高中數(shù)學(xué)人教A版選修21課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十四）空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

課時(shí)跟蹤檢測(cè)（十四）空間向量的數(shù)量積運(yùn)算層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．已知向量a，b是平面α內(nèi)兩個(gè)不相等的非零向量，非零向量c在直線l上，則c·a＝0，且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B若l⊥平面α，則c⊥a，c·a＝0，c⊥b，c·b＝0；反之，若a∥b，則c⊥a，c⊥b，并不能保證l⊥平面α.2．已知e1，e2是夾角為60°的兩個(gè)單位向量，則a＝e1＋e2與b＝e1－2e2的夾角是()A．60° B．120°C．30° D．90°解析：選Ba·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝eeq\o\al(2,1)－e1·e2－2eeq\o\al(2,2)＝1－1×1×eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)，|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(e1＋e22)＝eq\r(e\o\al(2,1)＋2e1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3)，|b|＝eq\r(b2)＝eq\r(e1－2e22)＝eq\r(e\o\al(2,1)－4e1·e2＋4e\o\al(2,2))＝eq\r(1－2＋4)＝eq\r(3).∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(3,2),3)＝－eq\f(1,2).∴〈a，b〉＝120°.3.如圖，已知空間四邊形每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于a，E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點(diǎn)，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是()A．2·B．2·C．2·D．2·解析：選C2·＝－a2，故A錯(cuò)；2·＝－a2，故B錯(cuò)；2·＝－eq\f(1,2)a2，故D錯(cuò)，只有C正確．4．已知四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，連接AC，BD，PB，PC，PD，則下列各組向量中，數(shù)量積不為零的是()A．與 B．與C．與 D．與解析：選A用排除法，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0，排除D；因?yàn)锳D⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0，排除B，同理·＝0，排除C.5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，有下列命題：①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③與的夾角為60°；④正方體的體積為|··|.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B如圖所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；·(－)＝·＝0；與的夾角是與夾角的補(bǔ)角，而與的夾角為60°，故與的夾角為120°；正方體的體積為||||||.綜上可知，①②正確．6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，則|a－b|＝________.解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.答案：227．已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，如圖，則PC等于________．解析：∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋0＋0＋2||||cos60°＝108＋2×6×6×eq\f(1,2)＝144.∴PC＝12.答案：128．已知a，b是異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a，b所成的角是________．解析：＝＋＋，∴·＝·(＋＋)＝||2＝1，∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝eq\f(1,2)，∴異面直線a，b所成角是60°.答案：60°9．已知空間四邊形OABC各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都相等，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，求異面直線OE與BF所成角的余弦值．解：如圖所示，設(shè)＝a，＝b，＝c，|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝eq\f(π,3)，則a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).∵＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(a＋b)，＝－＝eq\f(1,2)－＝eq\f(1,2)c－b，又||＝||＝eq\f(\r(3),2)，∴·＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－b))＝eq\f(1,4)a·c＋eq\f(1,4)b·c－eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)b2＝－eq\f(1,2)，∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝－eq\f(2,3).∴異面直線OE與BF所成角的余弦值是eq\f(2,3).10.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長(zhǎng)為eq\r(2).(1)設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為1，求證：AB1⊥BC1；(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為eq\f(π,3)，求側(cè)棱的長(zhǎng)．解：(1)證明：＝＋，＝＋.∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.又△ABC為正三角形，∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.(2)由(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.又||＝eq\r(2＋2)＝eq\r(2＋2)＝||，∴cos〈，〉＝eq\f(2－1,2＋2)＝eq\f(1,2)，∴||＝2，即側(cè)棱長(zhǎng)為2.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．已知在正四面體A-BCD中，所有棱長(zhǎng)都為1，△ABC的重心為G，則DG的長(zhǎng)為()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(\r(6),3)解析：選D如圖，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，連接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝eq\f(2,3)AM，∴＝eq\f(2,3)，＝＋＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(2,3)(－)＝＋eq\f(2,3)eq\f(1,2)(＋)－＝eq\f(1,3)(＋＋)，而(＋＋)2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴||＝eq\f(\r(6),3).2．已知空間四邊形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，則AB與CD所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C根據(jù)已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，∴·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，∴cos，＝eq\f(·,||||)＝eq\f(1,2)，∴AB與CD所成的角為60°.3．設(shè)a，b，c是任意的非零空間向量，且它們互不共線，給出下列命題：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)c－(c·a)b一定不與c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正確的是()A．①② B．②③C．③④ D．②④解析：選D根據(jù)向量數(shù)量積的定義及性質(zhì)，可知a·b和c·a是實(shí)數(shù)，而c與b不共線，故(a·b)c與(c·a)b不一定相等，故①錯(cuò)誤；③因?yàn)閇(b·a)c－(c·a)b]·c＝(b·a)c2－(c·a)(b·c)，所以當(dāng)a⊥b，且a⊥c或b⊥c時(shí)，[(b·a)c－(c·a)b]·c＝0，即(b·a)c－(c·a)b與c垂直，故③錯(cuò)誤；易知②④正確．故選D.4．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足·＝0，·＝0，·＝0，則△BCD()A．是鈍角三角形 B．是銳角三角形C．是直角三角形 D．形狀不確定解析：選B∵＝－，＝－，∴·＝(－)(－)＝·－·－·＋||2＝||2>0，∴cos∠CBD＝cos，＝eq\f(·,||·||)>0，∴∠CBD為銳角．同理，∠BCD與∠BDC均為銳角，∴△BCD為銳角三角形．5．已知a，b是空間兩個(gè)向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，則cosa，b＝________.解析：將|a－b|＝eq\r(7)兩邊平方，得(a－b)2＝7.因?yàn)閨a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝eq\f(1,2).又a·b＝|a||b|cosa，b，故cosa，b＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)6.如圖所示，在一個(gè)直二面角α-AB-β的棱上有兩點(diǎn)A，B，AC，BD分別是這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD的長(zhǎng)為________．解析：∵＝＋＋＝－＋，∴＝(－＋)2＝＋＋－2·＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，∴||＝2eq\r(29).答案：2eq\r(29)7.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，E為CC1上的點(diǎn)，且CE＝1，求異面直線AB1，BE所成角的余弦值．解：·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋0＋0＋3＝3.依題意，易知||＝eq\r(10)，||＝eq\r(5)，∴cos，＝eq\f(·,||||)＝eq\f(3,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),10).8．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1