全國各地100份中考數(shù)學試卷分類匯編 第32章圓的有關性質(zhì)

2011年全國各地100份中考數(shù)學試卷分類匯編

第32章圓的有關性質(zhì)

一、選擇題

1.（2011廣東湛江16,4分）如圖，A,3,C是O上的三點，NR4C=3O°,則/比C=

度.

【答案】60

2.（2011安徽，7,4分）如圖，。。的半徑是1,4、B、C是圓周上的三點，ZBA（=36°,

則劣弧肥的長是（

JI234

511C.D.-K

【答案】B

3.（2011福建福州，9,4分）如圖2,以。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦切小圓于

點C,若ZAO8=120,則大圓半徑尺與小圓半徑r之間滿足（）

A.R=?B.R=3rC.R=2rD.R=2技

【答案】C_

4.（2011山東泰安，10,3分）如圖，。。的弦48垂直平分半徑。C,若AB=#,則

的半徑為（)

A.鏡B.2鏡C.錯誤！D.錯誤!

【答案】A

5.（2011四川南充市，9,3分）在圓柱形油槽內(nèi)裝有一些油。截面如圖，油面寬AB為6

分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變?yōu)?分米，圓柱形油槽直徑

岷為（）

(A)6分米(B)8分米(C)10分米.(D)12分米

【答案】C

6.（2011浙江衢州，1,3分）一個圓形人工湖如圖所示，弦A8是湖上的一座橋，已知橋

長100m,測得圓周角=45。，則這個人工湖的直彳至為）

A.50amB.1000mC.1500mD.200\^2m

7.（2011浙江紹興，4,4分）如圖，為。的直徑，點C在。上，若NC=16°,

則N3。。的度數(shù)是（）

A.74°B.48°C.32°D.16°

A

（第5題圖）

【答案】C

8.（2011浙江紹興，6,4分）一條排水管的截面如圖所示.已知排水管的截面圓半徑

08=10,截面圓圓心。到水面的距離OC是6,則水面寬是（）

A.16B.10C.8D.6

（第6題圖）

【答案】A

9.（2011浙江省，5,3分）如圖，小華同學設計了一個圓直徑的測量器，標有刻度的尺子

0A、0B在0點釘在一起，并使它們保持垂直，在測直徑時，把。點靠在圓周上，讀得刻度

0E=8個單位，0F=6個單位，則圓的直徑為（）

A.12個單位B.10個單位C.4個單位D.15個單位

?S?K

【答案】B

10.（2011四川重慶，6,4分）如圖，。。是AA8c的外接圓，/OCB=40°則//的度數(shù)

等于（）

A.60°B.50°C.40°D.30°

【答案】B

11.（2011浙江省嘉興，6,4分）如圖，半徑為10的。。中，弦26的長為16,則這條弦

的弦心距為（）

（A）6(B)8(C)10(D)12

【答案】A

12.（2011臺灣臺北，16）如圖（六），3。為圓。的直徑，直線初為圓。的切線，4。兩

點在圓上，就平分/期〃且交而于尸點。若//龍=19。，則/"F的度數(shù)為

A.97B.104C.116D.142

【答案】C

13.（2011臺灣全區(qū)，24）如圖（六），的外接圓上，AB、BC、竊三弧的度數(shù)比為12：

13：11.

自況上取一點2,過，分別作直線AC、直線36的并行線，且交疏于區(qū)尸兩點，則/瓦力

的度數(shù)

為何？

A.55B.60rC.65D.70

【答案】C

14.（2011甘肅蘭州，12,4分）如圖，。。過點B、C,圓心0在等腰Rt^ABC的內(nèi)部，Z

BAC=90°,0A=l,BC=6o則。0的半徑為

A.6B.13C.屈D.2A/13

O

BC

【答案】c

15.(2011四川成都，7,3分)如圖，若是。0的直徑，切是。。的弦，ZABD=58°,則

ZBCD=(B)

