江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，即，解得，所以，又，所以故選：C2.已知雙曲線C：經(jīng)過點，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因為雙曲線C：經(jīng)過點，所以，漸近線方程為.故選：B.3.已知，是兩個虛數(shù)，則“，均為純虛數(shù)”是“為實數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗若均為純虛數(shù)，設(shè)且,則，所以“均為純虛數(shù)”是是實數(shù)的充分條件，當(dāng)，，所以“均為純虛數(shù)”是是實數(shù)的不必要條件，綜上所述：“均為純虛數(shù)”是是實數(shù)的充分不必要條件.故選：A.4.已知隨機變量，且，則的最小值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為隨機變量，且，則，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，的最小值為.故選：B.5.羽毛球比賽水平相當(dāng)?shù)募住⒁?、丙三人舉行羽毛球比賽.規(guī)則為：每局兩人比賽，另一人擔(dān)任裁判.每局比賽結(jié)束時，負方在下一局比賽中擔(dān)任裁判.如果第1局甲擔(dān)任裁判，則第3局甲還擔(dān)任裁判的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由于甲、乙、丙三人的比賽水平相當(dāng)，所以第二局乙或丙擔(dān)任裁判的概率都是，第二局若是乙當(dāng)裁判，則第三局甲或丙擔(dān)任裁判的概率都是，第二局若是丙當(dāng)裁判，則第三局甲或乙擔(dān)任裁判的概率都是，由全概率公式可知，如果第1局甲擔(dān)任裁判，則第3局甲還擔(dān)任裁判的概率為.故選：C.6.已知非零向量，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，為非零向量，所以，即因為，所以，則，即，即，由于，所以兩邊同除，可得：，解得：tanα=13或(所以.故選：D.7.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點O，焦點在x軸上，過E的右焦點且斜率為1的直線l交E于A，B兩點，且原點O到直線l的距離等于E的短軸長，則E的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)橢圓的方程為，所以，所以直線l的方程為，所以原點O到直線l的距離等于E的短軸長，即，得，又，所以，所以，故選:A.8.正三棱錐和正三棱錐Q-ABC共底面ABC，這兩個正三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，點P和點Q在平面ABC的異側(cè)，這兩個正三棱錐的側(cè)面與底面ABC所成的角分別為，，則當(dāng)最大時，（）A. B. C.-1 D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得球心在，設(shè)與的交點為，于M，由題意可得，所以為兩個正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角分別為，所以，，設(shè)外接球的半徑為,球心到平面的距離為,則，設(shè)的邊長為，由正三角形的性質(zhì)，所以，，,所以所以，所以，故當(dāng)時，最大，此時.故選：D.二、選擇題9.設(shè)m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中正確的有（）A.若，，，則B.，，，則C.若，，，則D.若，，，則〖答案〗BCD〖解析〗A.若，，，不能推出或，則不能推出，故A錯誤；B.若，，則，又，所以，故B正確；C.若，，則，又，所以，故C正確；D.若，，，說明與和垂直的法向量互相垂直，則，故D正確.故選：BCD10.已知定義在R上的函數(shù)滿足，且不是常函數(shù)，則下列說法中正確的有（）A.若2為的周期，則為奇函數(shù)B.若為奇函數(shù)，則2為的周期C.若4為的周期，則為偶函數(shù)D.若為偶函數(shù)，則4為的周期〖答案〗ABD〖解析〗對于A：若2是的周期，則，由，可得，所以，所以為奇函數(shù)；故A正確；對于B：若為奇函數(shù)，則，由，可得，所以2是的周期，故B正確；若4是的周期，則，由，可得，所以，所以為奇函數(shù)；故C不正確；對于D：若為偶函數(shù)，則，由，可得，所以，所以，所以4是的周期，故D正確.故選：ABD.11.在長方形ABCD中，，，點E，F(xiàn)分別為邊BC和CD上兩個動點（含端點），且，設(shè)，，則（）A.， B.為定值C.的最小值50 D.的最大值為〖答案〗AC〖解析〗對于A，由題意知當(dāng)E和B重合時，，此時取最小值，取到最大值1；當(dāng)F和D重合時，，此時取最小值，取到最大值1，A正確；對于B，當(dāng)E和B重合時，，；當(dāng)分別位于的中點時，滿足，此時，，由此可知不為定值，B錯誤；對于C，，由，得，即,即，即，設(shè)，，則，（為輔助角，），當(dāng)時，取到最小值50，即的最小值50，C正確，對于D，當(dāng)時，，則，故D錯誤，故選：AC.三、填空題12.已知圓O：，過點的直線l交圓O于A,B兩點,且，則滿足上述條件的一條直線l的方程為____________.〖答案〗（或，〖答案〗不唯一）〖解析〗由題意得圓心，半徑，，故M點在圓O外，設(shè)點O到直線l的距離為d，由得，即，即，即，解得，設(shè)直線l的方程為，則或，所以直線l的方程為或.故〖答案〗：（或，〖答案〗不唯一）.13.設(shè)鈍角三個內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c,若，，，則________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，，而由，得，因為是鈍角三角形，且，故A為銳角，所以，所以，解得或，當(dāng)時，即，，由大邊對大角得：最大角為C，，故C為銳角，不符合題意；當(dāng)時，即，，由大邊對大角得：最大角為B，，故B是鈍角，符合題意，故〖答案〗為：14.