高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第十一章　第一節(jié)　排列與組合（導(dǎo)學(xué)案）

第十一章計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)排列與組合1.了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.2.理解排列、組合的概念;能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.1.計(jì)數(shù)原理(1)完成一件事,如果有n類方案,且第1類方案中有m1種不同的方法,第2類方案中有m2種不同的方法……第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mn種不同的方法.

(2)完成一件事,如果需要分成n個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.

2.排列與組合名稱定義排列一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列

組合一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合

點(diǎn)睛(1)兩個(gè)排列相同的充要條件是:兩個(gè)排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.(2)全排列的概念:n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列.3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式Anm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=Cnm=Anm性質(zhì)0!=1,Ann=

Cnm=Cn+1m=

Cn1.Anm=(n-m+1)Anm2.(n+1)!-n!=n·n!.3.kCnk=nCn-1k-1;教材改編結(jié)論應(yīng)用易錯(cuò)易混1,4321.(教材變式)已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},從集合M中選一個(gè)元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo),從集合N中選一個(gè)元素作為點(diǎn)的縱坐標(biāo),則這樣的坐標(biāo)在直角坐標(biāo)系中可表示第一、第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 ()A.12 B.8 C.6 D.4解析：選C.分兩步:第一步,確定橫坐標(biāo),有3種情況;第二步,確定縱坐標(biāo),有2種情況.因此第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3×2=6.2.(忽視隱含條件)隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展,私家車成為居民的標(biāo)配.某小區(qū)為了適應(yīng)這一變化,在小區(qū)建設(shè)過(guò)程中預(yù)留了7個(gè)排成一排的備用車位.現(xiàn)有3位私家車車主要使用這一備用車位.現(xiàn)規(guī)定3位私家車車主隨機(jī)停車,任意兩輛車都不相鄰,則共有不同停車種數(shù)為 ()A.144 B.24 C.72 D.60解析：選D.由題可知7個(gè)車位停3輛車,則會(huì)產(chǎn)生4個(gè)空位,故可先擺好4個(gè)空車位,4個(gè)空車位之間共有5個(gè)空隙可供3輛車選擇停車.因此,任意兩輛車都不相鄰的停車種數(shù)共有A533.(結(jié)論1)(多選題)下列結(jié)果正確的是 ()A.C72-C62=C63 C.An+1n+1-Ann=Ann 解析：選BD.由結(jié)論1,2知B正確,C錯(cuò)誤,又C72=C61+C62,所以C72-C62=C614.(教材提升)在平面直角坐標(biāo)系xOy上,平行直線x=n(n=0,1,2,…,5)與平行直線y=n(n=0,1,2,…,5)組成的圖形中,矩形共有 ()A.25個(gè) B.36個(gè)C.100個(gè) D.225個(gè)解析：選D.要構(gòu)成矩形,從x=n(n=0,1,2,3,4,5)中選兩條直線作為兩邊,共有C6同理從y=n(n=0,1,2,3,4,5)中選兩條直線作為兩邊也有15種選法.共有15×15=225種選法,即矩形共有225個(gè).題型一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用[典例1](1)僅有甲、乙、丙三人參加四項(xiàng)體育比賽,所有比賽均無(wú)并列名次,則不同的奪冠情況共有________種 ()

A.4×3×2×1 B.43C.34 D.6解析：選C.每項(xiàng)比賽的冠軍都有3種可能性,因?yàn)橛兴捻?xiàng)比賽,故分四步,所有冠軍獲得者有3×3×3×3=34.(2)我們把各位數(shù)字之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”(如2022是“六合數(shù)”),則“六合數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有 ()A.18個(gè) B.15個(gè)C.12個(gè) D.9個(gè)解析：選B.四位數(shù)之和為6且四位數(shù)中含2的共有4種情況:(0,0,2,4),(0,1,2,3),(1,1,2,2),(0,2,2,2).數(shù)字為0,0,2,4且首位為2的“六合數(shù)”有2004,2040,2400,共3個(gè);同理,數(shù)字為0,1,2,3且首位為2的“六合數(shù)”有6個(gè);數(shù)字為1,1,2,2且首位為2的“六合數(shù)”有3個(gè);數(shù)字為0,2,2,2且首位為2的“六合數(shù)”有3個(gè).所以共有15個(gè).(3)已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3個(gè)不同的元素,并且該直線的傾斜角為銳角.那么這樣的直線的條數(shù)是__________.