(A)116°(B)32°(C)58°(D)64°

【答案】B

16.(2011四川內(nèi)江，9,3分)如圖，。。是△ABC的外接圓，/BAC=60°,若。0的半徑

0C為2,則弦BC的長為

【答案】D

17.(2011江蘇南京，6,2分)如圖，在平面直角坐標系中，。P的圓心是(2,a)(a>2),

半徑為2,函數(shù)y=x的圖象被。P的弦AB的長為2逐，則a的值是

A.2也B.2+2夜C.2百D.2+6

【答案】B

1.18.(2011江蘇南通，8,3分)如圖，。。的弦26=8,〃是48的中點，且刎=3,則

QO

的半徑等于

【答案】D

19.（2011山東臨沂，6,3分）如圖，。。的直徑CD=5cm,AB是。0的弦，ABXCD,垂足

為M,0M：OD=3：5,則AB的長是（）

A.2cmB.3cmC.4cmD.2V21cm

【答案】C

20.（2011上海，6,4分）矩形/反力中，48=8,BC=3瓜點、P在邊48上,dBP=

3AP,如果圓尸是以點尸為圓心，如為半徑的圓，那么下列判斷正確的是（）.

（A）點氏C均在圓戶外；⑻點8在圓戶外、點。在圓尸內(nèi)；

（C）點8在圓尸內(nèi)、點。在圓P外；（D）點反C均在圓尸內(nèi).

【答案】C

21.（2011四川樂山6,3分）如圖（3）,CD是。。的弦,直徑AB過CD的中點M,若/B0C=40°,

則ZABD=

A.40°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

22.（2011四川涼山州，9,4分）如圖，NAO3=100，點c在。上，且點C不與A、

B重合，，則ZACB的度數(shù)為（）

A.50B.80或50C.130Dr.50或130

【答案】D

23.（2011廣東肇慶，7,3分）如圖，四邊形263是圓內(nèi)接四邊形，￡是比延長線上一

點，若NBAD=105°,

則NZO的大小是

A.115°B.105°C.100°D.95°

【答案】B

24.（2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，9,3分）如圖，AB為。。的直徑，CD為弦，AB±CD,

如果/B0C=70°,那么NA的度數(shù)為（）

A.70°B.35°C.30°D.20°

A

B

第9題圖

【答案】B

25.（2011重慶市潼南,3,4分）如圖，AB為。0的直徑，點C在。0上，ZA=30°,則NB

的度數(shù)為

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】D

26.（2011浙江省舟山，6,3分）如圖，半徑為10的。。中，弦志的長為16,則這條弦

的弦心距為（）

（第6題）

【答案】A

二、填空題

1.（2011浙江省舟山，15,4分）如圖，26是半圓直徑，半徑四于點0,4?平分

交弧況1于點D,連結CD、勿,給出以下四個結論:QACHOD；②CE=OE；③

@2CD2=CEAB.其中正確結論的序號是

c

（第16題）

【答案】①④

2.（2011安徽，13,5分）如圖，。。的兩條弦/反切互相垂直，垂足為￡,且/廬切,

己知上1,ED=3,則00的半徑是.

【答案】邵

3.（2011江蘇揚州,15,3分）如圖，。。的弦CD與直徑AB相交，若NBAD=50°，則NACD=

【答案】40°

4.（2011山東日照，14,4分）如圖，在以為直徑的半圓中，有一個邊長為1的內(nèi)接正

方形CDEF,則以/C和寬的長為兩根的一元二次方程是.

【答案】如：x-V5^+l=0；

5.（2011山東泰安，23,3分）如圖，必與。。相切，切點為4即交。。于點C,點8

是優(yōu)弧煙上一點，若N4吐=32°,則/尸的度數(shù)為0

【答案】26°

6.（2011山東威海，15,3分）如圖，。。的直徑AB與弦CD相交于點E,若

7.（2011山東煙臺，16,4分）如圖，的外心坐標是.