如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上為增函數(shù)，則記為，函數(shù)在區(qū)間[a，b]上為減函數(shù)，則記為.如果，則實數(shù)m的最小值為________；如果函數(shù)，且，，則實數(shù)________.〖答案〗41〖解析〗對于第一空：由題意在上單調(diào)遞增，因為，所以，令，則，由對勾函數(shù)性質(zhì)得當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以，即實數(shù)的最小值為2，所以實數(shù)的最小值為4；對于第二空：函數(shù)可導(dǎo)，所以，由題意在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即是函數(shù)的極值點，所以，解得或，經(jīng)檢驗不滿足題意，符合題意，所以.故〖答案〗為：4；1.四、解答題15.如圖，直三棱柱的體積為1，，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．（1）證明：直三棱柱的體積為：，則，四邊形為正方形，法一：在直棱柱中，面，，又平面，則，因為，，，平面，所以平面，又平面，所以，因為，所以，在正方形中，有，因為，，，平面，所以平面，又平面，所以．法二：直棱柱，平面，又，以為原點，，，所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，所以．（2）解：由（1）得，設(shè)，在中，過作于，連接，因為，，平面，且，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，因為，，得，又在中，，得，，所以二面角的余弦值為．法二：，，，，，，，設(shè)平面的法向量：，則，取，得，，，設(shè)面的法向量，則，取，得，設(shè)二面角的大小為，則：，因為為銳角，所以二面角余弦值為．16.某班統(tǒng)計了全班50名同學(xué)在某一周內(nèi)到圖書館借閱次數(shù)的相關(guān)數(shù)據(jù)，結(jié)果如下表：借閱次數(shù)01234567合計男生人數(shù)2535512225女生人數(shù)4455321125合計人數(shù)69810833350若將該周內(nèi)到圖書館借閱次數(shù)不少于3次的學(xué)生，稱為“愛好閱讀生”；少于3次的學(xué)生稱為“一般閱讀生”．（1）請完成以下列聯(lián)表；問：能否有90％的把握認為愛好閱讀與性別有關(guān)？性別閱讀合計一般愛好男生女生合計附：，．0.10.050.01k2.7063.8416.635（2）班主任從該周內(nèi)在圖書館借閱次數(shù)為0同學(xué)中，一次性隨機抽取3人了解有關(guān)情況，求抽到的男生人數(shù)的概率分布和數(shù)學(xué)期望．解：（1）列聯(lián)表：性別閱讀合計一般愛好男生101525女生131225合計232750提出假設(shè)：是否喜愛閱讀與性別沒有關(guān)系，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，可以求得：，所以沒有90％的把握認為喜愛閱讀與性別有關(guān)．（2）隨機變量服從超幾何分布，可能取0，1，2，，，，則的分布列為：012所以，故抽取男生人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為1．17.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：；（2）若在區(qū)間上有且只有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.（1）證明：因為函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，.要證，只需證：當(dāng)時，.令，則，則在單調(diào)遞增，所以，即.（2）解：，令，則.所以在單調(diào)遞增，，①時，，.則在為增函數(shù)，在上無極值點，矛盾.②當(dāng)時，.由（1）知，，，則，則使.當(dāng)時，，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，，則在上單調(diào)遞增.因此，在區(qū)間上恰有一個極值點，所以的取值范圍為.18.已知F為拋物線C：的焦點，點A在C上，.點P（0，-2），M，N是拋物線上不同兩點，直線PM和直線PN的斜率分別為，.（1）求C的方程；（2）存在點Q，當(dāng)直線MN經(jīng)過點Q時，恒成立，請求出滿足條件的所有點Q的坐標(biāo)；（3）對于（2）中的一個點Q，當(dāng)直線MN經(jīng)過點Q時，|MN|存在最小值，試求出這個最小值.解：（1），設(shè)，則，所以得：，解得或（舍），所以拋物線C的方程為①.（2）設(shè)直線MN：②，，，聯(lián)立①②，得.所以③，，④.，，則，.因為，即：，即：，則或，能滿足③式.則MN：，或MN：，所以定點Q的坐標(biāo)為（2，2）或（4，2）；（3）如MN過（4，2）點，當(dāng)時，，但此時M，N重合，則|MN|無最小值，所以MN只能過（2，2）點，此時|MN|有最小值.由（2），在④中，令得：，，.令，則，.當(dāng)時，，在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時，有最小值，|MN|有最小值.19.如圖所示數(shù)陣，第行共有個數(shù)，第m行的第1個數(shù)為，第2個數(shù)為，第個數(shù)為.規(guī)定：.（1）試判斷每一行的最后兩個數(shù)的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）求證：每一行的所有數(shù)之和等于下一行的最后一個數(shù)；（3）從第1行起，每一行最后一個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前n項和為是否存在正整數(shù)k，使得對任意正整數(shù)n，恒成立？如存在，請求出k的最大值，如不存在，請說明理由.（1）解：第1行最后兩數(shù)，第2行的最后兩數(shù).第m（）行的第m個數(shù)為，第個數(shù)為，猜測：，即證：，法一：因為，只要證明，該式顯然成立，所以，所以每行最后兩個