內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考試范圍：必修2第3—4章全部內(nèi)容，必修3，選修2-1，2-2，2-3，4-4，4-5本試卷共23題，共150分，共8頁，考試用時120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名，準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼條形碼區(qū)域內(nèi).2.選擇題〖答案〗必須使用2B鉛筆填涂，非選擇題〖答案〗使用0.5毫來黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整，筆跡清楚.3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的〖答案〗無效；在草稿紙、試卷上答題無效.4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部是（）A.－1 B.1 C. D.i〖答案〗A〖解析〗因為，所以則z的虛部是－1，故B，C，D錯誤.故選：A.2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗命題“”的否定是“”.故選：A.3.直線，若的傾斜角為30°，則的斜率為()A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，∴.故選：B.4.5G技術(shù)在我國已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，5G手機(jī)的銷量也逐漸上升，某手機(jī)商城統(tǒng)計了最近5個月手機(jī)的實際銷量，如下表所示：時間12345銷售量（千只）0.50.81.01.21.5若與線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則下列說法不正確的是（）A.由題中數(shù)據(jù)可知，變量與正相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)B.線性回歸方程中C.殘差的最大值與最小值之和為0D.可以預(yù)測時該商場手機(jī)銷量約為1.72（千只）〖答案〗B〖解析〗從數(shù)據(jù)看y隨x的增加而增加，故變量與正相關(guān)，由于各增量并不相等，故相關(guān)系數(shù)，故A正確；由已知數(shù)據(jù)易得代入中得到，故B錯誤；，，，，，，，，，，，殘差的最大值與最小值之和為0，故正確；時該商場手機(jī)銷量約為，故D正確.故選：B5.直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓,則實數(shù)的值是（）A.或 B.或 C.或 D.或〖答案〗A〖解析〗直線和直線與兩坐標(biāo)軸圍成的四邊形有外接圓,這四條直線圍成一個矩形，故即：解得：或.故選：A.6.已知的二項展開式中，第項與第項的二項式系數(shù)相等，則所有項的系數(shù)之和為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，且第項與第項的二項式系數(shù)相等，所以，解得，取，所以所有項的系數(shù)之和為：.故選：C7.2023年4月5日是我國的傳統(tǒng)節(jié)日“清明節(jié)”.這天，王華的媽媽煮了五個青團(tuán)子，其中兩個肉餡，三個豆沙餡，王華隨機(jī)拿了兩個青團(tuán)子，若已知王華拿到的兩個青團(tuán)子為同一種餡，則這兩個青團(tuán)子都為肉餡的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)事件A為“王華拿到的兩個青團(tuán)子為同一種餡”，事件AB為“兩個青團(tuán)子都為肉餡”，則事件A包含的基本事件的個數(shù)為，事件AB包含的基本事件的個數(shù)為，所以,故選：A8.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，過點且與x軸垂直的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為過點且與x軸垂直的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，所以，因為，所以，所以，設(shè)，則，所以，得，所以，，因為，所以，所以，所以，所以，所以離心率，故選：C9.過圓內(nèi)一點作一弦交圓于、兩點，過點、分別作圓的切線、，兩切線交于點，則點的軌跡方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)點坐標(biāo)為，根據(jù)圓的直徑式方程知，以為直徑的圓的方程為，兩圓方程作差可得公共弦的方程為，而在直線上，，故點的軌跡方程為，故選：C．10.《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖，在陽馬中，側(cè)棱底面，且，過棱的中點，作交于點，連接，，，.則在陽馬中，鱉臑的個數(shù)為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為底面，所以，由底面為長方形，有，而，所以平面，同理平面，故四面體和都是鱉臑.而平面，所以.又因為，點是的中點，所以.而，所以平面.而平面，所以.又，，所以平面.由平面，平面，可知四面體?和的四個面都是直角三角形，即四面體?和都是鱉臑.綜上有個鱉臑.故選：B.11.已知橢圓E：的離心率的取值范圍是，其左右焦點分別是，，若P為橢圓上位于y軸右側(cè)的一點，則的值為（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗D〖解析〗由題意，點P是橢圓上位于y軸右側(cè)的一點，可得，設(shè)，則，由橢圓的定義可知，因此，又因為是右焦點，所以，即，整理得，所以，解得，即.故選：D.12.已知，，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，設(shè)，所以，令，所以，所以，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增，又，所以，，即，故C錯誤；設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，所以，即，所以，故D錯誤；設(shè)，令，則，當(dāng)，，則單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)，，所以，即，故B錯誤，，A正確.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請將〖答案〗填在答題卡對應(yīng)題號的位置上.13.已知隨機(jī)變量，且，則______.〖答案〗〖解析〗因為，所以正態(tài)曲線的對稱軸為，因為，所以，所以.故〖答案〗為：14.