解析：設(shè)直線ax+by+c=0的傾斜角為θ,則tanθ=-ab>0.不妨設(shè)a>0,則b<0①c=0時(shí),a有三種取法,b有三種取法,排除2個(gè)重復(fù)(3x-3y=0,2x-2y=0與x-y=0為同一直線),故這樣的直線有3×3-2=7(條);②c≠0時(shí),則a有三種取法,b有三種取法,c有四種取法,且其中任兩條直線均不相同,故這樣的直線有3×3×4=36(條).從而,符合要求的直線有7+36=43(條).答案:431.利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問(wèn)題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么;(2)確定是先分類后分步,還是先分步后分類;(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么;(4)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解.2.解答計(jì)數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的總體思路(1)根據(jù)完成事件所需的過(guò)程,對(duì)事件進(jìn)行整體分類,確定可分為幾大類;(2)確定在每類中完成事件要分幾個(gè)步驟,這些問(wèn)題都弄清楚了,就可以根據(jù)兩個(gè)基本原理解決問(wèn)題了.1.(2022·廣州模擬)如圖,用4種不同的顏色對(duì)A,B,C,D四個(gè)區(qū)域涂色,要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色,則不同的涂色方法有 ()A.24種 B.48種C.72種 D.96種解析：選B.按涂色順序進(jìn)行分四步:涂A部分時(shí),有4種涂法;涂B部分時(shí),有3種涂法;涂C部分時(shí),有2種涂法;涂D部分時(shí),有2種涂法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得不同的涂色方法共有4×3×2×2=48種.2.為迎接新年到來(lái),某中學(xué)“唱響時(shí)代強(qiáng)音,放飛青春夢(mèng)想”元旦文藝晚會(huì)如期舉行.校文娛組委員會(huì)要在原定排好的8個(gè)學(xué)生節(jié)目中增加2個(gè)教師節(jié)目,若保持原來(lái)的8個(gè)節(jié)目的出場(chǎng)順序不變,則不同排法的種數(shù)為 ()A.36 B.45 C.72 D.90解析：選D.采用插空法即可:第1步:原來(lái)排好的8個(gè)學(xué)生節(jié)目產(chǎn)生9個(gè)空隙,插入1個(gè)教師節(jié)目有9種排法;第2步:排好的8個(gè)學(xué)生節(jié)目和1個(gè)教師節(jié)目產(chǎn)生10個(gè)空隙,插入1個(gè)教師節(jié)目有10種排法.故共有9×10=90(種)排法.3.李明自主創(chuàng)業(yè)種植有機(jī)蔬菜,并且為甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服務(wù),甲、乙、丙、丁四家超市分別需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次.已知5月1日李明分別去了這四家超市配送,那么整個(gè)5月他不用去配送的天數(shù)是 ()A.12 B.13 C.14 D.15解析：選B.將5月剩余的30天依次編號(hào)為1,2,3…,30,因?yàn)榧?、乙、丙、丁四家超市分別需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次,且5月1日李明分別去了這四家超市配送,所以李明每逢編號(hào)為3的倍數(shù)的那天要去甲超市配送,每逢編號(hào)為4的倍數(shù)的那天要去乙超市配送,每逢編號(hào)為6的倍數(shù)的那天要去丙超市配送,每逢編號(hào)為7的倍數(shù)的那天要去丁超市配送,則李明去甲超市的天數(shù)編號(hào)為3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,共10天;李明去乙超市但不去甲超市的天數(shù)編號(hào)為4,8,16,20,28,共5天;李明去丙超市但不去甲、乙超市的天數(shù)編號(hào)不存在,共0天;李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天數(shù)編號(hào)為7,14,共2天.