【答案】（一2,-1）

8.（2011浙江杭州，14,4）如圖，點4B,C,。都在。。上，包的度數(shù)等于84°,CA

是的平分線，則/月初十

（第14題）

【答案】530

9.（2011浙江溫州，14,5分）如圖，4?是QO的直徑，點G〃都在。。上，連結

CB,DC,DB.已知/氏30°,BC=3,則加的長是

（第14題圖）

【答案】6

10.（2011浙江省嘉興，16,5分）如圖，四是半圓直徑，半徑。入/6于點0,4?平分

分別交OC于點E,交弧比'于點D,連結CD、OD,給出以下四個結論:?SAABC=2SADEO；②AC=2CD；

③線段0D是DE與DA的比例中項；?2CD2=CEAB.其中正確結論的序號是.

【答案】①④

11.（20H福建泉州，16,4分）己知三角形的三邊長分別為3,4,5,則它的邊與半徑為

1的圓的公共點個數(shù)所有可能的情況是.（寫出符合的一種情況即

可）

【答案】2（符合答案即可）

12.（2011甘肅蘭州，16,4分）如圖，0B是。0的半徑，點C、D在。0上,ZDCB=27°,

【答案】63°

13.（2011湖南常德，7,3分）如圖2,已知。。是△49C的外接圓，且/C=70°,則

c

圖2

【答案】20。

14.（20H江蘇連云港，15,3分）如圖，點〃為邊/C上一點，點。為邊4?上一點，/氏20.

以。為圓心，如長為半徑作半圓，交/C于另一點￡,交于點凡G,連接用:若/曲年22°,

則/笈％=.

15.（2011四川廣安，19,3分）如圖3所示，若。。的半徑為13cm,點。是弦上一

動點，且到圓心的最短距離為5cm,則弦A3的長為cm

圖3

【答案】24

16.（2011重慶江津，16,4分）已知如圖，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，/B=30°,則ND=-

【答案】150。

17.（2011重慶菱江，13,4分）如圖，已知四為。。的直徑，/G48=30°,則/八

【答案】：60°

18.（2011江西南昌，13,3分）如圖，在△/優(yōu)■中，點尸是△/比:的內(nèi)心，則/必3/尸。+/以6

=度.

【答案】90

19.（2011江蘇南京，13,2分）如圖，海邊有兩座燈塔A、B,暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點的

弓形（弓形的弧是。。的一部分）區(qū)域內(nèi)，ZA0B=80°,為了避免觸礁，輪船P與A、B

的張角NAPB的最大值為°.

【答案】40

20.（2011上海，17,4分）如圖，AB、4C都是圓。的弦，OMVAB,ONVAC,垂足分別為欣

N,如果仞V=3,那么6C=.

【答案】6

21.（2011江蘇無錫，18,2分）如圖，以原點。為圓心的圓交x軸于點/、8兩點，交y

軸的正半軸于點C,，為第一象限內(nèi)。。上的一點，若/的8=20°,則/欠/二

（第18題）

【答案】65

22.（2011湖北黃石，14,3分）如圖（5）,ZU比7內(nèi)接于圓。，若/人30°.,則

O0的直徑為.

【答案】2g

23.（2.011湖南衡陽，16,3分）如圖，。。的直徑CD過弦E尸的中點G,/￡勿=40°,

則/板的度數(shù)為.

【答案】20

24.（2011湖南永州，8,3分）如圖，在。。中，直徑CD垂直弦AB于點E,連接0B,CB,

已知。0的半徑為2,AB=2V3,則/BCD=度.

（第8題）

【答案】30

25.（20011江蘇鎮(zhèn)江，15,2分）如圖,DE是（90的直徑，弦ABIDE,垂足為C,若AB=6,CE=1,則

OC=,CD=.

D

答案：4,9

26.（2011內(nèi)蒙古烏蘭察布，14,4分）如圖，5E是半徑為6的。D的1圓周，C點是3E

4

上的任意一點，AABD是等邊三角形,則四邊形ABCD的周長P的取值范圍是

E

A

第14題圖

【答案】18<p<18+6④

27.（2011河北，16,3分）如圖7,點0為優(yōu)弧ACB所在圓的圓心，/A0C=108°,點D

在AB的延長線上，BD=BC,則ND=_°.