在新冠肺炎防控期間，從國外歸來的人，必須進(jìn)行必要的隔離與核酸檢測，甲、乙、丙3人從1國外某高風(fēng)險地區(qū)歸來，3人核酸檢測是陽性的概率分別為，，，且各自檢測是否為陽性相互獨(dú)立，則這3人中恰好有2人核酸檢測是陽性的概率是__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)甲、乙丙3人核酸檢測是陽性的事件分別為A，B，C，則，，，這3人中恰好有2人核酸檢測是陽性的概率.故〖答案〗為：15.如圖，的二面角的棱上有，兩點，直線，分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于已知，，，則的長為__________〖答案〗〖解析〗由條件，知，,所以，所以,故〖答案〗為：16.如圖，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面相切.橢圓截面與兩球相切于橢圓的兩個焦點，.過橢圓上一點作圓錐的母線，分別與兩個球相切于點.由球和圓的幾何性質(zhì)可知,.已知兩球半徑分為別和，橢圓的離心率為，則兩球的球心距離為_______________.〖答案〗〖解析〗作出圓錐的軸截面如圖所示，圓錐面與兩球相切于兩點，則，，過作，垂足為，連接，，設(shè)與交于點，設(shè)兩球的球心距離為，在中，，，；，，，，解得：，，；由已知條件，知：，即軸截面中，又，，解得：，即兩球的球心距離為.故〖答案〗為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在中，設(shè)，，求證：的面積.解：因為，，所以，于是.18.新冠肺炎疫情期間，各地均響應(yīng)“停課不停學(xué)，停課不停教”的號召開展網(wǎng)課學(xué)習(xí)．為檢驗網(wǎng)課學(xué)習(xí)效果，某機(jī)構(gòu)對名學(xué)生進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查，發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生上網(wǎng)課時有家長在旁督促，而有些沒有網(wǎng)課結(jié)束后進(jìn)行考試，根據(jù)考試結(jié)果將這名學(xué)生分成“成績上升”和“成績沒有上升”兩類，對應(yīng)的人數(shù)如下表所示：成績上升成績沒有上升合計有家長督促的學(xué)生500800沒有家長督促的學(xué)生500沒有家長督促的學(xué)生2000（1）完成以上列聯(lián)表，并通過計算（結(jié)果精確到）說明，是否有的把握認(rèn)為家長督促學(xué)生上網(wǎng)課與學(xué)生的成績上升有關(guān)聯(lián)（2）從有家長督促的名學(xué)生中按成績是否上升，采用分層抽樣的方法抽出人，再從人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步調(diào)查，記抽到名成績上升的學(xué)生得分，抽到名成績沒有上升的學(xué)生得分，抽到名生的總得分用表示，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：解：（1）成績上升成績沒有上升合計有家長督促的學(xué)生500300800沒有家長督促的學(xué)生7005001200沒有家長督促的學(xué)生12008002000有的把握認(rèn)為家長督促學(xué)生上網(wǎng)課與學(xué)生的成績上升有關(guān)聯(lián)．（2）從有家長督促的名學(xué)生中按成績是否上升，采用分層抽樣的方法抽出人，其中成績上升的有人，成績沒有上升的有人，再從人中隨機(jī)抽取人，隨機(jī)變量所有可能的取值為，，的分布列如下：-3-11819.如圖1，直角梯形中，，，，為的中點，現(xiàn)將沿著折疊，使，得到如圖2所示的幾何體，其中為的中點，為上一點，與交于點，連接.（1）求證：平面；（2）若三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角.解：（1）在直角梯形中，，，，為的中點，由翻折的性質(zhì)可得，翻折后，，又，，，則，故，，兩兩互相垂直，以點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，如圖示：則，，，，，，，即，又平面，平面，平面．（2）設(shè)點到平面的距離為，則，解得，點為的中點，在空間直角坐標(biāo)系中，，，.，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故平面的一個法向量為，又平面的一個法向量為，所以，令平面與平面的夾角，由圖可知，，則，即．20.在平面直角坐標(biāo)系中，一個動點P到定點的距離比它到的距離大1.（1）求動點P的軌跡C的方程；（2）若直線l過定點，斜率為k，當(dāng)k為何值時，直線l與軌跡C：沒有公共點；只有一個公共點；有兩個公共點；有三個公共點.解：（1）由已知得，令，則整理得，.（2）由題意，直線l的方程為.聯(lián)立方程組（*）（i）當(dāng)時，直線l：與有唯一公共點，與無公共點，此時共有一個公共點.（ii）當(dāng)時，判別式為①由，.故或時，方程（*）只有一個解，即直線與拋物線只有一個公共點，與各有一個交點為，，故分別有兩個公共點.②當(dāng)直線過時，直線方程為，與交于，，與無交點，故直線與軌跡共有兩個公共點③由.故當(dāng)且，時，方程（*）有兩個解，即直線與拋物線有兩個公共點，與有一個公共點，故直線與軌跡有三個公共點④由，或.故當(dāng)，或時，方程（*）無實數(shù)解，即直線與拋物線沒有公共點，與有一個公共點綜上，當(dāng)時，直線軌跡有三個公共點；當(dāng)時，直線軌跡有兩個公共點；當(dāng)時，直線軌跡有一個公共點.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）令，若有兩個不相等的實數(shù)根.（i）求a的取值范圍；（ii）求證：.解：（1）的定義域為，當(dāng)時，，設(shè)，則，由得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴的最大值為，∴，即在上恒成立，∴在上單調(diào)遞減；（2）（i）由得：，設(shè)，則，由得：，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴有極大值也是最大值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，要使有兩個不同的實數(shù)根，則，即，即實數(shù)a的取值范圍為；（ii）由（i）不妨設(shè)，由，得，則，要證，即證，等價于，而，等價于證明，即證，令，要證，即證，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，所以.（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)