所以李明需要配送的天數(shù)為10+5+0+2=17,所以整個(gè)5月李明不用去配送的天數(shù)是30-17=13.題型二排列與組合的簡(jiǎn)單應(yīng)用角度1排列的應(yīng)用[典例2]有3名男生、4名女生,在下列不同條件下,求不同的排列方法總數(shù).(1)選其中5人排成一排;(2)排成前后兩排,前排3人,后排4人;(3)全體排成一排,甲不站排頭也不站排尾.解析：(1)從7個(gè)人中選5個(gè)人排,排法總數(shù)有A75(2)分兩步完成,先選3人排在前排,有A73種方法,余下4人排在后排,有A44另解:本題即為7人排成一排的全排列.(3)方法一:甲為特殊元素.先排甲,有5種方法,其余6人有A66種方法,故共有5×3600種.方法二:排頭與排尾為特殊位置.排頭與排尾從除甲的其余6個(gè)人中選2個(gè)排列,有A62種方法,中間5個(gè)位置由余下4人和甲進(jìn)行全排列,有A55種方法,共有3600種.1.(3)改為全體排成一排,女生必須站在一起;2.(3)改為全體排成一排,男生互不相鄰;3.(3)改為全體排成一排,甲、乙兩人中間恰好有3人;4.(3)改為全體排成一排,甲必須排在乙前面(可不相鄰);5.(3)改為全體排成一排,甲不排在左端,乙不排在右端.解析：1.(捆綁法)將女生看成一個(gè)整體,與3名男生一起全排列,有A44種方法,再將4名女生進(jìn)行全排列,也有A442.(插空法)男生不相鄰,而女生不作要求,所以應(yīng)先排女生,有A44種方法,再在女生之間及首尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生,有A51440種.3.(捆綁法)把甲、乙及中間3人看作一個(gè)整體,第一步:先排甲、乙兩人,有A22種方法;第二步:從余下5人中選3人排在甲、乙中間,有A53種;第三步:把這個(gè)整體與余下2人進(jìn)行全排列,有A334.(消序法)7人的全排列有A77種,其中甲在乙前面與乙在甲前面各占122520種.另解:7個(gè)位置中任選5個(gè)排除甲、乙外的5人,余下的兩個(gè)位置甲、乙的排法即定,故有A755.甲、乙為特殊元素,左、右兩端為特殊位置.方法一(特殊元素法):甲在最右端時(shí),其他的可全排,有A66種;甲不在最右端時(shí),可從余下5個(gè)位置中任選一個(gè),有A51種,而乙可排在除去最右端位置后剩余的5個(gè)位置中的任意一個(gè)上,有A51種,其余人全排列,共有A51方法二(特殊位置法):先排最左端,除去甲外,有A61種,余下6個(gè)位置全排,有A66種,但應(yīng)剔除乙在最右端時(shí)的排法A51方法三(間接法):7個(gè)人全排,共A77種,其中,不合條件的有甲在最左端時(shí),有A66種,乙在最右端時(shí),有A66種,其中都包含了甲在最左端,同時(shí)乙在最右端的情形,有A55種.求解排列應(yīng)用問(wèn)題的六種常用方法角度2組合的應(yīng)用[典例3](1)(2022·長(zhǎng)沙模擬)新課程改革后,普通高校招生方案規(guī)定:每位考生從物理、化學(xué)、生物、地理、政治、歷史六門學(xué)科中隨機(jī)選三門參加考試,某省份規(guī)定物理或歷史至少選一門,那么該省份每位考生的選法種數(shù)為 ()A.12種 B.15種C.16種 D.18種【解題指南】分兩種情況:物理和歷史都選、物理歷史只選一門,求兩種情況的方法數(shù)之和即可求解.解析：選C.方法一:若物理或歷史只選一門,則有C21C4方法二:C63-C(2)共有10級(jí)臺(tái)階,某人一步可跨一級(jí)臺(tái)階,也可跨兩級(jí)臺(tái)階或三級(jí)臺(tái)階,則他恰好6步上完臺(tái)階的方法種數(shù)是 ()A.30 B.90 C.75 D.60解析：選B.