山東省威海市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省威海市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.樣本數(shù)據(jù)11，12，13，16，20，22，25，27，36的60%分位數(shù)為（）A.20 B.21 C.22 D.23.5〖答案〗C〖解析〗樣本數(shù)據(jù)11，12，13，16，20，22，25，27，36共9個(gè)數(shù)字，所以，所以分位數(shù)為從小到大排列的第個(gè)數(shù)，即為.故選：C.2.在研究集合時(shí)，用來表示有限集合A中元素的個(gè)數(shù)．集合，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題：所以，故選：A.3.已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題知，，解得，又雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以漸近線方程為.故選：D.4.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列，則=（）A.2 B.3 C.4 D.6〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，因?yàn)槭钦?xiàng)等比數(shù)列，且，，所以，解得：或（舍去），所以.故選：A.5.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線過點(diǎn)F，且與C在第一象限的交點(diǎn)為A，若，則p=（）A.2 B.4 C.8 D.12〖答案〗B〖解析〗過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為H，因?yàn)橹本€AF的斜率為，所以，則，所以，點(diǎn)A坐標(biāo)為，代入得，整理得，解得或（舍去）.故選：B6.在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，的中點(diǎn)，若平面與平面的交線為l，則l與直線所成角的大小為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱BC，的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面，又平面平面，，所以，又，所以，所以l與直線所成角的大小等于.故選：C7.已知向量a，b滿足，，且對，，則=（）A.-2 B.-1 C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)閷Γ?，所以，所以，所?故選：C.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，可得，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，所以，所以，令，求導(dǎo)可得，當(dāng)，，所以單調(diào)遞減，所以，即，所以，令，可得，即，所以.故選：B.二、選擇題9.下列命題為真命題的是（）A.是純虛數(shù)B.對任意的復(fù)數(shù)z，C.對任意的復(fù)數(shù)z，為實(shí)數(shù)D.〖答案〗AC〖解析〗對于A，是純虛數(shù)，A正確；對于B，對任意復(fù)數(shù)，，，所以和不一定相等，B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)，則，則，C正確；對于D，，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減B.將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對稱C.在上有兩個(gè)零點(diǎn)D.〖答案〗BCD〖解析〗于A，因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于對稱，所以在上不單調(diào)，A錯(cuò)誤；對于B，由上知，的圖象關(guān)于對稱，所以的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的曲線關(guān)于y軸對稱，B正確；對于C，由得函數(shù)的零點(diǎn)為，令，解得，所以，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)，C正確；對于D，因?yàn)?，，，所以因?yàn)榈淖钚≈抵芷?，所以，D正確.故選：BCD11.數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在以原點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上，這個(gè)圓被稱為該橢圓的蒙日圓．已知橢圓C：可以與邊長為的正方形的四條邊均相切，它的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，則（）A.B.若矩形的四條邊均與橢圓C相切，則該矩形面積的最大值為12C.橢圓C的蒙日圓上存在兩個(gè)點(diǎn)M滿足D.若橢圓C的切線與C的蒙日圓交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且直線OE，OF的斜率都存在，記為，，則為定值〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，由題意得邊長為的正方形為的蒙日圓的內(nèi)接正方形，故，解得，，A正確；B選項(xiàng)，若矩形的四條邊均與橢圓C相切，則該矩形為的蒙日圓的內(nèi)接矩形，其中蒙日圓的半徑為，設(shè)矩形的長為，寬為，故，故矩形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故該矩形面積的最大值為24，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由題意得，蒙日圓方程為，設(shè)，故，，由得，故，解得，顯然點(diǎn)可能在第一象限或第四象限，C正確；D選項(xiàng)，下面證明橢圓在處的切線方程為，理由如下：當(dāng)時(shí)，故切線的斜率存在，設(shè)切線方程為，代入橢圓方程得：，由，化簡得：，所以，把代入，得：，于是，則橢圓的切線斜率為，切線方程為，整理得到，其中，故，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)或，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，當(dāng)時(shí)，切線方程為，滿足，綜上：橢圓在處的切線方程為；設(shè)切點(diǎn)為，故，則橢圓C的切線方程為，聯(lián)立與得，設(shè)，則，，將代入得，，，故，為定值，D正確.