)生作用的過程中()A.速度的變化量為－10m/sB.速度的變化量為10m/sC.動能的變化量為25JD.動能的變化量為0答案AD解析速度的變化量為矢量，Δv＝－v－v＝(－5－5)m/s＝－10m/s，A正確，B錯誤；動能的變化量為標量，ΔEk＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv2＝0，C錯誤，D正確.考點二動能定理的理解和應(yīng)用3.關(guān)于動能定理，下列說法中正確的是()A.在某過程中，動能的變化等于各個力單獨做功的絕對值之和B.只要有力對物體做功，物體的動能就一定改變C.動能定理只適用于直線運動，不適用于曲線運動D.動能定理既適用于恒力做功的情況，也適用于變力做功的情況答案D解析動能的變化等于各個力單獨做功的代數(shù)和，A錯誤；根據(jù)動能定理，決定動能是否改變的是總功，而不是某一個力做的功，B錯誤；動能定理既適用于直線運動，也適用于曲線運動，既適用于恒力做功的情況，也適用于變力做功的情況，C錯誤，D正確.4.兩個物體A、B的質(zhì)量之比為mA∶mB＝2∶1，二者初動能相同，它們和水平桌面間的動摩擦因數(shù)相同，則二者在桌面上滑行到停止經(jīng)過的距離之比為()A.xA∶xB＝2∶1 B.xA∶xB＝1∶2C.xA∶xB＝4∶1 D.xA∶xB＝1∶4答案B解析：－μmBgxB＝0－Ek.故eq\f(xA,xB)＝eq\f(mB,mA)＝eq\f(1,2)，B正確，A、C、D錯誤.5.物體沿直線運動的v－t圖像如圖1所示，已知在第1s內(nèi)合力對物體做功為W，則()圖1A.從第1s末到第3s末合力做功為4WB.從第3s末到第5s末合力做功為－2WC.從第5s末到第7s末合力做功為WD.從第3s末到第4s末合力做功為－0.5W答案C解析由題圖可知物體速度變化情況，根據(jù)動能定理得第1s內(nèi)：W＝eq\f(1,2)mv02第1s末到第3s末：W1＝eq\f(1,2)mv02－eq\f(1,2)mv02＝0，A錯誤；第3s末到第5s末：W2＝0－eq\f(1,2)mv02＝－W，B錯誤；第5s末到第7s末：W3＝eq\f(1,2)m(－v0)2－0＝W，C正確；第3s末到第4s末：W4＝eq\f(1,2)m(eq\f(v0,2))2－eq\f(1,2)mv02＝－0.75W，D錯誤.6.如圖2所示，質(zhì)量為0.1kg的小物塊在粗糙水平桌面上滑行4m后以3.0m/s的速度飛離桌面，最終落在水平地面上，已知物塊與桌面間的動摩擦因數(shù)為0.5，桌面高0.45m，若不計空氣阻力，取g＝10m/s2，則()圖2A.小物塊的初速度是5m/sB.小物塊的水平射程為1.2mC.小物塊在桌面上克服摩擦力做8J的功D.小物塊落地時的動能為0.9J答案D解析小物塊在粗糙水平桌面上滑行時，由動能定理－μmgs＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mv02得：v0＝7m/s，Wf＝－μmgs＝－2J，A、C錯誤；物塊飛離桌面后做平拋運動，由h＝eq\f(1,2)gt2，x＝vt得x＝0.9m，B項錯誤；由mgh＝Ek－eq\f(1,2)mv2得，物塊落地時Ek＝0.9J，D正確.7.(多選)質(zhì)量為m的汽車，發(fā)動機的功率恒為P，阻力恒為F1，牽引力為F，汽車由靜止開始，經(jīng)過時間t行駛了位移s時，速度達到最大值vm，則發(fā)動機所做的功為()A.Pt B.F1sC.eq\f(1,2)mvm2 D.eq\f(mP2,2F\o\al(2,1))＋eq\f(Ps,vm)答案AD解析發(fā)動機的功率恒為P，經(jīng)過時間t，發(fā)動機做的功為W＝Pt，A正確；當達到最大速度時，有P＝F1vm，得vm＝eq\f(P,F1)，整個過程中發(fā)動機做的功應(yīng)等于克服阻力做的功與汽車獲得的動能之和，則W＝eq\f(1,2)mvm2＋F1s＝eq\f(mP2,2F\o\al(2,1))＋eq\f(Ps,vm)，B、C錯誤，D正確.8.如圖3所示，運動員把質(zhì)量為m的足球從水平地面踢出，足球在空中達到的最高點的高度為h，在最高點時的速度為v，不計空氣阻力，重力加速度為g，下列說法中正確的是()圖3A.運動員踢球時對足球做功eq\f(1,2)mv2B.足球上升過程重力做功mghC.運動員踢球時對足球做功eq\f(1,2)mv2＋mghD.足球上升過程克服重力做功eq\f(1,2)mv2＋mgh答案C解析足球上升過程中足球重力做負功，WG＝－mgh，B、D錯誤；從運動員踢球至足球上升至最高點的過程中，由動能定理得W－mgh＝eq\f(1,2)mv2，故運動員踢球時對足球做功W＝eq\f(1,2)mv2＋mgh，A項錯誤，C項正確.9.木塊在水平恒力F的作用下，沿水平路面由靜止出發(fā)前進了l，隨即撤去此恒力，木塊沿原方向又前進了2l才停下來，設(shè)木塊運動全過程中地面情況