由題意可知,完成這件事情分三類:第一類,按照3,3,1,1,1,1的走法有C6第二類,按照3,2,2,1,1,1的走法有C6第三類,按照2,2,2,2,1,1的走法有C64所以他恰好6步上完臺(tái)階的方法種數(shù)是C62+C61(3)現(xiàn)從男、女共8名學(xué)生中選出2名男生和1名女生分別參加學(xué)?！百Y源”“生態(tài)”和“環(huán)?！比齻€(gè)夏令營(yíng)活動(dòng),已知共有90種不同的方案,那么男、女學(xué)生的人數(shù)分別是 ()A.2,6 B.3,5C.5,3 D.6,2解析：選B.設(shè)男生有x人,則女生有(8-x)人,且8>x≥2.由題意可得Cx即x(x-1)(8組合問(wèn)題的兩類題型及求解方法(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型“含”,則先將這些元素取出,再由另外的元素補(bǔ)足;“不含”,則先將這些元素剔除,再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取.(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義,謹(jǐn)防重復(fù)與漏解.用直接法和間接法都可以求解,通常用直接法,分類復(fù)雜時(shí),用間接法處理.1.(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同排列方式共有 ()A.12種 B.24種C.36種 D.48種解析：選B.因?yàn)楸⒍∫谝黄?先把丙、丁捆綁,看作一個(gè)元素,連同乙、戊看成三個(gè)元素排列,有3!種排列方式;為使甲不在兩端,必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入,有2種插空方式;注意到丙、丁兩人的順序可交換,有2種排列方式,故安排這5名同學(xué)共有3!×2×2=24種不同的排列方式.2.(2022·長(zhǎng)沙模擬)現(xiàn)有5個(gè)小朋友站成一排照相,如果甲、乙兩人必須相鄰,而丙、丁兩人不能相鄰,那么不同的站法共有 ()A.12種 B.16種C.24種 D.36種【解題指南】先將甲、乙捆綁在一起,再將甲、乙與第五個(gè)小朋友排列,然后將丙、丁插入三個(gè)空,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,即可求解.解析：選C.根據(jù)題意,先將甲、乙捆綁在一起,內(nèi)部有A22種排列;再將甲、乙與第五個(gè)小朋友排列有A22種方法;然后將丙、丁插入三個(gè)空,有A3.(2022·黃岡模擬)4位同學(xué)坐成一排看比賽節(jié)目,隨機(jī)安排一位同學(xué)去購(gòu)買飲料,留下的同學(xué)繼續(xù)坐下收看,若留下的同學(xué)不坐自己原來(lái)的位置(4把椅子)且考慮留下同學(xué)的隨機(jī)性,則總的坐法種數(shù)為 ()A.44 B.36 C.28 D.15解析：選A.設(shè)4位同學(xué)分別是甲、乙、丙、丁,隨機(jī)安排一位同學(xué)去購(gòu)買飲料有C41種情況,不妨設(shè)選中丁去購(gòu)買飲料,若甲坐丁的位置,則乙、丙有3種坐法,若甲坐乙、丙中之一的椅子,則乙、丙有4種坐法,所以總的坐法種數(shù)為C4.在象棋比賽中,參賽的任意兩位選手都比賽一場(chǎng),其中勝者得2分,負(fù)者得0分,平局各得1分.現(xiàn)有四名學(xué)生分別統(tǒng)計(jì)全部選手的總得分為131分,132分,133分,134分,但其中只有一名學(xué)生的統(tǒng)計(jì)結(jié)果是正確的,則參賽選手共有 ()A.11位 B.12位C.13位 D.14位解析：選B.設(shè)參賽選手共有n位,則總比賽場(chǎng)次為Cn2,即n(n-1)2由題意知,任意一場(chǎng)比賽結(jié)束,選手的總得分為2分,故所有選手總得分為n(n-1)分且為偶數(shù),所以當(dāng)n(n-1)=132,得n=12;當(dāng)n(n-1)=134,n無(wú)整數(shù)解.所以n=12.【加練備選】有甲、乙2位女生和4位男生共6位同學(xué)排成一排,甲同學(xué)不能站在最左邊,4位男生中恰有3位相鄰的排法有__________種.