圖7

【答案】27

28.（2011湖北荊州，12,4分）如圖，00是AABC的外接圓,CD是直徑,ZB=40°,

則NACD的度數(shù)是.

第12題圖

【答案】50°

29.

30.

三、解答題

1.(2011浙江金華，21,8分)如圖，射線4平分/皮*,。為射線如上一點，以。為圓

心，10為半徑作。。，分別與/叱兩邊相交于46和C、D,連結的，此時有的〃加

(1)求證：AP^AO-,

(2)若弦26=12,求tan/。陽的值；

(3)若以圖中已標明的點(即只4B、aD、。)構造四邊形，則能構成菱形的四個點為

,能構成等腰梯形的四個點為或或.

證明：（1）.：PG平■分■4EPF,

：./DPW4BPO,

OA//PE,

：.ADPO^APOA,

:./BPU匕POA,

：.PA=OA-,........2分

解：（2）過點。作加肥于點〃，則/斤吠……1分

2

OH1八

tanZOPB=——=-,:.P42OH,...1分

PH2

設OH=x,則PH=2x,

由（1）可知⑸=勿=10,:.A*PH—P42x—\0,

VAH2+OH~=0^,：.（2x-10）2+x2=102,……1分

解得玉=0（不合題意，舍去），々=8,

：.AH=6,：.AB^AH=12-,........1分

(3)P、A,0、C；/、B、D、?；騊、A,0、，或只C、0、B....2分(寫對1個、2個、

3個得1分，寫對4個得2分)

2.(2011浙江金華，24,12分)如圖，在平面直角坐標系中，點/(10,0),以物為直

徑在第一象限內(nèi)作半圓G點方是該半圓周上的一動點，連結/、AB,并延長至點〃

使龍=48,過點〃作x軸垂線，分別交x軸、直線/于點￡、F,點￡為垂足，連結〃

(1)當//仍=30°時，求弧"的長；

(2)當應=8時，求線段"的長；

(3)在點6運動過程中，是否存在以點￡、C、尸為頂點的三角形與△//相似，若存在，

請求出此時點￡的坐標；若不存在，請說明理由.

解：(1)連結陽

'：A(10,0),：.OA=10,CA=5,

ZAOB=30°,

ACB=2ZAOB=60°,

M1八，,60xx55萬

弧AB的長=---------=——;……4分

1803

(2)連結OD,

;如是。C直徑，煙=90°,

又二A氏BD,

必是4?的垂直平分線，

。氏的=10,

在出中，

OE=^OD2-DE2=A/1O2-82=6,

：.AE=AO-OE=10~G=A,

由ZAOB=ZADB=900-ZOAB,ZOEF^ZDEA,

得叢OEFs叢DEA,

AEEF4EF

——=——，即Hn一=——，.?.止3；4分

DEOE86

(3)設。方x,

①當交點￡在0,。之間時，由以點￡、C.6為頂點的三角形與△業(yè)應相似，有/EC氏/BOA

或/ECP=/OAB,當/優(yōu)片/故1時，此時△龍廣為等腰三角形，點￡為在中點，即〃決之，

2

5

:.區(qū)(-,0)；

2

當//如6時，有上5-x,/斤10-x,

:.CF〃AB,有CF^-AB,

2

,/4ECFs叢EAD,

???烏=空，即二一解得:10

x=一

AEAD10—x3

**?E?(—,0);

3

②當交點￡在點。的右側時，

■:/ECF>/BOA,

???要使△&/與△物〃相似，只能使N￡C戶N為。,

連結典

???龐為RtA4座斜邊上的中線，

：.BE=AB^BDf

；?/BEA:/BAO,

：./BE4/ECF,

.CFPC

：.CF//BE,

*BE-OE

Y/EC戶/BAO,ZFEC=ZDEA=RtZ9

,CFCE

:ZEFsMAED,

,AD-AE

.PCCE

而AF2BE、

，#2OE~~AE

5x-5"I,「三出<。（舍去）,

即Dn一二-----解得%!