法2：若的斜率存在，則設(shè)直線，則聯(lián)立與得，由得，聯(lián)立與得，，設(shè)，則，故，將代入得，故，若的斜率不存在，則：或，若：，則或，此時(shí)均有，同理當(dāng)：，也有，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.的展開式中的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）〖答案〗35〖解析〗，令，解得，所以的系數(shù)為.故〖答案〗為：3513.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，，．則=______．〖答案〗〖解析〗在中，由余弦定理可得，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以解得，由，可得，在中，由正弦定理可得，所?故〖答案〗為：.14.已知圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周都在半徑為3的球面上，當(dāng)該圓錐的側(cè)面積最大時(shí)，它的體積為______．〖答案〗〖解析〗如圖，圓錐頂點(diǎn)為P，底面圓心為C，底面圓周與頂點(diǎn)均在球心為O的球面上，，記則圓錐側(cè)面積為，若相同時(shí)，較大才能取得最大值，由截面圓的對稱性知，圓錐側(cè)面積最大時(shí)兩點(diǎn)位于球心兩側(cè)，此時(shí)，，而,又，故令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，最大，圓錐側(cè)面積最大，此時(shí)，此時(shí)圓錐體積，故〖答案〗為：.四、解答題15.市場供應(yīng)的某種商品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率為90%，乙廠產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率為65%．現(xiàn)有某質(zhì)檢部門對該商品進(jìn)行質(zhì)量檢測．（1）若質(zhì)檢部門在該市場中隨機(jī)抽取1件該商品進(jìn)行檢測，求抽到產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率；（2）若質(zhì)檢部門在該市場中隨機(jī)抽取4件該商品進(jìn)行檢測，設(shè)抽到的產(chǎn)品中能達(dá)到優(yōu)秀等級的件數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）記質(zhì)檢部門在該市場中隨機(jī)抽取1件該商品進(jìn)行檢測，求抽到的產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級為事件，則，（2）由（1）可知每件產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率均為，故，，所以，，，，，的分布列為：16.如圖，在四棱錐中，平面⊥平面，為等邊三角形，，，，，M為的中點(diǎn)．（1）證明：⊥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：設(shè)中點(diǎn)為O，連接，為等邊三角形，故，由題意知平面⊥平面，平面平面，平面，故平面，平面，故，又，平面，故平面，平面，故，又M為的中點(diǎn)，為等邊三角形，則,平面，所以⊥平面；（2）解：由（1）知平面，平面，故，連接，，則，即四邊形為平行四邊形，故，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,即，令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則.17.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）證明：．（1）解：由題意得的定義域?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故為函數(shù)的極大值點(diǎn)，函數(shù)極大值為，無極小值；（2）證明：設(shè)，，令，則，即在上單調(diào)遞增，，故，使得，即，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故即，即，則.18.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：過點(diǎn)，且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，．（1）求C的方程；（2）已知直線l與C相切．（i）若l與直線的交點(diǎn)為M，證明：；（ii）若l與過原點(diǎn)O的直線相交于點(diǎn)P，且l與直線OP所成角的大小為45°，求點(diǎn)P的軌跡方程．（1）解：因?yàn)榍€C：過點(diǎn)，所以，由，可得，因，所以，解得，所以曲線C的方程為.（2）（i）證明：設(shè)直線l與C相切的切點(diǎn)為，因?yàn)椋?，則直線l的方程為，即，所以，由題意可知，所以，可得，所以；（ii）解：設(shè)P的坐標(biāo)為，則，因?yàn)閘與直線OP所成角的大小為，且l的一個(gè)方向向量為，所以，可得，即，所以或，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，可得，即，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，因，同理，所以點(diǎn)P的軌跡方程為或.19.設(shè)，y是不超過x的最大整數(shù)，且記，當(dāng)時(shí)，的位數(shù)記為例如：，，．（1）當(dāng)時(shí)，記由函數(shù)的圖象，直線，以及x軸圍成的平面圖形的面積為，求，及；（2）是否存在正數(shù)M，對，，若存在，請確定一個(gè)M的值，若不存在，