解析：將4位男生中相鄰的3位捆綁看作一個(gè)整體,有A4若相鄰的3位站在最左邊,則滿足題意的排法有A2若乙站在最左邊,則滿足題意的排法有A2若剩余的1位男生站在最左邊,則滿足題意的排法有A2所以滿足題意的排法數(shù)共有24×(4+2+4)=240種.答案:240題型三分組分配、均分與不均分問(wèn)題[典例4](1)(2023·哈爾濱模擬)某中學(xué)招聘了8名教師,平均分配給兩個(gè)校區(qū),其中2名語(yǔ)文教師不能分配在同一個(gè)校區(qū),另外3名數(shù)學(xué)教師也不能全分配在同一個(gè)校區(qū),則不同的分配方案共有 ()A.18種 B.24種C.36種 D.48種解析：選C.由題意知,第一步將2名語(yǔ)文老師分到兩個(gè)校區(qū),有2種方法,第二步將3名數(shù)學(xué)老師分成2組,一組1人另一組2人,有C31種分法,然后再分到兩個(gè)校區(qū),共有C31A2(2)某研究機(jī)構(gòu)采訪了“一帶一路”沿線20國(guó)的青年,讓他們用一個(gè)關(guān)鍵詞表達(dá)對(duì)中國(guó)的印象,使用頻率前12的關(guān)鍵詞為高鐵、移動(dòng)支付、網(wǎng)購(gòu)、共享單車、一帶一路、無(wú)人機(jī)、大熊貓、廣場(chǎng)舞、中華美食、長(zhǎng)城、京劇、美麗鄉(xiāng)村.其中使用頻率排前4的關(guān)鍵詞“高鐵、移動(dòng)支付、網(wǎng)購(gòu)、共享單車”也成為了他們眼中的“新四大發(fā)明”.若將這12個(gè)關(guān)鍵詞平均分成3組,且各組都包含“新四大發(fā)明”關(guān)鍵詞.則不同的分法種數(shù)為 ()A.1680 B.3360C.6720 D.10080解析：選B.先將“新四大發(fā)明”分成1,1,2三組,有C4再將余下的8個(gè)分成3,3,2三組,有C83(3)(2023·成都模擬)有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù),甲、乙各需1人承擔(dān),丙需2人承擔(dān)且至少1人是男生,現(xiàn)有2男2女共4名學(xué)生承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù),不同的安排方法種數(shù)是__________.(用具體數(shù)字作答)

解析：①丙選擇一名男生和一名女生:C21C21A2所以不同的安排方法種數(shù)是:10種.答案:10分組、分配問(wèn)題是排列與組合的綜合問(wèn)題,解題思想是先分組后分配(1)分組問(wèn)題屬于“組合”問(wèn)題,常見(jiàn)的分組方法有三種:①完全均勻分組,每組元素的個(gè)數(shù)都相等;②部分均勻分組,應(yīng)注意不要重復(fù);③完全非均勻分組,這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象.(2)分配問(wèn)題屬于“排列”問(wèn)題,常見(jiàn)的分配方法有三種:①相同元素的分配問(wèn)題