2x10-x424

.F(5+5后

,0);

4

③當交點￡在點。的左側時，

ZB0A=ZE0F>/ECF.

???要使△瓜戶與△物。相似,只能使N￡C戶N物。

連結龐，得夠LADMBZBEA^ZBAO

2

???/EC戶/BEA,

：.CF//BEf

.CFOC

BEOE

又■:/EC六/BA0,ZFEr(=ZDEA=RtZ,

CECF

:ACEFSMAED,??—,

AEAD

OCCE

而AF2BE、

2OE-AE'

.5_x+5?-5+5]17—5-5117,,

解&q得z尤i=---------------,x=-----------------<0(舍去)，

2x10+x424

:點￡在才軸負半軸上，：.&（"5舊,0）,

4

綜上所述：存在以點區(qū)C、尸為頂點的三角形與△力/相似,此時點￡坐標為:

丁"、"2j?！?，。）、心（十，。）??…4分

3.（2011山東德州22,10分）?觀察計算

當a=5,6=3時，管與J石的大小關系是

當a=4,6=4時，一與癡的大小關系是—

?探究證明

如圖所示，AA8C為圓。的內(nèi)接三角形，AB為直徑，過。作CDLAB于〃設AO=a,

B2b.

（1）分別用Q泊表示線段OC,CD；

（2）探求%與切表達式之間存在的關系

AB

（用含a,6的式子表示）.

?歸納結論

根據(jù)上面的觀察計算、探究證明，你能得出學與，益的大小關系是：

?實踐應用

要制作面積為1平方米的長方形鏡框，直接利用探究得出的結論，求出鏡框周長的最小值.

【答案】?觀察計算：學〉疝，號二嵐?..............2分

?探究證明：

(1)AB=AD+BD=2OC,

???0C=生心..............3分

2

AB為。。直徑，

：.ZACB=90°.

ZA+ZACD=90°,ZACD+ZBCD=9Q0,

：./歸/BCD.

△ACDCBD...............4分

.AD_CD

**CD-BD,

即CD2=ADBD=ab,

:.CD=dab...............5分

(2)當a=b時，OC=C。，?二府；

awb時，OC〉CD,^->4ab-..............6分

?結論歸納：^->4ab-............7分

?實踐應用

設長方形一邊長為九米,則另一邊長為,米,設鏡框周長為/米，則

X

Z=2(x+-)^4.L-=4.…….....9分

xVx

當了=!，即X=1(米)時，鏡框周長最小.

X

此時四邊形為正方形時，周長最小為4米.............10分

4.(2011山東濟寧，19,6分)如圖，AD為AABC外接圓的直徑，AD±BC,垂足為點

F,NA3C的平分線交AD于點E,連接班＞,CD.

(1)求證：BD=CD；

(2)請判斷5,E,C三點是否在以。為圓心，以DB為半徑的圓上？并說明理由

【答案】(1)證明：：為直徑，AD1BC,

BD=CD.：.BD=CD.3分

（2）答：B,E,C三點在以。為圓心，以￡）3為半徑的圓上..............4分

理由：由（1）知：BD=CD,：.ZBAD=ZCBD.

?：ZDBE=ZCBD+ZCBE,ZDEB=ZBAD+ZABE,ZCBE=ZABE,

：.ZDBE=ZDEB.：.DB=DE.....................................6分

由（1）知：BD=CD./.DB=DE=DC.

：.B,E,C三點在以。為圓心，以DB為半徑的圓上..............7分

5.（2011山東煙臺，25,12分）已知：48是。。的直徑，弦于點G,￡是直線

48上一動點（不與點4B、G重合），直線應交。。于點凡直線⑦交直線46于點a設

。。的半徑為r.

（1）如圖1,當點￡在直徑相上時，試證明：OE?OP=F

（2）當點￡在26（或及I）的延長線上時，以如圖2點￡的位置為例，請你畫出符合題

意的圖形，標注上字母，（1）中的結論是否成立？請說明理由.

（圖1）（圖2）

【答案】（1）證明：連接刀。并延長交。。于0,連接，Q.

:園是。。直徑，:./FDQ=90°.

...NM+Ng90°.

'：CDLAB,：.ZP+ZC=90°.

'：ZQ=ZC,：.ZQFD=ZP.

'：/F0E=ZPOF,：.XFOEs/\fOF.（第25題圖）

,OE

>?--------：.OE-OP^Of^r.

OFOP

（2）解：（1）中的結論成立.

理由：如圖2,依題意畫出圖形，連接內(nèi)。并延長交。。于

M,連接CM.

（第25CS）

:*/是。。直徑，：.ZFCM=90°,：.ZM+ZCFM=9Q°.

'：CDLAB,；./￡+/小90°.

,:/M=/D,:.NCFM=/E.

:APOF=AFOE,：.△?如sXFOE.

.OP^OF：.OE?OP=O戶=￥.

OFOE

(1)根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三

角形”是真命題還是假命題？

(2)在RtA/況■中，ZACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且人＞a,若RtA/氏。是奇異

三角形，求a：b-.c；

(3)如圖，是。。的直徑，。是上一點(不與點46重合)，。是半圓/筋的中點，CD

在直徑的兩側，若在。。內(nèi)存在點￡使得/￡=/〃，CB=CE.

①求證：△/應是奇異三角形;

②當A/〃是直角三角形時，求/4%的度數(shù).

【答案】解：(1)真命題

(2)在RtA/6c中a+lf=c,

*/c>b>a>0

：.2c>a+l),2a<c+lf

.?.若RtA/8c是奇異三角形，一定有2"=。?+a

：.2l)=a+(a4")

/.tf=2a得：b=yf2a

Vc2=^+a=3a

■?c=>\^a

；?a：brtc—1：*^2：

(3)①VAB是。0的直徑ACBADB=90°

在RtA力6c中，A^+Bd=A^

在RtA4應中，//+初=/#

:點D是半圓/筋的中點

cr-\

：.AD=BD

：.AD=BD

，/#=4萬+初=2/4

，—+切=2瘋

又：CB=CE,AE=AD

：.A(^=C^=2AE

；.A4常是奇異三角形

②由①可得應是奇異三角形

:.Ad=C^=2A總

當A4"是直角三角形時____

由(2)可得4C：AE-.CE=k巾：小或力C：AE-."=/：娟：1

(I)當4aAE-.CE=\：y[2：/時

AC：CE=\：/即/C：CB=1-.y[3

：N4%=90°

：.ZABC=30°

：.ZA0C=2,ZABC=60°

(II)當/C：AE-.CE=事:y[2：1時

AC："=立1即AC：CB=y[l：1

'：AACB=^°

：.ZABC=&GQ

：.ZAOC=2,ZABC=120°

AZAOC=2ZABC=120°

的度數(shù)為60°或120°

7.(2011浙江麗水，21,8分)如圖，射線"平分打。為射線為上一點，以。為圓

心，10為半徑作。。，分別與/m7兩邊相交于4、8和C、D,連結力，此時有力〃也

(1)求證：AP^AO-,

(2)若弦26=12,求tan/O陽的值；

(3)若以圖中已標明的點(即只4B、C、D、。構造四邊形，則能構成菱形的四個點為—

,能構成等腰梯形的四個點為或或

aE

【解】(1)?:PG平分乙EPF,

：./DPg/BPO,

'：OA//PE,

:./DP年/POA,

:./BPG/POA,

：.PA^OA；

(2)過點。作陪加于點H,則A拒HB,

???被12,

:.A46,

由(1)可知為二十二10,

:.P由PA+A*16,

好,1()2—62=8,

OH1

?*.tanZOPB^pg---,

(3)P、/、0、C；4B、D、C或尸、A,0、D或P、C、0、B.

8.(2011廣東廣州市，25,14分)

如圖7,。。中是直徑，。是。。上一點，//8信45°,等腰直角三角形灰為中ZDCE

是直角，點。在線段/C上.

(1)證明：B、a￡三點共線；_

(2)若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN=、「0M；

(3)將4DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<90°)后，記為ADiCEi(圖B),若Mi

是線段BE1的中點，Ni是線段ADi的中點，MN二月CM是否成立？若是,請證明；若不是，說

明理由.

AA

Ni

圖7圖8

【答案】(D〈AB為。0直徑

???ZACB=90°

???△〃應為等腰直角三角形

JZACE=90°

AZBCE=90°+90°=180°

???B、C、E三點共線.

(2)連接BD,AE,ON.

VZACB=90°,ZABC=45°

AAB=AC

VDC=DE

ZACB=ZACE=90°

:.ABCD^AACB

AAE=BD,ZDBE=ZEAC

???ZDBE+ZBEA=90°

Z.BD1AE

VO,N為中點

A0N/7BD,ON=1BD

Zu

同理0M〃AE,0M=1AE

4

A0M10N,0M=0N

.,.MN=-V20M

(3)成立

證明：同(2)旋轉(zhuǎn)后NBCDi=NBCEi=90°-ZACDi

所以仍有△BCDi^^ACEi,

所以△ACE1是由△BCD1繞點C順時針旋轉(zhuǎn)9O°而得到的，故BDiLAEi

其余證明過程與(2)完全相同.

9.(2011浙江麗水，24,12分)如圖，在平面直角坐標系中，點4(10,0),以以為直徑

在第一象限內(nèi)作半圓G點6是該半圓周上的一動點，連結如、AB,并延長至點〃使

DB=AB,過點〃作x軸垂線，分別交x軸、直線/于點￡、凡點￡為垂足，連結〃

(1)當//加=30°時，求弧46的長；

(2)當龍=8時，求線段"的長；

(3)在點6運動過程中，是否存在以點￡、C、尸為頂點的三角形與△力仍相似，若存在，

請求出此時點￡的坐標；若不存在，請說明理由.

【解】（1）連結8C,

0),：.OA=10,CA=5,

\'ZAOB=3Qa,

：.ZACB=2ZAOB=60°,

.,x60XJIX55Ji

.-；

loUoQ

(2)連結OD,

「如是。。的直徑，①4=90

又,：A斤BD,

是4?的垂直平分線，

.=勿=10,

在厲中，

0斤N04一除、10。-8?=6,

:.缶AO-OE=10-6=4,

由//阱法90°-AOAB,

NOE百/DEA,

得△施尸s△困,

.AEEF4EF

"'DE0^即8-6，:.E23；

⑶設0方x,

①當交點￡在0,C之間時，由以點￡、a6為頂點的三角形與△/如相似，

有/EC2/BOA或/EC尺/OAB,當/況戶N6的時，此時△女/為等腰三角形,

點￡為"的中點，即端，

當/況戶/的6時，有層5—x,/斤10—石

‘：XECFsXEAD,

.CECFrr5—X1Eg10

即『7?解侍『，

10\

z,0）；

o

②當交點￡在。的右側時，

9：ZECF>ZBOA

???要使△灰尸與△物。相似，只能使N￡C六N胡。,

連結典

■:BE為RtA4座斜邊上的中線，

：.B￡=AB=BDf

：.ZBEA=ZBAOf

：.ZBEA=ZECFf

-CFOC

.CF//BE,??BEIE

■:/EC六/BAO,ZFEC=ZDEA=RtZ,

CFCE

△ACEFsXAAED,-77F—,

.OCCE

而AW2BE,

??20EAE

即六x~5

4x10-/

解得荀,=錯誤!，乃錯誤!〈0（舍去）,

.?.笈（錯誤!，0）；

③當交點￡在。的左側時，

,：ZBOA=ZEOF>ZECF

要使△￡6F與△歷1。相似，只能使/況戶/及I。,

連結龐，得B"AAAB,

ABEA=ZBAO,

：.NEC2/BEA,

CF//BE,

.CFPC

"'BE0e

又,：NEC2NBA0,/FEC=/DEA=Rt/,

CECF

△ACEFsAAAED,通拓，

工OCCE

而小2陽???亦行

■記，解得X尸錯誤!，劉二錯誤!<0（舍去），

?.?點一在x軸負半軸上，.?.笈（錯誤!，0）,

綜上所述：存在以點￡、a尸為頂點的三角形與△/仍相似，此時點￡坐標為：

?"（*50）、笈（1三0，0）、笈（錯誤!，0）、笈（錯誤!，0）.

10.（2011江西，21,8分）如圖，已知。。的半徑為2,弦BC的長為2百，點A為弦BC

所對優(yōu)弧上任意一點（B,C兩點除外）。

⑴求NBAC的度數(shù)；

⑵求4ABC面積的最大值.

（參考數(shù)據(jù)：sin60°=43,Cos30°=-^-,tan30°=—-.）

223

【答案】（1）過點。作如，用于點D,連接加

因為除2A所以。，磴二后.

2

又002,所以sinNDOC=￡2,BPsinZDOC=—,

OC2

所以/加信60°.

又OD_LBC,所以/胡信/。。信60°.

（2）因為△ABC中的邊況的長不變，所以底邊上的高最大時，面積的最大值，即點A

是8AC的中點時，△46C面積的最大值.

因為/為田60°,所以是等邊三角形，

在RtzX/%中，AC=2。,D（=^,

所以/女JAC?-DC?=?2后-后=3.

所以△/笈面積的最大值為2有X3xL3g\

2

11.(2011湖南常德，25,10分)已知叢ABC,分別以AC和BC為直徑作半圓O］、Q，尸

是46的中點.

(1)如圖8,若△/8C是等腰三角形，且AOBC,在AC,上分別取點E、F,使

NAOiE=NBQE則有結論①POrE=②四邊形尸QCQ是菱形?請給出結論

②的證明；

(2)如圖9,若(1)中4ABC是任意三角形，其它條件不變，則(1)中的兩個結論還成

立嗎？若成立，請給出證明；

(3)如圖10,若尸C是a的切線，求證：AB~=BC2+3AC2

【答案】

(1)證明：是。0直徑，則62是寬的中點

又尸是48的中點.

：.P02,是4ABC的中位線

1

：.P02,=-AC

2

又AC是。為直徑

1

：.P62=(71C=-AC

2

同理#01=02C=-BC

2

VAC=BC

：.P62=(KC=P<71=O2C

.,?四邊形PqCQ是菱形

(2)結論①POXE=EQP，成立，結論②不成立

證明：在(1)中已證依=工ng又為后4AC

22

：.P02,=(AE

同理可得歐=0戶

'：P02,是的中位線

.?.尸0〃AC

ZPOZB^ZACB

同理/2(AK=/ACB

：.ZPOZB^ZP/A

,：Z.AOYE=NB02F

：.AP/A+N4(7LE=ZPffiB+ZWF

即/尸(AE=/F02P

(3)證明：延長AC交。力于點D,連接BD.

：BC是。組的直徑，則ND=90°,

又PC是。的切線，則/ACP=90°,

.\ZACP=ZD

又/PAC=NBAD,

:.MAPCsXBAD

又P是AB的中點

?ACAP--1

"AD~AB^2

；.AC=CD

/.在RtABCD中，BC2=CD2+BD2=AC2+BD2

在RtAABD中，AB2=AD2+BD2

/.AB2=4AC2+5D2=(AC2+5D2)+3AC2

/.AB-=BC2+3AC2

12.(2011江蘇蘇州，26,8分)如圖，已知AB是。0的弦，0B=2,ZB=30°,C是弦AB

上任意一點(不與點A、B重合)，連接C0并延長CO交。。于點D,連接AD.

(1)弦長AB=(結果保留根號)；

(2)當/D=20°時，求/BOD的度數(shù)；

(3)當AC的長度為多少時，以點A、C、D為頂點的三角形與以B、C、0